Tilings of Flat Tori by Congruent Hexagons
本文在所有顶点度数为3的条件下，分类三类一般六边形及两种特殊情形的平面铺砌，并据此刻画平坦环面的六边形铺砌与模空间。
2024-05-08 math.CO
A Tiling Proof of Binomial Identities related to the Lucas cube
利用Lagarias和Shor构造的$\mathbb{R}^n$的立方体平铺，给出了与Lucas立方体有关的三个著名的二项式恒等式的平铺证明.
2014-02-27 math.CO
Domino tilings of three-dimensional cylinders: regularity of hamiltonian disks
研究了三维柱体多米诺平铺中圆盘的正则性，证明了具有狭窄小瓶颈的哈密顿圆盘是正则的，且无瓶颈即意味着正则性。
2025-01-31 math.CO
Rhombus Tilings of a Hexagon with Three Fixed Border Tiles
我们计算一个六边形的菱形镶嵌的数量，该六边形的边为$a+2,b+2,c+2,a+2,b+2,c+2$，有三个固定的瓷砖接触边界。特殊情况$a=b=c$解决了Propp提出的问题。我们的结果也可以看作是具有$a+2$行和$b+2$列的平面分区的枚举，具有最大的条目$\le c+2$，在第一行具有给定数目的条目$c+2$，在最后一列具有给定数目的条目0，以及给定的左下条目。
1998-09-08 math.CO
Moduli Spaces of Pentagonal Subdivision Tilings
本文研究了五边形细分产生的三类球面全等五边形铺砌，每类构成二维模空间，并对其进行了详细描述。
2024-04-17 math.CO
Building with Blocks: Enumerating Polyforms on Tilings
Redwire Europe（Redwire欧洲）；Department of Mathematics and Statistics, Cal Poly Pomona（加州州立理工大学波莫纳分校数学与统计系）；Harvey Mudd College（哈维穆德学院）
本文提出了一种算法，用于计算在周期性二维和三维铺砌中，n个单元格结构的数量，并探讨了其在艺术和谜题设计中的应用。
2026-02-26 math.CO
$3$D Farey graph, lambda lengths and $SL_2$-tilings
本文探索 Farey 剖分的三维对应物及其与 lambda 长度和 $SL_2$-镶嵌的关系，证明 Ptolemy 关系的三维版本，并推广 Ian Short 的结果以分类 Eisenstein 整数上的驯顺 $SL_2$-镶嵌。
2023-06-29 math.CO
A sequel to the adventure of RGB-tilings to explore the Four Color Theorem
本文延续 RGB 铺砌证明四色定理的研究，提出新方法论并修正既有方法，改进三个五度顶点的结果，同时处理含六个哑铃形五度顶点的图。
2024-01-23 math.CO
Tilings of hexagons with a removed triad of bowties
本文考虑了三角形格上任意六边形的问题，该格上有三个任意的蝴蝶结形孔，其中心形成一个等边三角形。这种一般区域的菱形镶嵌的数量是不期望的--实际上也不是-由一个简单的乘积公式给出。然而，当考虑任何这样的区域的某个自然归一化对应物时，我们证明了原始的平铺数与归一化区域的平铺数之间的比率由一个简单的概念性乘积公式给出。几个看似无关的文献结果-包括赖的六边形公式与三个凹痕和Ciucu和Krattenthaler的六边形公式与删除三叶草-遵循我们的结果的直接后果。
2020-01-07 math.CO
On interrelations between strongly, weakly and chord separated set-systems (a geometric approach)
我们考虑三种类型的集合系统，有有趣的应用在代数组合学和表示论：最大的集合，所谓的强分离，弱分离，和弦分离的子集的一组$[n]=\{1,2,\ldots,n\}$。已知这些集合体具有良好的几何解释，即它们分别与带状体$Z(n,2)$上的菱形镶嵌、$Z(n,2)$上的组合镶嵌和三维带状体$Z(n,3)$上的精细带状体镶嵌（或“立方”）是双射的。我们描述这三种类型的集合系统之间的相互关系，在$2^{[n]}$，通过研究它们的几何模型之间的相互关系。特别地，我们完整地刻画了可适当嵌入到一定体积中的菱形和组合镶嵌的集合，解释了它们构成分配格，给出了将给定的菱形或组合镶嵌扩展到一定体积的有效方法，等等.
