Envy-freeness and Relaxed Stability for Lower-Quotas : A Parameterized Perspective
我们考虑在双边偏好列表模型下分配代理资源的问题，其中资源指定一个上限配额和一个下限配额，即分别是可以分配给它的代理的最大和最小数量。不同的最优性概念，包括无嫉妒和放松稳定性进行了研究，这种设置和目标是计算最大的最优匹配。Krishnaa等人[SAGT 2020]表明，在这种情况下，计算最大尺寸无嫉妒匹配（MAXEFM）或最大尺寸松弛稳定匹配（MAXRSM）的问题在某个常数因子内不可近似，除非P = NP。本文首次研究了MAXEFM和MAXRSM的参数化复杂性。我们表明，MAXEFM是W [1]-硬和MAXRSM是para-NP-硬时，参数化的几个自然参数来自实例。我们目前的核化结果和FPT算法的其他相关参数化的问题。
2022-05-19 cs.CC cs.DS
Maximally Satisfying Lower Quotas in the Hospitals/Residents Problem with Ties
针对农村地区医院住院医师短缺的严重问题，本文研究了医院/住院医师模型，在该模型中，医院与较低的配额相关联，目标是尽可能地满足他们。当偏好列表是严格的时，由于众所周知的农村医院定理，在任何稳定匹配中分配给每个医院的居民数量都是相同的;因此没有算法干预的空间。然而，当偏好列表中引入关系时，这将不再适用，因为居民的数量可能会随着稳定匹配而变化。在本文中，我们制定了一个优化问题，以找到一个稳定的匹配与最大的总满意率较低的配额。我们首先研究如何在四个自然场景中选择稳定匹配的总满意度的变化，并提供这些最大差距的确切值。随后，我们提出了一个策略证明的近似算法为我们的问题，在一种情况下，它最佳地解决了问题，并在其他三种情况下，这是NP难的，它产生了一个更好的近似因子比一个天真的平局打破方法。最后，我们展示了上述三个NP难场景的不可逼近性结果。
2022-01-25 cs.DS cs.GT
Generalized Capacity Planning for the Hospital-Residents Problem
针对医院-住院医师问题，提出广义容量规划，允许配额超配成本控制，证明局部目标可多项式求解而全局目标NP难，并给出近似算法与匹配下界。
2025-03-30 cs.DS
Incomplete List Setting of the Hospitals/Residents Problem with Maximally Satisfying Lower Quotas
为了减轻医院/居民问题中的分配者数量的不平衡，Goko等人[Goko等人，最大限度地满足医院/居民问题中的低质量问题，Proc. STACS 2022，pp. 31：1--31：20]研究了具有较低配额的医院/居民问题，其目标是找到尽可能满足较低配额的稳定匹配。在他们的论文中，偏好列表被假设为是完整的，也就是说，每个居民的偏好列表（分别为，医院）被假定包含所有医院（分别，居民）。在本文中，我们研究了一个更一般的模型，其中偏好列表可能是不完整的。对于四个自然的情况下，我们得到的最佳和最差的解决方案，逼近结果，和不可逼近的结果的最大差距。
2022-07-22 cs.DS cs.GT
How good are Popular Matchings?
