Heterotic-string amplitudes at one loop: modular graph forms and relations to open strings
我们研究了杂化弦论中非阿贝尔规范玻色子的单圈四点散射，并确定了与相应开弦振幅的新联系。在低能量展开的杂弦振幅，积分环穿刺系统评估的模块图形式，某些非全纯模块形式。对于一个特定的环面积分，在低能量展开的模图形式相关的椭圆形多个zeta值从类似的开弦积分在圆柱边界。这些模图形式和椭圆多重zeta值之间的详细对应关系支持最近提出的单值映射在亏格为零的椭圆推广。
2019-03-07 hep-th math.NT
Eigenvalue equation for genus two modular graphs
在亏格为2的模空间上得到了一类模图函数所满足的二阶微分方程，每个模图函数有两个链环。通过分析这些图在Beltrami微分的变化下的变化，得到了该特征值方程。这个方程包含七个不同的图形，其中三个出现在II型弦论中亏格2处四个引力子振幅的低动量展开的$D^8\mathcal{R}^4$项的被积函数中。
2019-02-07 hep-th math.NT
Modular graph forms from equivariant iterated Eisenstein integrals
闭弦散射振幅在亏格1处的低能展开引入了称为模图形式的非全纯模形式的无限族。他们的微分和数论性质动机布朗的替代建设的非全纯模块化形式在最近的数学文献从所谓的等变迭代爱森斯坦积分。在这项工作中，我们提供了第一个验证超越深度布朗的猜想之一，等变迭代爱森斯坦积分包含模块图的形式。除了在深度二和深度三的各种例子，我们阐明了字典的系统分类，并使布朗的建设的某些元素完全明确的所有订单。
2022-12-21 hep-th math.NT
Modular graph functions and odd cuspidal functions -- Fourier and Poincaré series
模图函数是与模为$τ$的环面上的二维共形场论的费曼图相关联的$SL(2,{\mathbb Z})$不变函数。对于单圈图，他们减少到真正的分析爱森斯坦级数。我们得到了所有双环模图函数的Fourier级数，包括常Fourier模和非常Fourier模，以及它们关于$Γ_\infty \backslash PSL(2,{\mathbb Z})$的Poincaré级数. Fourier级数和Poincaré级数提供了用Rankin-Selberg-Zagier方法计算双环模图函数的Petersson内积的工具。在$τ\to - \bar τ$下是奇数的模图函数是尖点函数，在尖点附近指数衰减，并且存在于两个循环开始。本文利用全纯子图约简和筛法给出了权为$w$的奇双环模图函数空间$\mathfrak{A}_w$的维数下界。对于$w \leq 11$的结合是饱和的，我们表现出$\mathfrak{A}_w$的基础。
2021-02-05 hep-th math.NT
From elliptic multiple zeta values to modular graph functions: open and closed strings at one loop
我们将无质量开弦和闭弦态的单圈散射振幅与它们的低能量展开联系起来。从闭弦穿刺的集成所产生的模块化图功能，观察到以下从对称开弦积分通过一个试探性的推广单值投影已知的亏格零。
2019-03-02 hep-th math.NT
Eigenvalue equation for the modular graph $C_{a,b,c,d}$
环面上的模图$C_{a,b,c,d}$是一个三圈平面图，其中两个顶点的坐标数为4，而其他顶点的坐标数为2。我们得到了$C_{a,b,c,d}$对$a,b,c$和$d$的一般值所满足的特征值方程，其中源项涉及各种模图.这是通过改变关于环形世界面上的贝尔特拉米微分的图来获得的。在分析的各个中间阶段使用几个辅助图对于获得方程是至关重要的。事实上，本征函数不是简单的$C_{a,b,c,d}$，而是涉及到从它减去特定的平方和的非全纯爱森斯坦系列的特点是$a,b,c$和$d$。
2019-08-28 hep-th math.NT
Poincaré series for modular graph forms at depth two. I. Seeds and Laplace systems
