Convergence of pointed non-compact metric measure spaces and stability of Ricci curvature bounds and heat flows
本文讨论了点度量测度空间在没有紧性条件下的收敛性。我们提出了各种定义，证明了它们都是等价的，并且对于加倍空间，它们也等价于著名的测度-格罗莫夫-豪斯多夫收敛.然后，我们表明，曲率条件$CD(K,\infty)$和$RCD(K,\infty)$是稳定的，在这个概念下的收敛和热流传递到极限，以及在Wasserstein和$L^2$ -框架。我们还证明了在自然适应$Γ$ -Mosco意义下的Cheeger能量的变分收敛性和在空间一致有界或满足$RCD(K,\infty)$条件和$K>0$的情况下Laplacian谱的收敛性。当应用到黎曼流形，我们的结果允许序列的发散尺寸。
2013-11-19 math.AP math.DG math.FA
A Talenti-type comparison theorem for $\mathrm{RCD}(K,N)$ spaces and applications
我们证明逐点和$L^{p}$ -梯度比较结果椭圆狄利克雷问题的解决方案定义在一个（可能是非光滑的）空间的正里奇曲率（更精确地说，一个$\mathrm{RCD}(K,N)$度量测度空间，与$K>0$和$N\in (1,\infty)$）的开放子集。所得到的Talenti-type比较是尖锐的，刚性和稳定的$L^{2}$ /测量Gromov-Hausdorff拓扑，此外，几个方面似乎新的光滑黎曼流形。作为这种Talenti-type比较的应用，我们证明了一系列改进的Sobolev型不等式，以及St. Venant-Pólya扭转刚度比较定理（与相关的刚度和稳定性声明）。最后，我们给出了一个概率的解释（在设置光滑的黎曼流形）的上述比较结果，在出口时间从一个开子集的布朗运动。
2021-03-23 math.AP math.DG math.FA
The equality case in Cheeger's and Buser's inequalities on $\mathsf{RCD}$ spaces
本文证明了前两个作者在$\mathsf{RCD}(1,\infty)$空间框架下得到的Sharp Buser不等式是刚性的，即等式成立的充要条件是空间同构地分裂为Gauss空间.结果是新的，即使在顺利设置。我们还表明，在Cheeger不等式的平等从来没有达到的设置$\mathsf{RCD}(K,\infty)$空间有限直径或正曲率，我们提供了几个例子的空间与里奇曲率有界以下这些假设不满足和平等的实现。
2021-04-02 math.DG math.FA math.MG
Boundedness of Riesz transforms on $\RCD(K, \infty)$ spaces
本文证明了一类广泛度量测度空间（包括对数凹概率测度的希尔伯特空间）上Riesz变换的$L^p$有界性，并扩展了Sobolev函数的Lusin型逼近范围。
2023-08-30 math.FA math.MG
Self-improvement of the Bakry-Émery condition and Wasserstein contraction of the heat flow in RCD(K,\infty) metric measure spaces
本文证明了RCD（K，\infty）度量测度空间（X，d，m）中的线性热流关于每个L^p-Kantorovich-Rubinstein-Wasserstein距离都满足收缩性质.特别地，我们得到了两个基本解之间的最优W_ \infty -耦合关于初始点距离的精确估计.这个结果是（X，d，m）中正则Cheeger-Dirichlet型的RCD（K，\infty）Ricci下界与相应的Bakry-Émery条件之间等价的结果.关键的工具是扩展到非光滑的度量措施设置的巴克里的论点，这使得能够提高之间的交换估计的马尔可夫半群和Carré du Champ相关联的狄利克雷形式。这种扩展是基于一个新的先验估计和一个容量参数的定期和紧狄利克雷形式是独立的利益。
2013-05-17 math.AP math.FA math.MG
Bakry-Émery curvature-dimension condition and Riemannian Ricci curvature bounds
本文的目的是弥合Bakry-Émery和Lott-Sturm-Villani方法之间的差距，以提供综合和抽象的概念较低的里奇曲率界。我们从一个强局部Dirichlet形式${\mathcal{E}}$开始，它在波兰测度空间$(X,\mathfrak{m})$中有一个Carré du champ $Γ$，并且有一个规范距离${\mathsf{d}}_{\mathcal{E}}$诱导出$X$的原始拓扑.本文首先刻画了一类特殊的黎曼能量测度空间，其中${\mathcal{E}}$与${\mathsf{d}}_{\mathcal{E}}$诱导的Cheeger能量一致，并且每个函数$f$与$Γ(f)\le1$都有连续的表示.在这样的类中，我们证明了如果${\mathcal{E}}$满足Bakry-Émery曲率维数条件$\mathrm {BE}(K,\infty)$的适当弱形式，则度量测度空间$(X,{\mathsf{d}},\mathfrak{m})$满足根据[Duke Math. J. 163（2014）1405-1490]的黎曼里奇曲率界$\mathrm {RCD}(K,\infty)$，从而表明了两个概念的等价性。然后证明了两个应用：满足Bakry-Émery $\mathrm {BE}(K,N)$条件的黎曼能量空间的张量化性质（以及相应的$\mathrm {RCD}(K,\inft…
