Lozenge Tilings of Hexagons with Intrusions II: Shuffling Phenomenon
Amherst College（阿默斯特学院）；University of Nebraska – Lincoln（内布拉斯加大学林肯分校）
本文研究了六边形空洞的铺砌问题，提出新的混合区域并证明其生成函数由简单乘积公式给出，通过洗牌定理建立了相关区域生成函数间的简单关系。
2026-04-05 math.CO
Cyclically Symmetric Lozenge Tilings of a Hexagon with Four Holes
Mills，Robbins和Rumsey关于循环对称平面划分的工作给出了一个关于正六边形菱形镶嵌数的简单乘积公式，这些菱形镶嵌在$120^{\circ}$的旋转下是不变的。在本文中，我们推广了这一结果，列举了循环对称菱形镶嵌的六边形，其中四个三角形已被删除的中心。
2017-05-02 math.CO
Tilings of Flat Tori by Congruent Hexagons
本文在所有顶点度数为3的条件下，分类三类一般六边形及两种特殊情形的平面铺砌，并据此刻画平坦环面的六边形铺砌与模空间。
2024-05-08 math.CO
The number of centered lozenge tilings of a symmetric hexagon
证明了包含中心单位菱形的边为$2n-1$、$2n-1$和$2n$的半正六边形的菱形镶嵌数正好是菱形镶嵌总数的三分之一。受此启发，我们考虑边$a$、$a$和$b$的半正六边形的更一般情况。我们证明了明确的公式菱形镶嵌的这些六边形包含中心单位菱形的数量，并获得Propp猜想作为我们的结果的推论。
1997-12-01 math.CO
Enumeration of tilings of diamonds and hexagons with defects
我们将展示如何计数镶嵌的阿兹特克钻石和六角形缺陷使用决定因素。在某些情况下，这些决定因素可以用封闭的形式来计算。特别是，我们得到的解决方案，问题1，2和10中的詹姆斯Propp的问题清单枚举的匹配。
1998-10-23 math.CO
A $q$-enumeration of lozenge tilings of a hexagon with three dents
我们$q$ -枚举菱形镶嵌的六边形与三个蝴蝶结形状的区域已被删除，从三个非连续的边。该结果的未加权版本推广了James Propp提出的一个问题，该问题涉及边长为$2n,2n+3,2n,2n+3,2n,2n+3$（按循环顺序）的六边形的菱形镶嵌的计数，其中删除了$(2n+3)$ -边上的中心单位三角形。
2015-10-03 math.CO
Lozenge tilings of a hexagon with a horizontal intrusion
由Fulmek和Krattenthaler提出的一个猜想的动机，我们提供了产品的菱形平铺的半正六边形包含一个水平入侵的数量公式。作为一个直接推论，我们得到了一个在一定限制条件下的装箱平面分拆数的乘积公式。我们还研究了含有水平侵入的半正六边形和不含侵入的半正六边形的菱形镶嵌数之比的渐近行为。
2022-06-30 math.CO
Lozenge tilings of a halved hexagon with an array of triangles removed from the boundary, part II
普罗克托的工作楼梯平面分区产生一个枚举菱形平铺的一半六边形的三角形晶格。Rohatgi后来将这种平铺枚举扩展到从边界切下一个三角形的半六边形。在以前的文件中，作者证明了一个共同的推广Proctor的和Rohatgi的结果，列举菱形平铺的情况下，一个任意数量的三角形的数组已被删除的情况下，从一个非楼梯边的一半六边形。在本文中，我们考虑的另一种情况下，三角形阵列已被删除的楼梯边的减半六边形。我们的结果也暗示了一个明确的公式的数量平铺的六边形与三角形阵列的对称轴上失踪。
2017-09-07 math.CO
A new proof for the number of lozenge tilings of quartered hexagons
本文证明了三角形格上四分六边形的菱形镶嵌可以用一个简单的乘积公式来计数。本文利用郭氏图凝聚给出了平铺公式的一个新的证明。我们的结果推广了普罗克托定理计数的平面分区包含在一个“最大的楼梯”。
2015-04-26 math.CO
Rhombus Tilings of a Hexagon with Two Triangles Missing on the Symmetry Axis
本文计算了边为n，n，N，n，n，N的六边形的菱形镶嵌数，其中去掉对称轴上两个相交于一个顶点的三角形。公共顶点是六边形中心的情况解决了Propp提出的一个问题。
1998-10-05 math.CO
Lozenge Tiling Function Ratios for Hexagons with Dents on Two Sides
本文给出了一个计算三角形格上六边形菱形镶嵌数的公式，该三角形格上的单位三角形是从任意位置沿两个不相邻、不对对边移去的。我们的公式意味着，对于此类区域的某些族，其切片数量的比率由简单的乘积公式给出。