我们得到新的庞加莱级数表示的无限家庭的非全纯模块不变的功能，包括模块图的形式，因为它们出现在低能量展开的闭弦散射振幅亏格1。庞加莱级数是由单个全纯爱森斯坦级数及其复共轭上的迭代积分构造而成的，并由zeta值的适当组合进行装饰。我们评估庞加莱和这些迭代爱森斯坦积分的深度1，并推导出新的表示所有的模块化图形形式建立在深度2迭代爱森斯坦积分。在另一篇文章中，一些超越模图形式的深度一积分的庞加莱和将用全纯尖点形式的迭代积分及其L值来描述。
2022-01-28 hep-th math.NT
Hierarchy of Modular Graph Identities
第二类超弦振幅在亏格1处的低能展开是根据与环面上共形标量场的费曼图相关联的模图函数来组织的。在早期的工作中，令人惊讶的身份之间的双循环图在所有的权重，和更高的循环图之间的权重4和5被构造。在本文中，这些结果被推广到两个互补的方向。首先，得到并证明了所有权为6的恒等式和所有权为7的二面角恒等式。只要在尖点处的洛朗多项式是可用的，这些恒等式的形式就证实了洛朗多项式的消失支配完全模恒等式的模式。其次，扩展了模图函数族，使其包括所有具有导数耦合和世界面费米子的图。这些扩展家庭的模块图函数服从一个层次的非齐次拉普拉斯特征值方程。二面角模图函数的扩展族的特征值的计算分析最简单的无限子家庭和Maple获得的连续更复杂的子家庭。的频谱仅由特征值$s(s-1)$为正整数$s$有界的重量，具有多重性，表现出丰富的代表性理论模式。
2017-10-13 hep-th math.NT
To the cusp and back: Resurgent analysis for modular graph functions
在计算闭弦散射振幅的低能展开时，出现了模图函数。对于环面世界片，它们是环面复结构的${\rm SL}(2,\mathbb{Z})$不变函数，必须在不等价环面的模空间上积分。我们使用复苏分析的方法来构造当模图函数的幅角接近这个模空间上的尖点时所产生的非微扰校正。当在模空间的原点展开时，${\rm SL}(2,\mathbb{Z})$ -不变性将反过来强烈地约束非微扰扇区的行为。
2022-08-30 hep-th math.NT
All-order differential equations for one-loop closed-string integrals and modular graph forms
我们研究了玻色子理论、杂波理论和第二类理论中闭弦单圈振幅中世界片环面上积分的生成函数。这些闭弦积分服从齐次线性微分方程的模参数的环面。我们拼出一阶柯西-黎曼和二阶拉普拉斯方程的生成函数的任何数量的外部状态。这种环面积分的低能量展开引入了无限族的非全纯模形式，称为模图形式。我们的研究结果产生齐次的一阶和二阶微分方程的任意这样的模块化图形的形式，可以被看作是一个步骤，所有的顺序低能量扩展的闭弦积分。
2020-01-21 hep-th math.NT
Feynman Graph Integrals and Almost Modular Forms
本文从热核出发，引入了一类椭圆曲线上的图积分。我们证明了这类图积分在模群$SL(2, \Z)$下具有模性质，并证明了反全纯依赖的多项式性质。
2011-12-20 hep-th math.CO math.NT
Elliptic modular graph forms II: Iterated integrals
椭圆模图形式（eMGF）是依赖于环面的模参数$τ$和环面上的标记点$z$的非全纯模形式。传统上，eMGF是由世界面环面上的离散动量在闭弦genus-one振幅下的嵌套晶格和构造的。在这项工作中，我们开发的方法来翻译的格和实现的eMGF到迭代积分的模参数$τ$的环面，特别关注的情况下，一个标记点。这种迭代积分表示表明了eMGF及其退化极限$τ\rightarrow i\infty$之间的代数和微分关系。从数学的角度来看，我们的结果产生具体的实现单值椭圆多项式在任意深度的亚纯迭代积分的模形式和其复共轭。在固定的模和超越权重的eMGF的基础尺寸来自一个简单的计数的迭代积分和Tsunogai的推导代数的推广。
2022-08-23 hep-th math.NT
Basis Decompositions and a Mathematica Package for Modular Graph Forms
