Bicriteria Approximation Algorithms for the Submodular Cover Problem
针对一般、单调及正则化子模覆盖问题，本文提出可扩展且近似保证优良的新算法，并通过数据摘要与图割实验验证其有效性。
2023-09-25 cs.DS
Why we couldn't prove SETH hardness of the Closest Vector Problem for even norms!
本文揭示了证明偶数范数下最近向量问题（CVP）和最短向量问题（SVP）SETH硬度存在的障碍，证明了此类高效归约将导致coNP包含于NP/Poly，首次展示了格问题在不同范数下的分离。
2023-11-25 cs.CC cs.CR cs.DS
On Problems as Hard as CNFSAT
在过去的十年中，NP难问题的精确指数时间算法领域蓬勃发展。虽然穷举搜索仍然是一些基本问题的最快算法，但对于无数问题，包括图着色，Hamilton路，支配集和3-CNF-Sat，已经发现了困难的和非平凡的指数时间算法。在某些情况下，进一步改进这些算法似乎遥不可及。CNF-Sat问题是一个典型的例子，对于这个问题，平凡穷举搜索算法在时间上运行O（2^n），其中n是输入公式中变量的数量。虽然存在CNF-Sat的非平凡算法在时间上运行o（2^n），但没有算法能够将增长率2提高到更小的常数，因此很自然地推测2是最佳增长率。Impagliazzo和Paturi [JCSS 2001]的强指数时间假设（SETH）更进一步，并断言，对于每个<1，存在一个（大）整数k，使得k-CNF-Sat不能在时间2^{n}中计算。在本文中，我们证明了，对于任何n < 1，问题击中集，集分裂，和NAE-Sat不能在时间O（2^{n}）计算，除非SETH失败。这里n是输入中元素或变量的数量。对于这些问题，我们实际上得到了某种意义上与SETH的等价。我们猜想，SETH意味着一个类似的声明集覆盖，并证明，在此假设下，最快的已知算法的Steinter树，连接顶点覆盖，集划分，和伪多项式时间算法的子集和不能显着改善。最后，我们证明了我们关于集合覆盖的硬度的假设，通过证明对于任何<1的集合覆盖数的奇偶性不能在O（2^{n}）…
2014-03-27 cs.CC cs.DM cs.DS
Subset Sum in Almost-Linear Time
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Stanford University（斯坦福大学）
该研究提出一种确定性算法，将子集和问题的时间复杂度改进为O(n+Δ^(1+o(1)))，基于子集和逆定理与多面体近似的商变体，在SETH假设下实现了对Δ的几乎紧依赖。
2026-10-16 cs.DS
Which NP-Hard SAT and CSP Problems Admit Exponentially Improved Algorithms?
本文研究了在变量否定下闭的潜在无限语言$Γ$（符号对称语言）的SAT（$Γ$）问题的复杂性。通过代数连接，这减少到$Γ$的受限部分多态性的研究，我们称之为\emph{pSDI-operations}（部分，自对偶和幂等）。首先，我们学习语言课程本身。我们对限制性最小的pSDI-操作的结构进行了分类，对应于最强大的语言$Γ$，并发现这些操作可以分为\emph{levels}，对应于粗略的难度概念;在每一个层次中都有一个最强的操作（部分$k$ -NU操作，保留$(k-1)$ -SAT）和最弱操作（$k$ -通用操作$u_k$，保留可通过有界次数多项式定义的问题）。