Universal Coverings of the Orthogonal Groups
利用Clifford-Lipschitz群研究了正交群及其扩张的泛覆盖。给出了基本离散对称性（空间反演$P$、时间反演$T$、电荷共轭$C$及其组合$PT$、$CP$、$CT$、$CPT$）的代数描述。利用Clifford代数的基本自同构，研究了实数域和复数域上多维空间正交群的离散子群$\{1, P, T, PT\}$.基本自同构形成一个4阶有限群。电荷共轭由Clifford代数的复共轭伪自同构表示。这样的描述允许扩展自同构群。证明了一个扩展的自同构群（$CPT$ -群）构成一个8阶有限群.研究了扩张自同构群与有限群的群结构和同构。证明了$CPT$ -群存在64种不同的实现。给出了正交群的泛覆盖（Clifford-Lipschitz群）在$CPT$ -结构下的一个推广，其中包括著名的Shirokov-Dcabrowski $PT$ -结构作为特例.引入了商Clifford-Lipschitz群和商表示。结果表明，商群的完全分类依赖于扩展自同构群的各种子群的结构。
2004-05-13 math-ph math.MP
(Discrete) Almansi Type Decompositions: An umbral calculus framework based on $\mathfrak{osp}(1|2)$ symmetries
我们介绍了超复变量的影演算形式主义，从多元多项式$\BR[\underline{x}]$的代数应描述的Weyl-Heisenberg代数的生成元的事实。将$\BR[\underline{x}]$推广到Clifford值多项式代数$\mathcal{P}$，得到了Clifford值算子代数，其标准生成元同构于正交辛李代数$\mathfrak{osp}(1|2)$ .这种扩展提供了一个有效的框架，在连续性和离散性，使我们能够建立一个替代公式的阿尔芒西分解克利福德分析（c.f. \cite{Ryan90,MR02,MAGU}），它对应于子空间$\ker (D')^k$的Fischer分解的有意义的推广。我们将在后面讨论$\mathfrak{sl}_2(\BR)$的对称性（甚至是$\mathfrak{osp}(1|2)$的一部分）是如何在最近的\textsc{Render}方法中普遍存在的（c. f. \cite{Render08}），表明它们可以用量子力学中哈密顿算符的分离变量分离变量法来解释。
2011-05-17 math-ph math.CV math.MP
Permutation Symmetry Determines the Discrete Wigner Function
维格纳函数为量子力学提供了一个有用的准概率表示，在物理学的各个分支中都有应用。维格纳函数的许多优良性质都与相点算符构成的基本算符基的高度对称性密切相关：任何一对相点算符都可以通过酉对称变换为任何其他对。我们证明，在离散的情况下，这种置换对称性是等价的对称群是一个酉2-设计。这种高度对称的表示只能出现在除了2维和8维之外的奇素数幂维中。在所有可能的准概率表示中挑出一个唯一的离散维格纳函数就足够了。在我们的研究过程中，我们表明，这个离散的Wigner函数是唯一确定的Clifford协方差，而没有Wigner函数是Clifford协方差在任何偶数素数幂维数。
2016-01-10 math-ph math.MP quant-ph
Group Theoretical Description of Space Inversion, Time Reversal and Charge Conjugation
给出了基本离散对称性（空间反演P、时间反演T和电荷共轭C）的群论描述。利用Clifford代数的基本自同构，研究了实数域和复数域上多维空间正交群的离散子群。根据除环的结构，对实数域和复数域上的Clifford代数建立了自同构群的完全分类。利用Clifford代数的旋量表示研究了真正交Lorentz群的二维表示。实数，复数，四元数和八元数表示的洛伦兹群被认为是。Atiayh-Bott-Shapiro周期定义在Lorentz群上。介绍了洛伦兹群的商表示。结果表明，商表示是最适合的描述无质量的物理场。给出了基本物理场的代数构造。
2002-03-28 hep-th math-ph math.MP
Clifford Algebras and Lorentz Group
利用Clifford代数的旋量表示研究了真正交Lorentz群的二维表示。克利福德代数被理解为洛伦兹群的有限维表示的完整系统的“代数覆盖”。在所有的表示空间上定义了由Clifford代数的基本自同构表示的时空离散对称P、T和PT。实数，复数，四元数和八元数表示的洛伦兹群被认为是。不同类型的物理场在这样的表示中被公式化。Atiyah-Bott-Shapiro周期定义在Lorentz群上。结果表明，Clifford代数的模2和模8周期性可以使我们对de Broglie-Jordan中微子光理论和粒子物理中的Gell-Mann-Ne'emann八重方式有一个新的认识.在表示空间上，电荷共轭C由复Clifford代数的伪自同构表示。介绍了洛伦兹群的商表示。结果表明，商表示是最适合的描述无质量的物理场。作为例子，中微子场通过最简单的商表示来描述。给出了中微子场的Weyl-Hestenes方程。
2001-08-26 hep-th math-ph math.HO
Rank-3 root systems induce root systems of rank 4 via a new Clifford spinor construction