模图形式（MGF）是一类非全纯模形式，它自然地出现在闭弦亏格振幅的低能展开中，引起了纯数学家的极大兴趣。MGF满足许多非平凡的代数和微分关系，这些关系在文献中得到了广泛的研究，并导致了显着的简化。在本文中，我们系统地结合这些关系，得到的基础分解的所有两个和三个点的MGF的总模块重量$w+\bar{w}\leq12$，从两个著名的身份香蕉图。此外，我们研究以前已知的关系，在积分表示的MGF，导致一个新的理解全纯子图减少为Fay身份的克罗内克-爱森斯坦系列和打开大门分解发散图。我们提供了一个计算机实现的$\texttt{Mathematica}$包$\texttt{ModularGraphForms}$的形式，其中包括获得的基础分解的MGFs的操作。
2020-07-13 hep-th math.NT
Zero mode of the Fourier series of some modular graphs from Poincare series
我们考虑特定的线性组合的两个循环模块化图功能的环形世界表与$2s$链接$s=2, 3$和$4$。在每种情况下，它满足一个本征值方程，源项只涉及$E_{2s}$和$E_s^2$。在删除某些组合的$E_{2s}$和$E_s^2$从它，我们表示所得到的表达式作为一个绝对收敛的庞加莱级数。这是用来计算功率表现的条款在渐近展开的零模式的傅立叶展开这些图形在一个简单的方式。
2020-08-24 hep-th math.NT
Absence of irreducible multiple zeta-values in melon modular graph functions
模图函数在模为$τ$的环面上在尖点附近的展开由$y= π\Im (τ)$中的Laurent多项式给出，其系数是单值多zeta值的有理倍数，除了其系数是有理的和指数抑制项的首项。证明了与Melon图相关的模图函数$D_N(τ)$的Laurent多项式的非导项系数不含不可约的多重zeta值，并且对于任意的$N \geq 0$，其系数都可以写成一个有理系数的奇zeta值多项式.证明过程中表示的生成函数的$D_N(τ)$在Virasoro-Shapiro闭弦树振幅的积分。
2020-02-05 hep-th math.NT
Elliptic modular graph forms I: Identities and generating series
椭圆模图函数和模图形式（eMGF）是模图函数和模图形式的自然推广，它是通过在其Kronecker-Eisenstein级数中包含Abel群的特征标而得到的. eMGF的最简单的例子是环面上无质量标量场的格林函数和Zagier单值椭圆多项式。更复杂的eMGF是由更高的亏格表面非分离变性为具有穿孔的亏格一表面产生的。eMGF可以等效地由Kronecker-Eisenstein级数的系数的组合的环面上的多重积分表示，并且可以被组装成生成级数。利用这些关系导出全纯子图约简公式，以及代数和微分的eMGF和他们的生成系列之间的身份。
2021-03-15 hep-th math.NT
Poincaré series for modular graph forms at depth two. II. Iterated integrals of cusp forms
我们继续分析模块不变函数，受到非齐次拉普拉斯本征值方程，这是确定在庞加莱系列的配套文件。拉普拉斯方程的源项是两个非全纯爱森斯坦级数（的导数）的乘积，其中模不变量被分配深度为2。这些模不变函数有时可以用全纯爱森斯坦级数的单值迭代积分来表示，因为它们出现在模图形式的生成序列中。我们表明，一套迭代积分的爱森斯坦系列必须扩展到包括也迭代积分的全纯尖点形式找到所有模块化的深度不变函数的表达式。这些尖点形式的系数被确定为它们的L值的内部和外部的临界带的比率。
2022-01-28 hep-th math.NT
Higher genus modular graph functions, string invariants, and their exact asymptotics
将模图函数的概念和构造方法从亏格1推广到高亏格曲面。四引力子超弦振幅在亏格2处的被积函数为一类特殊的函数提供了母函数。给出了一种用自然实参数$t$分析非分离退化下模图函数行为的一般方法。对于任意亏格，Arakelov Green函数和Kawazumi-Zhang不变量在极限$t\to\infty$内退化为$(1,1)$次的$t$中的Laurent多项式.对于亏格2，弦振幅的低能展开的每个系数退化为$t$中的次数为$(w,w)$的Laurent多项式，其中$w+2$是运动学不变量的均匀度。这些结果对于$t$中的所有阶数都是精确的，直到指数抑制校正。本文给出了一类模图函数在任意亏格上的非分离退化，并得到了$t$中有界次数的Laurent多项式. Laurent多项式中的系数是下亏格的穿孔黎曼曲面的广义模图函数。
