Certifying solution geometry in random CSPs: counts, clusters and balance
随机约束满足问题（CSP）研究中的一个活跃话题是满足或几乎满足指派的空间的几何形状作为密度的函数，通过基于统计物理的几何学已经对该几何形状进行了精确的预测。与此同时，最近有一系列的工作反驳随机约束满足问题，通过钉反驳阈值谱和半定规划为基础的算法，也对计数解决方案CSP。受此启发，我们的工作的出发点是以下问题：什么是一个随机CSP的解决方案空间看起来像一个有效的算法？在追求这一调查，我们专注于以下问题的随机布尔CSP的密度，他们是不可满足的，但没有反驳算法是已知的。1.道理对于每一个布尔CSP，我们给出的算法，以高概率证明一个次指数上界的解决方案的数量。我们也给出了算法，以证明在高斯加权图的大割的数量上的界限，并在随机$d$ -正则图的大独立集的数量。2.集群对于布尔$3$ CSP，我们给出了算法，以高概率证明的解决方案的集群的数量上界。3.平衡我们还给出了算法，以高概率证明没有“不平衡”的解决方案，即，其中$+1$ s的分数显著偏离$50\%$的溶液。最后，我们还提供了硬度的证据表明，我们的算法计数是最佳的。
2021-06-24 cs.CC cs.DM cs.DS
Approximating Rectangles by Juntas and Weakly-Exponential Lower Bounds for LP Relaxations of CSPs
我们表明，约束满足问题（CSP），次指数大小的线性规划松弛是强大的$n^{Ω(1)}$轮的Sherali-Adams线性规划层次。作为一个推论，我们获得了次指数大小的下界线性规划松弛击败随机猜测许多CSP，如MAX-CUT和MAX-3SAT。这是一个接近指数级的改进，以前的结果，它是唯一已知的大小为$n^{o(\log n)}$的线性程序不能击败任何CSP的随机猜测（Chan-Lee-Raghavendra-Steurer 2013）。我们的界限是通过利用和扩展最近的进展，通信复杂性的“提升”查询下界通信问题。在我们的结果的主要成分是一个新的结构结果“高熵矩形”，可能独立的兴趣在通信复杂性。
2017-12-30 cs.CC cs.DM cs.DS
Local Search is Better than Random Assignment for Bounded Occurrence Ordering k-CSPs
我们证明了有界发生排序k-CSP问题是不近似抵抗。我们给出了一个非常简单的局部搜索算法，总是比随机分配算法性能更好。具体来说，算法返回的解的期望值至少为Alg > Avg + a（B，k）（Opt-Avg），其中“Opt”是最优解的值;“Avg”是随机解的期望值;并且a（B，k）=Omega_k（B^{-（k+O（1）}是仅取决于“k”（CSP的元数）和“B”（在约束中使用每个变量的最大次数）的参数。Guruswami和Zhou（APPROX 2012）提出了有界出现排序k-CSP是否具有近似抵抗性的问题，他们最近证明了有界出现3-CSP和“单调”k-CSP允许非平凡近似。
2013-03-04 cs.DS
Certifiable Near-Optimality: A Simple Framework for Unifying Search and Refutation for (Semi)random CSPs
MIT（麻省理工学院）；The Institute for Advanced Study（普林斯顿高等研究院）；TTIC（东京工业计算中心）
该工作统一了随机CSP的反驳与搜索算法，证明它们均输出带证书的近似最优解，并针对半随机CSP及强污染模型设计了可证明最优的算法。
2026-10-01 cs.DS
Strong Refutation of Random Ordering CSPs
Department of Computer Science, Yale University（耶鲁大学计算机科学系）
研究随机排序约束满足问题可满足性的强反驳，给出子句数超阈值时的多项式时间\(\varepsilon\)-反驳算法，用菊池方法得到运行时间、子句密度和反驳强度间的三方权衡，并通过计算下限证明该权衡接近最优。
2026-07-13 cs.CC cs.DS
The threshold for SDP-refutation of random regular NAE-3SAT
与它的表亲3SAT不同，NAE-3SAT（不全等于3SAT）问题具有这样的性质：当约束密度是一个大常数（具有高概率）时，谱/SDP算法可以有效地反驳随机实例。但是，这些方法是否在“可满足性阈值”之上立即工作，或者仍然存在一系列约束密度，对于这些约束密度，随机NAE-3SAT实例是不可满足的，但很难反驳？我们表明，后者的情况下占上风，至少在随机定期的情况下，基于SDP的反驳。更准确地说，尽管NAE-3SAT的随机$d$ -正则实例一旦被$d \geq 8$证明是不可满足的（whp），我们建立了以下关于有效反驳的尖锐阈值结果：如果$d < 13.5$，那么基本SDP，即使用三角不等式扩充，也无法反驳可满足性（whp），如果$d > 13.5$，那么即使是最基本的谱算法也能反驳可满足性~（whp）。