本文研究了医院住院医师问题（HR）和具有低质量的医院住院医师问题（HRLQ）。在这个具有双侧偏好的模型中，稳定性是一个广为接受的最优性概念。然而，在存在较低配额的情况下，不需要存在稳定和可行的匹配。因此，对于HRLQ问题，我们的目标是输出一个好的可行匹配假设一个可行的匹配存在。已知具有最小阻塞对数（MinBP）和最小阻塞居民数（MinBR）的匹配计算是NP完全的。这些问题的唯一近似算法的工作条件严格限制的偏好列表。我们提出了一种算法，它绕过了这一限制，并计算一个流行的匹配在HRLQ实例。我们表明，使用各种发电机生成的数据集，我们的算法表现非常好，在阻塞对和阻塞居民。Yokoi（ISAAC 2017）最近研究了HRLQ问题的无嫉妒匹配。我们提出了一个简单的修改横井的算法输出一个最大的嫉妒自由匹配。我们观察到，流行的匹配优于无嫉妒匹配的几个参数的实际重要性，如大小，阻塞对的数量，阻塞居民的数量。在没有较低配额的情况下，也就是在住院医师（HR）问题中，稳定的匹配保证存在。即使在这种情况下，我们表明，流行是一个实际的替代稳定。例如，在使用特定模型生成的合成数据集上，以及在真实世界数据集上，流行匹配在大小上平均大8-10%，将更多数量的居民与他们的首选匹配，并且与稳定匹配相比，更多的居民更喜欢流行匹配。我们的综合研究揭示了人力资源和HRLQ问题的流行匹配的实际吸引力。
2018-04-28 cs.DS cs.GT
Optimal Capacity Modification for Stable Matchings with Ties
Chennai Mathematical Institute（金奈数学研究所）；IIT Madras（印度理工学院马德拉斯分校）；UMI ReLaX（联合国际实验室 ReLaX）
本文研究在医院偏好中存在并列选项的医院/居民问题，聚焦强稳定性，探讨通过最小化总容量增加或最大容量增加来确保强稳定匹配存在的优化方法。
2026-04-14 cs.DS cs.GT
Popular Matchings with One-Sided Bias
令$G = (A \cup B,E)$是一个二部图，其中集合$A$由代理人或主要参与者组成，集合$B$由作业或次要参与者组成。每一个顶点都有一个严格的邻居排名。如果对于任何匹配的$N$，偏好$M$而不是$N$的顶点数至少等于偏好$N$而不是$M$的顶点数，则匹配的$M$是流行的。流行的匹配总是存在于$G$中，因为每个稳定的匹配都是流行的。匹配的$M$是$A$ -流行的，如果对于任何匹配的$N$，代理的数量（即，优选$M$而不是$N$的$A$中的顶点）的数目至少是优选$N$而不是$M$的代理的数目。与流行匹配不同，$A$ -流行匹配不需要存在于给定实例$G$中，并且存在简单的线性时间算法来判定$G$是否允许$A$ -流行匹配，并且如果允许，则计算一个。我们考虑的问题，决定是否$G$承认一个匹配，既流行和$A$ -流行，并找到一个，如果是这样的。我们称这种配对为完全受欢迎。当$A$是更重要的一方时，一个完全流行的匹配是有用的--所以随着整体流行度的增加，我们希望保持“$A$集内的流行度”。完全流行匹配不一定是最小尺寸/最大尺寸流行匹配，并且用于流行匹配问题的所有已知多项式时间算法计算最小尺寸或最大尺寸流行匹配。在这里，我们展示了一个线性时间算法的完全流行的匹配问题，因此我们的结果显示了一个新的易处理的子类流行的匹配。
2022-07-12 cs.DS
Maximum Matchings and Popularity
设$G$是一个二分图，其中每个节点都有一个严格的邻居排名。对于每个节点，它对邻居的偏好自然地延伸到对匹配的偏好。如果偏好$N$而不是$M$的节点的数量多于偏好$M$而不是$N$的节点的数量，则匹配$N$比匹配$M$更流行。如果在$G$中不存在比$M$更流行的最大匹配，则$G$中的最大匹配$M$是“流行最大匹配”。这样的匹配是相关的应用程序中的一组可接受的解决方案是一组最大的匹配，我们希望找到一个最好的最大匹配，根据节点的喜好。众所周知，在$G$中总是存在流行的最大匹配。在这里，我们展示了一个紧凑的扩展制定流行的最大匹配多面体。因此，当存在边代价时，$G$中的最小代价流行最大匹配可以在多项式时间内计算。这是在对比的最小成本流行的匹配问题，这是已知的NP难。我们还考虑了帕累托最优，这是一个放松的流行，并表明计算最小成本帕累托最优匹配/最大匹配是NP-难的。