我们发现，每一个符号对称的$Γ$不保留$u_k$实现所有$k$ -条款，因此，如果$Γ$不保留$u_k$的任何$k$，那么SAT（$Γ$）是平凡的SETH-硬，不能解决速度比$O^*(2^n)$，除非SETH失败。其次，我们研究了此类语言的SAT（$Γ$）的上界和下界。我们发现，在层次结构中的几个类对应的问题，可以解决的速度比$2^n$使用以前已知的算法策略，如子集和式满足在中间和快速矩阵乘法。此外，如果向日葵猜想对于具有k个集合的向日葵成立，则部分k-NU语言具有通过局部搜索的改进算法。补充这一点，我们表明，对于每一类有一个具体的下限$c$，这样SAT（$Γ$）不能解决的速度比$O^*(c^n)$的类中的所有问题，除非SET…
2018-01-29 cs.DS
Optimal dynamic program for r-domination problems over tree decompositions
在强指数时间假设（SETH）下，求解NP难问题的动态规划算法对树宽的指数依赖性是最优的。我们将这项工作扩展到$r$ -支配问题。在$r$ -支配集，人们希望找到一个顶点的最小子集$S$，使得$G$的每个顶点都在$S$中某个顶点的$r$跳数内.在连通$r$ -支配集中，还要求该集导出$G$的连通子图.给出了树宽$\mathrm{tw}$的$n$ -顶点图中$r$ -支配集的$O((2r+1)^{\mathrm{tw}} n)$时间算法和连通$r$ -支配集的$O((2r+2)^{\mathrm{tw}} n^{O(1)})$时间算法.我们表明，$r$和$\mathrm{tw}$的运行时间依赖性是最好的SETH下。这增加了先前的观察结果，即连接性约束需要分母中的“+1”。
2015-02-03 cs.DS
Degrees and Gaps: Tight Complexity Results of General Factor Problems Parameterized by Treewidth and Cutwidth
对于一般因子问题，我们给出了一个无向图$G$和每个顶点$v\in V(G)$的非负整数的有限集$B_v$。任务是决定是否存在子集$S\subseteq E(G)$，使得对于$G$的所有顶点$v$，$deg_S(v)\in B_v$。有限整数集合$B$的maxgap是最大的$d\ge 0$，使得存在具有$[a,a+d+1]\cap B=\{a,a+d+1\}$的$a\ge 0$。Cornuéjols（1988）证明了如果所有集合$B_v$的最大间隙至多为1，则一般因子的决策版本是多时间可解的。Dudycz和Paluch（2018）将这一结果扩展到最小化和最大化版本。使用van Rooij（2020）的卷积技术，我们改进了Arulselvan等人（2018）的先前算法，并提出了一种计算时间$O^*((M+1)^k)$中一定大小的解的数量的算法，给定宽度$k$的树分解，其中$M=\max_v \max B_v$。我们证明，该算法本质上是最优的所有情况下，不是多项式时间可解的决策，最小化或最大化版本。我们证明，这样的改进是不可能的，即使是$B$ -因子，这是一般的因素图，所有集$B_v$同意与固定集$B$。我们发现，对于每个固定的$B$的问题是NP-困难的，我们的新算法不能显着改善：假设强指数时间假设（SETH），没有算法可以解决$B$ -因子在时间$O^*((\max B+1-ε)^k)…
2021-05-19 cs.CC cs.DS
Which Regular Expression Patterns are Hard to Match?
