An Approximate Cauchy-Schwarz Inequality and Improved Bounds for Sherali-Adams Refutation of Semirandom CSPs
Princeton University（普林斯顿大学）
本文提出近似柯西-施瓦茨不等式，解决Sherali-Adams相关问题，改进奇数元CSP反驳的约束密度要求，结果可推广至半随机设置。
2026-08-19 cs.CC
Strongly Refuting Random CSPs Below the Spectral Threshold
随机约束满足问题（CSP）具有阈值现象：给定一个具有$n$变量和$m$子句的CSP的均匀随机实例，存在一个$m = Ω(n)$值，超过该值，CSP将以高概率不可满足。强反驳是证明没有变量赋值满足超过子句的常数部分的问题;这是在不可满足状态下的自然算法问题（当$m/n = ω(1)$时）。随着子句密度$m/n$的增长，直观的强反驳应该变得更容易，因为随机子句引入的矛盾变得更加局部明显。对于诸如$k$-SAT和$k$-XOR之类的CSP，在已知有效强反驳算法的子句密度$m/n \ge \widetilde O(n^{k/2-1})$与实例以高概率变得不可满足的子句密度$m/n = ω(1)$之间存在长期存在的差距。在本文中，我们给出了谱和平方和算法的强反驳随机$k$-XOR实例的子句密度$m/n \ge \widetilde O(n^{(k/2-1)(1-δ)})$在时间$\exp(\widetilde O(n^δ))$或在$\widetilde O(n^δ)$轮的平方和层次，任何$δ\in [0,1)$和任何整数$k \ge 3$。我们的算法提供了一个平稳过渡的子句密度在多项式时间算法是已知的$δ= 0$，和蛮力反驳在满足性阈值时，$δ= 1$。我们还利用我们的$k$-XOR结果获得强反驳算法SAT（或任何其他布尔CSP）在类似的子句密度。我们的算法匹配已知的平方和下限由于Grigo…
2016-11-03 cs.CC cs.DS
Efficient Algorithms for Semirandom Planted CSPs at the Refutation Threshold
本文提出任意布尔 CSP 半随机植入实例的多项式时间算法，在 $\ ilde{O}(n^{k/2})$ 约束阈值下满足除 $o(1)$ 外全部约束，并通过随机矩阵相对谱逼近保证 SDP 证明植入赋值唯一性。
2023-09-28 cs.CC cs.DS
Cell-Probe Lower Bounds via Semi-Random CSP Refutation: Simplified and the Odd-Locality Case
本文通过精简XOR反驳归约并处理奇元情形，实现半随机$k$-XOR反驳分析的完全去随机化，改进单元探测模型下界，为$\text{NC}^0$电路范围规避等问题提供新应用。
2025-07-29 cs.CC cs.CR cs.DS
Strong Refutation for Random Quantum 3-SAT at Constant Density
Toyota Technological Institute at Chicago（芝加哥丰田技术研究所）
提出经典多项式时间算法，在常数密度下强反驳随机量子3-SAT，利用SDP和非交换性克服成对独立性障碍，否证了Feige假设的量子类比。
2026-10-06 cs.CC
The SDP value for random two-eigenvalue CSPs
我们精确地确定了某些类型的约束满足问题，“两特征值2CSP”的大随机实例的SDP值（等价地，量子值）。我们发现这个SDP值与谱弛豫值相吻合，可能表明一个计算阈值。我们的分析扩展了以前解决的随机规则$\mathsf{2XOR}$和$\textsf{NAE-3SAT}$的情况下，并包括新的情况下，如随机$\mathsf{Sort}_4$（相当于，$\mathsf{CHSH}$）和$\mathsf{Forrelation}$ CSP。我们的技术包括新的概括的nonbacktracking算子，Ihara-巴斯公式，和弗里德曼/Bordenave证明阿隆猜想。
2019-06-16 cs.CC cs.DM cs.DS
A Ihara-Bass Formula for Non-Boolean Matrices and Strong Refutations of Random CSPs
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Bocconi University（博科尼大学）