2020-11-06 cs.DS
Course Allocation with Credits via Stable Matching
University of Glasgow（格拉斯哥大学）
本文研究了通过稳定匹配解决课程分配与学分分配问题，探讨了稳定性定义、算法复杂性及不同约束条件下的变种问题。
2026-01-26 cs.DS
Max-size popular matchings and extensions
我们考虑的最大尺寸流行匹配问题的室友实例G =（V，E）与严格的偏好列表。如果G中不存在匹配M'，使得偏好M'的顶点多于偏好M的顶点，则匹配M是流行的。我们证明了在G中计算最大流行匹配是NP难的。这与二分图中这个问题的易处理性相反，在二分图中，可以在线性时间内计算最大大小的流行匹配。我们定义了一个子类的最大规模流行的匹配称为强主导的匹配，并显示了一个线性时间算法来解决强主导的匹配问题的室友的实例。我们考虑二分图中最大大小流行匹配问题的推广：这是最大权重流行匹配问题，其中也有一个边权重函数w，我们寻求最大权重的流行匹配。我们证明了这是一个NP-困难问题，即使对于每个边e，w（e）是1或2，也是如此。我们还给出了一个运行时间为O*（2^{n/4}）的算法来找到G =（A U B，E）$中n个顶点上的最大权流行匹配。
2018-02-21 cs.DS
Counting Popular Matchings in House Allocation Problems
我们研究的问题，在一个给定的情况下，流行的匹配计数。一个流行的匹配实例由代理A和房屋H组成，其中每个代理根据他们的偏好对房屋的子集进行排名。匹配是指将代理人分配到房屋。匹配M比匹配M'更受欢迎，如果更喜欢M而不是M'的代理的数量多于更喜欢M'而不是M的人数。如果不存在比M更流行的匹配，则匹配M被称为流行的。McDermid和Irving给出了一个多时间算法，用于在偏好列表严格排序时计算流行匹配的数量。我们首先考虑偏好列表中的关系。Nasre证明了当存在关系时，计算流行匹配的数量是#P-hard问题。我们对此问题给出了一个FPRAS。然后，我们考虑流行的匹配问题，偏好列表是严格有序的，但每个房子有一个与之相关的容量。我们给出了一个开关图表征流行的匹配在这种情况下。这样的刻画在之前的严格有序偏好列表（McDermid和Irving）和带关系偏好列表（Nasre）的情况下进行了研究。我们使用我们的特性证明，计数流行的匹配能力的情况下是P-困难的。
2013-12-12 cs.DS
Characterizing a Set of Popular Matchings Defined by Preference Lists with Ties
本文给出了由带平局的偏好列表定义的一组受欢迎匹配的简单刻画，并基于此提出了一个多项式时间算法来寻找最小成本的受欢迎匹配。
2025-03-06 cs.DS
The Popular Roommates problem
我们认为流行的匹配问题，在一个严格的偏好列表的室友的情况下。虽然流行的配对总是存在于双方实例中，但它们不一定存在于室友实例中。在室友实例中流行的匹配问题的复杂性已经是一个开放的问题了好几年，在这里我们证明它是NP难的。在二部图中，一类称为支配匹配的最大流行匹配已经得到了很好的研究。我们表明，在室友的情况下，占主导地位的匹配问题也是NP-难的，这是即使当实例承认一个稳定的匹配的情况。
2018-04-09 cs.DS
Perfect Matchings and Popularity in the Many-to-Many Setting
针对带容量、偏好和边成本的多对多二分图匹配问题，提出通过彩色辅助实例的稳定匹配刻画来求解最小成本流行完美匹配的多项式时间算法，推广了一对一场景的相关结论。
2024-11-01 cs.DS
Popular b-matchings
假设一组代理人的每个成员都有一个偏好列表的一个子集的房子，可能涉及领带和每个代理人和房子有他们的能力表示最大数量的相应的代理人/房子，可以匹配到他/她/它。我们要找到一个匹配的$M$，没有其他匹配的$M'$，使更多的代理人喜欢$M'$ $M$比$M$ $M'$。(What这意味着代理更喜欢一个匹配而不是另一个匹配。流行的匹配已经被广泛研究，特别是在一对一的设置。我们提供了一个流行的B-匹配的两个定义的流行性的表征，显示一些$NP$硬度的结果，并为某些版本描述多项式算法。
