Fixed block configuration group divisible designs with block size six
我们目前的建设和结果GDD与两个群体和块大小为6。我们研究的GDD中，每个块的配置（s，t），也就是说，其中每个块正好有s点从两个组之一和t点从其他。我们证明了具有固定块结构（3，3）的GDD（n，2，6;λ1，λ2）s存在的必要条件是充分的.对于配置（1，5），我们给出了所有群大小n \geq 5（n = 10、15、160或190除外）的最小或接近最小索引的例子。对于组态（2，4），我们给出了几个GDD（n，2，6;λ1，λ2）族的结构.
2011-05-07 math.CO
Semi-cyclic holey group divisible designs with block size three and applications to sampling designs and optical orthogonal codes
研究了（n，m^t）型半循环Holey群可分设计的存在性问题，其中（n，m ^t）型3-SCHGDD表示为区组长度为3.当t是奇数且n \neq 8或t是双偶数且t \neq 8时，存在性问题完全解决;当t是单偶数时，得到许多无穷族。本文还讨论了我们的结果在二维平衡抽样方案和最优二维光正交码中的应用。
2014-10-22 math.CO
Constructions of Sarvate-Beam Group Divisible Designs
平衡不完全区组设计是一个集合系统，其中所有不同元素对以恒定频率出现。相比之下，Sarvate-Beam设计在对上引起不同频率的间隔。本文研究了区组大小为3的均匀型可分组设计的Sarvate-Beam变式的存在性。
2022-01-03 math.CO
Divisible difference families from Galois rings GR(4,n) and Hadamard matrices
我们给出了一种新的差分族的构造，它推广了Szekeres的差分族\cite{Sze} .作为直接结果，我们得到了有限域的乘法子群中多块差族的一些新的例子。我们还证明了伽罗瓦环GR（4，n）的单位子群中存在具有两个块的可除差族无限族。利用可分差分族和一个新的矩阵阵列，得到了对称Hadamard矩阵的一种新的构造方法。
2012-12-13 math.CO
Group divisible designs with block size 4 and type g^u m^1 - II
我们证明了存在g^u m^1型4-GDD的必要条件对于g全等于0（mod h），h = 39，51，57，69，87，93和g = 13，17，19，23，25，29，31和35是充分的.更一般地说，我们证明了，对于所有g全等于3（mod 6），可能的例外情况只发生在u = 8和g不能被任何9，15，21，33，39，51，57，69，87或93整除时。因此，我们能够扩展已知的频谱g全等为1和g全等为5（mod 6）。我们还完成了（3a）^4（6a）^1（3b）^1型4-GDD的光谱。
2018-06-19 math.CO
Group divisible designs with block size 4 and group sizes 2 and 5
本文构造型为 $2^2 5^5$ 的 $4$-GDD，解决30点内最后遗留的可行型存在性问题，并刻画型为 $2^t 5^s$ 的 $4$-GDD 除有限例外参数对外的普遍存在性。
2022-03-20 math.CO
Group Divisible Designs with $λ_1=3$ and Large Second Index
可分组设计$\mbox{GDD}(m,n;λ_1,λ_2)$是有序对$(V, \cal{B})$，其中$V$是符号的$(m+n)$ -集合，而$\cal{B}$是$3$ -子集的集合将$(m+n)$ -集合分成大小为$m$和大小为$n$的2个组：来自同一组的每对符号恰好出现在$\cal{B}$中的$λ_1$块中，而来自不同组的每对符号恰好出现在$\cal{B}$中的$λ_2$块中。$λ_1$和$λ_2$分别被称为第一索引和第二索引。在这里，我们专注于$\mbox{GDD}$的存在性问题时，$λ_1=3$和$λ_2>3$。我们得到的必要条件，并证明这些条件是充分的大多数情况下。
2018-02-25 math.CO
Semi-cyclic holey group divisible designs with block size three
