On the total perimeter of disjoint convex bodies
本文通过引入基于法线距离的伪度量，简洁证明了Pinchasi定理：内部互不相交的$k$个凸体包含于周长为$p$、直径为$d$的凸体内时，其总周长不超过$p+2(k-1)d$。
2023-08-30 math.CO math.MG
On the Total Perimeter of Homothetic Convex Bodies in a Convex Container
对于两个平面凸体，$C$和$D$，考虑包含在$D$中的$C$的$n$正同素异形的包装$S$。我们用${\rm per}(D)$和$n$估算了$S$中天体的总周长，表示为${\rm per}(S)$。当$C$的所有同素异义词都接触到容器$D$的边界时，我们证明了${\rm per}(S)=O(\log n)$或${\rm per}(S)=O(1)$，这取决于$C$和$D$如何"拟合在一起"，并且这些边界是除了常数因子之外的最佳可能。具体地说，我们建立了一个最优边界${\rm per}(S)=O(\log n)$，除非$D$是一个凸多边形，$D$的每一边平行于$C$的边界上的一个相应的段（简称$D$是\emph{parallel to} $C$）。当$D$平行于$C$但$C$的同素异义体可能位于$D$的任何地方时，我们证明了${\rm per}(S)=O((1+{\rm esc}(S)) \log n/\log \log n)$，其中${\rm esc}(S)$表示$S$中的物体到$D$边界的总距离.除了常数因子外，这个界也是最好的可能界。
2014-05-15 math.MG
A bound for the perimeter of inner parallel bodies
本文给出了凸体$Ω$的内平行集周长的一个精确下界。该边界仅取决于周长和内径$r$的原始机构，并指出，\[|\partialΩ_t| \geq \Bigl(1-\frac{t}{r}\Bigr)^{n-1}_+ |\partial Ω|.\]特别是该边界是独立的任何规律性的性质$\partialΩ$。作为证明的副产品，我们建立了平等的精确条件。证明，这是直接的，是基于对某一最优化问题的极值集的建设和使用的基本性质的混合体积。这是发表在J. Funct上的论文的修订版。Anal.（2016年），其中错误根据J. Funct. Anal.本文的主要结果保持不变，但引理2.1中的一个错误已被纠正，随后的证明已相应地调整。
2020-05-04 math.FA math.MG
Spherical geometry -- a survey on width and thickness of convex bodies
本文综述了$d$ -维球面$S^d$上凸体的几何性质.我们专注于结果的基础上的概念的凸体$C \subset S^d$的宽度由支持半球的$C$。重要的工具是包含$C$的lunes。支撑半球在欧几里得空间中扮演凸体的支撑半空间的角色，而lunes扮演条的角色。同样重要的是$C$厚度的概念，即其最小宽度。特别地，我们描述了约化球面凸体和等宽球面的性质。最后一个概念与$S^d$上的完备体和等直径体的概念一致。这里所提到和评论的结果主要涉及球形凸体、缩小体和等宽体的宽度、厚度、直径、周长、面积和极值点。
2021-06-28 math.MG
Convexity properties of sections of 1-symmetric bodies and Rademacher sums
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
本文研究了1-对称凸体截面的凸性性质，并提出了一种新的关于拉德姆acher和的凸性性质，应用于棋盘切割。
2024-06-16 math.MG
On curves contained in convex subsets of the plane
如果K'和K是平面的凸体，使得K'是K的子集，则K'的周长不大于K的周长。我们得到这个事实的下列概括。设K是周长为p，直径为d的平面上的凸紧体，r>1为整数。设s是最小的数，使得对于包含在K中的长度大于s的任何曲线，存在至少在r+1个不同点处与曲线相交的直线。则如果r是偶数，则s=rp/2，如果r是奇数，则s=（r-1）p/2+d。
2012-05-03 math.MG
Elastic energy of a convex body
本文考虑了平面凸体的面积、周长和弹性能的Blaschke-Santaló图。更精确地说，我们给出了集合$$\mathcal{E}:=\left\{(x,y)\in \R^2, x=\frac{4πA(Ω)}{P(Ω)^2},y=\frac{E(Ω)P(Ω)}{2π^2},\,Ω\mbox{convex} \right\},$$的描述，其中$A$是面积，$P$是周长，$E$是弹性能，即平面上的Willmore型能量.为了做到这一点，我们研究了以下形状最优化问题：$$\min_{Ω\in\mathcal{C}}\{E(Ω)+μA(Ω)\},$$其中$\mathcal{C}$是一类具有固定周长的凸体，$μ\ge 0$是一个参数。证明了该极小问题解的存在性、正则性和几何性质。
2014-06-27 math.MG math.OC
Maximal perimeters of polytope sections and origin-symmetry
设$P\subset\mathbb{R}^n$ $(n\geq 3)$是一个凸多面体，其内部包含原点。令$\mbox{vol}_{n-2} \big( \mbox{relbd} ( P\cap\lbrace tξ+ ξ^\perp \rbrace ) \big)$表示$t\in\mathbb{R}$、$ξ\in S^{n-1}$的$P\cap\lbrace tξ+ ξ^\perp \rbrace$的相对边界的$(n-2)$维体积。我们证明了：如果\begin{align*} \mbox{vol}_{n-2} \Big( \mbox{relbd} \big( P\capξ^\perp \big) \Big) = \max_{t\in\mathbb{R}} \mbox{vol}_{n-2} \Big( \mbox{relbd} \big( P\cap\lbrace tξ+ ξ^\perp \rbrace \big) \Big) \ \ \forall \ \ ξ\in S^{n-1}, \end{align*}，那么$P$是原点对称的，即$P = -P$。我们的结果对Makai，Martini，and Alberdor的一个猜想给出了部分肯定的回答.我们还刻画了$C^1$凸体的对称性的双重quermassintegrals的部分，这可以被看作是一个双重版本的猜想Makai等人。