2020-02-12 math.CO
A simple explanation for the "shuffling phenomenon'' for lozenge tilings of dented hexagons
在最近的一篇论文中，Lai和Rohatgi证明了一个具有“凹痕”的六边形菱形镶嵌的“洗牌定理”（即，缺少三角形）。在这里，我们将指出，这是立即从列举Gelfand-Tsetlin模式与给定的底行。这一观察也包含在Byun最近的预印本中。
2019-12-29 math.CO
The number of rhombus tilings of a symmetric hexagon which contain a fixed rhombus on the symmetry axis, I
我们计算一个边长为$N,M,N,N,M,N$的六边形的菱形镶嵌数，其中包含一个固定的菱形，该菱形位于穿过边长为$M$的边的对称轴上。
1997-12-11 math.CO
Enumeration of rhombus tilings of a hexagon which contain a fixed rhombus on its symmetry axis
我们计算一个六边形的菱形镶嵌的数量与边$N,M,N,N,M,N$，其中包含一个固定的菱形的对称轴。一个特例解决了Jim Propp提出的一个问题。
1997-11-26 math.CO
Lozenge tilings of hexagons with arbitrary dents
Eisenk“Olbl给出了一个计算三角形格上六边形菱形镶嵌数的公式，其中三个单位三角形沿交错边被移除。在早期的工作中，第一作者将其扩展到当任意一组单位三角形从六边形的交替边移除时的情况。在本文中，我们解决的一般情况下，任意一组单位三角形被删除沿边界的六边形。
2014-12-12 math.CO
A Shuffling Theorem for Reflectively Symmetric Tilings
在arXiv：1905.08311中，作者和Rohatgi证明了双凹六边形的洗牌定理。特别是，我们发现，洗牌删除单位三角形沿水平轴在一个六边形只改变了一个简单的乘法因子的平铺数。在本文中，我们考虑了一个类似的现象的对称类的镶嵌，反射对称镶嵌，双凹六边形。我们还证明了半六边形的几个洗牌定理。这些定理推广了半六边形计数中的一些已知结果。
2019-07-05 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of a hexagon with a shamrock missing on the symmetry axis
在他们的论文中关于一个双麦克马洪的经典定理的平面分区，Ciucu和Krattenthaler证明了一个封闭形式的产品公式的平铺数的六边形与“三叶草”，一个联盟的四个相邻的三角形，删除在中心（Proc. Acad. Sci. USA 2013）。赖后来提出了一个$q$ -枚举菱形瓷砖的六边形与三叶草删除从边界（欧洲J。2017年）的报告。看起来，上面是三叶草洞中仅有的两个位置，可以产生很好的平铺枚举。在本文中，我们表明，在对称六边形的情况下，我们总是有一个简单的产品公式时，删除三叶草在任何位置沿对称轴的平铺的数量。我们的结果也推广了Eisenkölbl的相关工作菱形平铺的六边形与两个单位三角形失踪的对称轴（电子。1999年）。
2018-07-31 math.CO
Tiling enumeration of doubly-intruded halved hexagons
受Propp的入侵阿兹特克钻石地区的启发，我们考虑半六边形，其中两个排列的三角形孔阵列已从其边界删除。与侵入式阿兹特克钻石（其多米诺骨牌的数量在其因子分解中包含一些大的素因子）不同，我们的双侵入式半六边形的菱形镶嵌的数量由简单的乘积公式给出，其中所有因子在参数中是线性的。在本文中，我们提出了一个广泛的列表的确切平铺计数十六种不同类型的双侵入半六边形。我们还证明了菱形镶嵌的对称六边形与三个阵列的三角形删除总是枚举的封闭形式的产品公式。我们的结果推广了以前的几个作品，包括普罗克托枚举的转置互补平面分区，Ciucu的相关工作，以及最近的推广Rohatgi和作者。
2019-02-08 math.CO
Descending plane partitions and rhombus tilings of a hexagon with triangular hole
它表明，下降的平面分区的安德鲁斯可以几何实现为循环对称的菱形平铺的某一六边形，其中一个等边三角形的边长为2已从其中心删除。因此，由Mills，Robbins和Rumsey引入的下降平面划分的晶格结构允许优雅的可视化。
2003-10-13 math.CO
A $q$-enumeration of lozenge tilings of a hexagon with four adjacent triangles removed from the boundary
MacMahon证明了一个简单的产品公式的生成函数的平面分区适合在一个给定的盒子。该定理蕴涵了三角格上半正六边形菱形镶嵌的$q$ -计数。本文用$q$ -枚举一类新的六边形族的菱形镶嵌推广了MacMahon的经典定理，其中菱形镶嵌的四个相邻三角形从它们的边界移去.