2010-12-29 cs.DS
Weighted Popular Matchings
我们研究给求职者分配工作的问题。每个申请人都有一个权重，并提供一个优先列表，对工作的一个子集进行排名。匹配的M是受欢迎的，如果没有其他匹配的M'，使得更喜欢M'而不是M的申请人的权重超过更喜欢M而不是M '的申请人的权重。本文给出了有效的算法，找到一个流行的匹配，如果存在。
2007-07-04 cs.DS
Popularity at Minimum Cost
本文考虑了{ \em流行匹配}问题的一个扩展。流行的匹配问题的输入是一个二分图G =（A U B，E），其中A是一组人，B是一组项目，属于A的每个人a按照偏好顺序排列项目的子集，允许领带。流行的匹配问题寻求计算人与物品之间的匹配M*，使得不存在匹配M，其中更多的人对M比M* 更快乐。这样的匹配M* 被称为流行匹配。然而，存在不存在流行匹配的简单实例。在这里，我们考虑上述问题的以下自然扩展：与属于B的每个项目b相关联的是非负价格成本（b），即对于任何项目b，可以通过为每个副本支付一定数量的成本（b）来将b的新副本添加到输入图。当G不允许流行匹配时，问题是以最小的代价“扩充”G，使得新的图允许流行匹配。我们证明了这个问题是NP-难的;事实上，在sqrt{n1}/2的因子内近似它是NP-难的，其中n1是人数。这个问题有一个简单的多项式时间算法，当每个人都有一个长度最多为2的偏好列表。然而，如果我们考虑以最小代价“构造”一个图的问题，该图允许匹配所有人的流行匹配，那么即使使用长度为2的偏好列表，该问题也成为NP难的。另一方面，当每个项目的副本的数量是“固定的”，我们表明，计算最低成本流行的匹配或决定，没有流行的匹配存在的问题可以解决在O（mn 1）的时间，其中m是边缘的数量。
2010-09-14 cs.DS
Popular Edges with Critical Nodes
在流行的边问题中，输入是一个二分图$G = (A \cup B,E)$，其中$A$和$B$分别表示一组男性和一组女性，并且$A\cup B$中的每个顶点对其邻居具有严格的偏好排序。如果不存在其他匹配的$M'$，使得偏好$M'$而不是$M$的顶点的数量大于偏好$M$而不是$M'$的顶点的数量，则$G$中的匹配$M$被称为{ \em流行}。目标是确定给定边缘$e$是否属于$G$中的某个流行匹配。在\cite{CK18}中出现了解决这个问题的多项式时间算法。我们考虑流行的边缘问题时，一些男人或女人优先或关键。匹配所有关键节点的匹配称为可行匹配。从\cite{Kavitha14,Kavitha21,NNRS21,NN17}可以得出，当$G$允许一个可行匹配时，总是存在一个在所有可行匹配中流行的匹配。我们给出了一个多项式时间算法的流行的边缘问题的存在下，关键的男人或女人。我们还表明，一个类似的结果并不成立，在多对一的设置，这是被称为文献中的医院居民的问题，即使没有关键节点。
2022-09-22 cs.DS
Popularity in the generalized Hospital Residents Setting
我们考虑的问题，计算流行的匹配在一个二分图G =（R U H，E），其中R和H分别表示一组居民和一组医院。每个医院h都有一个正容量，表示可以与h匹配的住院医生数量。住院医生和医院对彼此有严格的偏好。这就是研究得很好的医院住院医师（HR）问题，它是稳定婚姻（SM）问题的推广。目标是在尊重医院能力的同时，最佳地将居民分配到医院。稳定性是这类问题中广为接受的最优性概念。然而，出于对更大基数匹配的需要，在SM设置中研究了诸如流行度之类的最优性的替代概念。在本文中，我们考虑一个广义的HR设置-即层流分类稳定匹配（LCSM+）问题。此外，医院可以在其偏好列表中指定对住院医师的分类，并且类别具有上限配额。我们展示了以下新的结果：我们定义了流行度的概念，并给出了流行匹配的LCSM+问题的结构表征。假设n = |R| + |H|，m = |E|。我们给出了一个O（mn）时间算法计算最大基数流行匹配在LCSM+实例。我们给出了一个O（mn^2）时间算法来计算一个LCSM+实例中最大基数匹配中流行的匹配。
2016-12-18 cs.DS
The Dynamics of Rank-Maximal and Popular Matchings