2018-03-05 math.MG
Monotonicity of the deficit in the local log-Brunn-Minkowski inequality
本文建立了局部 log-Brunn-Minkowski 不等式亏格在线段加法下的单调性，推证出其可从凸体 K 扩展至 K+Z 并给出 zonoids 的新证明，且在假设有效下确定了光滑凸体等式成立的条件。
2025-11-04 math.DG math.MG
Two Kneser--Poulsen-type Inequalities in Planes of Constant Curvature
我们表明，周长的凸包的许多磁盘躺在双曲线或欧几里得平面，或在半球不增加时，磁盘重新安排，使它们的中心之间的距离不增加。这推广了V.N.在欧氏平面上证明的关于压缩下有限集的凸包周长单调性的定理。苏达科夫河Alexander，V. Capoyleas and J. Pach.我们还证明了在这样的压缩重排后，在双曲平面中的多个圆盘的相交面积不会减小。后一种说法的欧几里德类比由K. Bezdek和R.康奈利这两个定理证明了一个适当的适应最近发表的方法I。Gorbovickis。
2017-11-09 math.MG
On Minkowski's monotonicity problem
针对 Minkowski 混合体积单调性的等号情形问题，本文证明任意维数下 Schneider 猜想的一个方向，并在三维中完整证明该猜想。
2025-07-26 math.DG math.MG
Isoperimetric inequalities in Euclidean convex bodies
本文考虑了在体积约束下，在凸体内部最小化相对周长的问题，即，欧几里得空间中具有内点的紧凸集。我们将不对凸集的边界强加任何正则性假设。在其他结果中，我们将证明Hausdorff收敛和Lipschitz收敛之间的等价性，关于Hausdorff距离的等周轮廓的连续性，以及等周区域序列及其自由边界在Hausdorff距离中的收敛性。我们还将描述小体积的等周剖面的行为，以及小体积的等周区域的行为。
2013-06-04 math.DG math.MG
Anisotropic curvature measures and uniqueness of convex bodies
证明了任意凸体$C \subseteq \mathbf{R}^{n+1} $，其$ k $阶各向异性曲率测度（对于$ k =0, \ldots , n-1 $）是C的各向异性周长的倍数常数，必是一个重标度平移的Wulff形，推广了Schneider（1979）的一个定理，解决了Andrews和Wei（2017）的一个猜想.
2022-04-14 math.DG math.MG
On the maximal perimeter of isotropic log-concave probability measures
该研究证明了各向同性对数凹概率测度的最大周长常数$Γ_n$不超过$Cn^{3/2}$，并给出了在附加结构假设下的线性界。
2026-02-03 math.FA math.MG math.PR
New fiber and graph combinations of convex bodies
本文提出凸体的三种新组合（$L_p$ 纤维、弦和图组合），推广 Steiner 对称化，证明 Brunn-Minkowski 型不等式及广义仿射表面积的凹凸性，并推导 Minkowski 第一不等式。
2025-09-09 math.MG
Ball-convex bodies and $L_p$ relative surface areas
Case Western Reserve University（凯斯西储大学）
本文提出了一种新的球凸体表面积测度，通过加权球浮体的导数给出了 $L_p$ 相对表面积的几何解释，并引入了新的熵概念。
2025-12-22 math.DG math.MG
Isoperimetric inequalities in unbounded convex bodies
考虑无界凸体$C\subset \mathbb{R}^{n+1}$在体积约束下的相对周长最小化问题，不假设$C$边界上有任何进一步的正则性.受一个等周轮廓为零的无界凸体例子的启发，我们引入了均匀几何无界凸体的概念。然后，我们提供了一个方便的一致的几何性质的表征，并利用$C$的渐近圆柱的概念，我们证明了在广义意义上的等周区域的存在。通过一个近似参数，我们显示严格的等周轮廓，因此，广义等周区域的连通性。我们还专注于小的情况下，以及大量的，特别是我们证明存在的等周区域足够大的体积，特殊类的无界凸体。最后，我们解决了一些问题的等周刚度和分析的渐近行为的等周轮廓的概念等周维数。
2016-06-23 math.DG math.MG
Blaschke addition and convex polyhedra
这是2004年10月4日在“微分几何与应用”研究研讨会（由A. T. Fomenko）在莫斯科国立大学。本文概述了关于凸体的Blaschke加法的现有（但远不是众所周知的）结果，关于凸体（特别是具有平行面的凸多面体）的体积单调性的一些新定理，以及描述了一个具有规定的外法线和面面积的多面体可视化软件。
2005-02-16 math.MG math.OC
The $L_p$-floating area, curvature entropy, and isoperimetric inequalities on the sphere
该研究将欧氏几何中的$L_p$-仿射表面积等概念推广到球面空间，引入球面凸体的$L_p$-浮动面积与曲率熵，证明相关等周不等式、对偶公式与单调性，并推广到非负常曲率空间形式。
2024-11-03 math.DG math.MG
On the Fourier Mean Bodies of a Convex Body
本文引入凸体K的傅里叶p次平均体F_pK，通过傅里叶变换连接径向p次平均体R_pK，证明傅里叶反演公式，并研究其仿射几何性质、凸性范围及与相交体的关系。
2026-07-02 math.FA math.MG math.PR
The Brunn--Minkowski inequality for the Gaussian measure
Tongji University（同济大学）
本文研究高斯测度下的Brunn–Minkowski不等式，通过Neumann问题解的Hessian能量逐射线局部化等方法，确定了不等式成立的最优指数$\alpha_\gamma(n)$的精确表达式。
2026-08-07 math.DG math.MG