2018-07-16 hep-th math.NT
$D^6R^4$ curvature corrections, modular graph functions and Poincaré series
本文研究了环面上紧化的IIB型弦论中四引力子散射振幅的高曲率修正的U-对偶不变系数函数。主要的焦点是在$D^6R^4$长期是已知的，以满足非齐次拉普拉斯方程。我们提出了一种新的方法来解决这个方程的庞加莱级数的anasterian和恢复已知的结果在$D=10$维和发现新的结果在$D<10$维。我们也适用于模块化图函数的方法，因为它们产生于封闭的超弦单圈振幅。
2018-03-27 hep-th math.NT
Modular graph functions and asymptotic expansions of Poincaré series
本文研究IIB型弦论中的模图函数或高阶导数修正系数函数等$SL(2,\mathbb{Z})$ -不变函数。这些函数求解非齐次拉普拉斯方程，我们选择将它们表示为庞加莱级数。这样，我们可以结合不同的方法进行渐近展开，并获得微扰和非微扰的贡献，他们的零傅立叶模式。在高阶导数修正的情况下，这些术语可以解释为微扰弦环效应和瞬子/反瞬子对。
2020-01-14 hep-th math.NT
Generating series of all modular graph forms from iterated Eisenstein integrals
我们研究生成一系列的环面积分，其中包含所有所谓的模块化图形的形式相关的无质量的单圈闭弦振幅。通过分析生成级数的微分方程，我们构造了它在逆弦张力$α'$中低能展开到所有阶的解。我们的解决方案表示通过初始数据涉及多个zeta值和某些真正的解析函数的模参数的环面。这些功能是建立从实部和虚部的全纯迭代爱森斯坦积分，并应密切相关的布朗最近建设的实际分析模块化形式。我们详细研究了实分析对象的性质，并给出了$α'$展开中固定顺序的显式示例。特别是，我们的解决方案允许在给定的权重下对线性独立的模块图形式进行计数，确认先前的部分结果，并给出更高的预测，迄今为止尚未探索的权重。它也揭示了新的主题一致的超越性的$α'$ -扩展。
2020-05-13 hep-th math.NT
Fourier series of modular graph functions
模块化图函数将图与上半平面上的$SL(2,Z)$不变函数相关联。我们得到了任意权$w$和双环阶的模图函数的傅里叶级数。这项工作的动机是开发一个更深层次的理解的起源之间的代数身份最近发现的模块图函数，以及这些身份的存在和尖点形式的发生之间的关系。我们发现，作为模量$τ$的函数的常数傅立叶模式，由一个劳伦多项式在$y = π\, {\rm Im} (τ)$的程度$(w,1-w)$，加上指数衰减的贡献为$y \to \infty$。Laurent多项式是一个线性组合，其有理系数为最高项$y^w$，低阶项$ζ(2k+1) y^{w-2k-1}$为$1\leq k \leq w-1$，以及项$ζ(2w-2\ell-3) ζ(2\ell+1)y^{2-w}$为$1 \leq \ell \leq w-3$。指数贡献是$y$的指数和不完全$Γ$ -函数的线性组合，其系数是$y$中具有有理系数的劳伦多项式。
2018-08-14 hep-th math.NT
Elliptic Modular Graphs, Eigenvalue Equations and Algebraic Identities
我们得到的特征值方程满足各种椭圆模图的五个链接，其中两个顶点是不可积的。解决这些问题会导致这些图之间的几个非平凡的代数恒等式。
2023-03-25 hep-th
N=2 Gauge Theories: Congruence Subgroups, Coset Graphs and Modular Surfaces
我们建立了一个对应的广义的四维规范理论和同余子群的模块组，铰链上的三价图形，出现在这两个。列举了各种规范理论和图形，并对它们的数量进行了比较。对应关系是特别引人注目的属零扭自由同余子群的例子出现在月光。我们详细分析的情况下，指数24，模块化椭圆K3表面出现：在这里，椭圆j-不变量可以被重铸为dessins d 'enfant，这决定了塞伯格-威滕曲线。
2012-04-11 hep-th math.AG math.NT