给定一个二分图，其中两组顶点是申请人和职位，边缘上的排名表示申请人对职位的偏好，{ \em rank-maximum}匹配是其中最大数量的申请人与他们的排名一职位匹配的匹配，并且在此条件下，最大数量的申请人与他们的排名二职位匹配，我们研究了动态版本的问题，其中一个新的申请人或职位可能会被添加到图中，我们希望保持一个排名最大匹配。我们发现，一个顶点的到来后，我们总是能够更新现有的秩最大匹配在$\mathcal{O}(\min(c'n ,n^2) + m)$时间，其中$n$表示申请人的数量，$m$的边缘和$c'$的最大秩的边缘在一个最佳的解决方案。此外，我们使用最小数量的更改（替换）来更新匹配。删除顶点/边和添加边的所有情况都可以简化为处理添加顶点的问题。作为一个副产品，我们也得到了一个类似的$\mathcal{O}(m)$结果的动态版本的（单侧）流行的匹配问题。我们的结果是基于新的使用的属性的埃德蒙兹-Gallai分解。所提出的想法可以在其他（动态）匹配问题中找到应用。
2020-09-23 cs.DS
NC Algorithms for Popular Matchings in One-Sided Preference Systems and Related Problems
流行的匹配问题是将一组申请人与一组职位进行匹配，其中每个申请人都有一个偏好列表，按照偏好顺序对一个非空的职位子集进行排序，可能有领带。如果没有其他匹配的M'，使得更多的申请者喜欢M'而不是M，则匹配的M是受欢迎的。我们给出了第一个NC算法，以解决流行的匹配问题没有关系。我们还给出了一个NC算法，解决了最大基数流行匹配问题。没有NC或RNC算法是已知的偏好系统中的匹配问题之前，这项工作。此外，我们给出了一个NC算法的稳定匹配问题的一个较弱的版本，即问题的“下一个”稳定匹配给定的稳定匹配。
2019-12-20 cs.DC cs.DS
Maximum-utility popular matchings with bounded instability
在一个图中，顶点对它们的邻居有偏好，当顶点在匹配之间投票时，如果匹配没有失去任何其他匹配的头对头选举，那么它被称为流行。流行匹配可以被看作是稳定匹配和最大匹配之间的中间类别。在本文中，我们的目标是最大限度地提高效用的匹配，是流行的，但承认只有少数阻塞边缘。对于一般的图，已经找到一个流行的匹配与最多一个阻塞边是NP完全的。对于二分的情况下，我们研究的问题，找到一个最大的效用流行匹配的数量（或更一般地说，成本）的限制，采用多元方法的阻塞边缘。我们展示了经典和参数化的严格限制的情况下的硬度结果。相比之下，我们设计了一个算法的情况下，在一侧的偏好承认一个主列表，并表明，该算法是最佳的。
2022-05-04 cs.DM cs.DS
Robust Popular Matchings
University of Bristol（布里斯托大学）；ELTE KRTK KTI（罗兰大学KRTK KTI）；University of California Irvine（加州大学尔湾分校）
该研究针对偏好下的鲁棒流行匹配问题，给出了单智能体偏好差异场景下的多项式时间判定算法，同时证明了多类差异场景下的NP完全性与复杂性二分性，结果也适用于支配匹配。
2025-10-22 cs.DS cs.GT
A Matroid Generalization of Weighted Popular Matching: Characterization and Algorithm
Kobe University（神户大学）；Kyoto University（京都大学）；The University of Tokyo（东京大学）；Hosei University（法政大学）
本文提出加权受欢迎公共独立集问题，同时推广两类受欢迎匹配问题，建立其与解无关的特征刻画并给出首个多项式时间算法，还解决了带拟阵约束的加权受欢迎匹配等未决问题。
2026-10-14 cs.DS cs.GT
Popular matchings with weighted voters
本文研究带权顶点的流行匹配问题，证明一般加权场景下找流行匹配是NP难的，并给出二分图两侧顶点权重分别为c>3和1时的多项式时间求解或不存在性证明算法。
2023-12-13 cs.DM cs.DS
Quasi-popular Matchings, Optimality, and Extended Formulations