本文提出非布尔矩阵的Ihara-Bass公式，用于改进随机k-CSP的强反驳，将奇数k所需约束数从n^{k/2}(log n)^{O(1)}/ε²降至n^{k/2}/ε²，并给出半随机设置下的新PTAS。
2023-05-14 cs.AI cs.CC cs.LO
A Near-Cubic Lower Bound for 3-Query Locally Decodable Codes from Semirandom CSP Refutation
本文证明3-查询局部可解码码的块长度具有近似三次下界，通过连接LDC与半随机CSP反驳技术，改进了先前二次下界的结果。
2023-08-29 cs.CC cs.IT math.IT
Strongly refuting all semi-random Boolean CSPs
我们给出了一个有效的算法，强烈反驳所有布尔约束满足问题的\emph{semi-random}实例。我们的算法所需的约束的数量匹配（多对数因子）最知名的界限，有效反驳完全随机的情况。我们的主要技术贡献是一个算法，强烈反驳半随机的情况下，布尔$k$ -异或问题的$n$变量有$\widetilde{O}(n^{k/2})$约束。(In半随机$k$ -XOR实例，方程可以是任意的，并且只有右手边是随机的。）我们的关键见解之一是确定一个简单的随机XOR实例，使谱反驳工作的组合属性。我们的方法涉及到一个不满足此属性的实例（即，是\emph{not}伪随机的），并将其缩减为$2$ -XOR实例的分区集合。我们分析这些子实例使用精心选择的二次型作为代理，这反过来又是有界的谱方法和半定规划的组合。我们的谱界的分析只依赖于一个现成的矩阵伯恩斯坦不等式。即使对于纯随机的情况下，这导致一个较短的证明相比，在文献中，依赖于特定问题的迹矩计算。
2020-09-17 cs.CC cs.DS
The SDP value of random 2CSPs
我们考虑了一类非常广泛的模型稀疏随机布尔2CSP，相当于，度2优化问题的~ $\{\pm 1\}^n$。对于每个模型$\mathcal{M}$，我们确定自然SDP弛豫的“高概率值”~ $s^*_{\mathcal{M}}$（相当于量子值）。也就是说，对于所有的$\varepsilon > 0$，我们证明了随机$n$变量实例的SDP最优值（当通过~ $n$归一化时）在$(s^*_{\mathcal{M}}-\varepsilon, s^*_{\mathcal{M}}+\varepsilon)$范围内具有高概率。我们的一类模型包括非规则CSP，和SDP松弛值严格小于谱松弛值的模型。
2021-08-02 cs.CC cs.DS math.CO
Proof Complexity Meets Algebra
我们分析了约束满足问题之间的标准约简如何影响它们的证明复杂性。我们发现，对于大多数研究的命题，代数和半代数证明系统，经典的PP-可解释性，同态等价和常数添加到一个核心的建设保持CSP的证明复杂性。因此，对于这些证明系统，存在小的不可满足性证书的约束语言类可以用代数来表征。我们说明了我们的结果的间隙定理说，约束语言要么有分辨率反驳的恒定宽度，或没有有界深度弗雷格反驳的次指数大小。前者适用于广泛研究的一类有界宽度的约束语言。这个类也被称为符合类的语言与反驳的次线性度平方和多项式微积分在实域上，我们提供替代证明。然后，我们要求存在一个自然的证明系统，具有良好的行为方面的减少，同时小尺寸反驳超过有界宽度。我们给出了这样一个证明系统的一个例子，表明有界度的Lovász-Schrijver满足这两个要求。最后，建立在已知的下界，我们证明了方法的适用性，简化和构造新的明确的硬实例的图3-着色问题的所有研究证明系统。
2018-09-25 cs.CC cs.LO
Rounding Semidefinite Programming Hierarchies via Global Correlation
我们展示了一种新的方法，轮向量解决方案的半定规划（SDP）层次到积分的解决方案，这些层次之间的连接和输入图的频谱的基础上。我们证明了我们的方法的实用性，提供了一个新的SDP层次为基础的算法的约束满足问题的2变量约束（2-CSP的）。更具体地说，我们为每个2-CSP实例I示出了对于I的Lasserre SDP层次的r轮的舍入算法，其获得至多比松弛值差的\eps的积分解（归一化为位于[0，1]中），只要r > k \cdot \rank_{\geq θ}（\Ins）/ \poly（\e）\;其中k是I，$θ=\poly(\e/k)$的字母大小，并且$\rank_{\geq θ}(\Ins)$表示$\Ins$的约束图的归一化邻接矩阵中大于$θ$的特征值的数目。在$\Ins$是\uniquegames实例的情况下，阈值$θ$仅是$\e$中的多项式，并且与字母表大小无关。同样在这种情况下，我们可以给出\emph{every}实例的轮数的非平凡界。特别是，我们的结果产生了一个基于SDP层次的算法，在最坏的情况下，该算法与Arora，Barak和Steurer（FOCS 2010）最近的次指数算法的性能相匹配，但在自然的实例家族上运行得更快，从而进一步限制了Khot唯一游戏猜想的可能硬实例集。我们的算法实际上需要的$n^{O(r)}$的Lasserre层次结构的$r^{th}$级别指定的约束，并…
