Homology of Brownian loops
Yves Le Jan
本文的目的是把在图的离散圈情况下得到的一些同调和完整性结果推广到布朗圈
The purpose of this note is to extend to Brownian loops some homology and holonomy results obtained in the case of discrete loops on a graph
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On the occupation times of Brownian excursions and Brownian loops
利用二维区域中的布朗游程和布朗环研究了占据时的性质。例如，这允许将一些高斯场（例如高斯自由场）解释为（适当归一化的）当云的强度变为无穷大时布朗漂移的泊松云的总占用时间的波动。
The inradius law for the cavities of planar Brownian motion, with applications to the Wiener sausage
研究无漂移标准布朗运动生成的平面Wiener香肠过滤的1阶持续同调，利用布朗自相似性将大时间问题转化为小半径问题，证明平滑Betti曲线观测量的对数期望律。
Loop-Erasure of Plane Brownian Motion
利用耦合技术证明了平面布朗运动在离开单连通区域时存在环擦除，且环擦除曲线是径向SLE $_2$曲线的逆曲线.
The Brownian loop soup
在平面上的无根布朗环上定义了一个自然共形不变测度，并研究了它的一些性质。我们将这一措施，以衡量循环植根于一个域的边界点，并显示这种关系如何提供了一种方式“按时间顺序添加布朗循环”的简单曲线在平面上。
Kirillov-Frenkel character formula for Loop groups, radial part and Brownian sheet
考虑紧群的Loop群在相应的中心扩张Loop代数的对偶上的余伴随作用，证明了条件保持在仿射Weyl腔中的Cartan子代数中的布朗运动（可视为时空条件布朗运动）作为布朗单的径向部分过程分布在底层李代数上.
Defining SLE in multiply connected domains with the Brownian loop measure
利用布朗环测度定义了多连通域上kappa \leq 4的Schramm-Loewner演化（SLE）.我们表明，在环的情况下，这是相同的措施，最近获得的大鹏詹。我们使用的环路配方给一个不同的推导偏微分方程的分拆函数的环。
Non-existence of several random fractals in Brownian motion and Brownian loop soup
本文通过统一方法证明了三种随机分形的不存在性，包括平面布朗运动的先驱三重点、平面和三维布朗运动的先驱双断点，以及临界强度下平面布朗循环汤簇边界上的双点，解决了相关开放问题。
Brownian Loops, Singular Homology, and Asymptotic Cycles
本文针对闭黎曼流形上的半鞅，通过有界闭合过程构造奇异同调类，证明其渐近性质，并推导布朗运动的高斯中心极限定理及椭圆扩散的大偏差原理。
On Brownian motion, simple paths, and loops
给出了布朗运动迹分解为一条简单路径和一个与简单路径相交的独立布朗回路，更精确地说，我们证明了环消去随机游动的任何基本标度极限都是一条简单路径（在三维空间中的一个新结果），它可以作为分解的简单路径.在三维空间中，我们还证明了任何这样的连续标度极限的豪斯多夫维数都位于$(1,\frac53]$中.我们猜想，我们的分解唯一地刻画了简单路径的律，如果是这样，我们的结果将对环擦除随机游动的标度极限的存在性及其旋转不变性给出一个新的策略.
