Traveling wave solutions to the Allen-Cahn equation
对于Allen-Cahn方程，我们知道存在一个单调驻波与势的平衡阱相连。本文研究了无限长通道上Allen-Cahn方程行波解的存在性。这样的行波解具有大量的振荡，他们得到的援助变分论点。
2020-03-18 math.AP
Allen-Cahn equation for the truncated Laplacian: unusual phenomena
我们研究了Allen-Cahn型方程的全部黏性解，截断Laplacian是一维或径向的，为了揭示一些可能的扩展的Gibbons猜想在这个退化的椭圆设置。
2020-02-11 math.AP
On the second inner variation of the Allen-Cahn Functional and its applications
本文研究了Allen-Cahn泛函的第二类内变分与其Gamma极限--面积泛函之间的关系。我们的结果意味着Allen-Cahn泛函只能很好地逼近一阶面积泛函。然而，作为我们的结果的应用，我们证明，假设的极限能量的单重性，Allen-Cahn泛函的临界点的Morse指标是有界的极限极小超曲面的Morse指标从下。
2010-09-28 math.AP
Long-range phase coexistence models: recent progress on the fractional Allen-Cahn equation
在这组笔记中，我们介绍了分数Allen-Cahn方程$$ (-Δ)^s u = u-u^3,$$的一些最新进展，特别注意$Γ$ -收敛结果，能量和密度估计，水平集的收敛性，Hamilton估计，刚性和对称性的结果。
2018-03-21 math.AP
Solution of the fractional Allen-Cahn equation which are invariant under screw motion
建立了分数阶Allen-Cahn方程在$\mathbb R^3$中整体解的存在性和不存在性结果，这些解在螺旋面上为零，在螺旋运动下不变.另外，我们证明了螺旋面是非局部中曲率为零的曲面。
2015-09-02 math.AP
On the asymptotic behavior of symmetric solutions of the Allen-Cahn equation in unbounded domains in ${\bf R}^2$
考虑Allen-Cahn方程在光滑区域$Ω\subset {\bf R}^n.$上的狄利克雷问题，在适当的假设下，证明了对称解的存在性和一致指数估计.在维数n=2的一个额外的渐近结果。这些结果是基于局部极小的艾伦-卡恩能量的逐点估计。
2014-05-07 math.AP
Optimal energy growth lower bounds for a class of solutions to the vectorial Allen-Cahn equation
我们证明了最佳的下界的增长的能量球的最小向量艾伦-卡恩能量在两个空间维度，半径趋于无穷大。在径向对称解的情况下，我们可以在所有维度上证明一个更强的结果。
2014-02-18 math.AP
Multiplicity of critical points for the fractional Allen-Cahn energy
本文研究了有界区域中Allen-Cahn能量的分数模拟，证明了它存在若干临界点，当扰动参数趋于零时，这些临界点趋于无穷大.
2016-05-16 math.AP
Some remarks on the structure of finite Morse index solutions to the Allen-Cahn equation in $\mathbb{R}^2$
对于Allen-Cahn方程在$\mathbb{R}^2$中的一个解，在自然线性增长能量的约束下，我们证明了吹落极限是唯一的.此外，若解的Morse指数有限，则其爆破极限满足重一性质.