2018-05-24 math.CO
Two-orbit convex polytopes and tilings
对对称群在旗上有两条轨道的凸多胞体进行了分类。它们只存在于二维或三维空间中，而唯一的组合自同构群也是双轨道的是立方八面体、二十面体和它们的正六面体。组合正则双轨道凸多胞体是确定的2n-凸多面体，其中n > 1。我们还利用对称群具有两个标志轨道的凸多胞体对欧几里得空间的面对面镶嵌进行了分类。有许多族，平铺一维、二维或三维。唯一的这种镶嵌也是组合双轨道的是三六边形平面镶嵌，菱形平面镶嵌，四面体-八面体蜂窝和菱形十二面体蜂窝。
2014-03-10 math.CO math.MG
"Spectral implies Tiling" for Three Intervals Revisited
在\cite{BCKM}，它表明，“平铺意味着频谱”持有的工会的三个间隔和反向的影响进行了研究，在一定的限制性假设相关的频谱。本文在三区间情形下重新研究了Fuglede猜想的“谱蕴涵Tiling”部分。我们首先表明，“光谱意味着平铺”的两个间隔如下从简单的事实，即两个不同的圆最多有两个交点。然后，我们尝试这三个间隔的情况下，除了一种情况下能够证明“频谱意味着平铺”。最后，对于例外的情况下，我们显示了一个连接到一个问题的广义范德蒙品种。
2011-07-26 math.AG math.CA math.CO
Domino tilings of three-dimensional regions
在这篇论文中，我们考虑了三维区域的多米诺平铺，特别是$\mathcal{D} \times [0,N]$形式的多米诺平铺。特别是，我们调查的连接组件的空间的平铺这些地区的翻转，本地移动通过删除两个相邻的多米诺骨牌，并将它们放回唯一的其他可能的位置。对于区域的形式$\mathcal{D} \times [0,2]$，我们定义了一个多项式不变的$P_t(q)$的特点，平铺是“几乎在同一个连接组件”，在论文中讨论的意义。我们还证明了这样一个区域的多米诺骨牌平铺的空间是由翻转和trits连接，通过删除三个相邻的多米诺骨牌，其中没有两个平行，并把它们放回唯一的其他可能的位置进行本地移动。对于一般情况，不变量是一个整数，即扭曲，我们给出了一个简单的组合公式并通过纽结理论进行了解释;我们还证明了扭曲对于区域的适当分解具有可加性。最后，我们调查的扭曲的一个$L \times M \times N$盒的平铺的可能值的范围。
2015-03-16 math.CO math.GT
Applications of Three Dimensional Extremal Length, I: Tiling of a Topological Cube
给定一个封闭的拓扑立方体的三角剖分，我们表明（在某些技术条件下）有一个基本上是唯一的平铺矩形平行六面体立方体，索引的顶点的三角剖分。此外，i -组合学被保留，ii-边界被保留：对应于长方体的角的立方体的顶点在拓扑立方体的角。此外，立方体的大小作为一个变分问题的解决方案，这是一个离散版本的概念，极值长度在三维欧几里得空间。
2011-05-11 math.CO math.GT
Discrete Extremal Length and Cube Tilings in Finite Dimensions
极值长度是一个共形不变量，它自然地转移到离散设置，使正方形平铺作为共形映射的自然组合模拟。最近的工作S。Hersonsky探索了将这些想法推广到三维立方体平铺。离散极值长度和立方体平铺之间的联系在维度跳跃中幸存下来，但需要一个称为三重相交性质的条件来推广存在性参数。我们表明，这个条件是太强，实现平铺，从而表明，离散的共形映射是更有限的三维，反映了经典的现象。推广了三维以上离散极值长度的相关结果，并引入了立方镶嵌的一些必要条件。
2014-09-26 math.CO math.CV math.DG
On monohedral tilings of a regular polygon
本文连接了正方形和圆盘的三块铺嵌结果，刻画了任意正n边形（n≥5）被至多三个拓扑圆盘单面铺嵌的情况。
2023-06-25 math.CO math.GT math.MG
Dushnik-Miller dimension of d-dimensional tilings with boxes
平面图是Dushnik-Miller维数不超过3的图（W. Schnyder，Planar graphs and poset dimension，Order 5，323-343，1989）。考虑平面内轴不相交的平行矩形的交图。已知如果至多有三个矩形相交于一点，则这个相交图是平面的，即它的Dushnik-Miller维数至多为3。本文的目的是推广这从平面到$R^d$考虑平铺的$R^d$轴平行盒，其中最多$d+1$盒相交于一点。这样的平铺诱导单纯复形，我们将证明这些单纯复形的Dushnik-Miller维数至多为$d+1$。