正则表达式构成了形式语言理论中的一个基本概念，并且经常在计算机科学中用于定义搜索模式。这些问题的经典算法构造并模拟与表达式对应的非确定性有限自动机，从而产生$O(mn)$运行时间（其中$m$是模式的长度，$n$是文本的长度）。这个运行时间可以稍微改善（通过多对数因子），但没有明显更快的解决方案。与此同时，更快的算法存在的各种特殊情况下的正则表达式，包括字典匹配，字典匹配，子集匹配，断字问题等，在本文中，我们表明，正则表达式匹配的复杂性可以根据其{ \em深度}（当解释为一个公式）。我们的结果适用于表达式，涉及串联，或，Kleene星和Kleene加。对于深度为2的正则表达式（涉及上述运算符的任何组合），我们展示了以下二分法：匹配和成员资格测试可以在近线性时间内解决，除了“星的串联”，假设强指数时间假设（SETH），它不能在强次二次时间内解决。对于深度为3的正则表达式，情况要复杂得多。然而，我们表明，所有的问题都可以解决在强次二次时间，或不能解决在强次二次时间假设SETH。成员测试的一个有趣的特殊情况涉及“串联OR的星形”形式的正则表达式，例如，$[a|ab|bc]^*$。这对应于所谓的{ \em断字}问题，对于该问题，已知具有（大致）$O(n\sqrt{m})$的运行时间的动态规划算法。我们发现，后者的界限是不紧，并提高运行时间$O(nm^{0.44\ldots})$。
2016-09-26 cs.CC cs.DS
Tight Approximation Algorithms for Bichromatic Graph Diameter and Related Problems
一些最基本和研究最充分的图形参数是直径（最大的最短路径距离）和半径（“中心”节点可以到达所有其他节点的最小距离）。自然和重要的$ST$ -变体考虑顶点集的两个子集$S$和$T$，并且让$ST$ -直径是$S$中的节点和$T$中的节点之间的最大距离，并且$ST$ -半径是$S$的节点到达$T$的所有节点的最小距离。双色变体是其中$S$和$T$划分顶点集的特殊情况。在本文中，我们提出了一个全面的研究的逼近$ST$和双色直径，半径和偏心率，和变种，在图的方向和重量和没有。我们给出了这些问题的第一个非平凡的近似算法，包括时间/精度权衡的上限和下限。我们发现，几乎所有我们得到的界限是紧的强指数时间假设（SETH），或相关的命中集假设。以$m$边的无向赋权图的双色直径为例，提出了一种$\tilde{O}(m^{3/2})$时间$5/3$ -近似算法，并证明了在SETH下，在保持近似因子和运行时间不变的情况下，无论是运行时间还是近似因子都不能得到显著的提高.
2019-04-25 cs.DS
Certificate-Sensitive Subset Sum: Realizing Instance Complexity
本文针对子和问题提出首个运行时间随证书大小U变化的确定性算法，并结合双重中间相遇与受控混叠技术首次实现对所有足够大n的无条件确定性改进，突破经典O*(2^(n/2))上界。
2025-08-28 cs.CC cs.DS
Speedup in the Traveling Repairman Problem with Unit Time Windows
无根旅行修理工问题的输入是一个无向度量图和一个节点子集，每个节点都有一个单位长度的时间窗口。考虑到修理工可以从任何位置开始，目标是规划一条路线，在各自的时间窗口内访问尽可能多的节点。提出了一种多项式时间的双准则近似算法，提高了修理工的访问率，加快了修理工的运动。为了加速$s$，我们在范围$1 \leq s \leq 2$中找到了$s$的$6γ/(s + 1)$ -近似，并在范围$2 \leq s \leq 4$中找到了$s$的$4γ/s$ -近似，其中$γ= 1$在树形网络上，而$γ= 2 + ε$在一般度量图上。
2009-07-30 cs.DS
Dynamic Subset Sum with Truly Sublinear Processing Time
子集和问题是理论计算机科学中一个非常古老的基本问题。在这个问题中，$n$项目的权重$w_1, w_2, w_3, \ldots, w_n$作为输入，目标是找出是否有一个子集，他们的权重总和为一个给定的值$t$。该问题一般是NP难的，但当值为非负整数时，子集和可在伪多项式时间$~\widetilde O(n+t)$内求解。在这项工作中，我们考虑的动态变化的子集和。在该设置中，预先向算法提供上限$\tmax$，并且在每个操作中，或者向问题添加新项，或者对于给定的整数值$t \leq \tmax$，要求算法输出是否存在权重之和等于$t$的项的子集。不幸的是，没有一个现有的子集和算法能够处理这些操作在真正的次线性时间\footnote{Truly sublinear means $n^{1-Ω(1)}$.}方面的$\tmax$。我们的主要贡献是一个算法的摊销处理时间\footnote{Since the runtimes are amortized, we do not use separate terms update time and query time for different operations and use processing time for all types of operations.}为每个操作是真正的次线性$\tmax$时，操作的数量至少是$\tmax^{2…