Generalized intersection exponents and local cut points for three-dimensional Brownian loop soup
本文研究了三维布朗运动循环汤在亚临界强度下的广义非交集概率，推导了广义交集指数的存在性，并通过定制的分离引理证明了这些概率的估计。同时，将三维布朗运动循环汤局部割点集的Hausdorff维度与广义交集指数联系起来，证明在强度为零时广义交集指数连续，并退化为经典的布朗运动交集指数。特别地，这表明对于足够小的强度参数，局部割点集的Hausdorff维度严格大于1。
Asymptotic homology of the quotient of $PSL_2(\BR)$ by a modular group
考虑$ G:= PSL_2(\R)\equiv T^1\H^2$，一个模群$ Γ$和齐性空间$ Γ\sm G \equiv T^1(Γ\sm\H^2)$。赋予$ G $，然后是$ Γ\sm G $一个正则左不变度量，从而使其具有准双曲几何。围绕$ Γ\sm G $的柄和尖的缠绕通过$ Γ\sm G $的封闭1-形式的积分来计算。主要结果表示，在布朗和测地线的情况下，联合收敛的法律，这些积分，与应力之间的渐近独立慢，快绕组。$ Γ\sm G $的非双曲性导致了布朗渐近行为和测地线渐近行为之间的差异，这种差异不存在于黎曼曲面$Γ\sm\H^2$的水平上（通常在双曲情况下）。识别的上同调类的封闭1-形式和调和的1-形式，和等距分布的大测地球，也解决了。
Reversed radial SLE and the Brownian loop measure
布朗环测度是在研究Schramm-Loewner演化（SLE）时提出的平面环上的共形不变测度。当域中的SLE曲线从内点演化时，自然会考虑到达曲线并离开域的循环，但它们的度量是无限的。我们表明，有一个相关的归一化量是有限的和不变的莫比乌斯变换下的平面。我们估计这个量时，曲线是小的和域简单连接。然后，我们使用这个估计证明了一个公式的Radon-Nikodym衍生物的反向径向SLE相对于全平面SLE。
The real layering field of Brownian loop soup and the Gaussian multiplicative chaos
本文研究复平面有界单连通域中布朗环汤的分层场，证明其经重整化后收敛到亚临界高斯乘性混沌，主要技术为维纳-伊藤混沌展开，并计算了$n$点函数及其共形协变性和边界行为。
Multi-window trace connectivity in subcritical planar Brownian loop soups
研究亚临界平面布朗环汤中相交环轨迹簇与固定数量分离收缩体圆盘相交概率，通过多目标布朗环测度估计等方法，得出该概率在对数指数有损失时是单臂概率乘积的结论，部分成果源于前人。
Random walk loop soups and conformal loop ensembles
随机游动圈汤是格圈的泊松系综;由于它与离散高斯自由场的联系，它已被广泛研究，但最初由Lawler和Trujillo Ferreras作为Lawler和Werner的布朗环汤的离散版本引入，一个共形不变的平面环泊松系综与共形环系综（CLEs）和Schramm-Loewner演化（SLE）。劳勒和特鲁希略·费雷拉斯表明，粗略地说，在连续统标度极限下，来自随机游动回路汤的“大”晶格回路收敛到来自布朗回路汤的“大”回路。然而，他们的结果并没有扩展到环的集群，这是有趣的，因为布朗环汤和CLE之间的连接通过集群边界。在本文中，我们研究了“大”格点环团簇的标度极限，表明它们收敛到布朗环汤团簇。特别是，我们的研究结果意味着，收集的最外层集群的外部边界组成的“大”晶格循环收敛到CLE。
Time Series, Persistent Homology and Chirality
本文研究带漂移布朗运动的持续图点过程及其基本特征，并提出为每个持续同调条赋予手性的细化方法。
Path decompositions of perturbed reflecting Brownian motions
本文研究了扰动反射布朗运动在首中时和最小击中时的路径分解。我们的研究依赖于Lawler和Werner [10]和Le Jan [13]-[14]开发的回路汤，特别是Lupu [15]发现的结果，该结果确定了PRBM在其过去最小值之上的偏移规律与布朗桥的回路测度。
Persistent Homology of the Wiener Sausage II: A Central Limit Theorem for Drifted Planar Brownian Motion
本文研究漂移平面布朗运动的维纳萨姆萨的持久同调，证明了平滑贝蒂曲线函数的中心极限定理，并推导了有限维高斯极限。
Coupling Brownian loop soups and random walk loop soups at all polynomial scales