设G =（（A，B），E）是稳定婚姻问题的一个例子，其中每个顶点都按严格的偏好顺序排列其邻居。G中匹配的M是受欢迎的，如果M没有在任何匹配中输掉正面选举。流行匹配是稳定匹配的一个很好的推广，其目的是扩大可接受的解决方案集，同时保持一定的公平性。每一个稳定的匹配是一个最小规模的流行匹配。不幸的是，当存在边成本时，找到最小成本的流行匹配是NP困难的-更糟糕的是，最小成本流行匹配问题很难近似到任何因子。设opt为最小成本流行匹配的成本。我们的目标是通过付出适度放松的受欢迎程度的代价来有效地计算成本最多的匹配。我们的主要积极成果是两个双准则算法，发现在多项式时间的成本在最多opt的近流行或准流行匹配。此外，算法之一发现的成本最多的最小成本流行分数匹配的准流行匹配，这可能比opt小得多。另一种算法的关键是多项式-大小扩展公式的整体多面体夹在流行和准流行匹配多面体。我们补充这些结果表明，这是NP-难找到一个准流行的匹配的最小成本，流行和准流行的匹配多面体有近指数扩展的复杂性。这个版本的论文在以下两点上超越了会议版本[12]：（i）寻找成本至多为最小成本流行分数匹配的准流行匹配的算法是新的;（ii）第6.1节和第7.3节的证明现在是独立的（会议版本使用[10]的结构来显示这些下界）。
2020-05-05 cs.CC cs.DS math.CO
Solving the Maximum Popular Matching Problem with Matroid Constraints
本文研究带拟阵约束的多对多匹配中最大流行匹配问题，利用新拟阵交换性质证明任意拟阵下可解，并揭示字典序偏好下存在性与验证问题为coNP-难。
2023-06-21 cs.DS cs.GT
Popular Matching in Roommates Setting is NP-hard
在室友设置中，Popular Matching问题的一个输入由一个图$G$组成，每个顶点按照严格的顺序排列其邻居，称为其偏好。在流行匹配问题中，目标是测试是否存在匹配的$M^\star$，使得不存在匹配的$M$，其中使用$M$的人比使用$M^\star$的人更快乐。在本文中，我们解决了计算复杂性的流行匹配问题的室友设置，表明该问题是NP-完全的。因此，我们解决了过去十年来一再明确提出的一个悬而未决的问题。
2018-03-25 cs.CC cs.DS cs.GT
Semi-Popular Matchings and Copeland Winners
本文研究非二部图中稳定或受欢迎匹配不存在时的替代方案，提出半受欢迎匹配概念并证明其普遍存在性及FPRAS可近似性，同时证明计算科普兰赢家匹配是NP难的。
2023-05-29 cs.DS cs.GT
Popular Matchings -- structure and cheating strategies
我们考虑流行匹配问题的欺骗策略。流行的匹配问题可以定义如下：设G =（A UP，E）是一个二分图，其中A表示一组代理，P表示一组帖子，E中的边被排序。每个代理按照偏好的顺序对帖子的子集进行排名，可能涉及关系。如果不存在匹配的M'，使得偏好M'而不是M的代理的数量超过偏好M而不是M '的代理的数量，则匹配的M是流行的。考虑一个中心化的市场，代理提交他们的偏好，中央权威机构根据流行度的概念将代理与职位相匹配。由于流行的匹配不需要是唯一的，我们假设中央权威机构选择一个任意的流行匹配。设a1是唯一一个知道所有其他智能体的真实偏好列表的操纵智能体。a1的目标是伪造她的偏好列表，以便总是变得更好，也就是说，改善她得到匹配的职位集，而不是她诚实时得到的职位。我们发现，最佳的作弊策略，一个单一的代理，以获得更好的总是可以计算在O（\sqrt{n} m）的时间时，偏好列表允许包含领带和O（m+n）的时间时，偏好列表都是严格的。这里n = |A| + |P|，m = |E|。为了计算作弊策略，我们开发了一个开关图表征的流行的匹配问题，涉及领带。McDermid和Irving（J. Comb. Optim. 2011年），它是开放的情况下的关系。的情况下，关系的切换图表征是独立的利益，并回答了一部分的开放性问题所提出的麦克德米德和欧文。
2013-01-05 cs.DS cs.GT
