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临界非线性薛定谔方程的修正散射

Modified scattering for the critical nonlinear Schrödinger equation

Thierry Cazenave, Ivan Naumkin

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摘要：

本文考虑了非线性薛定谔方程$iu_t + Δu= λ|u|^{\frac {2} {N}} u $在所有维$N\ge 1$中的解，其中$λ\in {\mathbb C}$和$\Im λ\le 0$ .我们构造了一类初始值，其相应的解是全局的，并衰减为$t\to \infty $，如果$\Im λ=0$，则像$t^{- \frac {N} {2}}$，如果$\Im λ<0$，则像$(t \log t)^{- \frac {N} {2}}$。此外，我们给出了这些解的一个渐近展开式$t\to \infty $ .我们构造不消失的解，以避免与$u=0$的非线性缺乏规律性相关的任何问题。为了研究渐近行为，我们应用伪共形变换和估计的解决方案，允许一定的增长的Sobolev规范，这取决于通过级联的指数的正则性的顺序。

英文摘要：

We consider the nonlinear Schrödinger equation $iu_t + Δu= λ|u|^{\frac {2} {N}} u $ in all dimensions $N\ge 1$, where $λ\in {\mathbb C}$ and $\Im λ\le 0$. We construct a class of initial values for which the corresponding solution is global and decays as $t\to \infty $, like $t^{- \frac {N} {2}}$ if $\Im λ=0$ and like $(t \log t)^{- \frac {N} {2}}$ if $\Im λ<0$. Moreover, we give an asymptotic expansion of those solutions as $t\to \infty $. We construct solutions that do not vanish, so as to avoid any issue related to the lack of regularity of the nonlinearity at $u=0$. To study the asymptotic behavior, we apply the pseudo-conformal transformation and estimate the solutions by allowing a certain growth of the Sobolev norms which depends on the order of regularity through a cascade of exponents.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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