Proving relations between modular graph functions
我们考虑在第二类弦论中四个引力子振幅的低能展开中出现的模图函数。这些图的顶点是顶点算子在环面世界表上的插入位置，而链接是连接顶点的标量格林函数。具有四个和五个链环的图满足几个非平凡关系，这些关系最近已被证明。利用格林函数的初等性质和图的细节证明了这些关系。我们还证明了与六个链接的模块图函数之间的关系。
2016-12-03 hep-th
Modular and holomorphic graph function from superstring amplitudes
我们比较两类功能产生的属一超弦振幅：模块化和全纯图功能。我们专注于他们的分析性质，我们回顾了已知的渐近行为的模块化图函数和我们完善的公式的渐近行为的全纯图函数。此外，我们给出了新的证据的猜想，这两个渐近展开。
2018-07-12 hep-th math-ph math.MP
Algebraic identities between families of (elliptic) modular graphs
本文提出通过在未积分顶点处粘合椭圆模图并积分，将种子恒等式与模图族卷积，从而系统生成无穷多类新的模图代数恒等式。
2023-09-28 hep-th
From Modular Graph Forms to Iterated Integrals
本文提出将模图形式转换为全纯艾森斯坦级数迭代积分的系统方法，并给出Mathematica包，用于计算四引力子单圈超弦振幅在$\alpha^{\prime 8}$阶的解析部分贡献。
2025-02-08 hep-th
Modular Invariants, Graphs and $α$-Induction for Nets of Subfactors II
我们应用理论的$α$-感应部门，我们在我们的前一篇文章中阐述了几个网络的子因子所产生的共形场论。主要应用是SU（n）WZW模型的共形嵌入和轨道包含。对于后者，我们手工构造扩展的因素网。进一步发展了F. Xu，我们的治疗导致规范某些融合图，并在我们所有的例子中，我们重新发现的图形Di Francesco，Petkova和Zuber经验关联到相应的SU（n）模不变量。我们建立了这些图的指数之间的连接和字符的外观在块对角模不变量，只要扩展的模块S-矩阵对角化的自同态融合规则的扩展理论。我们的结果覆盖了所有的块对角SU（2）模不变量，从而对A-D-E分类提供了一些解释。
1998-05-05 hep-th
Modular Graph Functions
在早期的工作中，我们研究了与Feynman图相关的非全纯模函数的特征，该Feynman图用于在所有顶点处具有零外动量的二维环面上的共形标量场理论。这样的函数，我们称之为模图函数，例如，在genus-one Type II超弦振幅的低能展开中出现。本文引入了一类单值椭圆多重多项式，定义为与费曼图相关的椭圆函数，费曼图的外动量除两个顶点外均为零。这些函数依赖于椭圆曲线上的坐标$ζ$，并且当$ζ$被设置为等于$1$时，这些函数简化为模块图函数。我们证明，这些单值椭圆多重多项式是多个多项式的线性组合，和模块图函数的单值椭圆多重多项式的总和评估的身份的椭圆曲线，在这两种情况下，合理的系数。这一见解表明，模图函数之间的许多相互关系（其中一些是在早期的论文中建立的）可以作为涉及多个多项式的恒等式的结果获得，并解释了早期的观察，即洛朗多项式在尖点的系数由有理数乘以单值多个zeta值给出。
2016-12-12 hep-th math-ph math.MP
Elliptic multiple zeta values, modular graph functions and genus 1 superstring scattering amplitudes
在这篇博士论文中，我们研究了多重zeta值的全纯和非全纯椭圆类似物，即椭圆多重zeta值和模图函数。这两类函数都是最近才发现的，并且涉及到亏格1超弦振幅的计算。特别是，我们得到了新的结果，这些功能，使我们能够执行明确的计算，并指出属零和属一振幅之间的类比。
2018-04-21 hep-th math-ph math.MP
From modular invariants to graphs: the modular splitting method
本文从给定的二维su（n）_k共形场论（CFT）的模不变量M出发，给出了求解Ocneanu模分裂方程的一般方法，并以逐步显式构造的方式确定了：1）与边界条件和亏损线的引入相对应的广义配分函数; 2）与初始模不变量M相关联的高阶ADE图G的量子对称性。请注意，这里并不假设图G是已知的，因为它是计算的副产品。我们分析了几个su（3）_k例外情况在水平5和9。