本文讨论了（n，m^t）型半循环Holey群可分设计的存在性问题，其中（n，m^t）型半循环Holey群可分设计表示为（n，m^t）型3-SCHGDD，其区组长度为3.当n=3时，（3，m ^t）型3-SCHGDD等价于（3，mt;m）-循环Holey差分矩阵，记为（3，mt;m）-CHDM。证明了存在（3，mt;m）-CHDM当且仅当（t-1）m \equiv 0（mod 2）和t \geq 3（m \equiv 0（mod 2）和t=3除外）.当n \geq 4时，考虑t奇数的情况。如果t \equiv 1（mod 2）和n \geq 4，则存在类型为（n，m^t）的3-SCHGDD当且仅当t \geq 3和（t-1）n（n-1）m \equiv 0（mod 6），除了n=6和8的一些可能的例外。本文的主要结果最近被作者用来构造权为3的不同自相关和互相关约束的最优二维光正交码。
2013-04-11 math.CO
Group divisible designs with block size four and type g^u m^1 - III
我们处理区组大小为4且群类型为g^u m^1的可分组设计，其中g = 2或4（mod 6）。当g = 14，20，22，26，28，32，34，38，40，44，46，50，52，58，62，68，76，88，92，100，104，116，124，136，152时，我们证明了g^μ m^1型4-GDD存在的充分必要条件，160、176、184、200、208、224、232、248、272、304、320、368、400、448、464和496。利用这些结果，我们进一步证明了对于g = 2 ^t q^s，q = 19，23，25，29，31，s，t = 1，2，.，以及对于g = 2 ^t q，q = 2，5，7，11，13，17，t = 1，2，.，除了少数几个大的m值可能是56^9 m^1、80^9 m^1和112^9 m^1之外。
2019-03-17 math.CO
Divisible Arm Lengths, Crystal Reflections, and Enumeration of Newly Found Decomposition Columns
Michigan Technological University（密歇根理工大学）；Okinawa Institute of Science and Technology（冲绳科学技术大学院大学）
本文研究并枚举了满足特定钩长可除条件的划分，证明了晶体反射保持d-平衡性质，并给出了e-正则划分在块中的计数公式。
2026-06-29 math.CO
New infinite families of $q$-analogs of group divisible designs with arbitrary block dimension
Beijing Jiaotong University（北京交通大学）；School of Mathematics and Statistics（数学与统计学院）
本文提出利用群可除设计的 $q$-析取构造及其应用，通过分析 $G=\GL(m,q^l)$ 在 $Ω_k^{k-1}$ 上的作用，获得新的无限族简单 $q$-析取群可除设计，并建立递归构造方法生成新的设计族。
2026-04-26 math.CO
Maximum $w$-cyclic holely group divisible packings with block size three and applications to optical orthogonal codes
本文研究了块大小为3的$w$ -循环空群可分填充（简称$3$ -HGDPs）的组合构造.对于具有$u\equiv0,1~(\bmod~3)$的任何正整数$u,v,w$，确定$(u,w^v)$类型的最大$w$ -循环$3$ -HGDP的基块的确切数目.该结果用于确定最大三维$(u\times v\times w,3,1)$光正交码中码字的确切数目，其中每个空间平面和每个波长平面至多有一个光脉冲。
2020-06-12 cs.IT math.CO math.IT
Chain enumeration of $k$-divisible noncrossing partitions of classical types
本文给出了经典型$k$ -可分非交叉分拆中重链个数公式的组合证明，并给出了Krattenthaler和M{ü}ller关于秩和块大小的条件.我们还证明了阿姆斯特朗的猜想zeta多项式的偏序集$k$ -可分的不相交分区的类型$A$不变下的$180^\circ$旋转的循环表示。