2018-04-14 cs.CC cs.DM cs.DS
Streaming complexity of CSPs with randomly ordered constraints
本文首次研究随机有序约束下 CSP 的流式计算复杂度，证明随机排序使 Max-DICUT 从需 Ω(√n) 空间降至 O(log n) 空间即可达到 0.48 近似，并给出否定结果，揭示了比 Max-CUT 更丰富的可近似性变化。
2022-07-14 cs.CC cs.DS
Strongly Refuting Random CSPs Below the Spectral Threshold
随机约束满足问题（CSP）具有阈值现象：给定一个具有$n$变量和$m$子句的CSP的均匀随机实例，存在一个$m = Ω(n)$值，超过该值，CSP将以高概率不可满足。强反驳是证明没有变量赋值满足超过子句的常数部分的问题;这是在不可满足状态下的自然算法问题（当$m/n = ω(1)$时）。随着子句密度$m/n$的增长，直观的强反驳应该变得更容易，因为随机子句引入的矛盾变得更加局部明显。对于诸如$k$-SAT和$k$-XOR之类的CSP，在已知有效强反驳算法的子句密度$m/n \ge \widetilde O(n^{k/2-1})$与实例以高概率变得不可满足的子句密度$m/n = ω(1)$之间存在长期存在的差距。在本文中，我们给出了谱和平方和算法的强反驳随机$k$-XOR实例的子句密度$m/n \ge \widetilde O(n^{(k/2-1)(1-δ)})$在时间$\exp(\widetilde O(n^δ))$或在$\widetilde O(n^δ)$轮的平方和层次，任何$δ\in [0,1)$和任何整数$k \ge 3$。我们的算法提供了一个平稳过渡的子句密度在多项式时间算法是已知的$δ= 0$，和蛮力反驳在满足性阈值时，$δ= 1$。我们还利用我们的$k$-XOR结果获得强反驳算法SAT（或任何其他布尔CSP）在类似的子句密度。我们的算法匹配已知的平方和下限由于Grigo…
2016-11-03 cs.CC cs.DS
Strongly refuting all semi-random Boolean CSPs
我们给出了一个有效的算法，强烈反驳所有布尔约束满足问题的\emph{semi-random}实例。我们的算法所需的约束的数量匹配（多对数因子）最知名的界限，有效反驳完全随机的情况。我们的主要技术贡献是一个算法，强烈反驳半随机的情况下，布尔$k$ -异或问题的$n$变量有$\widetilde{O}(n^{k/2})$约束。(In半随机$k$ -XOR实例，方程可以是任意的，并且只有右手边是随机的。）我们的关键见解之一是确定一个简单的随机XOR实例，使谱反驳工作的组合属性。我们的方法涉及到一个不满足此属性的实例（即，是\emph{not}伪随机的），并将其缩减为$2$ -XOR实例的分区集合。我们分析这些子实例使用精心选择的二次型作为代理，这反过来又是有界的谱方法和半定规划的组合。我们的谱界的分析只依赖于一个现成的矩阵伯恩斯坦不等式。即使对于纯随机的情况下，这导致一个较短的证明相比，在文献中，依赖于特定问题的迹矩计算。
2020-09-17 cs.CC cs.DS
Exact phase transition of backtrack-free search with implications on the power of greedy algorithms
Peking University（北京大学）；Beihang University（北京航空航天大学）
回溯是求解约束满足问题的一种基本策略。一个可满足的CSP实例是无回溯的，如果在回溯搜索过程中可以找到一个解决方案而不会遇到任何死胡同，这意味着该实例很容易解决。我们证明了在一些随机CSP中，即在RB模型和RD模型中，无回溯搜索的精确相变。这是第一次可以在一些随机CSP上识别无回溯搜索的精确相变。我们的技术成果也有有趣的影响的权力，贪心算法，随机超图的宽度和随机CSP的精确可满足性阈值。
2008-11-19 cs.AI cs.DM cs.DS
Tight Bounds for Sparsifying Random CSPs
University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校）；Simons Institute for the Theory of Computing（西蒙斯计算理论研究所）；Harvard University（哈佛大学）
研究随机CSPs压缩的紧界，揭示了r-部模型和均匀模型中压缩的阈值现象及非单调性。