2007-06-01 hep-th math-ph math.MP
Supergravity limit of genus two modular graph functions in the worldline formalism
我们考虑了最大超引力中双环四引力子振幅的低动量展开中直到$D^{10} \mathcal{R}^4$项的贡献，这些贡献出现在亏格两模图函数的场论极限中，这些函数是由环紧化II型弦论中四引力子振幅的低动量展开产生的，使用第一量子化超粒子的世界线形式。在世界线形式体系中，两圈超重力振幅的表达式允许我们从各个图中获得贡献，而不像使用酉切割获得的相同振幅的表达式，它只给出所有图的总和的总贡献。我们的双回路分析是场论的，并没有明确使用亏格双弦振幅。
2018-06-21 hep-th
Higher Coxeter graphs associated to affine su(3) modular invariants
二维RCFT中的仿射$su(3)$模不变配分函数与一组广义Coxeter图相关联。这些配分函数分为两类，块对角（I型）和非块对角（II型）的情况下，相关的，从谱性质，子组和模块图的子集分别。我们引入了一个模算子$\hat{T}$，取值于子群图的顶点集。它使我们能够容易地获得相关的I型配分函数。我们还证明了所有的II型配分函数都是通过适当的扭曲$\vartheta$作用于子群图的顶点集而得到的。这些扭转必须保留模运算符$\hat{T}$的值。
2005-05-06 hep-th math-ph math.MP
Modular Invariants, Graphs and $α$-Induction for Nets of Subfactors I
我们分析了由Longo和Luberren定义的子因子网络的部门的诱导和限制。挑选一个局部子因子，我们推导出一个公式，它指定的诱导部门的结构方面的原始DHR部门的较小的网络和规范的自同态。我们还得到了一个关于扇区的诱导和限制的互易公式，并证明了诱导映射的一个同态性质。进一步发展了F.徐，我们将在即将发表的论文中应用这一理论的网络所产生的共形场论，特别是那些来自共形嵌入或orbifold包含SU（n）WZW模型的子因子。这将提供一个更好的理解的标签的模不变量的某些图，特别是A-D-E分类的SU（2）模不变量。
1998-03-02 hep-th
Modular forms in Quantum Field Theory
量子场论中费曼图的振幅与其超曲面在有限域上的点数有关。本文报道了一个关于F_q模q^3上的点计数的实验研究，对于循环阶为10的图。发现它们中的许多是由权值<=8和层值<=17的模形式的傅里叶系数给出的。
2013-06-27 hep-th math.AG
Witten-Reshetikhin-Turaev Invariants, Homological Blocks, and Quantum Modular Forms for Unimodular Plumbing H-Graphs
Gukov-Pei-Putrov-Vafa为了对Witten-Reshetikhin-Turaev（WRT）不变量进行分类，用物理方法构造了称为同调块的$q$ -系列不变量，并证明了同调块的径向极限是WRT不变量.本文证明了他们关于幺模H-图的猜想。结果表明，H-图的WRT不变量在量子集$\mathbb{Q}$上产生深度为2、重量为1的量子模形式.在证明我们的主要定理的过程中，我们首先将不变量写成有理函数的有限和。其次，我们对加权高斯和进行了系统的研究，给出了加权高斯和的消失结果。结合这些结果，我们最终证明了上述猜想对H-图成立。
2022-05-07 hep-th math-ph math.GT
Modular operads
模运算是一种特殊类型的运算：事实上，它们与运算的关系与图与树（即单连通图）的关系相同。模运算的一个基本例子是稳定的尖代数曲线的Deligne-Mumford-Knudsen模空间$\bar{M}_{g,n}$的集合;因此有了"模“这个词。在本文中，我们介绍了不同的建设分次模运算，特别是对偶，我们称之为费曼变换，它扩展了Kontsevich的图复形。我们的主要结果是计算欧拉特征的费曼变换的模运算，使用对称函数的理论：结果是一个推广的威克定理高斯积分。
1996-10-31 alg-geom dg-ga hep-th