2018-09-14 cs.DM math.CO
Domino tilings of three-dimensional regions: flips, trits and twists
在本文中，我们考虑形式为$\mathcal{D} \times [0,n]$的区域的多米诺骨牌，其中$\mathcal{D} \times [0,n]$是一个单连通平面区域，而$n \in \mathbb{N}$是一个单连通平面区域。事实证明，在非平凡的示例中，这样的平铺的集合不是通过翻转连接的，即，把两个相邻的多米诺骨牌移到另一个位置的局部移动。我们定义了一个代数不变式，扭曲，部分特征的连接组件翻转的空间平铺这样一个区域。另一个局部移动，三连音，包括删除三个相邻的多米诺骨牌，其中没有两个平行，并把它们放回唯一的其他可能的位置：执行三连音改变扭转$\pm 1$。我们给出了一个简单的组合公式的扭曲，以及通过纽结理论的解释。我们证明了几个结果的扭曲，如事实上，它是一个整数，它具有添加剂的性质，适当的分解区域。
2015-10-25 math.CO math.GT
Tilings of Benzels via Generalized Compression
本文提出不依赖分拆与斜形状视角的广义 compression 双射，用以推广 benzel 铺砌枚举方法，并解决 Propp 的三个额外猜想、将其他猜想转化为完美匹配问题。
2024-03-12 math.CO
Tiling Enumeration of Hexagons with Off-central Holes
在论文的前传（arXiv：1803.02792）中，我们考虑了双侵入六边形的核心版本的精确枚举。结果推广了Ciucu关于$F$ -核心六边形的工作（Adv. Math. 2017）。在本文中，我们提供了一个广泛的列表30平铺枚举的六边形与三个共线链的三角形孔交替方向。除了连接到六边形边界的两个孔链之外，我们还删除了稍微偏离六边形中心的一个三角形链。我们的两个枚举意味着两个由Ciucu，Eisenkölbl，Krattenthaler和Zare（J. Combin. 2001年）作为两个非常特殊的情况。
2019-05-17 math.CO
Domino tilings of cylinders: the domino group and connected components under flips
我们考虑三维网格区域的多米诺平铺。翻转是一种局部移动：两个相邻的平行多米诺骨牌被移走并放回不同的位置。扭曲是与每个平铺相关联的整数，其在翻转下不变。一个平衡的四边形圆盘$D$是规则的，如果只要$D \times [0,N]$的两个平铺$t_0$和$t_1$具有相同的扭曲，那么只要允许一些额外的垂直空间，$t_0$和$t_1$就可以通过一系列翻转连接起来。定义了四元圆盘的多米诺群，证明了$D$是正则的当且仅当它的多米诺群同构于$Z \oplus Z/(2)$ .我们证明了一个矩形$D = [0,L] \times [0,M]$与$LM$偶数是正则的当且仅当$\min\{L,M\} \ge 3$和猜想，在一般情况下，“大”盘是正则的。在$D$不正则的情况下，我们证明了多米诺群结构的部分结果：该群不是阿贝尔群，具有指数增长性.我们还证明，如果$D$是经常的，那么额外的垂直空间必要的加入翻转两个平铺的$D \times [0,N]$具有相同的扭曲只取决于$D$，而不是高度$N$。
2022-01-13 math.CO
Domino tilings of cylinders: connected components under flips and normal distribution of the twist
我们考虑$3$ -维离散区域的多米诺平铺.三维多米诺骨牌是一个2x2 x1的长方体。我们特别感兴趣的地区的形式$R_N = D \times [0,N]$ $D$是一个固定的quadriculated磁盘。在维度3中，扭曲将整数$Tw(t)$与每个平铺$t$相关联。我们证明，当PDMATHAMR趋于无穷大时，扭转遵循正态分布。翻转是一种局部移动：两个相邻的平行多米诺骨牌被移走并放回不同的位置。扭转在翻转下不变。四次圆盘$D$是正则的，如果只要$R_N$的两个平铺$t_0$和$t_1$满足$Tw(t_0) = Tw(t_1)$，只要允许一些额外的垂直空间，$t_0$和$t_1$可以通过一系列翻转连接。许多大的磁盘是规则的，包括矩形$D = [0,L] \times [0,M]$与$LM$甚至和$L,M \ge 3$。对于规则的磁盘，我们描述了较大的连接组件下翻转的一组平铺的区域$R_N = D \times [0,N]$。作为推论，令$p_N$为$D \times [0,N]$的两个随机镶嵌$T_0$和$T_1$可以通过翻转序列连接（条件是它们的扭曲相等）的概率。则$p_N$趋于1当且仅当$D$是正则的。在一个适当的等价关系下，镶嵌的集合有一个群结构，多米诺群。这些结果说明了多米诺群决定了圆柱体$R_N = D \times [0,N]$的平铺空间的许多性质，特别是对于大的$N$。