2011-08-29 math.CO
Group divisible designs with block size four and type $g^u b^1 (gu/2)^1$
我们讨论区组大小为4且类型为$g^u b^1 (gu/2)^1$的可分组设计，其中$u = 5$为6和7。对于整数$a$和$b$，我们证明以下内容。(i)当且仅当$a \ge 1$、$b \equiv a$（mod 3）和$4a \le b \le 10a$时，$(4a)^5 b^1 (10a)^1$类型的4-GDD存在。(ii)当且仅当$a \ge 0$、$b \equiv 3$（mod 6）和$6a+3 \le b \le 18a + 9$时，$(6a+3)^6 b^1 (18a+9)^1$类型的4-GDD存在。(iii)$(6a)^6 b^1 (18a)^1$类型的4-GDD存在当且仅当$a \ge 1$、$b \equiv 0$（mod 3）和$6a \le b \le 18a$。(iv)$(12a)^7 b^1 (42a)^1$类型的4-GDD存在当且仅当$a \ge 1$、$b \equiv 0$（mod 3）和$12a \le b \le 42a$，除了可能对于$12a \in \{120, 180, 240, 360, 420, 720, 840\}$为$24a < b < 42a$、对于$12a \in \{144, 1008\}$为$30a < b < 42a$和对于$12a \in \{168, 252, 336, 504, 1512\}$为$36a < b …
2019-06-05 math.CO
Colourings of Uniform Group Divisible Designs and Maximum Packings
University of New Brunswick（新不伦瑞克大学）；Toronto Metropolitan University（多伦多都会大学）；University of Queensland（昆士兰大学）；Memorial University of Newfoundland（纽芬兰纪念大学）
本文研究了均匀群可分设计的弱着色和最大打包，提出了块均衡 2-着色的构造方法，并推广了相关界到 $c>2$ 的情况。
2026-02-20 math.CO
$q$-analogs of group divisible designs
组合设计理论中的一类众所周知的对象是{群可分设计}。在这里，我们介绍了$q$ -可分群设计的类似物。事实证明，有有趣的联系，分散子空间，$q$ -施泰纳系统，设计包装和$q^r$ -可分投射集。本文给出了群可分设计的$q$ -类似物存在的必要条件，构造了无穷级数的例子，并借助于计算机搜索提供了进一步的存在性结果。一个例子是在$\operatorname{GF}(2)$上的$(6,3,2,2)_2$群可分设计，其是由$180$块组成的设计包装，使得$\operatorname{GF}(2)^6$中的每个$2$维子空间最多被覆盖两次。
2019-03-01 math.CO
A bijection between necklaces and multisets with divisible subset sum
该研究证明了互质的$q$与$n$时，长度为$n$且颜色数不超过$q$的项链和整数模$n$且子集和可被$n$整除、元素重数严格小于$q$的多重集基数相同，并在$q$为素数幂时构造双射，还回答了Richard Stanley提出的双射问题。
2019-05-01 math.CO
Classification of $Δ$-divisible linear codes spanned by codewords of weight $Δ$
本文分类了由重量为 $Δ$ 的码字张成的 $q$ 元 $Δ$-可分线性码，以 simplex 码等为构建块，推广了 Pless 和 Sloane 的结果，并为 Liu 关于射影情形下二元 $Δ$-可分码的定理提供了替代证明。
2023-02-15 math.CO
Strong difference families of special types
引入特殊类型的强差族，从渐近存在性和具体例子两个角度产生新的相对差族。作为应用，讨论了具有$6$的$30^u$型可分群设计，导出了$r\in\{6,10\}$的具有$6$的$r$ -旋转平衡不完全区组设计，并得到了几类具有$5$，$6$，$7$，或$8$的最优光正交码.