2011-04-25 cs.CC cs.DS
LP/SDP Hierarchy Lower Bounds for Decoding Random LDPC Codes
众所周知，随机（dv，dc）-规则LDPC码在指数时间解码下实现二进制对称信道的香农容量（对于足够大的dv和dc）。然而，已知多项式时间算法仅能纠正小得多的一部分错误。具有形式分析的最强大的多项式时间算法之一是Feldman等人的LP解码算法，已知其校正误差的Omega（1/dc）分数。在这项工作中，我们表明，相当强大的扩展LP解码，基于Sherali-Adams和Lasserre层次结构，未能纠正更多的错误比基本的LP解码器。特别地，我们证明了：1）对于dv和dc的任何值，Sherali-Adams LP层次的线性轮数不能校正随机（dv，dc）-正则LDPC码上的超过O（1/dc）分数的错误。2)对于dv的任何值和dc的无限多个值，Lasserre SDP层级的线性轮数不能校正随机（dv，dc）-正则LDPC码上的多于O（1/dc）分数的错误。我们的证明使用了一种新的拉伸和折叠技术，使我们能够利用最大约束满足问题（Max-CSP）的LP/SDP层次结构的局限性研究的最新进展。问题，然后减少到特殊的平衡两两独立分布的Sherali-Adams和特殊陪集的平衡两两独立子群的Lasserre的建设。我们的一些技术更普遍地适用于一类称为Min-Ones的布尔CSP。特别地，对于k-超图顶点覆盖，我们得到了一个改进的$k-1-ε$的完整性间隙，它在Lasserre层次的\emph{line…
2014-10-15 cs.CC cs.IT math.IT
Extended Formulation Lower Bounds for Refuting Random CSPs
随机约束满足问题（CSP），如随机$3$ -SAT被证明是计算困难的。随机$3$ -SAT和其他CSP的平均情况硬度对近似，学习理论和密码学问题具有广泛而深远的影响。在这项工作中，我们证明了次指数下界的大小线性规划松弛反驳随机情况下的约束满足问题。形式上，假设$P : \{0,1\}^k \to \{0,1\}$是一个谓词，它支持在其满足的赋值上的$t-1$ -wise均匀分布。考虑带有$m = Δn$约束的CSP $P$随机实例的分布。我们表明，任何线性规划扩展配方，可以反驳的情况下，从这个分布与恒定的概率必须有大小至少$Ω\left(\exp\left(\left(\frac{n^{t-2}}{Δ^2}\right)^{\frac{1-ν}{k}}\right)\right)$的所有$ν> 0$。例如，对于具有线性数目的子句的随机$3$ -SAT，这产生大小$\exp(n^{1/3})$的下限。我们使用伪校准技术直接从种植分布中获得扩展的配方下限。这种方法绕过了在证明一般LP下界时构造Sherali-Adams完整性缺口的需要。作为一个推论，人们得到了一个自包含的证明，这些问题的次指数Sherali-Adams LP下界。我们相信，这一结果揭示了伪校准技术，一个有前途的，但不合理的方法，LP/SDP的下限。
2019-11-07 cs.CC cs.DS
Toward a Uniform Algorithm and Uniform Reduction for Constraint Problems
本文提出统一框架，通过多valued minion描述约束问题的求解能力，引入新的SDP-like向量放松方法，证明其等价于AIP-Z_p放松的第k级，并解决二面体群D4的CSP问题。
2026-04-07 cs.CC cs.DS cs.LO
A Stress-Free Sum-of-Squares Lower Bound for Coloring
