Polynomials and algebraic curves related to certain binary and $b$-ary overpartitions
该研究引入计数受限二元超分拆的三元多项式序列，分析其与两类Chebyshev多项式相关的子序列的性质，证明零点位于特定代数曲线并深入研究部分曲线，还将结果推广到任意$b\geq2$的$b$元超分拆。
2024-05-20 math.CO math.NT
Sums of Digits in q-ary Expansions
令$s_q(n)$表示以基数$q$表示的数$n$的位数之和。我们在此研究了$q$和$α$的不同值的比率$\frac{s_q(n^α)}{s_q(n)}$。1978年，肯尼斯·B. Stolarsky表明，$\lim\inf_{n\rightarrow\infty}\frac{s_2(n^2)}{s_2(n)}=0$和$\lim\sup_{n\rightarrow\infty}\frac{s_2(n^2)}{s_2(n)}=\infty$使用一个明确的建设。我们证明了对于$α=2$和$q\geq 2$，上述比率实际上可以是任何正的有理数。我们还研究了当$α$是一个非整数的有理数时会发生什么，通过使用floor函数来终止结果表达式。
2014-08-01 math.NT
On the expansions of real numbers in two integer bases
设$r$和$s$是乘法独立的正整数。我们建立了一个无理实数的$r$ -ary展开和$s$ -ary展开，分别被看作是$\{0, 1, \ldots , r-1\}$和$\{0, 1, \ldots , s-1\}$上的无限字，不能同时具有低的块复杂度。特别是，它们不能都是Sturmian词。
2016-12-12 math.NT
Hyper $b$-ary expansions and Stern polynomials
我们研究了一个最近推出的基$b$多项式模拟斯特恩的双原子序列，推广了斯特恩多项式的Klavar，Dilcher，埃里克森，曼苏尔，Stolarsky，和其他人。将基$2$ Stern多项式的一些基本性质推广到任意基上，并给出了Stern多项式的一个矩阵刻画.通过特殊化，我们恢复了关于超$b$ -元分拆的一些新的数论结果，这些结果将$n$的分拆计数为$b$的幂.
2018-10-25 math.CO math.NT
On the expansions of real numbers in two multiplicative dependent bases
令$r \ge 2$和$s \ge 2$是乘法相关的整数。我们建立了一个下界的总和的块复杂性的$r$ -ary扩展和$s$ -ary扩展的无理实数，被视为无限的字在$\{0, 1, \ldots , r-1\}$和$\{0, 1, \ldots , s-1\}$，我们表明，这个界是最好的可能。
2016-09-21 math.NT
Words and Transcendence
通过考虑在某些基$b\ge2$中的$b$元展开式，是否可能区分代数实数和超越实数？1950年，任。博雷尔建议，答案是否定的，并为任何真正的无理代数数$x$和任何基地$g\ge2$，$g$ -ary扩展$x$应满足一些法律，是共享的几乎所有数字。没有明确已知的三重$(g,a,x)$的例子，其中$g\ge3$是整数，$a$是$\{0,...,g-1\}$中的数字，而$x$是实无理代数数，因此人们可以声称数字$a$在$x$的$g$进制展开中无限频繁地出现。然而，最近取得了一些进展，主要归功于施密特子空间定理的巧妙使用。我们回顾其中的一些结果。
2009-08-27 math.NT
On two notions of complexity of algebraic numbers
本文利用子空间定理的定量版本，推导出无理代数数的块复杂性和b进制展开中数字变化数量的改进下界。
2007-09-11 math.NT
Normality of different orders for Cantor series expansions