2019-08-26 math.CO
Group Divisible Codes and Their Application in the Construction of Optimal Constant-Composition Codes of Weight Three
本文引入了群可分码的概念，它是具有常数块长的群可分设计的推广。这类新的代码被证明是有用的递归结构的恒定重量和恒定组成的代码。大类的群可分码的构造，使确定的最佳常数组成代码的重量三（和指定的距离）的大小，只留下四种情况下待定。在此之前，重量为3的常成分码的大小仅为那些足够长的码所知。
2008-07-17 cs.DM cs.IT math.CO
Proof of the Kalai-Meshulam conjecture
设$G$是一个图，$f_G$是$(-1)^{|A|}$在所有稳定集$A$上的和.如果$G$是长度可被3整除的循环，则为$f_G= \pm 2$。出于拓扑考虑，G. Kalai和R. Meshulam猜想：如果图$G$的诱导圈的长度都不能被3整除，则$|f_G|\le 1$ .我们证明了这个猜想。
2018-09-28 math.CO
On zero-sum problems of new types
School of Mathematics, Nanjing University（南京大学数学系）
研究模n整数环上两种新零和问题，给出s1(n)和t1(n)的上下界，并猜想其精确值为2n+1和2n-(-1)^n。
2026-07-03 math.CO math.NT
Amply regular graphs with $μ$ close to half the valency and group divisible designs
Xiangtan University（湘潭大学）；Jiangxi University of Finance and Economics（江西财经大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）
本文分类了直径 $d \geq 4$、参数满足 $μ = (k-1)/2$（$k \geq 5$ 为奇数）的连通充分正则图，证明它们只能是 5-立方体、$K_2 \square Λ$（$Λ$ 是 14 个顶点上的唯一二部 $(0,2)$-图），或具有对偶性质的群可分组设计的点-区关联图，并利用 Paley 图、Peisert 图和 Paley 有向图构造了无限族。
2026-10-26 math.CO
A Method of Construction of Pairwise Additive Balanced Incomplete Block Designs
Saitama University（埼玉大学）；Matsue College of Technology（松江工业高等专门学校）
本文提出从ARSRGD设计及广义哈达玛矩阵构造成对可加BIB设计的新方法，结合广义哈达玛矩阵的已知结果得到含此前未知参数集的新无穷系列成对可加BIB设计。
2026-10-26 math.CO
Recursively divisible numbers
本文引入递归除数函数$κ_x(n)$并给出几何解释，推导其性质，证明$κ_0(n)$与有序分解数的关系，并通过计算高递归可除性数字恢复已知及提出新数字。
2023-08-07 cond-mat.stat-mech math.CO math.NT
On 2-adic orders of some binomial sums
证明了对任意非负整数$n$和$r$，二项式和$$ \sum_{k=-n}^n\binom{2n}{n-k}k^{2r} $$可被$2^{2n-\min\{α(n),α(r)\}}$整除，其中$α(n)$表示$n$的二进制展开式中1的个数.这证实了郭和曾的一个猜想。
2010-08-31 math.CO math.NT
Pentagonal geometries with block sizes 3, 4 and 5
五边形几何PENT（$k$，$r$）是一个部分线性空间，其中每条线或块都与$k$点关联，每个点都与$r$线关联，并且对于每个点$x$，都有一条线恰好与那些不与$x$共线的点关联。五边形几何中的相对线对由两条平行线组成，使得其中一条线上的每个点与另一条线上的那些点不精确地共线。给出了块大小为3的连通亏图的五角几何无穷序列的直接构造。此外，我们提出了39个新的五边形几何块大小为4和5块大小为5，所有连接的亏损图。因此，我们确定存在谱，直到不包含相反线对的PENT（4，$r$）和具有一个相反线对的PENT（4，$r$）的几个可能的例外。更一般地说，给定$j$，我们表明，存在一个PENT（4，$r$）与$j$相反的线对所有足够大的容许$r$。利用一些新的区组大小为5的可分组设计（包括$2^{35}$，$2^{71}$和$10^{23}$），我们显著地扩展了PENT（5，$r$）的存在谱.