2015-10-29 math.AP
One-dimensional symmetry for solutions of Allen Cahn fully nonlinear equations
本文给出了Allen-Cahn型完全非线性椭圆型方程整体解的一些定性结果。精确地说，在对强迫项的一些附加假设下，如果解是有界的，并且在无穷远处沿固定方向一致收敛到其极值，那么解只依赖于一个变量。
2010-02-10 math.AP
Reductions of the Navier-Stokes-Allen-Cahn and the Navier-Stokes-Cahn-Hilliard equations
本文研究了两个著名的恒温两相流体流动模型，等温Navier-Stokes-Allen-Cahn方程和等温Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程，这两个方程都由流体（总）密度ρ、（质量平均）速度u和（其中一相）浓度c的方程组成。假设在任何一种情况下，这两个阶段是不可压缩的不同的密度，每个模型被证明是减少到一个系统的发展方程在ρ和u单独。在Navier-Stokes-Allen-Cahn模型的情况下，该简化系统是经典的Navier-Stokes-Korteweg模型。从Navier-Stokes-Cahn-Hilliard方程得到的约化系统是一个新的“积分”-微分系统，其中一个非局部算子作用于速度的发散。
2013-11-01 math.AP
On the Allen-Cahn equation in the Grushin plane: a monotone entire solution that is not one-dimensional
我们考虑解决方案的Allen-Cahn方程在整个Grushin平面，我们表明，如果他们是单调的垂直方向，那么他们是稳定的，他们满足一个很好的能量估计。然而，正如反例所示，它们不一定是一维的。
2008-06-25 math.AP
A new proof of Savin's theorem on Allen-Cahn equations
本文对Allen-Cahn方程建立了一个改进的倾斜-过剩衰减估计，并利用它给出了Savin关于平坦水平集的一致$C^{1,α}$正则性定理的一个新的证明，从而暗示了$n\leq 7$的$\mathbb{R}^n$中极小元的一维对称性.这将Allard的$\varepsilon$ -正则性定理推广到Allen-Cahn方程的情形。
2015-12-01 math.AP
Convergence of the Allen-Cahn equation with constraint to Brakke's mean curvature flow
本文考虑带约束的Allen-Cahn方程。1994年，Chen和Elliott研究了带约束的Allen-Cahn方程解的渐近性态。证明了在适当的初值条件下，解的零水平集收敛于中曲率流的经典解。1993年，Ilmanen通过Allen-Cahn方程证明了在Brakke意义下无约束的中曲率流的存在性。对带约束的Allen-Cahn方程也证明了同样的结论。
2015-04-13 math.AP math.DG
Even Symmetry of Some Entire Solutions to the Allen-Cahn Equation in Two Dimensions
本文证明了半平面上Allen-Cahn方程某些解的偶对称性和单调性。我们还证明了具有{ \it有限Morse指标}和{ \it四个端点}的整体解必须关于两个正交轴均匀对称。利用能量量化方法，给出了具有{ \it有限Morse指标}的一般整解的分类方案.
2011-02-19 math.AP
On the validity of formal asymptotic expansions in Allen-Cahn equation and FitzHugh-Nagumo system with generic initial data
形式渐近展开长期以来被用于研究奇摄动Allen-Cahn型方程和反应扩散方程组，特别是FitzHugh-Nagumo方程组.尽管他们的成功的作用，它一直在很大程度上不清楚是否真的这样的扩展代表的解决方案，而一般的初始数据的实际概况。结合我们的结果和已知的Allen-Cahn方程永恒解的性质，我们证明了形式展开式主项对于一类大的解的有效性.
2011-11-15 math.AP
Axially symmetric solutions of Allen-Cahn equation with finite Morse index
本文研究了具有有限Morse指标的Allen-Cahn方程的轴对称解。结果表明，在$4$和$10$之间的维数上不存在这样的解.在$3$维上，我们证明了这些解有多个端点.此外，如果解的Morse指数等于$1$，则解正好有两个端点。
2019-01-31 math.AP
Generation, motion and thickness of transition layers for a nonlocal Allen-Cahn equation
研究了非局部Allen-Cahn方程在小参数趋于零时的行为。在较一般的初始数据下，对界面的产生和运动进行了严格的分析，得到了界面厚度的新估计。极限问题涉及运动的中曲率连同非局部效应（这允许的可能性，非平凡的静止状态）。
2009-06-07 math.AP
An Allen-Cahn tumor growth model with temperature
本文提出非等温Allen-Cahn肿瘤生长模型，用微力方法推导，并证明其局部与全局时间解的存在唯一性。
2025-10-15 math.AP
Convergence rates of the Allen-Cahn equation to mean curvature flow: A short proof based on relative entropies