本文研究\(\mathbb{Z}^d\)上布朗环汤与随机游走环汤的耦合，找到去除时间长度限制的方法，使耦合适用于所有多项式尺度，还建立了离散和连续时间随机游走环汤耦合及相关KMT耦合。
Brownian sheet and time inversion -- From $G$-orbit to $L(G)$-orbit
我们在以前的论文中证明了，一个时空布朗运动的条件，以保持在一个Weyl室相关联的仿射Kac-Moody李代数是分布作为径向部分过程的布朗单的紧实型的基本有限维李代数，径向部分被定义考虑coadjoint作用的一个循环组的对偶中心扩展循环代数。我们在这里提出了一个非常简短的证明这一结果的基础上的时间反演参数和初等随机微分学。
Asymptotic Homology of Brownian motion on a Riemannian manifold
本文利用Spitzer关于平面Brown运动卷绕的结果和调和态射的存在性，证明了Riemann流形上Brown运动路径的“同调卷绕”过程服从多元Cauchy分布，推广了Spitzer结果并讨论了和乐的渐近行为。
On The Brownian Loop Measure
2003年Lawler和Werner引入了布朗环测度，并研究了它的一些性质。Cardy和Gamsa预言了上半平面上的简单环集上的布朗环测度的总质量的公式，并将两个给定点从边界断开。本文利用Beliaev和Viklund的一个结果和大量的计算给出了该公式的严格证明。
Brownian Loops and the Selberg Zeta Function
本文研究了双曲面上布朗环测度与Selberg泽塔函数的关系，并提供了正则化拉普拉斯算子确定性的概率解释。
Asymptotics for the infinite Brownian loop on noncompact symmetric spaces
黎曼流形上的无限布朗环是指当$T$。本文研究了它在一般秩的非紧型黎曼对称空间$G/K$上的长时间渐近性。这相当于热方程的解服从由基球函数引起的Doob变换的行为。与标准的布朗运动，我们观察到在这种情况下的现象是类似的欧几里德设置，即$L^1$渐近收敛，而不需要双$K$ -不变性的初始数据，和强$L^{\infty}$收敛。
On clusters of Brownian loops in d dimensions
我们讨论随机几何结构的布朗回路的渗透，在高斯自由场，以及它们的存在性和性质如何依赖于周围空间的尺寸。我们对d= 3，4，5的情形给出了一些证明，并证明了d > 6时的一些结果.
Random walk loop soup
在Lawler和Werner（2004）中引入的布朗回路汤是无根回路上的σ有限测度的泊松实现。该测度同时满足共形不变性和约束性质。本文定义了一个随机游动回路汤，并证明了它收敛于布朗回路汤。事实上，我们利用Komlós，Major和Tusnády的强逼近结果给出了一个强逼近结果。为了使本文自成一体，我们包括我们需要的近似结果的证明。
Small Brownian Loops Hitting SLE$_2$: An Exact Natural-Content Limit
该研究在有界解析若尔当域中证明了击中弦形$\text{SLE}_2$的小布朗环的根强度测度经$ε^{5/4}$缩放后依$L^1$收敛到自然含量测度的常数倍，给出精确极限常数，并得到淡收敛结果与布朗环汤的大数定律应用。
Off-Criticality and the Massive Brownian Loop Soup
我们介绍了一个自然的“大规模”版本的布朗循环汤劳勒和沃纳显示共形协方差和指数衰减。我们表明，这个巨大的布朗回路汤出现的近临界标度极限的随机游动回路汤杀死，并与大规模SLE（2）确定的马卡罗夫和Smirnov作为近临界标度极限的回路擦除随机游动杀死。我们推测，大量的布朗回路汤描述了大量的高斯自由场的零级线，并讨论了可能的关系，其他模型，如伊辛，在非临界制度。
Brownian Loops, Layering Fields and Imaginary Gaussian Multiplicative Chaos
我们研究了当环汤强度趋于无穷大时，由极限中的布朗环汤建立的顶点算子。更准确地说，按照Camia，Gandolfi和Kleban（核物理B 902，2016），我们在平面域中取一个布朗环汤，并为每个环分配一个随机符号。然后，我们考虑随机场，它的定义是，在域的每一点上，取一个纯虚常数的指数乘以与绕在该点上的环相关的符号之和。由于较小的循环包括在计数中，该总和发散与直径的循环，但我们表明，一个合适的重整化过程允许定义在一个适当的索伯列夫空间的字段。随后，我们让环汤的强度趋于无穷大，证明了这些顶点类场趋于共形协变随机场，该随机场可以表示为虚高斯乘性混沌的显式泛函，其协方差核由布朗环测度给出.除了利用布朗环汤和布朗环测度的性质外，我们分析的一个主要工具是类顶点场的线性泛函的显式Wiener-Itô混沌展开.
