某些开集格的一阶理论
First Order Theories of Some Lattices of Open Sets
AI总结：
本文证明某些自然拓扑空间的开集格的一阶理论与二阶算术等价，并证明许多可计算度量空间和域的有效开集格理论不可判定，且对若干重要空间该理论等价于一阶算术。
摘要：
我们证明，在某些自然拓扑空间的开集格的一阶理论是 $m$-等价于二阶算术的。我们还证明，对于许多自然的可计算度量空间和可计算域，有效开集格的一阶理论是不可判定的。此外，对于几个重要空间（例如，$\mathbb{R}^n$，$n\geq1$，以及域 $Pω$），该理论是 $m$-等价于一阶算术的。
英文摘要：
We show that the first order theory of the lattice of open sets in some natural topological spaces is $m$-equivalent to second order arithmetic. We also show that for many natural computable metric spaces and computable domains the first order theory of the lattice of effectively open sets is undecidable. Moreover, for several important spaces (e.g., $\mathbb{R}^n$, $n\geq1$, and the domain $Pω$) this theory is $m$-equivalent to first order arithmetic.
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