2022-09-11 cs.DS
Efficient approximation schemes for uniform-cost clustering problems in planar graphs
我们考虑$k$ -中位数问题的平面图：给定一个边加权平面图$G$，一组客户端$C \subseteq V(G)$，一组设施$F \subseteq V(G)$，和一个整数参数$k$，任务是找到一组至多$k$设施的开放最小化客户端的总连接成本，其中每个客户端有助于成本与距离最近的开放设施。我们给出了两个新的近似方案：FPT近似方案：对于任何$ε>0$，在时间$2^{O(kε^{-3}\log (kε^{-1}))}\cdot n^{O(1)}$，我们可以计算出一个解决方案，（1）有连接成本最多$(1+ε)$倍的最佳，以高概率。--有效双准则近似方案：对于任何$ε>0$，在时间$2^{O(ε^{-5}\log (ε^{-1}))}\cdot n^{O(1)}$上，我们可以计算一组至多$(1+ε)k$设施（2），其打开产生的连接成本至多是$(1+ε)$乘以打开大多数$k$设施的最佳连接成本，具有高概率。作为第二个结果的直接推论，我们得到了一个EPTAS的均匀设施位置的平面图，具有相同的运行时间。我们的主要技术工具是一个新的建设的“coreset设施”$k$ -中位数在平面图：我们表明，在多项式时间可以计算一个子集的设施$F_0\subseteq F$的大小$k\cdot (\log n/ε)^{O(ε^{-3})}$的保证，有一个$(1+ε)$ -近似的解决方案包含在$F_0$。
2019-05-02 cs.DS
Approximating Partition in Near-Linear Time
本文为经典划分问题提出了近线性时间的最优FPTAS，通过弱近似子集和问题将时间复杂度改进到$\widetilde{O}(n+1/\eps)$，在SETH假设下达到最优。
2024-04-06 cs.DS
Subset Sum in Near-Linear Pseudopolynomial Time and Polynomial Space
针对子集和问题，提出近线性时间且多项式空间的随机算法，并给出多项式空间确定性算法，显著降低空间开销。
2025-10-25 cs.CC cs.DS
Degree Balance as a Fine-Grained Complexity Boundary for Quantum SAT
Nagoya University（名古屋大学）；Paderborn University（帕德博恩大学）；University of Hyogo（兵库大学）
本研究在无挫折和近似正则假设下，为局部哈密顿量问题提出指数加速的经典与量子算法，并证明量子5-SAT在(Q)SETH下无最坏情况加速，确立了度平衡作为细粒度复杂性边界。
2026-09-30 cs.CC cs.DS quant-ph
Approximating Partition in Deterministic Near-Linear Time
Zhejiang University（浙江大学）
提出确定性近线性时间FPTAS求解划分问题，在SETH假设下达到最优，通过弱近似子集和实现。
2026-09-24 cs.DS
Algorithms and Hardness for Linear Algebra on Geometric Graphs
Harvard University（哈佛大学）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of Washington（华盛顿大学）；Columbia University（哥伦比亚大学）；Princeton University（普林斯顿大学）；Institute for Advanced Study（高等研究院）