Boundary operators in the Brownian loop soup
该研究通过共形块展开揭示了布朗运动环汤中亚临界相的无限多个边界算符，并解释了其物理意义。
The Brownian loop-catcher
研究引入布朗环捕手，它在LERW和布朗轨迹间插值，为特定中心电荷的布朗环汤簇提供规范延续，给出其恢复性质、外边界特征等，通过有限图上随机游走环捕手经格点近似收敛得到，还提出格林函数测试并扩展到三维。
Decomposition of Brownian loop-soup clusters
本文研究了二维布朗环汤团簇的结构。除此之外，我们还获得了具有临界强度的簇的以下分解：当我们用一个环汤簇的外边界$γ$来约束它时，（已知是SLE（4）型环），则环中所有布朗环的所有远离$γ$的偏移的并集-接触点$γ$分布完全类似于由$γ$包围的区域中布朗游程的泊松点过程的所有游程的并集。我们得到并使用的一个相关结果是，高斯自由场（GFF）与CLE（4）通过能级线的耦合（由Miller-Sheffield），GFF的平方与环汤通过占用时间的耦合（由Le Jan），以及CLE（4）与环汤通过环汤簇的耦合（由Sheffield和Werner）可以重合。在我们证明这一事实的过程中，Lupu将CLE（4）描述为离散环汤簇的极限起了重要作用。
An explicit lower bound for the growth exponent of three-dimensional loop-erased random walk
本文通过证明三维布朗运动交集指数的显式上界，得到三维布朗割点维数的新下界，进而证明三维环删随机游走增长指数至少为1.0001。
The Brownian loop measure on Riemann surfaces and applications to length spectra
该研究利用Lawler和Werner提出的布朗环测度，证明了黎曼曲面与其添加任意尖点后曲面长度谱的恒等式，给出自由同伦类布朗环总质量的测地长度表达式，并借此建立电厚度、Velling--Kirillov Kähler势与布朗环测度、拉普拉斯zeta正则化行列式的关联。
The law of a point process of Brownian excursions in a domain is determined by the law of its trace
我们显示的结果，在标题中的文件，这有后果的布朗环汤集群在两个维度上的分解。
The expected area of the filled planar Brownian loop is Pi/5
设B_t是一个平面布朗环（一个条件为B_0 = B_1的布朗运动）.我们考虑通过填充所有的洞而得到的紧壳，即R^2 \B [0，1]的唯一无界分量的补。我们证明了这个壳的期望面积是Pi/5。这个证明使用了Schramm Loewner Evolution（SLE），这也许并不奇怪。利用Yor关于布朗环的指数律的结果，证明了非零指数n的区域的期望面积等于1/（2 Pi n^2）.因此，我们发现循环内索引为0的区域的期望面积是Pi/30;这个值不能直接使用Yor的索引描述来获得。
Brownian paths as loop-decorated SLEs
通过将布朗循环汤中的循环按时间顺序添加到SLE$_2$路径上，得到具有平面布朗运动分布的连续路径，解决了Lawler和Werner的猜想。
Conformal Correlation Functions in the Brownian Loop Soup
我们定义和研究一组运算符，计算统计特性的布朗循环汤，共形不变的气体随机布朗循环（布朗路径约束开始和结束在同一点）在两个维度。我们证明了这些算子的关联函数具有共形场论中共形原色的许多性质，并计算了它们的共形维数。维数是真实的和积极的，但有一个新的功能，他们不断变化的一个实参数的周期函数。我们讨论了布朗环汤与自由场的关系，并利用这个关系建立了环汤的中心荷是其强度的两倍。