设$S \subseteq \mathbb{N}$具有这样的性质：对于每个$k \in S$，集合$(S - k) \cap \mathbb{N} \setminus S$具有渐近密度$0$。证明了存在一个基本序列$Q$，其中$Q$ -正规于$S$中的所有阶，但不正规于$S$中的所有阶的数集$Q$具有全Hausdorff维数.如果函数$k \mapsto 1_S(k)$是可计算的，则存在可计算的例子。例如，存在可计算基本序列$Q$，其中所有偶数阶正规而所有奇数阶不正规的数的集合具有全Hausdorff维数。这与$b$ -元展开式有很强的相似性，在$b$-元展开式中，任何对于$k$阶正规的实数也必须对于$1$和$k-1$之间的所有阶正规。此外，我们构造的所有数字都满足一个不寻常的条件，即沿着非平凡算术级数采样的块频率不会收敛到期望值。这也与$b$元展开的情况形成强烈对比，但更类似于连分数展开的情况。作为推论，当沿着任何非平凡算术级数采样时不正常的$Q$ -正常数的集合具有全Hausdorff维数。
2016-07-25 math.NT
Rational approximation to values of G-functions, and their expansions in integer bases
在Andr{é}和Chudnovsky的工作的基础上，我们证明了关于任意具有有理Taylor系数的G-函数F在有理点a/b处的值用形式为n/（B $\times$ b^m）的分数逼近的一般结果，其中整数B是固定的.作为推论，我们证明了如果F不在Q（z）中，则对于任何$ε$ > 0，|F（a/b）-- n/b^m| $\ge$ 1/b^{m（1+ $ε$）}，条件是b和m相对于a、$ε$和F足够大。这使我们能够获得当b $\ge$ 2时F（a/b）的b元展开中模式重复的新结果。特别地，定义N（n）为F（a/b^s）从第n位开始的b元展开式中连续相等位数的个数，证明了lim sup N（n）/n $\le$ $ε$，只要整数s $\ge$ 1使得bs相对于a，$ε$和F足够大.这是一个步骤的猜想，这一限制应等于0时，F（a/b）是一个无理数。我们所有的结果都是有效的。
2017-10-11 math.NT
On $p$-adic valuations of colored $p$-ary partitions
令$m\in\N_{\geq 2}$和对于给定的$k\in\N_{+}$，考虑由幂级数展开$$ \prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\left(1-x^{m^{n}}\right)^{k}}=\sum_{n=0}^{\infty}A_{m,k}(n)x^{n}. $$定义的序列$(A_{m,k}(n))_{n\in\N}$。数$A_{m,k}(n)$将$n$的表示数计数为$m$的幂的和，其中每个被加数在$k$颜色中有一个。本文证明了对于每个$p\in\mathbb{P}_{\geq 3}$和$s\in\N_{+}$，数$A_{p,(p-1)(p^s-1)}(n)$的$p$ -进赋值对于$n\geq p^s$等于1.我们也得到了一些结果有关的行为序列$(ν_{p}(A_{p,(p-1)(up^s-1)}(n)))_{n\in\N}$固定$u\in\{2,\ldots,p-1\}$和$p\geq 3$。我们的研究结果概括了Gawron，Miska和第一作者对$p=2$的早期研究结果。
2018-09-12 math.NT
Reflection theorems of Ohno-Nakagawa type for quartic rings and pairs of $n$-ary quadratic forms
该论文证明了大野-中川型反射定理，涉及四次环、二次型对及相关矩阵数量，还为科恩等人关于此类反射定理无限族的问题提供了答案。
2026-08-31 math.NT
Construction of normal numbers via pseudo-polynomial prime sequences
本文通过连接伪多项式在素数处求值的$q$元展开式构造基$q$中的正规数。这推广了Tichy和作者最近的一个结果。
2014-12-10 math.NT
Continued fraction expansions of algebraic numbers
本文建立了两个代数数的连分数展开式的独立性。粗略地说，如果两个无理代数数的连分数展开式有相同的长子字，则这两个连分数展开式有相同的尾。如果两个展开式具有镜像对称的长子字，则这两个代数数都是二次的。应用上述结果，我们证明了一个类似于Roth定理的关于代数数逼近的定理.