2017-04-10 math.CO
A shuffling theorem for lozenge tilings of doubly-dented hexagons
MacMahon关于平面划分的定理给出了一个简单的六边形镶嵌数的乘积公式，Cohn，Larsen和Propp定理给出了凹半六边形通过半严格Gelfand-Tsetlin模式的镶嵌数的显式计数.本文证明了任意一组单位三角形沿水平轴移动的六边形的两个定理的自然混合。特别是，我们表明，“洗牌”删除单位三角形只改变一个简单的乘法因子的区域的平铺数。我们的主要结果推广了一些已知的计数和渐近计数的平铺。我们还揭示了主要结果的研究对称函数和$q$ -系列的连接。
2019-07-01 math.CO
Lozenge tilings of hexagons with holes on three crossing lines
在过去的三十年里，带孔六边形菱形镶嵌的计数一直受到人们的关注。一个值得注意的特点是，最近的许多发展都涉及郭的图形凝聚。受Ciucu、Lai和Rohatgi关于去掉三元组的六边形镶嵌的工作的启发，本文证明了两个更一般的区域的菱形镶嵌的数目之比可以表示为一个简单的乘积公式。我们的证明不涉及图形凝聚方法。证据简短而直接。我们还提供了一个相应的公式，循环对称菱形镶嵌。从我们的推广可以很容易地推导出以前的几个结果。
2021-07-06 math.CO
The number of rhombus tilings of a symmetric hexagon which contain a fixed rhombus on the symmetry axis, II
我们计算边长为N，M，N，N，M，N的六边形的菱形镶嵌的数量，其中N和M具有相同的奇偶性，其包含靠近六边形中心的特定菱形。我们的一个结果的特殊情况N=M解决了Propp提出的一个问题。在证明中，以伯努利数为特征的Hankel行列式起着重要的作用。
1999-09-07 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of a hexagon with a maximal staircase and a unit triangle removed
Proctor证明了去掉“最大阶梯”后边长为$a,b,c,a,b,c$的六边形菱形镶嵌数的一个公式。然后，Ciucu提出了Proctor结果的加权版本。在这里，我们提出了一个类似的区域，其中有一个额外的单位三角形删除加权和不加权的公式。我们使用郭的图形凝聚方法来证明结果。利用Ciucu的分解定理，得到了一个关于三个相邻边有三个洞的六边形菱形镶嵌数的公式。
2015-10-15 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of halved hexagons with a boundary defect
我们推广了Proctor定理的一个特殊情况下的菱形平铺的六边形与最大的楼梯删除计数，使用郭的图形凝聚方法。此外，我们证明了一个公式的加权版本的给定区域。这一结果也扩展了Ciucu和Fischer的工作。通过应用Ciucu的分解定理，我们还能够推广MacMahon的装箱平面划分公式的一个特例。
2015-10-15 math.CO
The 1/3-phenomenon of placement probabilities of tilings in the semiregular hexagon
univie.ac.at（维也纳大学）
研究半正六边形中平铺放置概率的 1/3 现象，通过应用泽尔伯格算法和完整假设，先将问题简化为正六边形情况，再进一步简化为文献中特殊情况，从而证明了克拉滕哈勒 2001 年的猜想。
2026-09-23 math.CO
The quotient of generating functions of lozenge tilings for certain regions derived from hexagons, obtained with non--intersecting lattice paths
在最近的预印本，赖表明，商的生成函数的加权菱形平铺两个“半六边形与横向凹痕”，这只是不同的宽度，因素很好，同样是真实的商的生成函数的加权菱形平铺两个“四分之一六边形与横向凹痕”。Lai通过使用“图形压缩”（即，应用一定的Pfidean单位的加权枚举匹配）。本说明的目的是展示如何可以做到这一点的林斯特伦-Gessel-Viennot方法为非相交的晶格路径。对于“半六边形”的情况，基本上相同的观察，但仅限于枚举（即，菱形瓷砖的所有重量都等于$1$），包含在康登最近的预印本中。