在本文中，我们表明，通过一种新的建设，每秩3根系诱导一个根系秩4。通过Cartan-Dieudonné定理，偶数个连续的Coxeter反射产生旋转，在Clifford代数框架中由旋量描述。在三维中，这些旋量本身具有自然的四维欧几里得结构，因此离散的旋量群可以被解释为4D多面体。事实上，我们表明，这些多面体必须是根系统，从而导致考克斯特群的秩4，和他们的自同构群包括两个因素的各自的离散旋量组平凡地作用在左边和右边的旋量乘法。这个一般定理的特殊情况包括特殊的四维群$D_4$，$F_4$和$H_4$，因此打开了一个新的理解这些结构的应用在旋几何。特别是，4D群在高能物理中无处不在。对于二维中的相应情况，群$I_2(n)$被证明是自对偶的，而通过八元数的类似构造，每个秩3的根系在8维中诱导一个根系;这个根系实际上是相应诱导的4D根系的两个副本的直和。
2016-02-18 hep-th math-ph math.MP
Integrable spin chains and the Clifford group
我们构造新的家庭的自旋链哈密顿量是本地的，可积的和几何不变的。为此，我们利用了在量子信息理论中出现的克利福德群。我们考虑平移不变的Clifford群变换，可以描述的矩阵乘积算子（MPO）。我们分类的平移不变的克利福德群变换，包括一个移位算子和键维2的MPO-这包括变换，保持局部的所有哈密尔顿;以及那些导致非局部图像的特定运营商，但仍然保持局部的某些哈密尔顿。我们将平移不变的克利福德群变换，采取单网站泡利运营商本地运营商在最多5个网站-量子元胞自动机的例子-导致一个离散的家庭的哈密尔顿是等价于在这样的变换下的典型XXZ模型。对于自旋链可解的代数贝特Answer，我们解释如何共轭的矩阵乘积算子影响的基本可积结构。这使我们能够将我们的结果与可积哈密顿算子的通常分类联系起来。我们还处理的情况下，自旋链可解的自由费米子。
2022-04-08 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Group Theoretical Interpretation of the CPT-theorem
研究了基本离散对称性（空间反演P、时间反演T、电荷共轭C及其组合PT、CP、CT、CPT）的代数描述。利用Clifford代数的基本自同构，研究了实数域和复数域上多维空间正交群的离散子群{1，P，T，PT}.基本自同构形成一个4阶有限群。电荷共轭由Clifford代数的伪自同构表示。这样的描述允许扩展自同构群。证明了一个扩张自同构群（CPT-群）构成一个8阶有限群。研究了扩张自同构群与有限群的群结构和同构。证明了CPT-群存在64种不同的实现。给出了正交群的泛覆盖（Clifford-Lipschitz群）在CPT-结构下的一个推广，其中包括著名的Shirokov-Dabrowski PT-结构作为特例.
2004-05-21 hep-th math-ph math.MP
Duality theory for Clifford tensor powers
本文为涵盖 qubit 系统的 Clifford 群张量幂表示提供了统一的对偶理论框架，推广了 eta 对应，并提出了高效实现黑盒 Clifford 幺正演化复共轭的协议。
2024-11-03 math-ph math.MP math.RT
Super-symmetric informationally complete measurements
对称信息完全测量是希尔伯特空间中的一种高度对称的结构。它们具有许多优良的特性，使它们成为基准测量的理想候选者。SICs的对称性与量子态空间的几何结构密切相关，对基础研究也有深远的意义。在这里，我们探索那些最对称的SIC，根据一个自然的标准，并表明他们都是协变的海森堡-外尔群，其特征在于离散类比的典型的交换关系。而且，它们的对称群是Clifford群的子群。特别地，我们证明了2维SIC、3维Hesse SIC和8维Hoggar线集是唯一的三个直到酉等价的SIC，它们的对称群传递作用于SIC投影子对上.我们的工作不仅提供了有关SICs、Heisenberg-Weyl群和Clifford群的有价值的见解，而且为研究有限态量子力学背后的许多其他离散对称结构，如互无偏基和离散Wigner函数，提供了一种新的方法和视角。
2015-08-23 math-ph math.MP quant-ph
Schur-Weyl Duality for the Clifford Group with Applications: Property Testing, a Robust Hudson Theorem, and de Finetti Representations
Schur-Weyl对偶性是量子信息中一个普遍存在的工具。它的核心是这样一个陈述，即与所有酉的张量幂交换的算子空间被张量因子的排列所跨越。在这项工作中，我们描述了一个类似的对偶理论的张量幂的克利福德酉。克利福德群是量子信息许多子领域的中心对象，在容错理论中最为突出。对偶理论在有限几何中有一个简单而清晰的描述。我们在几个应用中证明了它的有效性：（1）我们通过证明“稳定性”是有效可测试的来解决量子性质测试中的一个开放问题：有一个协议，给定对未知状态的六个副本的访问，可以确定它是否是稳定态，或者它是否远离稳定态集。我们给出了Clifford群的一个相关的成员检验。(2)我们发现稳定子态的张量幂有一个增加的对称群。我们提供了相应的de Finetti定理，表明具有这种对称性的任意状态的减少是很好的近似稳定张量功率的混合物（在某些情况下，指数良好）。(3)我们证明了一个纯态到稳定子集合的距离可以根据其维格纳函数的和负性而有下界。这为和负性（以及相关的mana）赋予了新的量化含义--一种与容错量子计算相关的度量。该结果构成了离散Hudson定理的一个鲁棒推广。(4)我们证明了任意阶的复射影设计可以从有限个Clifford轨道得到（与量子数无关）。为了证明这一结果，我们给出了随机稳定子状态的任意矩的显式公式。
2021-01-16 math-ph math.MP math.RT
The CPT Group in the de Sitter Space
在Clifford代数的自同构集的框架下，研究了de Sitter空间中Dirac场的$P$-，$T$ -，$C$ -变换.阐明了离散变换的有限群结构。证明了Dirac场在Minkowski空间和de Sitter空间中的$CPT$群是同构的.