2017-02-09 math.NT
On Newman's phenomenon in higher bases
一个众所周知的结果纽曼说，到一个限制，倍数的$3$偶数1的二进制表示总是超过倍数的$3$奇数1的。偶数个1占优势的现象现在被称为纽曼现象。我们发现，这种现象存在于更高的基地。令$b$为正整数（$\geq 2$）。设$A_{b}$是所有在b进制展开中只包含0和1的自然数的集合，$S^{(b)}_{q,i}(n)$是在b进制展开中具有偶数个1的$k_e<n$、$k_e\equiv i \mod q$、$k_e\in A_{b}$和$k_e$的对应数与在b进制展开中具有奇数个1的$k_o$、$k_o\equiv i \mod q$、$k_o\in A_{b}$和$k_o$的对应数之间的差。令$q$是$b+1$的倍数或除数，它与$b$互质，然后我们证明了对于足够大的$n$，$S^{(b)}_{q,0}(n)>0$。我们表明，有一个更强的纽曼现象在$A_b$在以下意义上。如果$b>2$和$n=\sum_{i=0}^{k-1}b_i2^i$与$b_i\in \{0,1\}$，则让$b(n)=\sum_{i=0}^{k-1}b_ib^i$然后$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{S^{(2)}_{3,0}(n)}{S^{(b)}_{b+1,0}(b(n))}=0$。也就是说，对于相同数量的术语，$A_b$比$A_2=\mathbb{N}$具有更强的优势。在最后一节中…
2015-11-10 math.NT
On the complexity of algebraic number I. Expansions in integer bases
令$b \ge 2$为整数。证明了每个无理代数数的$b$ -adic展开式不可能具有低复杂度.此外，我们建立了无理态射数是超越的，对于一个广泛的类态射。特别地，无理自动数是超越的。我们的主要工具是一个新的，组合超越标准。
2005-11-28 math.NT
The digit exchanges in the rotational beta expansions of algebraic numbers
该研究针对代数数的β展开问题，给出了β为Pisot或Salem数时数字交换次数的新下界，定义了准Pisot数与准Salem数推广原有数类，方法可推广至复代数数展开，并研究了特定基下的旋转β展开与zeta展开的数字特性。
2022-05-17 math.NT
Algebraic dependence in generating functions and expansion complexity
2012年，Diem为加密序列引入了一个新的品质因数，称为扩展复杂度。最近，一系列的论文已经发表了分析的扩展复杂性和测试序列在这个新的措施的随机性。在本文中，我们继续这一分析。首先，我们研究的基础多项式理想的Gröbner基础方面的扩展复杂性。其次，我们证明了随机序列的扩展复杂度的界。最后，我们研究了由微分方程定义的序列的扩展复杂度，包括逆生成元。
2019-05-03 math.NT
On $β$-adic expansions of powers of algebraic integer omitting a digit
East China Normal University（华东师范大学）；Jinan University（暨南大学）
本文研究了代数整数幂的β进制展开中排除特定数字的性质，证明了其数量随N的变化规律。
2025-12-04 math.NT
On $p$-adic valuations of certain $m$ colored $p$-ary partition functions
令$k\in\N_{\geq 2}$和对于给定的$m\in\Z\setminus\{0\}$考虑由幂级数展开$$ \frac{1}{(1-x)^{m}}\prod_{i=0}^{\infty}\frac{1}{(1-x^{k^{i}})^{m}}=\sum_{n=0}^{\infty}S_{k,m}(n)x^{n}. $$定义的序列$(S_{k,m}(n))_{n\in\N}$。$m\in\N_{+}$的数字$S_{k,m}(n)$具有自然的组合解释：它将$n$的表示数计数为$k$的幂的和，其中等于$1$的部分在$mk$颜色中取一个，并且每个部分$>1$取$m(k-1)$颜色。我们专注于$k=p\in\mathbb{P}$时的病例。我们的主要结果是计算的$p$ -进的$S_{p,m}(n)$估值的确切值。特别地，在每种情况下，$ν_{p}(S_{p,m}(n))$的值的集合是有限的，并且最大值由$\op{max}\{ν_{p}(m)+1,ν_{p}(m+1)+1\}$限定。我们的结果可以看作是早期的工作Churchhouse和最近的工作Gawron，Miska和Ulas，和本作者的概括。
2019-04-06 math.CO math.NT