2020-12-13 math.CO
Lozenge Tilings of Hexagons with Intrusions I: Generalized Intrusion
本文通过从六边形区域移除广义侵入结构构造新区域，证明其菱形铺砌数量及带权生成函数具有简单乘积公式，从而推广 MacMahon 定理并给出 $q$-模拟。
2024-09-01 math.CO
The generating function of lozenge tilings for a "quarter" of a hexagon, obtained with non--intersecting lattice paths
在最近的预印本中，Lai和Rohatgi应用“图解凝聚”方法计算了“带凹痕的四分六边形”菱形镶嵌的生成函数。本文的目的是展示如何（推广）定理2.1和2.2在赖和Rohatgi的预印本可以实现的Lindström-Gessel-Viennot方法的非交叉格路径和一定的行列式评估。
2021-01-17 math.CO
Tiling Enumeration of Hexagons with Off-central Holes
在论文的前传（arXiv：1803.02792）中，我们考虑了双侵入六边形的核心版本的精确枚举。结果推广了Ciucu关于$F$ -核心六边形的工作（Adv. Math. 2017）。在本文中，我们提供了一个广泛的列表30平铺枚举的六边形与三个共线链的三角形孔交替方向。除了连接到六边形边界的两个孔链之外，我们还删除了稍微偏离六边形中心的一个三角形链。我们的两个枚举意味着两个由Ciucu，Eisenkölbl，Krattenthaler和Zare（J. Combin. 2001年）作为两个非常特殊的情况。
2019-05-17 math.CO
Proof of two conjectures of Ciucu and Krattenthaler on the enumeration of lozenge tilings of hexagons with cut off corners
在他们2002年的论文中，Ciucu和Krattenthaler证明了从三角形格子上的中心对称六边形通过从两个不相邻的角移除最大阶梯区域而获得的各种区域的菱形镶嵌的数量的几个乘积公式。对于这种情况下，当楼梯被删除从相邻的角落的六边形，他们提出了两个几何公式，其证明，因为他们说，似乎在当时“一项艰巨的任务”。本文证明了这两个定理。我们的证明进行第一次推广的命题，然后证明他们的归纳，使用郭的图形缩合方法。
2013-09-18 math.CO
Tiling the plane with hexagons: improved separations for $k$-colourings
自1950年以来，常识是，可以将七种颜色分配给具有单位直径单元的无限蜂窝的瓦片，使得相同颜色的两个瓦片之间的距离不小于$d(7)=\frac{\sqrt{7}}{2}$。许多作者描述了使用$k>7$颜色的平铺，给出了$d(k)$的相应值，但通常不知道这些是否是给定$k$的最大可能。在这里，对于许多$k$，我们描述了具有比以前报道的更大的$d(k)$值的平铺。
2022-06-25 math.CO
Tilings of hexagons with a removed triad of bowties
本文考虑了三角形格上任意六边形的问题，该格上有三个任意的蝴蝶结形孔，其中心形成一个等边三角形。这种一般区域的菱形镶嵌的数量是不期望的--实际上也不是-由一个简单的乘积公式给出。然而，当考虑任何这样的区域的某个自然归一化对应物时，我们证明了原始的平铺数与归一化区域的平铺数之间的比率由一个简单的概念性乘积公式给出。几个看似无关的文献结果-包括赖的六边形公式与三个凹痕和Ciucu和Krattenthaler的六边形公式与删除三叶草-遵循我们的结果的直接后果。
2020-01-07 math.CO
Lozenge tilings of hexagons with central holes and dents