Cutoff stability under distributional constraints with an application to summer internship matching
本文针对澳大利亚大学暑期实习匹配实践，提出了一种介于强稳定与弱稳定之间的新解概念——截止稳定性，证明了其存在性并给出了多项式时间算法，同时指出寻找最大规模截止稳定匹配是NP困难的，并提供了混合整数线性规划求解方案。
2023-10-26 cs.DS cs.GT econ.TH
Random Popular Matchings with Incomplete Preference Lists
给定一组$n$人的$A$和一组$m \geq n$项目的$B$，每个人都有一个按照偏好顺序排列其偏好项目的列表，我们希望将每个人与唯一的项目进行匹配。一个匹配的$M$被称为流行的，如果对于任何其他匹配的$M'$，更喜欢$M$的人数不少于更喜欢$M'$的人数。对于给定的$n$和$m$，考虑当每个人的偏好列表独立且均匀地随机生成时，流行匹配的存在概率。在此之前，Mahdian证明了当人们的偏好列表是严格的（不包含任何关系）和完整的（包含$B$中的所有项目）时，如果$α= m/n > α_*$，其中$α_* \approx 1.42$是方程$x^2 = e^{1/x}$的根，那么流行匹配以概率$1-o(1)$存在;如果$α< α_*$，那么流行匹配以概率$o(1)$存在，即在$α_*$发生相变。在本文中，我们研究的情况下，人们的偏好列表是严格的，但不完整的相变。我们表明，在每个人都有一个恒定的$k \geq 4$长度的偏好列表的情况下，类似的相变发生在$α_k$，其中$α_k \geq 1$是方程$x e^{-1/2x} = 1-(1-e^{-1/x})^{k-1}$的根。
2019-10-26 cs.DM cs.DS
The Popular Dimension of Matchings
McGill University（麦吉尔大学）
本文在房屋分配、婚姻、室友问题中研究流行匹配的松弛形式，确定不同场景下流行获胜集的最小基数（流行维度），补充了无权重严格偏好下室友问题的流行维度结论。
2026-09-07 cs.DM cs.DS cs.GT
Extending Stable and Popular Matching Algorithms from Bipartite to Arbitrary Instances
Institute of Economics, Centre for Economic and Regional Studies (ELTE KRTK KTI)（匈牙利经济研究所区域经济与研究中心）
本文针对稳定室友等任意图实例，将二部图中的最大弱稳定匹配3/2近似算法及流行匹配算法成功扩展，解决了二十余年的开放问题。
2025-10-04 cs.DM cs.DS cs.GT
Stable-Matching Voronoi Diagrams: Combinatorial Complexity and Algorithms
我们研究了\emph{stable-matching Voronoi diagrams}的算法和组合复杂性界，其中平面中的$n$点的集合$S$确定了$\mathbb{R}^2$中的点和$S$中的点之间的稳定匹配，使得（i）点偏好更靠近它们的点，并且点偏好更靠近它们的点，以及（ii）每个站点具有指示可以与之匹配的点集合的区域的配额或“偏好”。因此，稳定匹配的Voronoi图是对公知的邮局问题的解决方案，其具有增加的（现实的）约束，即每个邮局对其管辖范围的大小具有限制。以前的工作稳定匹配Voronoi图提供了存在性和唯一性的证明，但没有分析其组合或算法的复杂性。本文证明了$n$点的稳定匹配Voronoi图对任何$\varepsilon>0$都有$O(n^{2+\varepsilon})$面和边，并通过给出一族有$Θ(n^2)$面和边的图证明了这个界几乎是紧的.我们还提供了一个离散的算法来构建它在$O(n^3\log n+n^2f(n))$时间在实时RAM模型的计算，其中$f(n)$是运行时的几何图元（我们定义），可以近似数值，但不能，在一般情况下，进行精确的代数计算模型。然而，我们展示了如何精确计算多边形凸距离函数的几何基元。
2020-02-10 cs.CG cs.DS
Finding popular branchings in vertex-weighted digraphs