我们给出了一个简短的和自包含的证明艾伦-卡恩方程的收敛速度对中曲率流，假设一个经典的（光滑）解决方案，后者存在，并从精心准备的初始数据。我们的方法是基于一个相对熵技术。特别是，它不需要对线性化的Allen-Cahn算子进行稳定性分析。由于我们的分析也不依赖于比较原理，我们希望它适用于更复杂的方程和系统。
2020-08-18 math.AP
Varifold convergence of free boundary Allen--Cahn equation
University of Basel（巴塞尔大学）；Institute of Science Tokyo（东京科学大学）
本文研究自由边界Allen-Cahn方程的变分收敛性，建立其与最小曲面的联系，并提供能量对面积泛函的Γ收敛性，为最小曲面研究提供新方法。
2025-11-03 math.AP
Allen-Cahn Approximation of Mean Curvature Flow in Riemannian manifolds I, uniform estimates
本文研究黎曼流形中抛物型Allen-Cahn方程的解。对于一般的初始条件，我们证明了极限能量差的非正性。这反过来又允许证明几乎单调性公式（Huisken的单调性公式的弱对应），它给出了在小尺度上的能量密度的局部均匀控制。这些结果将在[40]中用于推广[31]中以前在欧几里得空间中的重要结果，表明在空间型中抛物Allen-Cahn方程解对Brakke运动的中曲率的收敛性。
2013-08-02 math.AP
Multiplicity one and strictly stable Allen-Cahn minimal hypersurfaces
我们证明了Allen-Cahn极小超曲面的严格稳定分支总是以重数1出现。我们还建立了收敛到重数为1的非退化超曲面的解的唯一性。我们的结果适用于所有的维度和Allen-Cahn解决方案没有变分假设。
2022-03-08 math.AP math.DG
Time global existence of generalized BV flow via the Allen--Cahn equation
本文证明Allen-Cahn方程极限得到的平均曲率流同时是Brakke流和Stuvard-Tonegawa广义BV流，从而确立其时间全局存在性。
2024-04-25 math.AP
On a maximum principle for vector minimizers to the Allen-Cahn energy
利用线性椭圆型方程组的唯一延拓原理，我们可以简化Alikakos和Fusco最近提出的一个变分最大值原理的证明。同时，这种方法允许我们放松后一参考文献的假设。
2014-03-24 math.AP
Convergence of perturbed Allen-Cahn equations to forced mean curvature flow
研究了Allen-Cahn方程的摄动问题，证明了在锐界面极限下，Allen-Cahn方程收敛于强迫中曲率流.我们允许的扰动是平方可积的扩散表面积的措施。我们给出了一个合适的广义制定强制中曲率流和应用以前的结果的Allen-Cahn作用功能。最后，我们讨论一些应用。
2009-02-11 math.AP math.DG
Allen-Cahn Approximation of Mean Curvature Flow in Riemannian manifolds II, Brakke's flows
利用空间型中的中曲率证明了抛物型Allen-Cahn方程解对Brakke运动的收敛性，推广了文献[15]在欧几里得空间中的结果.我们表明，一系列的措施，与能量密度的抛物型艾伦-卡恩方程的解决方案，收敛于一个家庭的可求积氡措施，这演变的中曲率流的Brakke意义上的极限。在[22]中证明的一个局部几乎单调性公式（Huisken单调性公式的一个弱对应）在得到极限测度的各种密度界中起着关键作用。
2013-11-18 math.AP
The Allen-Cahn Action functional in higher dimensions
Allen-Cahn作用泛函与随机扰动Allen-Cahn方程中稀有事件的概率有关。正式的计算表明，减少行动功能的尖锐的接口限制。我们证明了在两个和三个空间维度相应的下界。一个困难是扩散界面可能在极限下塌陷。因此，我们考虑了扩散表面积测度的极限，并在一类演化测度中引入了广义速度和广义约化作用泛函。作为推论，我们得到了一类正则演化超曲面作用泛函的Gamma收敛性。
2007-07-26 math.AP
Plateau angle conditions for the vector-valued Allen-Cahn equation
在适当的假设下，我们严格推导出在三维扩散界面的三重结的平台角条件，从矢量值的Allen-Cahn方程与三阱势。我们的推导是基于应用程序的发散定理，通过一个相关的应力张量使用的发散自由形式的方程。
2014-04-03 math.AP
Minimizers for a fractional Allen-Cahn equation in a periodic medium
我们的目的是研究周期介质中分数介观相变模型的解。在研究了相关极小解的界面的几何性质后，我们构造了位于一个具有指定方向和普适宽度的带上的极小界面。
2017-09-25 math.AP
Global solution and long-time behavior for a problem of phase segregation of the Allen-Cahn type
本文研究了一个由偏微分方程和常微分方程组成的相分离模型。通过仔细定义后一方程的最大解，该方程组可化为一个带记忆项的Allen-Cahn方程。证明了光滑解的整体存在唯一性，并给出了Ω极限集的一个特征。
2009-02-27 math.AP
Relaxation of the flow of triods by Curve Shortening Flow via the vector-valued parabolic Allen-Cahn equation
本文给出了一类向量值抛物型Allen-Cahn方程的解$u_ε$，该方程以$ε\to 0$为界面，在曲线缩短流下演化为给定的三角形.