Algebraic integers with continued fraction expansions containing palindromes and square roots with prescribed periods
本文刻画了连分数展开包含回文序列且具有指定周期的代数整数，特别利用 Fibonacci 多项式处理各项均为 m 的特殊情形，并推导出相应整数平方根展开及正负 Pell 方程的基本解。
2024-06-07 math.NT
Typicality of normal numbers with respect to the Cantor series expansion
固定整数序列$Q=\{q_n\}_{n=1}^\infty$，使所有$n$的$q_n$都大于或等于2。本文改进了J. Galambos和F. Schweiger证明了对于满足一定条件的序列$Q$，几乎所有（在勒贝格测度意义下）$[0,1)$中的实数相对于$Q$ -Cantor级数展开是$Q$ -正规的.我们还提供了渐近描述的数字块中的$Q$ -康托级数展开的一个典型的数字的出现次数。引入了强$Q$ -正规性的概念，它满足一个类似的典型性结果.这两个概念对于$b$ -元展开是等价的，但是对于康托级数展开，强正规性比正规性更强。为了证明这一点，我们提供了一个显式的结构序列$Q$和一个实数，是$Q$ -正常的，但不是强$Q$ -正常的。我们利用本文的结果证明了在序列$Q$上的一个较弱的条件下，A. \cite{Renyi}中的Rényi将在$[0,1)$中密集。
2011-08-30 math.NT
Asymptotic expansion of the difference of two Mahler measures
我们证明了对于几乎所有复系数多项式P（x，y），P（x，y）和P（x，x^n）的对数Mahler测度之差可以展开为一种形式级数，类似于1/n的渐近幂级数展开.这推广了Boyd的一个结果。我们还表明，这样的扩展是唯一的，并提供了一个公式，其系数。当P具有代数系数时，展开式中的系数是具有代数系数的代数数的多项式的线性组合。
2011-11-11 math.NT
Algebraic continued fractions in F_q((T^{-1})) and recurrent sequences in F_q
在有限域上存在一个特殊的代数幂级数子集，由于不同的原因，它可以与二次实数子集相比较。这些元素的连分数展开称为超二次，有时可以显式表示。在这里，我们描述了一个广泛的家庭的超二次幂级数的奇特征的这种扩展。当有限基域不是素域时，这导致考虑有趣的递归序列。
2008-05-29 math.NT
Polynomial Continued Fractions for Algebraic Numbers
本文证明任何实三次代数数可展开为多项式系数的连分数，并提及若干推广。
2025-02-26 math.NT
Digit expansions in rational and algebraic basis
本研究提出以高斯数域中模大于1的代数数为基的α-展开方法，推广了有理基数系统，证明其几乎处处唯一性，并结合p-进完备化与复平面平铺完成刻画。
2025-05-20 math.NT
Existence and Optimality of $w$-Non-adjacent Forms with an Algebraic Integer Base
我们考虑格中的自同态作为基础的数字扩张。我们专注于$w$ -非相邻形式（$w$ -NAF），其中每个块的$w$连续数字包含最多一个非零数字。我们证明了，对于足够大的$w$和扩展自同态，有一个合适的数字集，使每个格元素有一个作为$w$ -NAF的扩展。如果自同态的特征值足够大，并且$w$足够大，则示出了$w$ -NAF，以最小化使用相同数字系统的相同格元的所有可能的扩展之间的权重。
2012-05-20 math.NT
Beta-conjugates of real algebraic numbers as Puiseux expansions
在计数系统的Rényi-Parry动力学和β-变换的背景下，Boyd引入了计数基$β> 1$的β-共轭，其中$β$是Parry数。这些β-缀合物与$β$按规范结合。设$β> 1$为实代数数。根据β-变换的Parry上函数$f_β(z)$，引入了$β$的β-共轭的更一般的定义。引入了与$f_β(z)$相关的曲线在$(0,1/β) \in \mathbb{C}^{2}$上的芽的概念以及$β$的极小多项式的倒数.这个芽根据Puienix的理论被分解成不可约元，聚集成共轭类。在此新的上下文中，根据Puixix展开，给出了$β$的β-共轭物的新的等价定义。若$β$是Parry数，则β变换的（Artin-Mazur）动力学zeta函数$ζ_β(z)$（与$f_β(z)$简单相关）被表示为乘积公式，在一定的假设下，得到了黎曼ζ函数的Euler乘积的一种类似形式，并由芽推出了$β$的Parry多项式的因式分解.