2021-02-13 math.CO
Undecidability of Translational Tiling with Three Tiles
本文证明用三个连通平铺块对4维空间进行平移平铺是不可判定的，为固定维度下单调平铺不可判定猜想提供了新证据。
2024-12-14 cs.CC cs.CG math.CO
Tromino Tiling Deficient Cubes of Any Side Length
我们表明，任何大小的三维立方体可以平铺与trominoes，必要时，在任何位置的一个或两个单例。边长为3的倍数的立方体总是可以用特罗米诺（已知）平铺，边长等于1 mod 3的立方体总是可以用任意单个立方体和特罗米诺平铺，边长等于2 mod 3的立方体总是可以用任意位置的两个单个立方体和特罗米诺平铺。
2008-06-03 math.CO math.GM
Connectivity keeping caterpillars and spiders in bipartite graphs with connectivity at most three
Luo，Tian和Wu（2022）的一个猜想是：对每个正整数$k$和每个具有$X$和$Y$的有限树$T$（记为$t = \max\{|X|,|Y |\})$），每个具有$δ(G) \geq k + t$的$k$ -连通二部图$G$包含一个子树$T' \cong T$，使得$κ(G-V (T')) \geq k$ .在本文中，我们证实了这一猜想的毛毛虫时$k=3$和蜘蛛时$k\leq 3$。
2022-05-01 math.CO
Twists for duplex regions
这篇文章很大程度上依赖于arXiv：1404.6509和arXiv：1410.7693。这两篇文章都讨论了三维区域的多米诺骨牌平铺，并且都关注翻转，即通过移除两个平行的多米诺骨牌并将其放回唯一其他可能的位置来执行的局部移动。在第二篇文章中，一个整数$\operatorname{Tw}(t)$被定义为一个大类的区域$\mathcal{R}$的任何平铺$t$：原来，$\operatorname{Tw}(t)$是不变的翻转。在第一篇文章中，一个更复杂的多项式不变$P_t(q)$介绍了两层区域的平铺。事实证明，当$t$是双层区域的平铺时，$\operatorname{Tw}(t) = P_t'(1)$，双层区域是一种特殊的两层区域，两个不变量都被定义。这个恒等式在arXiv：1410.7693中以间接和非构造性的方式得到了证明。在本说明中，我们提供了另一种更直接的证明。
2014-11-06 math.CO
Hexagonal Tiling of the Plane
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文在弱于凸性的假设下证明了平面中恰好存在三种能铺砌的凸六边形。
2026-04-28 math.CO math.HO math.MG
Tilings of $(2\times2\times n)$-board with colored cubes and bricks
有几篇文章讨论了在二维棋盘上用方块和多米诺骨牌进行平铺，但只有少数文章讨论了在三维空间中的棋盘。本文研究了三维空间中$(2\times2\times n)$ -板的彩色立方体和砖块的平铺问题.在简短的介绍和可破性的定义之后，我们展示了一种方法来获得考虑$(n-1)$ -长板的$n$ -长板的平铺数。它递归地描述了可能的可破和不可破平铺的数量。最后，利用可破性给出了递归的一些恒等式。这种确定空间递归式的方法在数学教育中也是有用的。
2019-09-25 math.CO math.GT math.NT
Distances on Rhombus Tilings
已知欧氏平面的单连通区域的菱形镶嵌形成翻转连通空间（翻转是菱形镶嵌上的基本运算，其将由三个菱形组成的六边形旋转180°）。出于对准晶生长模型的研究，我们在这里有兴趣更好地了解“紧”菱形平铺空间是如何翻转连接的。我们引入一个下界（汉明距离）的最小数量的翻转连接两个平铺（翻转距离），我们调查它是否是尖锐的。答案取决于镶嵌中不同边缘方向的数量n：对于n=3（二聚体镶嵌）或n=4（二次体镶嵌）为正，但对于n=5（十次体镶嵌）或更大的n值可能为负。对于n=3和n=4的情况提供了标准证明，而n=5情况的复杂性导致了计算机辅助证明（其主要结果可以很容易地手工检查）。