2020-07-27 math.CO
Kirkman Systems that Attain the Upper Bound on the Minimum Block Sum, for Access Balancing in Distributed Storage
我们研究了一类称为Kirkman系统的组合设计，并证明了无穷多个Kirkman系统在精确意义上是均匀分布的。阶为$n$的Steiner三元系可以达到最小块和为$n$ . Kirkman三元系从Steiner三元系的块形成平行类。证明了存在无穷多个Kirkman三元系的最小块和为$n$ .我们将其扩展到四倍系统。然后，这些概念可以应用于分布式存储，以使用Kirkman三元系将数据分布在服务器上，并将服务器分布在位置上，同时使数据按受欢迎程度良好分布，按最小块总和测量。
2019-06-05 math.CO
GDD type Spanning Bipartite Block Designs
本文利用群可除设计与完全二分图的对应关系，提出从GDD或(r,λ)-设计及差矩阵构造生成双分块设计的方法，并解决v1远大于v2时的构造问题。
2023-08-31 math.CO
A method of constructing pairwise balanced designs containing parallel classes
本文探讨了在递归构造GDD并添加新点得到PBD后，如何进一步识别出区组平行类的方法。
2024-03-26 math.CO
Flows that are sums of hamiltonian cycles in Cayley graphs on abelian groups
如果X是任意有限阿贝尔群上的连通Cayley图，我们精确地确定了X上的哪些流可以写成哈密顿圈的和。(This Brian Alspach的回答）。特别地，如果X的次数至少为5，并且X具有偶数个顶点，则可以这样写的流恰好是偶数流，即流f，使得f的边流之和可被2整除。另一方面，也有4次的例子，其中不是所有的偶流都可以写成哈密顿圈的和。类似的结果是已知的，从工作的阿尔斯帕奇，洛克和维特，为情况下，X是立方的，或有一个奇数的顶点。
2004-02-06 math.CO
Sumfree sets in groups: a survey
我们讨论了几个问题有关的总和自由集的群体，提出了Erdos在他的调查“极值问题的数论“（会议论文集。Pure Math. VIII AMS）出版于1965年。除其他事项外，我们给出了一个大集合$A$在阿贝尔群$G$不包含一个子集$B$的固定大小$k$，使$B$的任何两个不同的元素之和不属于$A$（换句话说，$B$是无和关于$A$）。在上述调查中，Erders指出，如果$|A|$与$k$相比足够大，则$A$包含两个相加为零的元素。已知这对于$k \leq 3$是正确的。我们给出了所有$k \ge 4$的反例。另一方面，利用新的刻画结果，我们能够证明一个积极的结果时，$|G|$是不能整除的小素数。
2016-03-15 math.CO
Sum-free sets in abelian groups
设A是阿贝尔群G的子集.我们说A是无和的，如果在满足x + y = z的A中不存在x，y和z。对于任意G，我们确定G的最大无和子集的基数。这等于c（G）|G|，其中c（G）是依赖于G的常数，位于区间[2/7，1/2]中。我们还估计了G的无和子集的个数。结果是这个数的log_2是c（G）|G| + o（|G|），它紧到o项。对于某些阿贝尔群，即其阶可被3 k + 2形式的小素数整除的群，我们可以得到无和集的个数的渐近式。
2004-11-18 math.CO math.NT
An Analogue of the Erdős-Ginzburg-Ziv Theorem over $\mathbb Z$
设$\mathcal S$是整数的多重集合。我们说$\mathcal S$是一个$\textit{zero-sum sequence}$，如果它的元素之和是0。研究了零和序列的元素位于区间$[-k,k]$中，使得长度为$t$的子序列都是零和序列.考虑到这些限制，Augspurger，Minter，Shoukry，Sissokho，Voss证明了存在任意长的$t$ -避免，$k$ -有界零和序列，除非$t$可被$\mathrm{LCM}(2,3,4,\dots,2k-1)$整除。我们证实了这些作者的一个猜想，$k$和$t$，使这个整除条件成立，每一个零和序列的长度至少$t+k^2-k$包含一个零和子序列的长度$t$，这是最小的长度，这个属性。
2018-08-23 math.CO math.NT