2011-05-03 math.NT
On the complexity of algebraic numbers II. Continued fractions
无理数$α$的连分数展开最终是周期的当且仅当$α$是二次无理数。然而，很少有人知道的大小部分代数实数的次数至少为三。由于一些数值证据和相信这些数在这方面表现得像大多数数，因此经常假设它们的部分连续性形成一个无界序列。更谦虚地说，我们可以预期，如果一个无理数$α$的部分行列式序列在某种意义上是“简单的”，那么$α$要么是二次的，要么是超越的。“简单”一词当然可以有多种解释。它可以表示实数，其连分数展开具有一定的规律性，或者可以通过简单的算法（例如，通过简单的图灵机）产生，或者源于简单的动力系统.本文的目的是以统一的方式给出关于三次以上代数实数的连分数展开式的简单性/复杂性概念的这些不同方法的几个新结果。
2005-11-28 math.NT
Combinatorial structure of Sturmian words and continued fraction expansions of Sturmian numbers
设$θ= [0; a_1, a_2, \dots]$是无理实数$θ\in (0, 1)$的连分数展开式.众所周知，斜率为$θ$的特征Sturmian字是有限字序列$(M_k)_{k \ge 0}$的极限，其中长度为$q_k$（收敛于$θ$的$k$的分母）的$M_k$是$M_{k-1}$的$a_k$拷贝和$M_{k-2}$的一个拷贝的适当级联。我们的第一个结果扩展到任何Sturmian词。令$b \ge 2$为整数。我们的第二个结果给出了任何实数$ξ$的连分数展开式，其$b$元展开式是字母表$\{0, b-1\}$上的Sturmian字${\bf s}$。这扩展了经典的结果Böhmer谁认为只有情况下，${\bf s}$是特征。因此，我们得到了一个公式的$ξ$的无理性指数的斜率和截距的${\bf s}$。
2021-04-19 math.CO math.NT
Hankel determinants of the Cantor sequence
本文给出了Cantor序列的Hankel行列式的递归方程，并证明了Hankel行列式作为二重序列是3-自动的.利用Hankel行列式证明了Cantor数即以Cantor序列为b元展开式的超越数的无理指数等于2.
2014-10-24 math.CO math.NT
On the irrationality exponent of real numbers with low complexity expansion
Université de Strasbourg et CNRS（斯特拉斯堡大学与法国国家科学研究中心）；Institut universitaire de France（法国高等研究院）；University of Tsukuba（筑波大学）；Dongguk University（东国大学）
研究实数展开的子词复杂度与其无理数指数的关系，证明当无理数指数为2时，子词复杂度序列的极限上界不低于4/3。
2026-03-20 math.CO math.DS math.NT
Incidence geometry and polynomial expansion over finite fields
University of Warwick（华威大学）
本文通过谱理论和代数几何方法，在有限域上建立更高次型Szemerédi-Trotter定理，并应用于多项式展开研究。
2024-08-05 math.CO math.NT
On the computational complexity of algebraic numbers: the Hartmanis--Stearns problem revisited
从计算的角度考虑了代数无理数的整数基展开式的复杂性。我们表明，Hartmanis-Stearns问题可以解决一个令人满意的方式为类的多栈机。在这个方向上，我们的主要结果是，基地$b$扩展的代数无理实数不能产生的确定性下推自动机。我们还证实了一个旧的索赔科巴姆证明，这样的数字不能产生的标记机的膨胀因子大于1。
2017-11-14 cs.CC math.CO math.NT