2011-03-09 cs.DM cs.DS math.CO
Two Tiling is Undecidable
该研究证明双多边形原型砖经旋转平移铺砌平面的问题不可判定，改进了此前三块砖的不可判定结果，还首次证明带边对边局部匹配约束的单铺砌问题不可判定。
2025-06-13 cs.CG math.CO math.MG
Three interactions of holes in two dimensional dimer systems
考虑以$O$为原点的平面中的单位三角形晶格，绘制该单位三角形晶格时，使其中一组晶格线垂直。令$l$和$l'$分别表示与$O$相交的垂直线和水平线。假设该平面包含一对边长为2的三角形孔，相对于$l$和$l'$对称分布，并且定向为使得两个孔都指向$O$。考虑平面的三个不同区域的单位菱形平铺，即：整个平面的平铺;位于$l$左侧的半平面的平铺（其中$l$被认为是自由边界，因此允许单位菱形穿过它的一半突出）;以及位于固定边界$l'$正下方的半平面的平铺。在这三个不同的区域中的三角形孔的相互作用的渐近表达式得到，Ciucu的正在进行的计划，旨在绘制的六方晶格和静电现象的二聚体系统的间隙之间的平行关系提供进一步的证据。
2015-03-16 math-ph math.CO math.MP
Tiling 3D by Translates of a Single Polycube is Undecidable
该研究证明单个连通多立方体平移平铺三维欧氏空间的问题不可判定，通过归约Wang平铺问题完成证明，且三维是该类问题可判定性的最优维度。
2026-10-09 cs.CG math.CO math.MG
Domino tilings, nonintersecting lattice paths and subclasses of Koutschan-Krattenthaler-Schlosser determinants
本文用多米诺平铺和不相交格点路径对Koutschan-Krattenthaler-Schlosser行列式的两个子类给出组合解释，并利用holonomic Ansatz和模归约方法证明了剩余的两个计数猜想。
2025-09-17 cs.SC math.CO math.NT
A Strongly Aperiodic Monotile in Three Dimensions
本研究提出三维强非周期单瓦片 Chair44，通过形状特征强制非周期性，证明其平铺无平移周期且对称群阶有限，并给出机器验证的严格证明。
2026-09-18 cs.DM math.CO math.MG
Enumerations of lozenge tilings, lattice paths, and perfect matchings and the weak Lefschetz property
MacMahon列举了$a \times b \times c$框中的平面分区。这些是在双射菱形平铺的六边形，某些完美的匹配，和家庭的非交叉晶格路径。在这项工作中，我们考虑更一般的区域，称为三角区域，并建立后三个双射的有符号版本。事实上，我们使用完美匹配和家庭的不相交的晶格路径来定义两个符号的菱形瓷砖。一个组合的论点，涉及一个新的方法，所谓的解决方案的穿刺，然后表明，这些迹象实际上是等价的。这特别提供了这些族的两个不同的行列式枚举。利用这些结果研究了三维多项式环的单项式理想的Artin行列式的弱Lefschetz性质.建立了理想的合丛具有弱Lefschetz性质和半稳定性的充分条件，对具有弱Lefschetz性质的二型代数进行了分类，并深入研究了单项几乎完全交.此外，我们开发了一个通用的方法，往往与代数失败的弱Lefschetz属性复曲面，满足拉普拉斯方程。我们还提出了复曲面品种，满足任意多个拉普拉斯方程的例子。我们的组合方法使我们能够解决依赖于我们的许多结果的基本字段的特性。
2013-05-06 math.AC math.AG math.CO
A Zador-Like Formula for Quantizers Based on Periodic Tilings
我们认为Zador的渐近公式的失真率函数的可变速率矢量量化器在高速率的情况下。该公式涉及源的差分熵、量化器的速率（单位：比特/样本）和系数G，该系数G取决于量化器的几何结构但与源无关。我们给出了一个明确的公式G的情况下，当量化区域形成一个周期性平铺的n维空间，在体积和二阶矩的Voronoi细胞。作为一个应用程序，我们表明，扩展早期的工作Kashyap和Neuhoff，即使是一个可变速率的三维量化器的基础上的"A15“结构仍然是劣于量化器的基础上的体心立方晶格。我们还确定了这种结构的最小覆盖半径。
2002-07-17 cs.IT math.CO math.IT