2007-06-22 math.AP math.DG
Generation of interface for an Allen-Cahn equation with nonlinear diffusion
本文考虑了一个在种群动力学中带有非线性反应项的非线性扩散方程。给定一个相当一般的初始数据，我们研究其行为的小时间的反应系数趋于无穷大：我们证明了一代的界面性质。
2009-09-18 math.AP
Existence and instability of deformed catenoidal solutions for fractional Allen--Cahn equation
对分数阶椭圆型方程发展了一种新的无穷维胶合方法。作为一个模型问题，我们构造的分数艾伦-卡恩方程消失在一个旋转对称的表面，类似于一个悬链，并在无穷远的次线性增长的解决方案。此外，这样的解决方案是不稳定的。
2019-09-19 math.AP
Convergence of a Convective Allen-Cahn Equation to a Transport Equation
本文证明了对流 Allen-Cahn 方程的解在扩散界面厚度趋于零且迁移系数与之成正比时，收敛于演化界面的传输方程，方法是通过线性化算子的下界估计精确解与近似解的差异。
2024-06-02 math.AP
Asymptotic Behavior of Allen-Cahn Type Energies and Neumann Eigenvalues via Inner Variations
我们使用的概念，第一和第二内部变化作为桥梁，允许一个通过的限制，第一和第二盖特变化的艾伦-卡恩，卡恩-希利亚德和大田-川崎能源。在适当的假设下，这使我们能够表明，稳定性传递到尖锐的界面极限，包括边界条件，通过考虑非压缩支持的速度和加速度场在我们的变化。这补充了利根川，利根川和Wickramasekera的结果，其中内部稳定性被证明是通过到极限。作为进一步的应用，我们证明了Allen-Cahn算子线性化的$k^{th}$ Neumann本征值的一个渐近上界，它与Jacobi算子的$k^{th}$ Robin本征值有关，取关于Allen-Cahn临界点的零点集的渐近位置的极小曲面.我们还证明了类似的结果中产生的Cahn-Hilliard和Ohta-Kawasaki设置的线性化运营商的特征值。这些补充了第一作者的早期结果，其中这样的一个渐近上界实现了Dirichlet特征值的线性化Allen-Cahn算子。我们的渐近上界艾伦-卡恩诺伊曼特征值的延伸，在一个方向上，这些特征值的渐近等价性建立在工作中的Kowalczyk在二维的情况下，其中的极小曲面是一条线段和特定的艾伦-卡恩临界点是适当的构造。
2018-12-14 math.AP
Convergence of the Allen-Cahn equation with transport term in a bounded domain
本文研究了有界区域上带输运项的Allen-Cahn方程，在能量一致有界条件下证明其极限界面收敛于带输运项的平均曲率流，并据此确立了以梯度向量场为输运项的平均曲率流的存在性。
2023-09-18 math.AP
Graph MBO as a semi-discrete implicit Euler scheme for graph Allen-Cahn flow
近年来，在有限图上定义的类偏微分方程流在聚类和图像分割中的应用引起了人们的兴趣。特别是对于图像分割和半监督学习，Bertozzi和Flenner（2012）开发了一种基于图Ginzburg-Landau泛函的Allen-Cahn梯度流的算法，Merkurjev，Kostić和Bertozzi（2013）设计了一种基于图Merriman-Bence-Osher（MBO）动力学的变体算法。这项工作提供了严格的理由，这种使用的MBO计划，而不是艾伦-卡恩流。首先，我们选择了双障碍势的Ginzburg-Landau功能，并得出适定性和正则性结果所产生的图形艾伦-卡恩流。接下来，我们展示了一个“半离散”的时间离散计划艾伦-卡恩流的MBO计划是一个特殊的情况。我们研究了该方案的长时间行为，并证明了其收敛到Allen-Cahn轨迹的时间步长为零。最后，根据Van Gennip，Guillen，Osting和Bertozzi（2014）提出的问题，我们展示了证明双障碍Allen-Cahn流和图上的中曲率流之间联系的结果。我们给出了一些有希望的$Γ$ -收敛结果，并将Chen和Elliott（1994）用来证明连续统中类似联系的两个比较原理转化为图集。
