Vanishing of $\ell^2$-Betti numbers of locally compact groups as an invariant of coarse equivalence
Roman Sauer, Michael Schrödl
本文证明了么模局部紧第二可数群的$\ell^2$ -贝蒂数的消失是粗等价不变量。
We provide a proof that the vanishing of $\ell^2$-Betti numbers of unimodular locally compact second countable groups is an invariant of coarse equivalence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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$\ell^2$-Betti numbers of random rooted simplicial complexes
本文通过在有根单纯复形空间上引入幺模测度及链复形与迹函数，定义了随机有根单纯复形的$\ell^2$-Betti数，并证明其在Benjamini-Schramm收敛下具有连续性。
Normal generation and $\ell^2$-betti numbers of groups
群的\emph{normal rank}是其正规闭包与群重合的元素的最小数目。研究了群的正规秩与其第一个$\ell^2$ - Betti数之间的关系，并猜想对于无挠群，不等式$β_1^{(2)}(G)$不超过正规秩负1.证明了左可序顺从群极限的猜想。另一方面，对于每个$n\ge 2$和每个$\e>0$，我们给出一个简单群$Q$（具有挠）的例子，使得$β_1^{(2)}(Q) \geq n-1-ε$。这些群也提供了每个$n\ge 2$的秩恰好为$n$的简单群的例子;直到现在还不知道$n> 3$存在这样的例子。
On the homology growth and the $\ell^2$-Betti numbers of $\mathrm{Out}(W_n)$
令$n\ge 3$，并且令$\mathrm{Out}(W_n)$是秩为$n$的自由Coxeter群$W_n$的外自同构群。研究了$\mathrm{Out}(W_n)$的有限指数子群的同调群（系数在任意域$\mathbb{K}$中）的维数沿Farber序列的增长.我们表明，在所有程度上$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1$，这些贝蒂数增长次线性指数的子群。当$\mathbb{K}=\mathbb{Q}$，通过Lück的近似定理，这意味着所有$\mathrm{Out}(W_n)$的$\ell^2$ -贝蒂数都为零，直到次数$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1$。相反，在顶维等于$n-2$的情况下，Gaboriau和Noirs的论证意味着$\ell^2$ - Betti数不为零。我们还证明了积分同调的挠增长是次线性的。我们的证明这些结果依赖于最近的方法介绍了Abért，Bergeron，Frenchczyk和Gaboriau。一个关键的成分是表明，一个版本的复杂的部分基地的$W_n$有同伦类型的一束领域的尺寸$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor-1$。
Asymptotic growth of Betti numbers of ordered configuration spaces on an elliptic curve
构造了一个计算有序位形空间在欧拉示性数为零的代数簇上的上同调的dga。由此可见，$Conf(C,n)$（$C$是椭圆曲线）的第$k$个Betti数作为次数恰好为$2k-2$的多项式增长。我们还计算了$k \leq 5$和任意$n$的$H^k(Conf(C,n))$。
Geometric formality of rationally elliptic manifolds in small dimensions
本文从有理上同调结构的角度对五维单连通有理椭圆流形和具有小贝蒂数的六维单连通有理椭圆流形进行了分类。证明了第二贝蒂数为2的几何形式有理椭圆六维流形是有理上同调的$S^2\times {\mathbb C}P^2$ .考虑了第二个贝蒂数为3的六维单连通双商的无限族，证明了该族的双商都不是几何形式的.
Bounding the Betti numbers and computing the Euler-Poincaré characteristic of semi-algebraic sets defined by partly quadratic systems of polynomials
设$\R$是实闭域，$ {\mathcal Q} \subset \R[Y_1,...,Y_\ell,X_1,...,X_k], $有$ °_{Y}(Q) \leq 2, °_{X}(Q) \leq d, Q \in {\mathcal Q}, #({\mathcal Q})=m,$，$ {\mathcal P} \subset \R[X_1,...,X_k] $有$°_{X}(P) \leq d, P \in {\mathcal P}, #({\mathcal P})=s$，$S \subset \R^{\ell+k}$是由布尔公式定义的半代数集，无否定，有原子$P=0, P \geq 0, P \leq 0, P \in {\mathcal P} \cup {\mathcal Q}$ .证明了$S$的贝蒂数之和是由\[ \ell^2 (O(s+\ell+m)\ell d)^{k+2m}. \]有界的。这是以前关于分别由$d$和2次多项式定义的闭半代数集的贝蒂数的有界结果的一般推广。我们还描述了一个算法，用于计算欧拉-庞加莱特性的这样的集合，推广类似的算法之前已知的。该算法的复杂度以$(\ell s m d)^{O(m(m+k))}$为界。
Betti and Hodge numbers of configuration spaces of a punctured elliptic curve from its zeta functions