我们证明了，以高概率的选择一个随机图$G$从Erdens-Rényi分布$G(n,1/2)$，一个自然的$n^{O(\varepsilon^2 \log n)}$ -时间，度$O(\varepsilon^2 \log n)$平方和半定规划不能反驳存在一个有效的$k$ -着色的$G$为$k = n^{1/2 +\varepsilon}$。我们的结果意味着基本半定程序（Lovász θ函数的一个紧密变体）的反驳保证不能通过自然的$o(\log n)$度平方和加强而得到明显的改善，并且这紧到$k$中的$n^{o(1)}$松弛。据我们所知，这是着色$G(n,1/2)$的第一个下界，即使是在任何SDP层次结构中的基本SDP的单轮加强。我们的证明依赖于一个新的变体的实例保持非逐点完全约简内的SoS从着色图找到大的独立集。（也许令人惊讶的是）短，简单，不需要复杂的谱范数界的随机矩阵的依赖项目，否则必须在许多类似的结果[BHK+16，HKP+17，KB 19，GJJ+20，MRX20]。我们的结果正式持有的顶点被允许属于多个颜色类的约束系统，我们离开的扩展到正式更强的着色，顶点必须属于唯一的颜色类，作为一个突出的开放问题制定。
2021-05-16 cs.CC
Approximating Constraint Satisfaction Problems on High-Dimensional Expanders
我们考虑的问题，近似解决约束满足问题的arity $k > 2$（$k$ -CSP）的情况下，满足一定的扩展属性，被视为超图。众所周知，$k$ -CSP的随机实例也是高度扩展的，难以使用已知的算法技术来近似（并且被广泛认为难以在多项式时间内近似）。然而，我们表明，这是不一定的情况下，超图是一个高维扩展。我们考虑了Dinur和Kaufman [FOCS 2017]用于构建与PCP相关的某些基元的高维扩展的谱定义。他们衡量的扩展方面的一个参数$γ$，这是模拟的第二奇异值扩展图。扩展Barak，Raghavendra和Steurer [FOCS 2011]对2-CSP的结果，我们表明，如果字母表$[q]$上的MAX k-CSP的实例是具有参数$γ$的高维扩展器，则可以使用平方和SDP层次的$q^{O(k)} \cdot (k/ε)^{O(1)}$水平来近似可满足约束的最大分数，直到添加性误差$ε$，提供$γ\leq ε^{O(1)} \cdot (1/(kq))^{O(k)}$。基于我们的分析，我们还提出了超图的阈值秩的概念，它可以用来扩展低阈值秩图上的2-CSP近似结果。我们表明，如果一个实例的最大k-CSP的阈值秩$r$为一个阈值$τ= (ε/k)^{O(1)} \cdot (1/q)^{O(k)}$，那么它是可能的近似解决的实例添加剂错误$ε$，使用$r \cdot q^{O(k)…
2019-07-18 cs.CC cs.DS
Spectral Certificates and Non-commutative Sum-of-Squares Lower Bounds for Hamiltonians
University of Washington（华盛顿大学）
研究提出一种经典谱算法，用于在半随机汉密尔顿量k-XOR实例或高斯带符号k-局部泡利算符之和中，以O(n^{O(ℓ)})时间证明基态能量至多为1/2 + ε。
2026-10-07 cs.CC quant-ph
On the Complexity of Random Satisfiability Problems with Planted Solutions
在给定与分配一致的随机$k$公式的情况下识别种植分配的问题表现出大的算法差距：虽然种植解决方案变得唯一并且可以在给定具有$O(n\log n)$子句的公式的情况下被识别，但是在子句上存在分布，对于这些分布，最知名的有效算法需要$n^{k/2}$子句。我们提出并研究了一个统一的模型种植$k$ -SAT，它捕获了著名的特殊情况。一个实例由一个种植的赋值$σ$和一个带有$k$文字的子句分布来描述。我们将其分布复杂性定义为最大的$r$，其分布不是$r$独立的（$1 \le r \le k$用于具有种植分配的任何分布）。我们的主要结果是一个无条件的下限，紧对数因子，统计（查询）算法[Kearns 1998，Feldman et. al 2012]，匹配已知的上限，如我们所示，可以使用统计算法来实现。由于已知的用于分布问题的方法具有统计类似物（谱、MCMC、基于梯度、凸优化等），该下限提供了对所观察到的算法差距的严格解释。证明引入了一个新的一般技术的统计查询算法的分析。它还指出了所有种植作业空间中的几何配对现象。我们描述的后果，我们的下界费格的反驳假设[费格2002年]和下界一般凸方案，解决种植$k$ -SAT。我们的边界也扩展到其他种植的$k$ -CSP模型，特别是，提供了具体的证据Goldreich的单向函数和相关的伪随机发生器的安全性时，使用一个足够硬的谓词[Goldreich 2000…
2018-03-06 cs.CC cs.DM cs.DS