2020-10-19 math.AP
Sharp Interface Limit for a Navier-Stokes/Allen-Cahn System with Different Viscosities
讨论了二维有界光滑区域中耦合Navier-Stokes/Allen-Cahn系统的锐界面极限，当与扩散界面厚度成正比的参数$\varepsilon>0$严格趋于零时.我们证明了Navier-Stokes/Allen-Cahn系统的解收敛到一个尖锐的界面模型的解，其中界面的演化是由中曲率流与一个附加的对流项耦合到一个两相Navier-Stokes系统与表面张力。通过匹配的渐近展开以及最高阶项的新的Anterior从极限系统构造近似解，然后借助于线性化Allen-Cahn算子在近似解附近的精细谱估计来估计其与真实解的差异。
2023-03-07 math.AP
Stable solutions of the Allen--Cahn equation in dimension three are one-dimensional
Universität Basel（巴塞尔大学）；EPFL（洛桑联邦理工学院）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文证明三维空间中 Allen--Cahn 方程的有界稳定解均为一维，从而验证了四维空间中 De Giorgi 猜想的正确性。
2026-09-25 math.AP
Brakke Regularity for the Allen-Cahn Flow
本文证明了抛物型Allen-Cahn方程的Brakke $\varepsilon$ -正则性定理的一个类似定理。特别是，我们显示了均匀的$C^{2,α}$规则的过渡层收敛到光滑的中曲率流为$\varepsilon\rightarrow0$。证明利用艾伦-卡恩版本的单调性公式，抛物Lipschitz近似和爆破。还得到了抛物型Allen-Cahn方程整体永恒解的相应间隙定理。作为正则性定理的一个应用，我们肯定地回答了Ilmanen提出的在平均凸集上$\mathbf {BV}$收敛不存在抵消的问题.
2020-10-23 math.AP math.DG
Fractional Cahn-Hilliard, Allen-Cahn and porous medium equations
我们引入了Cahn-Hilliard方程的一个分数阶变量，该变量在$R^N$的有界区域$Ω$中求解，并补充了固体类型的齐次Dirichlet边界条件（即，施加于$Ω$的整个补体中）。在适当的泛函框架下，我们证明了相关初边值问题弱解的存在唯一性。然后，我们研究了一些显着的奇异极限所获得的分数拉普拉斯方程中出现的阶趋于0。特别地，我们可以严格地证明分数阶Allen-Cahn方程、分数阶多孔介质方程和分数阶快扩散方程都可以在极限下得到。最后，在文章的最后一部分，我们讨论了问题的平稳解及其奇异极限的存在性和定性性质。
2015-03-05 math.AP
Variational construction of basic heteroclinic solutions for an Allen-Cahn equation
本文利用变分方法构造Allen-Cahn方程的最小无自交解，重点处理无理旋转向量情形，从而将Rabinowitz和Stredulinsky的有理情形结果推广至无理情形。
2023-09-20 math.AP math.DS
BV solutions for mean curvature flow with constant contact angle: Allen-Cahn approximation and weak-strong uniqueness
本文研究了满足杨氏角条件的中曲率流的弱解，其中接触角为一般接触角$α\in (0,π)$ .首先，我们构造BV解决方案使用Allen-Cahn近似与边界接触能欧文和斯滕伯格提出的。其次，我们证明了弱强唯一性和稳定性的了解的概念。这两个结果的主要成分是相对能量，这也可以解释为倾斜过度。
2021-12-21 math.AP
Cahn-Hilliard equation on the boundary with bulk condition of Allen-Cahn type
讨论了一类具有动力边界条件的偏微分方程组的适定性。该系统是一种体块$Ω$中的动力学与边界$Γ$上的动力学之间的传递问题。在体相$Ω$中，化学势的泊松方程和序参量的Allen-Cahn方程被认为是求解边界$Γ$上Cahn-Hilliard方程的辅助条件.最近讨论了Cahn-Hilliard型方程和动力学边界条件的适定性。在此基础上，证明了解的存在性及其对数据的连续依赖性。