流行匹配作为稳定匹配的一个宽松概念，近年来得到了广泛的研究。通过将流行匹配的概念应用于有向图中的分支，Kavitha et al.（2020年）推出热门分支机构。在有向图$G=(V_G,E_G)$中，每个顶点都对其引入的边具有优先级。对于$G$中的分支$B_1$和$B_2$，如果$v$更喜欢$B_1$的传入边而不是$B_2$的传入边，则顶点$v\in V_G$更喜欢$B_1$而不是$B_2$，其中具有任意传入边比没有传入边更好，并且如果偏好$B_1$的顶点的数量大于偏好$B_2$的顶点的数量，则$B_1$比$B_2$更受欢迎。如果没有分支比$B$更流行，则分支$B$称为流行分支。Kavitha等人（2020）提出了一种算法，当每个顶点的偏好由严格的偏序给出时，该算法可以找到一个流行的分支。利用加权树形图对偶的经典定理证明了该算法的有效性。在本文中，我们将流行分支推广到顶点加权有向图中的加权流行分支，其方式与Mestre（2014）的加权流行匹配相同。我们给出了一个寻找加权流行分支的算法，它扩展了Kavitha等人的算法，当每个顶点的偏好由一个全预序给出且权值满足一定条件时，我们的算法包括详细的程序所产生的顶点权重，其有效性是通过扩展的参数的对偶加权树形图。
2022-02-24 cs.DM cs.DS math.CO
The popular assignment problem: when cardinality is more important than popularity
本研究针对二分图匹配场景，提出基于LP对偶的多项式时间算法寻找最大流行匹配，还给出非流行度边际受限的近似最优算法，证明相关变体的NP难性并提出带强制/禁止边变体的高效算法，可应用于住房市场。
2023-10-04 cs.DS cs.GT
Popular conjectures imply strong lower bounds for dynamic problems
我们考虑了几个在动态算法中研究得很好的问题，并证明了在其中任何一个问题上取得足够的进展都意味着算法理论中五个主要开放问题之一的突破：1。对于某些$ε>0$，在$O(n^{2-ε})$时间内，$n$数字上的3和问题是否存在？2.对于某个$ε>0$，能否在$O((2-ε)^n poly n)$时间内确定CNF公式对$n$变量的可满足性？3. $n$顶点上的图的所有对最短路问题对于某些$ε>0$是在$O(n^{3-ε})$时间内的吗？4.有没有一种线性时间算法可以检测给定的图是否包含三角形？5.有没有$n\times n$布尔矩阵乘法的$O(n^{3-ε})$时间组合算法？我们考虑的问题包括动态版本的二分完美匹配，二分最大权重匹配，单源可达性，单源最短路径，强连通性，子图连通性，直径近似和一些非图问题，如Pagh的问题定义在最近的一篇论文中由Patrascu [STOC 2010]。
2014-02-01 cs.CC cs.DS
Improved approximation for Fréchet distance on c-packed curves matching conditional lower bounds
Fréchet距离是一个研究得很好的，非常流行的两条曲线相似性的度量。最著名的算法具有二次时间复杂度，最近已被证明是最佳假设强指数时间假设（SETH）[Bringmann FOCS'14]。为了克服最坏情况下的二次时间障碍，已经研究了限制类的曲线，试图捕捉现实的输入曲线。最流行的这类曲线是c-填充曲线，Fréchet距离在时间上具有$(1+ε)$ -近似值$\tilde{O}(c n /ε)$ [Driemel et al. DCG'12]。在$d \ge 5$维度中，对于任何$δ> 0$，这不能改进为$O((cn/\sqrtε)^{1-δ})$，除非SETH失败[Bringmann FOCS'14]。在本文中，利用属性，防止更强的下限，我们提出了一个改进的算法与运行时$\tilde{O}(cn/\sqrtε)$。这是最佳的高维度，除了低阶因素，除非SETH失败。我们的主要新成分如下：为了填充经典的自由空间图，我们将短的子曲线投影到一条线上，这会产生一维分离曲线，顶点之间的成对距离大致相同。然后，我们处理这种特殊情况下，在近线性时间仔细扩展的贪心算法的Fréchet距离的一维分离曲线。
2014-08-06 cs.CG cs.DS