Intensity doubling for Brownian loop-soups in high dimensions
研究高维空间中布朗运动环汤的强度倍增现象，通过分解环簇发现两种分布相同的家族，揭示了大规模循环在标度极限下的行为。
On the law of the index of Brownian loops related to the Hopf and anti-de Sitter fibrations
本文基于 Hopf 和 anti-de Sitter 纤维化的几何及环绕数与面积形式的关系，给出了复射影直线、复双曲直线、奇数维球面和复 anti-de Sitter 空间等几何设定下布朗环路指数分布的显式公式与渐近性质。
Three-dimensional Brownian loop soup clusters
该研究探讨了三维空间中布朗运动环汤簇的相变现象，证明了在高强度下所有环连接成单一簇，并展示了环测度的守恒性。
Multiplicative chaos of the Brownian loop soup
本文构造了布朗环汤厚点上的乘法混沌测度，证明在临界强度下其与高斯自由场的双曲余弦一致，从而揭示布朗乘法混沌、高斯自由场与刘维尔测度间的深刻联系，并发现精确可积性。
Fluctuation of planar Brownian loop capturing large area
我们考虑一个平面布朗循环$B$是运行的时间$T$和条件的事件，它的范围包含异常高的区域的$πT^2$，与$T$是大的。我们研究的偏差范围的条件过程$X$从一个圆的半径$T$，作为一个模型的波动相边界。该偏差通过由$X$的范围包围的区域的内径和外径来测量。我们证明，在一个典型的实现的条件措施，这些数量不同于$T$最多$T^{2/3 + ε}$。
Parity questions in critical planar Brownian loop-soups (or "where did the free planar bosons go?")
该研究探讨临界二维布朗运动环汤的占据时间场与高斯自由场平方的关联，证明场无法确定环的访问点集，且稠密特殊点属环汤的条件概率为1/2，环分解也分两类各占1/2概率。
The Brownian loop soup stress-energy tensor
布朗环汤（BLS）是二维随机环的共形不变统计系综，其特征在于强度$λ>0$。最近，我们在BLS中构造了算子族，并证明了它们可以转化为共形原算子。本文给出了BLS应力-能量张量的显式表达式，并计算了它与其它算符的算子乘积展开。我们的结果与共形沃德恒等式和我们以前的中心荷为$c = 2 λ$的结果是一致的。在有边界的域的情况下，我们确定了一个边界算子，其性质与边界应力-能量张量一致。我们表明，该算子产生局部变形的边界，它是有关的边界算子，诱导布朗漂移开始或结束在其插入点。
Conditioning a Brownian loop-soup cluster on a portion of its boundary
我们表明，如果一个条件下的一个集群在一个布朗循环汤$L$（任何强度）在一个二维域的一部分$l$的外边界，然后在剩余的域，工会的所有循环的$L$接触$l$满足共形限制属性，而其他循环中的$L$形成一个独立的循环汤。当人们以自然的马尔可夫方式发现$l$时，例如在为了实际构建共形环系综作为环汤簇的外边界而定义的探索过程中，该结果成立。这个结果意味着，在c = 14/15时，接触$l$的环的连通性发生相变。我们的结果可以被看作是在我们以前的论文中的一些结果在以下两个方向的延伸：在那里，一个循环汤集群的条件是它的整个外边界，而我们在这里发现只有部分边界。而且，虽然有人解释说，强分解使用泊松点过程的游览，我们推导出有应该是特定的情况下的临界回路汤，我们在这里表明，在亚临界的情况下，一个较弱的性质，涉及共形限制性质仍然成立。
Crossing exponent in the Brownian loop soup