Ciucu表明，六边形的菱形镶嵌的数量，其中交替方向的等边三角形链，称为“\emph{fern}”，已在中心被删除，由一个简单的乘积公式给出（Adv. Math. 2017）。在本文中，我们提出了一个多参数的推广这项工作，给出了一个明确的平铺枚举的六边形与三个蕨类植物删除，除了中间的蕨类植物位于中心的Ciucu的区域，我们删除两个额外的蕨类植物从两边的六边形。我们的结果也意味着对应的MacMahon的经典公式装箱平面分区，相应的\emph{exterior}的union的三个不相交的凹多边形的每边画后旋转120度。
2019-05-20 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of hexagons with cut off corners
出于对Proctor研究的一类平面划分的枚举和对平面划分的对称类的考虑，我们考虑了从六边形的一些顶点移除“最大楼梯”的菱形拼接的枚举问题。一个顶点的情况对应于Proctor问题。对于两个顶点，有几种情况需要考虑，其中大多数导致很好的枚举公式。对于三个或更多的顶点，似乎不存在一般的好的产品公式，但在一个特殊的情况下，发生了很多的因式分解，我们提出的问题，找到一个公式的数量在这种情况下的平铺。
2001-04-04 math.CO
Lozenge tilings of doubly-intruded hexagons
受普罗普的阿兹特克钻石区入侵的部分影响，我们考虑六边形区域，其中两个水平链的三角形孔（称为蕨类植物）被删除，使链在相同的高度，并连接到边界。与侵入的阿兹特克钻石（其多米诺骨牌的数量在其因子分解中包含一些大的素因子）相比，我们的双侵入六边形的菱形镶嵌的数量由简单的乘积公式给出，其中所有因子在参数中是线性的。事实上，我们提出了这些公式的$q$ -版本，它枚举了相应的平面分区样结构的体积。我们还提出了一些自然的统计力学的问题，建议我们的设置，这应该是可以解决使用我们的公式。
2019-05-17 math.CO
The number of rhombus tilings of a "punctured" hexagon and the minor summation formula
我们计算一个六边形的所有菱形镶嵌的数量与边$a,b+1,c,a+1,b,c+1$，其中中央三角形被删除，提供$a,b,c$有相同的奇偶校验。结果是四个数字的乘积，每个数字计算给定盒子内的平面分区的数量。证明使用不相交的格路径和一个新的身份Schur函数，这是证明了由Ishikawa和Wakayama的小求和公式。一个对称的推广这个身份是作为一个猜想。
1997-11-26 math.CO
Tilted Halved Hexagons: Hexagons, Semi-hexagons, and Halved Hexagons Under One Roof
我们研究了一类新的区域族，它是平铺计数领域中三个著名区域族：准正六边形、半六边形和半六边形的普遍推广。我们证明了一个简单的产品公式，这些新的区域的平铺的数量。我们的主要结果还得到了两类特殊的具有限制部分的平面分拆的计数。
2020-06-22 math.CO
A Shuffling Theorem for Centrally Symmetric Tilings
Rohatgi和作者最近证明了“双凹六边形”菱形镶嵌的洗牌定理（arXiv：1905.08311）。该定理可以看作是镶嵌计数中两个经典定理的混合：关于中心对称六边形的MacMahon定理和关于有凹点的半六边形的Cohn-Larsen-Prop定理。在本文中，我们考虑一个类似的洗牌定理的中心对称镶嵌的双凹六边形。我们的定理还暗示了作者在arXiv：1803.02792中提出的一个猜想，关于具有三个三角形孔阵列的六边形的中心对称平铺的计数。这种枚举，反过来，可以被认为是一个共同的推广（平铺等效版本）斯坦利的枚举自互补平面分区和Ciucu的工作对称性的三叶草结构。此外，我们的枚举也证实了Ciucu在arXiv：1906.02951中提出的一个猜想。
2019-07-06 math.CO
Rhombus Tilings of a Hexagon with Three Fixed Border Tiles
我们计算一个六边形的菱形镶嵌的数量，该六边形的边为$a+2,b+2,c+2,a+2,b+2,c+2$，有三个固定的瓷砖接触边界。特殊情况$a=b=c$解决了Propp提出的问题。我们的结果也可以看作是具有$a+2$行和$b+2$列的平面分区的枚举，具有最大的条目$\le c+2$，在第一行具有给定数目的条目$c+2$，在最后一列具有给定数目的条目0，以及给定的左下条目。