2026-10-08 cs.DM cs.DS math.CO
From Weak to Strong LP Gaps for all CSPs
利用线性规划松弛方法研究了约束满足问题的可逼近性。我们表明，对于每个CSP，由一个基本的LP松弛得到的近似，是不弱于使用松弛的大小$n$的实例上的$Ω\left(\frac{\log n}{\log \log n}\right)$水平的Sherali-亚当斯层次得到的近似。Chan等人[FOCS 2013]证明，任何多项式大小的LP扩展公式都不比由Sherali-Adams层次的超常数水平获得的松弛更强。结合我们的结果，这也意味着任何多项式大小的LP扩展配方是不强于基本的LP。使用我们的技术，我们还简化和加强了Khot等人[STOC 2014]关于LP的（强）近似阻力的结果。他们提供了一个充分必要条件，在此条件下，$Ω(\log \log n)$水平的Sherali-Adams层次不能达到近似优于随机分配。我们简化了他们的证明，并加强了$Ω\left(\frac{\log n}{\log \log n}\right)$水平的限制。
2016-08-01 cs.CC cs.DS
A Dichotomy Theorem for Multi-Pass Streaming CSPs
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文研究了多轮流式处理CSPs的二元定理，提出了一种常数轮次的随机流式算法，以及证明了任何解决特定CSPs问题的算法必须使用Ω(n^{1/3}/p)空间。
2026-04-01 cs.CC cs.DS
Subsampling Mathematical Relaxations and Average-case Complexity
我们开始了一项研究时的数学松弛，如线性和半定约束满足问题（CSP）的程序的值是近似保存时，限制的实例，一个小的随机子样本的变量引起的子实例。假设$C$是CSP家族，例如3SAT、Max-Cut等，令$Π$是$C$的松弛，在这个意义上，对于每个实例$P\in C$，$Π(P)$是$P$的可满足约束的最大分数的上界。不严格地说，如果对于每个足够密集的实例$P \in C$和每个$ε>0$，如果我们让$P'$是通过将$P$限制为足够大的常数变量数而获得的实例，则我们说子采样对$C$和$Π$成立，那么$Π(P') \in (1\pm ε)Π(P)$。我们说弱子采样成立，如果上述保证被替换为$Π(P')=1-Θ(γ)$，每当$Π(P)=1-γ$。我们显示：1.子采样适用于BasicLP和BasicSDP程序。BasicSDP是Raghavendra（2008）所考虑的松弛的变体，他表明它在唯一博弈猜想下为每个CSP提供了最佳逼近因子。BasicLP是BasicSDP的线性规划模拟。2.对于通过从Lasserre层次结构中添加额外约束获得的BasicSDP的更严格版本，弱子采样适用于独特游戏类型的CSP。3.存在非唯一的CSP，即使是弱子采样也无法用于上述更紧的半定程序。此外，还有独特的CSP的子采样失败的Sherali-Adams线性规划层次。作为推论，我们的弱下采样强半定规划，我们得到了一…
2010-04-29 cs.CC cs.DS
Robust algorithms with polynomial loss for near-unanimity CSPs
约束满足问题（CSP）的一个例子是由一个家庭的约束重叠的变量集，目标是从一个固定的域的变量，使所有的约束都得到满足的值。在优化版本中，目标是最大化满足的约束的数量。CSP的近似算法被称为鲁棒的，如果它输出满足任何$(1-\varepsilon)$-可满足实例上的约束的$(1-g(\varepsilon))$分数的分配，其中损失函数$g$使得$g(\varepsilon)\rightarrow 0$为$\varepsilon\rightarrow 0$。我们研究了CSP的鲁棒逼近性如何依赖于实例中允许的约束关系集，即所谓的约束语言。Barto和Kozik已经描述了所有允许鲁棒多项式时间算法（带有一些$g$）的约束语言，其中损失$g$的一般界是双指数的，特别是$g(\varepsilon)=O((\log\log(1/\varepsilon))/\log(1/\varepsilon))$。人们自然会问，什么时候可以实现更好的损失：特别是对于某个常数$k$的多项式损失$g(\varepsilon)=O(\varepsilon^{1/k})$。在本文中，我们认为CSP的约束语言具有近多态性。我们给出了两个具有多项式损失的随机鲁棒算法：一个适用于任何近似多态性，损失中的参数$k$依赖于域的大小和$Γ$中关系的arity，而另一个适用于一种特殊的三元近似操作，称为dual parallel，其…
2018-12-04 cs.CC cs.DS cs.LO