给定定义在$\mathbb{C}$上的椭圆曲线$E$，设$E^{\times}$是通过去除点而获得的$E$的开子集。本文证明了$E^{\times}$上$n$点的无序位形空间$\mathrm{Conf}^{n}(E^{\times})$的$i$阶Betti数表现为二元显式有理函数的系数.我们还计算其霍奇数的系数的另一个显式的有理函数的四个变量。我们的结果是有趣的，因为这些有理函数类似于$\mathrm{Conf}^{n}(E^{\times})$的$\mathbb{F}_{q}$ -点计数的生成函数，它可以从有限域$\mathbb{F}_{q}$上的$E$的zeta函数得到。证明了复系数$i$阶奇异上同调群$H^{i}(\mathrm{Conf}^{n}(E^{\times}))$的混合Hodge结构是纯权$w(i)$的，本文给出了一个显式整数.这个纯度陈述包含了我们关于Betti数和Hodge数的主要结果。我们的证明使用Totaro的频谱序列计算，描述了$H^{i}(\mathrm{Conf}^{n}(E^{\times}))$上的混合霍奇结构的权重过滤。
On sums of Betti numbers of affine varieties
本文证明由次数至多d的多项式定义的仿射N空间子簇的ℓ-adic贝蒂数之和有界，并回答了Katz的问题。
Central Limit Theorems for Persistent Betti Numbers
本文提出基于同调代数的方法，为泊松和吉布斯点过程构造的链复形推导持久Betti数的中心极限定理，并应用于多种同调情形。
Espaces de configuration généralisés. Espaces topologiques $i$-acycliques. Suites spectrales "basiques"
与拓扑空间$X$相关联的广义（有序）位形空间是空间$Δ_{\leq\ell}X^{m}:=\{(x_1,\ldots,x_{m})\in X^{m}\mid\#\{x_1,\ldots,x_{m}\}\leq \ell\}$和$Δ_{\ell}X^{m}:=Δ_{\leq\ell}X^{m}\setminus Δ_{\leq\ell-1}$。他们配备了对称群$S_m$置换坐标的行动。当$X$没有内部上同调（即是$i$ -无环的），我们能够明确计算$S_m$作用于这些空间的上同调的特征公式，如果$X$是一个连通的和定向的维数为$\geq2$的伪流形，我们将Church的表示稳定性定理推广到家族$\{Δ_{\leq m-a}X^m\}_m$和$\{Δ_{\ell-a}X^m\}_m$的情况。我们发现，对于固定的$a,i\in\mathbb N$，家庭的代表$\{ S_m: H ^{i}(Δ_{?m-a}X^{m})\}_{m}$是单调和固定的$m\geq4i+4a$，如果$d_{X}=2$，和$m\geq2i+4a$，如果$d_{X}\geq3$。相应的字符族和贝蒂数是多项式，整数族$\{\mathop{\rm Betti}_{i}({Δ_{?m-a}X^{m} / S_m})\}_{m}$在同一整数范围内是常数。我们进一步表明，家庭$\{\mathop{\rm Betti}_{i}(…
Coarse fundamental groups and box spaces
我们使用一个粗糙的版本的基本组首先介绍了由Killo，克莱默，Laubenbacher和韦弗表明，盒空间的Killo提出的群体检测正常的子群用于构建盒空间，同构。因此，我们有两个群允许粗等价的盒空间当且仅当它们通过正规子群是可交换的。我们还提供了一个例子，两个过滤$(N_i)$和$(M_i)$的自由群$F$，使$M_i>N_i$的所有$i$与$[M_i:N_i]$一致有界，但与$\Box_{(N_i)}F$不粗略等价于$\Box_{(M_i)}F$。最后，给出了秩梯度和第一$\ell^2$ Betti数的主要定理的一些应用，并证明了主要定理可用于构造无限多个具有各种性质的盒空间的粗等价类.
On Projections of Semi-algebraic Sets Defined by Few Quadratic Inequalities
令$S \subset \R^{k + m}$是由次数最多为2的$S \subset \R^{k + m}$多项式不等式系统定义的紧致半代数集。$ Let $ π $ denote the standard projection from $ \R^{k + m} $ onto $ \R^m $. We prove that for any $ q >0 $, the sum of the first $ q $ Betti numbers of $ π（S）$ is bounded by $（k + m）^{O（q \ell）}. $ We also present an algorithm for computing the the first $ q $ Betti numbers of $ π（S）$, whose complexity is $（k+m）^{2^{O（q \ell）}}。$ For fixed $ q $ and $ \ell $, both the bounds are polynomial in $ k+m$。
Curvature, diameter and bounded Betti numbers
本文研究有界Betti数，利用Kapovitch与Wilking证明的广义Margulis引理，为闭黎曼流形有界Betti数的有界性定理提供现代支撑，并探讨相关拓扑意义。
BNSR invariants and $\ell^2$-homology
本研究在适当有限性条件下证明群的n次ℓ²-Betti数非零时其n次Q上BNSR不变量为空，将结果应用于非球面Kähler流形问题、Singer猜想验证及多自由群与多曲面群的BNSR不变量计算。
Holes in planar parallel sets: An integrated Betti-number bound and its pointwise failure
本文证明平面紧集平行集空洞数的积分贝蒂数界，并构造反例说明固定半径下该界失效，为 Wiener 香肠持续同态极限定理提供确定性基础。
Rigidity of elliptic genera: from number theory to geometry and back
本文给出了椭圆亏格刚性的拓扑和数论结果，椭圆亏格是紧殆复流形的特殊模形式。特别是，在几何方面，我们证明了刚性意味着贝蒂数和指数之间的关系的一个紧凑的辛流形的尺寸$2n$承认一个Hamilton行动的一个圆圈孤立的不动点。我们调查的情况下，最大指数和复曲面行动。在数论方面，我们证明了从每个指数大于1的紧致殆复流形中，可以赋予一个具有孤立不动点的圆的作用，可以导出Eisenstein级数之间的非平凡关系.我们从$\mathbb{C} P^n$的标准作用给出了明确的公式。
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