1998-09-08 math.CO
A (conjectural) 1/3-phenomenon for the number of rhombus tilings of a hexagon which contain a fixed rhombus
我们的状态，讨论，提供证据，并证明在特殊情况下的猜想，随机平铺菱形的六边形边长$2n+a,2n+b,2n+c,2n+a,2n+b,2n+c$包含（水平）菱形坐标$(2n+x,2n+y)$的概率等于${1/3} + g_{a,b,c,x,y}(n) {\binom {2n}{n}}^3 / \binom {6n}{3n}$，其中$g_{a,b,c,x,y}(n)$是一个有理函数在$n$。这种“1/3现象”的几个具体实例是明确的。
2001-07-13 math.CO
Enumeration of tilings of quartered Aztec rectangles
推广了W. Jockusch和J. Propp通过列举四分之一阿兹特克矩形的镶嵌来研究四分之一阿兹特克钻石。利用子图替换法将Aztec矩形的对偶图转化为菱形六边形的对偶图，然后利用Lindström-Gessel-Viennot方法求菱形六边形的分块个数.
2014-04-14 math.CO
Half-turn symmetric FPLs with rare couplings and tilings of hexagons
在这项工作中，我们提出了一个公式，该公式依赖于与给定耦合π相关联的完全填充回路配置（FPL）的数量，以及其耦合是耦合π的穿孔版本的偶数大小的半圈对称FPL（HTFPL）的数量。当耦合pi是与平行于pi 0的所有拱的耦合（“最罕见的”一个）时，该公式陈述了对应的HTFPL的数量等于相同大小的循环对称平面分区的数量。我们提供了一个双射证明这一事实。在HTFPLs奇数尺寸的情况下，虽然没有类似的表达式，但我们研究了其耦合为π_0的狭缝形式的HTFPLs的个数，并揭示了新的令人困惑的计数符合，涉及到六边形和各种对称类的FPLs的平铺计数.
2011-09-02 math.CO
Enumeration of lozenge tilings of hexagons with a central triangular hole
本文研究边长为$a,b+m,c,a+m,b,c+m$的六边形菱形镶嵌的未加权和加权枚举问题，其中边长为$m$的等边三角形已从中心移去.我们给出了封闭的公式为平原枚举和一定的$(-1)$ -枚举这些菱形平铺。在这种情况下，$a=b=c$，我们还提供了封闭的公式，某些加权枚举的菱形镶嵌是循环对称的。对于$m=0$，后面的公式专用于关于循环对称平面划分的加权枚举的语句。一个这样的专业化提供了一个证明的猜想Stembridge对一定的加权计数的循环对称平面分区。在我们的证明中采用的工具是不相交格路径和行列式评价理论的非标准应用。特别是，我们评估的决定因素$\det_{0\le i,j\le n-1}\big(\om δ_{ij}+\binom {m+i+j}j\big)$，其中$\om$是任何6次根的单位。这些行列式的评价是一个著名的结果，由于安德鲁斯（发明。53（1979），193- 225），其对应于$\om=1$。
1999-12-07 math.CO
Moments of inertia associated with the lozenge tilings of a hexagon
考虑任意选择边长为a，b，c，a，b，c的六边形菱形镶嵌包含最低顶点为（x，y）的水平菱形的概率，就好像它描述了平面上的质量分布。我们计算相对于该分布的水平和垂直惯性矩。这解决了Propp [1，Problem 7]中的一个问题。
2000-12-15 math.CO math.PR
An algorithm to generate exactly once every tiling with lozenges of a domain
我们首先表明，tilings的一般域形成一个格，然后我们进行分解和生成没有任何redundancy。为此，我们广泛地研究了相对简单的情况下，六边形及其变形。我们表明，一般域可以分解成六边形的部分。最后，我们给出了一个算法，以产生一次的每一个元素在格的平铺的一般域。
2001-10-21 math.CO