本文研究二维有界区域内亚临界布朗环汤的环簇性质，推导了环带跨越渐近概率、圆盘击中概率衰减速率，刻画了簇极集，并揭示一、二维布朗环汤的关联及新的临界强度相变点。
New Recipes for Brownian Loop Soups
我们定义了一个大的新类的共形初级运营商在合奏的布朗循环在两个维度被称为“布朗循环汤”，并计算其相关函数分析和封闭的形式。环路汤是具有中心电荷$c = 2 λ$的共形不变统计系综，其中$λ> 0$是汤的强度。以前的工作确定指数的分层运营商$e^{i βN(z)}$作为主要运营商。每个布朗环被随机分配$\pm 1$，并且$N(z)$被定义为围绕点$z$的所有环上的这些数字的总和。这些指数算子则具有共形维数${\fracλ{10}}(1 - \cos β)$。在这里，我们通过为每个循环分配一个更一般的随机值来推广这个过程。算子$e^{i βN(z)}$保持保形维数为$\frac λ{10}(1 - ϕ(β))$的主算子，其中$ϕ(β)$是用于为每个循环分配随机值的概率分布的特征函数。利用最近的结果，我们计算在封闭形式的确切两点函数在上半平面和四点函数在全平面这一类非常一般的运营商。这些相关函数在分析上取决于参数$λ, β_i, z_i$和特征函数$ϕ(β)$。它们满足共形Ward恒等式，并且是交叉对称的。在以前的工作中，四点函数的共形块展开揭示了额外的和尚未表征的共形初级算子的存在。
Brownian loops and the central charge of a Liouville random surface
我们探讨了所谓的zeta正则行列式的Laplace-Beltrami算子在一个紧凑的表面上，有或没有边界的几何意义。我们将拉普拉斯行列式的$(-c/2)$次幂与表面上强度为$c$的布朗环汤的适当正则化分拆函数相关联。这意味着，在某种意义上，用强度为$c$的布朗环汤来装饰随机曲面，相当于用拉普拉斯行列式的$(-c/2)$次幂来加权曲面定律。接下来，我们介绍了一种正则化的刘维量子引力（LQG）表面（与一些物质中心电荷参数$\mathbf{c}$），以产生一个光滑的表面的方法。我们还证明，用拉普拉斯行列式的$( -\mathbf{c}'/ 2)$次幂来加权这个随机表面的定律，可以精确地将物质中心电荷从$\mathbf{c}$变为$\mathbf{c} + \mathbf{c}'$。与先前的结果一起，这提供了一种解释的LQG表面的物质中心电荷$\mathbf{c}$作为一个纯粹的LQG表面装饰的布朗环汤强度$\mathbf{c}$。基于这一思想，我们提出了几个开放的问题，随机平面映射及其连续类似物。尽管LQG的原始构造仅针对$\mathbf{c}\leq 1$进行了良好定义，但当使用$\mathbf{c}>1$时，某些构造和问题也是有意义的。
Onsager-Machlup functional for $\text{SLE}_κ$ loop measures
本文建立 Brown 环路测度两种重整化的联系，并据此将 Loewner 能量表述为 $\text{SLE}_κ$ 及同中心荷 MKS 环路测度的 Onsager–Machlup 泛函。
Exact Correlation Functions in the Brownian Loop Soup
我们计算解析和封闭形式的四点关联函数在平面上，和两点关联函数在上半平面，分层顶点运营商的二维共形不变系统被称为布朗回路汤。这些关联函数依赖于多个连续参数：算子的插入点、汤的强度和算子的电荷。在四点函数的情况下，有五个连续的参数：交比，强度，和三个真正的收费非平凡的依赖。四点函数是交叉对称的。我们分析了它的共形块扩展，并发现了一个以前未知的一组新的共形主要运营商。
The Edwards Model for fBm Loops and Starbursts
我们扩展Varadhan的爱德华兹聚合物模型的建设分数布朗环和分数布朗星爆。我们证明了，与fBm情形一样，当H<= 1/d时，重整化下的Edwards密度是可积函数.