2005-08-18 math-ph math.MP
A Clifford algebraic framework for Coxeter group theoretic computations
具有反射和旋转对称性的真实物理系统，如病毒、富勒烯和准晶体，最近已经成功地用三维（仿射）Coxeter群建模。受此进展的启发，我们在这里探索在几何代数框架中执行相关计算的好处，该框架特别适合于描述反射。从考克斯特发电机的反射，我们描述了如何相关的手征（旋转），充分（考克斯特）和二元多面体群可以很容易地产生和处理在一个统一的方式在一个versor形式主义。特别地，这产生了二元多面体群作为离散旋量群的简单构造。这些又被称为生成四维李群和考克斯特群，特别是例外群D_4，F_4和H_4。克利福德代数的方法，从而揭示了一个意想不到的连接之间的考克斯特群的秩3和4。我们将讨论如何将这些考虑和计算扩展到共形几何代数的设置，特别是对于非晶体组，并构建根系和准晶点阵列。最后，我们以二维非晶体Coxeter群I_2（n）和三维群A_3，B_3以及二十面体群H_3为例，说明了Clifford变换框架是如何阐明Coxeter元和Coxeter平面的几何的。
2013-07-26 cond-mat.mtrl-sci hep-ph hep-th
CPT groups for spinor field in de Sitter space
利用超特殊有限群研究了de Sitter空间中旋量场的离散变换（宇称变换、时间反演变换和电荷共轭变换）的群结构。引入了两个$CPT$群，第一个群来自于对旋量场的de Sitter-Dirac波动方程的分析，第二个群来自于基于Clifford代数自同构集的纯代数方法.证明了这两个群是同构的。
2005-12-04 math-ph math.MP
Laplace and Dirac Operators on Graphs
拉普拉斯和狄拉克算子的离散版本已在统计力学和量子场论的组合模型的背景下进行了研究。在本文中，我们介绍了几个变化的拉普拉斯和狄拉克运营商的图，我们调查的薛定谔和狄拉克方程的图论版本。我们提供了一个组合的解释方程的解决方案，我们证明了格图上的狄拉克算子，以及图克利福德代数的胶合身份。
2022-03-05 math-ph math.CO math.MP
Quantum circuit dynamics via path integrals: Is there a classical action for discrete-time paths?
只要量子线路中的门是平衡的，就可以直接给出该线路的跃迁振幅的路径求和表达式，其中平衡是使所有非零跃迁振幅具有相等的幅度。在这里，我们考虑的问题是，对于这样的电路，通过配置空间的不同的离散时间路径的相对相位是否可以定义在一个经典的行动，因为他们是连续时间的路径。我们展示了如何做到这一点的某些类型的量子线路，即Clifford电路的基本系统是连续变量系统或离散系统的奇素数维。这些类型的电路的区别在于具有用于定义其经典对应物的相空间表示。对于离散系统，相空间坐标也是离散变量。我们表明，对于每个门的生成集，可以关联的相空间上的symplectomorphism和每个这些可以关联的生成函数，定义在两个副本的配置空间。对于离散系统，后者的关联是使用代数几何的工具实现的。最后，我们表明，如果行动功能的离散时间路径通过一个序列的门定义使用相应的生成函数的总和，那么它会产生正确的相对相位的路径和表达式。这些结果可能是相关的量子化物理理论的时间是从根本上离散的，离散时间量子动力学的经典极限的特点，并证明复杂性结果的量子线路。
2017-08-14 math-ph math.MP quant-ph
Holographic classification of Topological Insulators and its 8-fold periodicity
使用一般的克利福德代数在任何空间维度的属性，我们明确分类狄拉克哈密顿与零模式的时间反演，粒子洞对称性和手征的离散对称性的保护。假设拓扑绝缘体的边界态是狄拉克费米子，我们由此全息再现了Kitaev和Ryu发现的拓扑绝缘体的周期表。et. al，不使用拓扑不变量，也不使用K-理论。此外，我们发现候选Z_2拓扑绝缘体在类A1，AII中的尺寸0，4 mod 8和类C，D中的尺寸2，6 mod 8。
2012-05-16 cond-mat.str-el hep-th math-ph