对于函数$\mathsf{K} : \mathbb{R}^{d} \times \mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$和$n$点的集合$P = \{ x_1, \ldots, x_n\} \subset \mathbb{R}^d$，$P$的$\mathsf{K}$图$G_P$是$n$节点上的完全图，其中节点$i$和$j$之间的权重由$\mathsf{K}(x_i, x_j)$给出。在本文中，我们开始研究时，有效的谱图理论是可能的这些图。我们研究当$n^{1+o(1)}$：$\bullet$将给定向量乘以$G_P$的邻接矩阵或拉普拉斯矩阵$\bullet$找到$G_P$的谱稀疏因子$\bullet$求解$G_P$的拉普拉斯矩阵中的拉普拉斯系统对于这些问题中的每一个，我们考虑函数$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$的形式为$\mathsf{K}(u,v) = f(\|u-v\|_2^2)$的所有函数。我们为许多这样的$\mathsf{K}$提供算法和可比的硬度结果，包括高斯内核，神经正切内核等。例如，在尺寸$d = Ω(\log n)$，我们表明，有一个参数与功能$f$低参数值意味着$n^{1+o(1)}$时间算法的所有三个这些问题和高参数值意味着不存在次二次时间算法假设强指数时间假设（$\mathsf{SE…
2020-11-04 cs.CC cs.DS cs.LG
Tight (S)ETH-based Lower Bounds for Pseudopolynomial Algorithms for Bin Packing and Multi-Machine Scheduling
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Saarland University（萨尔兰大学）；Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克计算机科学研究所）
本文基于ETH和SETH证明了Bin Packing和多机调度问题的紧下界，反驳了多项式时间算法的可能性，并改进了参数化复杂性中的许多应用下界。
2026-03-13 cs.DS
Finding Densest $k$-Connected Subgraphs
稠密子图发现是一种重要的图挖掘算法，具有广泛的应用前景。密集子图发现的最好研究的优化问题之一是密集子图问题，其中给定边加权无向图$G=(V,E,w)$，我们被要求找到使密度$d(S)$最大化的$S\subseteq V$，即，导出子图$G[S]$的加权平均度的一半。该问题可以在多项式时间内精确求解，在几乎线性时间内近似求解。然而，一个denominant子图有一个结构上的缺陷，即，子图可能不是鲁棒的顶点/边故障。事实上，一个稠密的子图可能不是良好连接的，这意味着子图可能是不连续的，只删除几个顶点/边在it. In本文中，我们提供了一个算法框架，找到一个稠密的子图，是良好连接的顶点/边连接。具体地说，我们引入了以下问题：给定一个图$G=(V,E,w)$和一个正整数/实$k$，我们被要求在$G[S]$是$k$ -顶点/边连通的约束下，找到最大化密度$d(S)$的$S\subseteq V$.对于这两个问题，我们提出了多项式时间（双准则和普通）近似算法，使用经典的马德尔定理在图论及其扩展。
2020-07-03 cs.DM cs.DS cs.SI
Counting list homomorphisms from graphs of bounded treewidth: tight complexity bounds
这项工作的目标是给出精确的计数复杂性的一个家庭的广义着色问题（列表同态）有界树宽图。给定图$G$、$H$和每个$v\in V(G)$的列表$L(v)\subseteq V(H)$，{ \em列表同态}是保留边的函数$f:V(G)\to V(H)$（即，$uv\in E(G)$意味着$f(u)f(v)\in E(H)$）并遵守列表（即，$f(v)\in L(v))$。标准技术表明，如果$G$是用宽度为$t$的树分解给出的，则列表同态的数量可以在时间上计数$|V(H)|^t\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$。我们的主要结果是确定，对于每一个固定的图$H$，有多少基本$|V(H)|$在运行时间可以提高。对于一个连通图$H$，我们定义$\operatorname{irr}(H)$如下：如果$H$有一个循环或者是非二分的，那么$\operatorname{irr}(H)$是一个集合$S\subseteq V(H)$的最大尺寸，其中任何两个顶点有不同的邻域;如果$H$是二分的，那么$\operatorname{irr}(H)$是这样一个集合的最大尺寸，它完全在一个二分类中。对于不连通的$H$，我们定义$\operatorname{irr}(H)$为$H$的每个连通分量$C$上的$\operatorname{irr}(C)$的最大值。我们发现，对于每个固定的图$H$，列表同态从$…
2021-10-29 cs.CC cs.DS
Coarse-Grained Complexity for Dynamic Algorithms