SLEs as boundaries of clusters of Brownian loops
在这个研究公告中，我们表明SLE曲线实际上可以被视为某些简单泊松渗流簇的边界：回想一下布朗环汤（在论文arxiv：math.PR/0304419中与Greg Lawler一起介绍），强度c定义了一个区域中的泊松环集合（如果只关注外边界，则简单）。这个随机的（可能相交的）环族是共形不变的（并且几乎可以肯定在任何样本中有无穷多个小环）。我们证明了在（0，1]中存在一个临界值a，使得如果对环的所有内部着色，则当c<a时，得到的簇是有界的，而当c>a时，一个簇填充了域。我们证明，对于小的c，集群的外边界是SLE型曲线，$κ\le 4$和$c$相关的通常的关系$c=(3κ-8)(6-κ)/2κ$（即c对应的中心电荷的模型）。从猜想上讲，临界值a等于1，对应于SLE 4循环，因此对于（0，1]中的任何c，这应该给出随机不相交的SLE $_κ$循环的自然可数族的构造（即$κ$应该跨越$(8/3,4]$），其在域的扰动下表现“很好”。弦SLE和环汤之间的精确关系如下：考虑域中某个限制测度的样本（即布朗偏移的某个并集），将其与所有上述聚类相交。如果约束测度指数等于中心电荷为c的表示的最高权，则得到的集合的外边界恰好是SLE $_κ$.
Multiple points on the boundaries of Brownian loop-soup clusters
本文研究单位圆盘内布朗环汤簇边界上的多重点，证明简单点和二重点的豪斯多夫维数分别为 $2-ξ_c(2)$ 和 $2-ξ_c(4)$，并建立分离引理以定义广义相交指数 $ξ_c(k, λ)$，揭示其与断开指数 $ξ_c(k)$ 的极限关系。
Brownian loops on non-smooth surfaces and the Polyakov-Alvarez formula
让$ρ$在$D \subset \mathbb R^2$上得到完全支持。为$\mathbb R^2$赋予度量$e^ρ(dx_1^2 + dx_2^2)$。作为$δ\to 0$，以$D$为中心，长度至少为$δ$的布朗环的集合具有测度$$\frac{\text{area}(D)}{2πδ} + \frac{1}{48π}(ρ,ρ)_{\nabla}+ o(1).$$当$ρ$光滑时，由经典的Polyakov-Alvarez公式得出。我们证明了如果$ρ$是不光滑的，例如，如果$ρ$只是Lipschitz，上述也成立。这一事实也可以用热核迹、特征值渐近或zeta正则化行列式来表示。这种说法的变体适用于更一般的非光滑流形，在这些流形上考虑所有的回路（不仅仅是那些以域$D$为中心的回路）。我们还表明，$o(1)$误差是均匀的任何家庭的$ρ$满足一定的条件。这意味着如果我们用（$δ$ -截断的）布朗环汤配分函数对这个族上的测度$ν$进行加权，并取Vague $δ\to 0$极限，我们得到一个测度，其关于$ν$的Radon-Nikodym导数为$\exp\bigl( \frac{1}{48π}(ρ,ρ)_{\nabla}\bigr)$ .当测量是某种正则化的刘维尔量子引力测量时，同伴工作[APPS 20]表明这种加权具有改变所谓的表面中心电荷的效果。
Determinantal Correlations of Brownian Paths in the Plane with Nonintersection Condition on their Loop-Erased Parts
