关于$p$-版本有限元空间指数收敛速度的指数
On the exponent of exponential convergence of the $p$-version FEM spaces
AI总结：
本文研究了不同非标准$p$-版本有限元空间在自由度数量下的指数收敛速度，发现使用总次数$\mathcal{P}_p$基底的集线有限元方法和间断 Galerkin 有限元方法在$ p $-细化下比使用张量积$\mathcal{Q}_p$基底的对应方法收敛更快，同时通过新的$p$-最优误差界证明了这一结论，并通过数值实验验证了理论结果的准确性。
摘要：
我们研究了在自由度数量下不同非标准$p$-版本有限元空间的指数收敛速度。更具体地说，我们证明了在$ p $-细化下，使用总次数$\mathcal{P}_p$基底的集线有限元方法和间断 Galerkin 有限元方法在部分解析问题中，相较于使用张量积$\mathcal{Q}_p$基底的对应方法，具有更快的指数收敛速度。上述结果通过使用新的$p$-最优误差界来证明，该误差界用于总次数$\mathcal{P}_p$基底上的$L^2$-正交投影，以及张量积元素上的集线有限元空间的$H^1$-投影。这些新的$p$-最优误差界导致了在自由度数量下的指数收敛速度的指数更大。此外，这些结果表明，在$\mathcal{Q}_p$基底中的一部分基函数在达到Sobolev空间中的$hp$-最优误差界时并不起作用。理论结果的准确性也通过一系列数值实验进行了验证。
英文摘要：
We study the exponent of the exponential rate of convergence in terms of the number of degrees of freedom for various non-standard {$p$-version} finite element spaces employing reduced cardinality basis. More specifically, we show that serendipity finite element methods and discontinuous Galerkin finite element methods with total degree $\mathcal{P}_p$ basis have a faster exponential convergence with respect to the number of degrees of freedom than their counterparts employing the tensor product $\mathcal{Q}_p$ basis for quadrilateral/hexahedral elements, for piecewise analytic problems under $p$-refinement. The above results are proven by using a new $p$-optimal error bound for the $L^2$-orthogonal projection onto the total degree $\mathcal{P}_p$ basis, and for the $H^1$-projection onto the serendipity finite element space over tensor product elements with dimension $d\geq2$. These new $p$-optimal error bounds lead to a larger exponent of the exponential rate of convergence with respect to the number of degrees of freedom. Moreover, these results show that part of the basis functions in $\mathcal{Q}_p$ basis {plays} no roles in achieving the $hp$-optimal error bound in the Sobolev space. The sharpness of theoretical results is also verified by a series of numerical examples.
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