本文开创动态算法的粗粒度复杂性理论，研究若动态OV问题在单元探针模型中易解，将导致多个重要动态问题获得多对数时间算法，并探讨通过动态OV归约证明下界。
2023-07-26 cs.CC cs.DS
Anti-Factor is FPT Parameterized by Treewidth and List Size (but Counting is Hard)
在一般的反因子问题中，给定一个图$G$，它的每个顶点$v$都有一个禁止度集$X_v\subseteq \mathbb{N}$，任务是找到一个边集$S$，使得$S$中的$v$的度不在集$X_v$中.标准技术（动态编程+快速卷积）可以用来表明，如果$M$是最大的禁止度，那么如果给出宽度$k$的树分解，则可以在时间$(M+2)^k\cdot n^{O(1)}$中解决问题。然而，如果集合$X_v$是稀疏的，则可能有更快的算法：我们的主要算法结果表明，如果每个顶点最多有$x$禁止度（我们称这种特殊情况为AntiFactor $_x$），则问题可以在时间上解决$(x+1)^{O(k)}\cdot n^{O(1)}$。也就是说，反因子$_x$是由树宽$k$和排除度的最大数目$x$参数化的固定参数易处理的。我们的算法使用的技术代表集，可以推广到优化版本，但（如预期的那样）不计数版本的问题。事实上，我们证明了#AntiFactor $_1$已经是#W[1]-hard参数化的给定分解的宽度。此外，我们表明，与决策版本，标准的动态规划算法基本上是最佳的计数版本。形式上，对于一个固定的非空集$X$，我们用$X$ -AntiFactor表示特殊情况，其中每个顶点$v$具有相同的禁止度集$X_v=X$。对于每个固定集合$X$，我们给出了以下下界：如果存在一个$ε>0$，使得# $X$ -AntiFactor可…
2023-02-07 cs.CC cs.DS
Conditional Lower Bounds for All-Pairs Max-Flow
我们提供的证据表明，计算$n$节点、$m$边和$[1..n]$范围内的容量上的有向图中的每对节点之间的最大流值，我们称之为全对最大流问题，不能在明显更快的时间内解决（即，由多项式因子）比$O(n^3)$，即使对于稀疏图。由于单个最大$st$ -流可以在时间$\tilde{O}(m\sqrt{n})$中求解[Lee和Sidford，FOCS 2014]，因此我们得出结论，所有对版本可能需要与最大$st$ -流的$\tildeΩ(n^{3/2})$计算等效的时间，这将有向情况与无向情况强烈分离。此外，如果最大$st$ -流可以在时间$\tilde{O}(m)$中求解，则需要$\tildeΩ(n^2)$计算的运行时间。后者否定了Lacki、Nussbaum、Sankowski和Wulf-Nilsen [FOCS 2012]的一个猜想。具体地说，我们表明，在稀疏图$G=(V,E,w)$，如果可以计算的最大$st$ -流量从每个$s$在一个输入的源$S\subseteq V$集的每个$t$在一个输入的汇$T\subseteq V$在时间$O((|S| |T| m)^{1-ε})$，对于一些$|S|$，$|T|$，和一个常数$ε>0$，然后MAX-CNF-SAT与$n'$变量和$m'$条款可以解决在时间${m'}^{O(1)}2^{(1-δ)n'}$为常数$δ(ε)>0$，甚至$2^{n'}/…
2022-11-21 cs.DS
Faster algorithms for k-Orthogonal Vectors in low dimension
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Saarland University（萨尔兰大学）；Max Planck Institute for Informatics（马克斯·普朗克计算机科学研究所）；Université Paris Dauphine（巴黎第九大学）
针对k-正交向量问题，提出随机化组合算法，将时间复杂度从O(1.35^d n)降至O(1.25^d n)，并通过计算机辅助评估改进至O(1.16^d n)，同时证明对任意固定k≥2存在ε_k>0使得O(2^{(1-ε_k)d} n)时间算法，且该结果渐近最优。
2026-06-03 cs.DS
Nearly Optimal Strong Coresets for $\ell_p$ Subspace Approximation
Google Research（谷歌研究院）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
该研究针对$\u2113_p$子空间逼近强核心集问题，分别在1≤p<2和p>2两种情形下通过不同技术改进了核心集大小的ε依赖界至ε⁻²量级，且算法运行效率较高，部分结果接近采样下界。
2026-08-28 cs.DS