作为随机游动的循环擦除操作$\LE$的多对一映射的图像，得到自避免游动（SAW）。环擦除随机游走（Loop-erased random walk，LERW）模型是SAW的统计系综，使得每个SAW $ζ$的权重由作为$ζ$的逆图像的所有随机游走$π$的总权重给出，$\{π: \LE(π)=ζ\}$。我们把布朗路径看作是随机游动的连续极限，把环擦除布朗路径的统计系综看作是LERW模型的连续极限。根据Fomin关于不相交LERW的理论，我们在复平面上的域$D$中引入了一个不相交的LEBP的$N$元组系统，其中不相交的LEBP的总权重由$N \times N$矩阵的Fomin行列式给出，该矩阵的元素是$D$中的边界泊松核。我们设置一个序列的腔室在一个平面域和观察的第一个通道点在$N$布朗路径$(γ_1,..., γ_N)$第一次进入每个腔室，在环擦除部分$(\LE(γ_1),..., \LE(γ_N))$的条件下，使系统的不相交LEBP在域中的意义上的Fomin。我们证明了本系统的布朗路径的第一个通过点的关联函数一般由一个连续函数相关核所指定的行列式给出。相关核是Eynard-Mehta型的，在随机矩阵理论研究的双矩阵模型和时变矩阵模型中出现过。证明了关联函数的共形协方差。
Brownian Loops and Conformal Fields
这些课堂讲稿的主题是平面晶格模型的连续标度极限。这个主题在概率论和数理统计物理学中占据重要地位的原因之一是，标度极限提供了统计力学和（欧几里德）域论之间的联系。为了解释标度极限概念背后的主要思想，我将重点介绍一个“玩具”模型，它展示了统计力学模型在临界点及其附近的典型行为。这个模型被称为随机游动循环汤，实际上它本身就很有趣。它可以被描述为格环的泊松系综，或环的格气，因为它符合统计力学的理想气体框架。在介绍了该模型，并讨论了一些有趣的连接与离散高斯自由场，我将提出一些结果，其标度极限，这导致了泊松系综的连续循环称为布朗循环汤。后者是由Lawler和Werner介绍的，是一个非常有趣的对象，与Schramm-Loewner演化和各种统计力学模型有关。在讲座的第二部分，我将使用布朗回路汤来构造一个函数族，它的行为类似于共形场的相关函数。然后，我将使用这些函数及其推导来引入共形场的概念，并探讨标度极限与共形场之间的联系。
Conformal Loop Ensembles: Construction via Loop-soups
二维布朗环汤是平面区域中具有强度参数c的环的泊松随机集合。当c不大于1时，我们证明了循环簇的外边界是满足一定共形约束公理的不相交的简单循环（当c>1时，几乎肯定只有一个簇）.我们证明了各种结果的循环汤，集群的大小，和c=1相变。结合我们的另一篇关于简单共形循环系综（CLE）的马尔可夫特征的论文的结果，这证明了布朗循环簇的这些外边界实际上是SLE（k）循环，其中k在（8/3，4]中。更一般地说，它完成了以下三种简单CLE描述（作者在早期的工作中提出）是等价的事实的证明：（1）由分支Schramm-Loewner演化（SLE（k））曲线跟踪的随机回路系综，k在（8/3，4]中。(2)布朗环汤的外簇边界系综。(3)（唯一）随机回路系综满足共形约束公理。
Existence and uniqueness of the canonical Brownian motion in non-simple conformal loop ensemble gaskets
本文研究了共形环集合（CLE_κ）骨架上 canonical Brownian motion 的存在性和唯一性，通过构造局部依赖于 CLE_κ 的扩散过程，并证明其满足平移不变性和标度不变性等性质。
A switching identity for cable-graph loop soups and Gaussian free fields
本文提出电缆图环路汤与高斯自由场的切换恒等式，证明两点同簇条件等价于添加随机奇数条独立布朗游程，并由此分析无限图上符号簇的大尺度行为。
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