No three algebraic conjugates of degree sixteen sum to zero
Institute of Mathematics, Faculty of Mathematics and Informatics, Vilnius University（维尔纽斯大学数学与信息学院数学研究所）
通过分类16个顶点上6度顶点传递图，证明不存在16次代数数使得其三个共轭之和为零，结合已有结果得出最小可能的次数d=20。
2026-06-04 math.CO math.NT
Avoiding Three Consecutive Blocks of the Same Size and Same Sum
我们证明了在字母表{0，1，3，4}上存在一个无限的字，它不包含三个相同大小和相同和的连续块。这回答了Pirillo和Varricchio在1994年提出的一个公开问题。
2011-08-09 cs.DM math.CO
Two local zero-sum problems
Center for Applied Mathematics, Tianjin University（天津大学应用数学中心）；Tianjin 300072, P.R. China（中国天津 300072）；School of Mathematical Sciences, Chengdu University of Technology（成都理工大学数学科学学院）；Chengdu 610059, P.R. China（中国成都 610059）
研究两个局部零和问题，对于给定不被\(n\)整除的整数及与\(n\)互质的整数，分别探讨选取部分整数使其和满足特定整除条件的最小个数。证明了在\(\mathrm{rad}(n)\mid\mathrm{rad}(k)\)等条件下相关最小个数的值，并确定了逆问题。
2026-07-14 math.CO math.NT
Counting sum-free sets in Abelian groups
本文研究了有限阿贝尔群中$m$阶的和自由集。我们证明了3-一致超图的一个一般定理，它使我们能够从稠密设置中的稳定性结果推导出稀疏设置中的结构结果。因此，对于每个$m \ge C(q) \sqrt{n \log n}$，我们确定了阿贝尔群$G$中阶$q$的无和集的典型结构和渐近数，从而推广和改进了Green和Ruzsa的一个定理.特别是，我们证明了几乎所有的无和子集的大小$m$包含在一个最大大小的无和子集的$G$。我们还给出了一个完全自包含的证明，这一声明的阿贝尔群的偶数阶，它使用谱方法和一个新的界限上的数量的独立集的大小$m$在$(n,d,λ)$ -图。
2012-01-31 math.CO math.NT
Block Tensor Rank of Sum-Rank Metric Codes
Nanyang Technological University（南洋理工大学）；Hanoi University of Science and Technology（河内科学技术大学）；VinUniversity（文莱大学）
本文引入和秩度量码的块张量秩，证明其可加性分解，并基于投影和坐标码导出下界，构造达到Singleton或Griesmer界的码族。
2026-06-15 cs.IT math.CO math.IT
Ordered set partition posets
Michigan State University（密歇根州立大学）；University of Minnesota（明尼苏达大学）
本文研究了有序集合划分格子的子格结构，探讨了块大小受限的拓扑和组合性质，推导了递归原子顺序及对称群作用的公式，并揭示了与k-Catalan数相关的区间结构。
2026-06-04 math.AT math.CO math.GN
Avoiding two consecutive blocks of same size and same sum over $\mathbb{Z}^2$
一个长期存在的问题是，$\mathbb{Z}$是否是一致2-重复的[Justin 1972，Pirillo and Varricchio，1994]，也就是说，在$\mathbb{Z}$的有限子集上是否存在一个无穷序列，以避免两个连续的相同大小和相同和的块。Cassaigne \emph{et al.} [2014]表明，$\mathbb{Z}$不是均匀的3-重复。我们发现，$\mathbb{Z}^2$是不一致的2-重复。此外，这个问题是有关的一个问题，从Mäkelä在组合数学的话，我们回答一个弱版本。
2016-09-30 cs.DM cs.FL math.CO