Selberg integrals, Askey-Wilson polynomials and lozenge tilings of a hexagon with a triangular hole
我们得到了一个显式公式的某种加权计数菱形镶嵌的六边形与任意三角形孔。我们的表达式的复杂性取决于从洞到六边形中心的距离。这证明并概括了Ciucu等人的观点，他考虑了当三角形位于中心或非常接近中心时的简单枚举的情况。我们的证明使用Askey-Wilson多项式作为工具，将离散和连续Selberg型积分联系起来。
2015-03-12 math.CA math.CO
Hexagon tilings of the plane that are not edge-to-edge
多边形平铺中的不规则顶点是一个平铺的顶点，属于另一个平铺的边的内部。本文证明了对任意整数$k\geq 3$，存在单位面积的凸六边形对欧氏平面的正规镶嵌，凸六边形的顶点恰好是$k$的不规则顶点.用同样的方法，我们证明了有正常的边到边平铺的平面由六边形的单位面积和正是$k$许多$n$ -矩阵（$n>6$）的单位面积。Akopyan的结果产生取决于瓦片的最大直径和最小面积的$k$的上界。我们的结果补充了这一点与极端情况下的下界，从而表明，Akopyan的界是渐近紧的。
2019-11-28 math.CO math.MG
Rotationally Symmetric Tilings with Convex Pentagons and Hexagons
本文研究具有旋转对称性的平面铺砌，引入一类特定的凸五边形，证明对于任意对称类型 $\mathbf{C}_{n}$ 或 $\mathbf{D}_{n}$ 均存在由该类五边形生成的单面铺砌，且 $n>1$ 时为 $n$ 臂螺旋铺砌，该结论同样适用于凸六边形。
2016-01-08 math.CO math.MG
Centrally symmetric tilings of fern-cored hexagons
在本文中，我们列举了一个中心对称菱形平铺的六边形与蕨类植物从其中心删除。证明是基于一个变种郭的图形缩合方法。一个意想不到的连接与总数量的平铺建立~-~当适当规范化，中心对称平铺的数量等于总数量的平铺的平方根。我们给出的结果可以看作是适合于盒子的自补平面划分计数的一个新的推广。
2019-06-07 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Counting distinct dimer hex tilings
整数边长为$n$的六边形与边长为1的120度- 60度菱形的组合学有着悠久的历史，既有直接的（作为热力学模型中的一个感兴趣的问题），也有间接的（通过等价于平面分区）。公式作为产品的factory已被证明，并逐一证明的数量，这种平铺下的每一个对称的六边形。然而，当这篇文章被写出来的时候，在《DNA序列在线百科全书》（OEIS）中，关于这种不同镶嵌的数量的条目只不过是一个关于$0 \le n \le 4$的表格和对这些值的简短讨论。本说明的目的是汇总有关事实。
2016-02-22 math.CO
Signed lozenge tilings
众所周知，六边形的平面划分、菱形镶嵌、蜂窝图上的完美匹配以及六边形中的不相交格路族都是双射。在这项工作中，我们考虑的区域比六边形更一般。它们是通过进一步去除指向上的三角形而获得的。我们称之为三角形区域。我们建立签署后三个双射三角区域的版本。我们首先研究三角形区域的菱形可分性。然后，我们使用完美匹配和家庭的不相交的晶格路径来定义两个符号的菱形瓷砖。使用一种新的方法，我们称之为解决穿刺，我们表明，这两个符号实际上是等价的。因此，我们得到的平等的决定因素，直到签署，枚举签署完美匹配和签署家庭的格路径的三角形区域，分别。我们还描述了三角形区域，其中有符号枚举同意与无符号枚举。
2015-07-06 math.CO
Hexagonal Tiling of the Plane
Zhejiang Normal University（浙江师范大学）；Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文在弱于凸性的假设下证明了平面中恰好存在三种能铺砌的凸六边形。
2026-04-28 math.CO math.HO math.MG
Shield tilings
本文完整刻画了正三角形与无直角盾形六边形构成的边对边镶嵌，并简要讨论了含直角六边形的情形。
2023-05-28 cs.DM math.CO