2015-01-16 math.AP math.FA math.MG
Singular Weyl's law with Ricci curvature bounded below
本文在里奇曲率有下界的紧致 RCD(K,N) 空间中建立了两种新型外尔律，其极限由零容量奇异集刻画，并借此给出若干重要猜想的反例。
2023-05-06 math.DG math.FA math.MG
Heat flow on 1-forms under lower Ricci bounds. Functional inequalities, spectral theory, and heat kernel
研究了$\mathrm{RCD}(K,\infty)$空间$(M,\mathsf{d},\mathfrak{m})$，$K\in\boldsymbol{\mathrm{R}}$上余切模$L^2(T^*M)$上的正则热流$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$.本文证明了Hess-Schrader-Uhlenbrock不等式，并证明了当$(M,\mathsf{d},\mathfrak{m})$也是$\mathrm{RCD}^*(K,N)$空间时，$N\in(1,\infty)$，Bakry-Ledoux不等式对$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$ w.r.t. $L^2(M)$上的热流$(\mathsf{P}_t)_{t\geq 0}$。这些估计的变量版本进行了讨论。结合对$1$ -形式的对数Sobolev不等式的研究，前面的不等式给出了$(\mathsf{H}_t)_{t\geq 0}$，$p\in [1,\infty]$的各种$L^p$ -性质.然后，我们建立显式包含其生成器，霍奇拉普拉斯$\smash{\vecΔ}$，负功能的拉普拉斯$-Δ$，和薛定谔算子$-Δ+K$的频谱之间。在$\mathrm{RCD}^*(K,N)$的情况下，我们证明了当$M$是紧的时，$\smash{\vecΔ^{-1}}$是紧的，并且在体积增长的条件下，$\smash{\v…
2022-06-13 math.DG math.FA math.MG
Hypercontractivity of the heat flow on ${\sf RCD}(0,N)$ spaces: sharpness and rigidities
本文在 RCD(0,N) 空间上建立了热流的尖锐超压缩界，利用渐近体积比、对数 Sobolev 不等式和 blow-down 论证证明最优性，并刻画了等号情形的欧氏锥结构与高斯极值函数，推广了 Li 刚性等结果。
2025-07-23 math.AP math.FA
Stability estimates for the sharp spectral gap bound under a curvature-dimension condition
研究了满足曲率界的度量-测度空间的锐谱间隙界的稳定性。我们的主要结果，新的，即使在光滑的设置，是一个尖锐的定量估计表明，如果一个RCD $(N-1, N)$空间的频谱间隙几乎是最小的，那么由本征函数与频谱间隙的措施的推进接近β分布。证明结合估计的特征函数通过一个新的$L^1$ -功能不等式的RCD空间与Stein的方法分布逼近。我们还推导出类似的，几乎尖锐的，无限和负值的尺寸参数的估计。
2022-02-08 math.AP math.DG math.FA
Parallel transport on non-collapsed $\mathsf{RCD}(K,N)$ spaces
我们提供了一个一般的理论，非塌陷${\sf RCD}$空间上的并行传输获得的存在性和唯一性的结果。我们的理论涵盖了测地线的情况，更一般地说，涵盖了通过充分规则的不定常时间依赖向量场流得到的曲线的情况：我们为这种普遍性付出的代价是，我们不能研究沿着单个这样的曲线的平行输运，而只能研究沿着几乎所有这些曲线的平行输运（在某种意义上，与非光滑设置中的索伯列夫向量微积分和正则拉格朗日流的概念有关）。${\sf ncRCD}$空间的类包含曲率从下有界的有限维亚历山德罗夫空间，因此我们的构造提供了一种在后一种设置中讨论并行传输的方法，而不是Petrunin（1998）提出的方法。这两种方法之间的确切关系尚待了解。
2021-08-17 math.DG math.FA math.MG
On the volume measure of non-smooth spaces with Ricci curvature bounded below
我们证明，给定一个$RCD^{*}(K,N)$ -空间$(X,d,m)$，那么它是可能的$m$ -基本上覆盖$X$的可测量子集$(R_{i})_{i\in \mathbb{N}}$具有以下性质：对于每个$i$存在$k_{i} \in \mathbb{N}\cap [1,N]$，使$m\llcorner R_{i}$是绝对连续的$k_{i}$维Hausdorff措施。我们还表明，Lipschitz可微空间是双Lipschitz嵌入到一个欧氏空间是可求长的度量测度空间，我们的结论与Alexandrov空间的应用。
2017-01-20 math.DG math.FA math.MG