2018-05-16 math.AP
Allen-Cahn equation and degenerate minimal hypersurface
该短注针对以退化极小超曲面为极限界面的Allen-Cahn方程，给出了解的存在性与刚性相关的新观察和例子。
2024-04-17 math.AP math.DG
Strong Solutions for 1D Compressible Navier-Stokes/Allen-Cahn System with Phase Variable Dependent Viscosity
本文研究了具有随相变化的粘性系数$η(χ)=χ^α$和随温度变化的导热系数$κ(θ)=θ^β$的非等熵可压缩Navier-Stokes/Allen-Cahn系统。在对增长指数$α$和初值的一些假设下，证明了该方程的强解的整体存在性.值得注意的是，如果$α\ge0$很小，则初始数据可能很大，并且增长指数$β>0$可以任意大。
2021-09-29 math.AP
Convergence of the Allen-Cahn equation with a zero Neumann boundary condition on non-convex domains
在适当的初值假设下，研究了具有光滑边界的非凸区域上齐次Neumann边界条件的Allen-Cahn方程的奇异极限问题。主要结果是收敛的时间参数化家庭的扩散表面能Brakke的中曲率流与广义直角条件的边界上的域。
2018-04-06 math.AP
One-dimensional symmetry and Liouville type results for the fourth order Allen-Cahn equation in R$^N$
本文证明了RN中推广的四阶Allen-Cahn方程的Gibbons猜想的一个类似结果，以及某些解在无穷远处沿给定方向收敛到相同值的Liouville型结果.我们还证明了一个先验界和进一步的一维对称性和刚性结果的半线性四阶椭圆型方程更一般的非线性。
2016-03-11 math.AP
Morse theory for the Allen-Cahn functional
本文运用 Morse 理论技巧，在三维球面上通过负梯度流构造 Allen-Cahn 能量泛函低能量临界子流形之间的连接轨道。
2023-10-26 math.AP math.DG
Gradient estimates for the Allen-Cahn equation on Riemannian manifolds
本文考虑完备非紧无边界黎曼流形上Allen-Cahn方程的有界正解.我们得到这些解决方案的梯度估计。作为应用，我们得到了具有非负里奇曲率的流形上的一个Liouville型定理.
2019-08-10 math.AP math.DG
Weak-Strong Uniqueness for Navier-Stokes/Allen-Cahn system
耦合的Navier-Stokes/Allen-Cahn系统是描述与不可压缩流体相互作用的两组分系统中相分离的一个简单模型。我们证明了该系统在三维空间中的有界域中的\emph{weak-strong uniqueness}结果，这意味着当存在强解时，则来自相同数据的弱解在其整个寿命上与强解一致。给定断言的证明依赖于一种形式的相对熵方法。
2017-11-13 math.AP
Convergence of the Allen-Cahn Equation to multi-phase mean-curvature flow
给出了向量值Allen-Cahn方程解的一个收敛结果。在Luckhaus和Sturzenhecker的工作的精神，我们建立收敛到一个多相中曲率流的分布公式使用有限的周长集。像他们的结果一样，我们的结果依赖于近似的时间积分能量收敛到极限的时间积分能量的假设。此外，我们应用我们的证明方程的两个变种，将外力和体积约束。
2016-09-23 math.AP
A Relation of the Allen-Cahn equations and the Euler equations and applications of the Equipartition
本文建立满足均分条件的Allen-Cahn方程解与恒压Euler方程解之间的转化关系，据此获得De Giorgi型结果、光滑整解及向Navier-Stokes方程的推广，并刻画二维Allen-Cahn系统解结构、给出显式整解。
2023-04-26 math.AP