Lifting Sum-of-Squares Lower Bounds: Degree-$2$ to Degree-$4$
度- $4$平方和（SoS）SDP松弛是一种功能强大的算法，它捕获了最知名的多项式时间算法，可用于各种问题，包括MaxCut、Sparnish Cut、所有MaxCSP和张量PCA。尽管是一个显式算法，具有相对较低的计算复杂性，度- $4$ SoS SDP的限制没有得到很好的理解。例如，现有的完整性差距不排除用于顶点覆盖的$(2-\varepsilon)$算法或用于通过度- $4$ SoS SDP的MaxCut的$(0.878+\varepsilon)$算法，其中每一个都将反驳臭名昭著的唯一游戏猜想。我们展示了一个明确的映射，从解决方案的程度$2$平方和SDP（Goemans-Williamson SDP）的解决方案的程度- $4$平方和SDP放松布尔变量。借助于该映射，可以将度- $2$ SoS SDP松弛的下限提升到度- $4$ SoS SDP的对应下限。利用这种方法，我们得到了随机$d$ -正则图、统计物理中的Sherington-Kirkpatrick模型和PSD Grothendieck问题上MaxCut的度$4$ SoS SDP下界.我们的构造使用了对候选SDP向量进行伪校准的想法，而以前它只用于产生候选矩阵，其中一个将显示为PSD，使用了大量的技术工作。此外，我们开发了一种不同的技术来绑定的谱范数的图形矩阵的背景下出现的SoS SDP。该技术比_trace方法简单得多…
2019-11-04 cs.CC cs.DS
Polynomial integrality gaps for strong SDP relaxations of Densest k-subgraph
Denk-subgraph（DkS）问题（即寻找一个最大边数为k的子图）是近似算法中著名的问题之一。在已知的DkS的上限和下限之间存在显著的差距：当前最好的算法给出~ O（n^{1/4}）近似，而即使显示小的常数因子硬度也需要比P！NP.除了对设计更好的算法感兴趣之外，最近的一些结果利用了Denmark-子图及其变体的约束硬度。因此，理解DkS的可近似性是一个重要的挑战。在这项工作中，我们给出了证据的硬度近似DkS内多项式的因素。具体地说，我们揭示了SDP层次的强半定规划在求解Denmark-子图时的局限性。我们的成果包括：* DkS的Sherali-Adams松弛的Omega（log n/log log n）轮的完整性间隙的Omega（n^{1/4}/log^3 n）的下限。这也适用于从Sherali-Adams获得的松弛与添加的SDP约束。我们的间隙实例实际上是Erdos-Renyi随机图。* 对于每个ε> 0，DkS的Lasserre SDP松弛的n^{Omega（eps）}轮的完整性间隙的下限为n^{2/53-eps}，并且n ^{1-eps}轮的完整性间隙为n^{Omega_eps（1）}。我们的建设收益通过减少从随机实例的某个Max-CSP在大域。在缺乏DkS的不可近似性结果的情况下，我们的结果表明，即使是最强大的SDP也无法击败n^{Omega（1）}的因子，事实上，…
2011-10-06 cs.CC cs.DS
The periodic structure of local consistency
本研究建立图随机游走混合行为与局部一致性算法求解CSP能力的关联，拓展至任意CSP及其承诺变体，得到非周期承诺CSP下该算法的线性最优下界，并完全分类其在近似图同态问题中的能力。
2024-10-31 cs.CC cs.DM cs.DS
A simpler strong refutation of random $k$-XOR
随机CSP的强反驳是理论计算机科学中的一个基本问题，由于信息论极限和计算极限之间的长期差距而受到特别关注。这一差距是最近弥合Raghavendra，饶和施拉姆，他们研究次指数算法之间的制度的两个限制。在这项工作中，我们采取了一种更简单的方法，他们的算法和分析。
2020-08-08 cs.DS
On the tightness of an SDP relaxation of k-means
最近，Awasthi等人在$\mathbb R^m$中引入了$k$ -均值问题的SDP松弛。在这项工作中，我们考虑一个随机模型的数据点，其中$k$球的单位半径是确定性地分布在整个$\mathbb R^m$，然后在每个球，$n$点根据一个共同的旋转不变的概率分布。对于任何固定的球配置和概率分布，我们证明了SDP松弛的$k$ -手段问题，正是恢复这些种植集群的概率$1-e^{-Ω(n)}$提供的任何两个球中心之间的距离是$>2+ε$，其中$ε$是一个明确的功能的球中心的配置，并可以任意小时，$m$大。
2015-05-18 cs.DS cs.IT cs.LG
Asymptotically Optimal Hardness for $k$-Set Packing and $k$-Matroid Intersection
本文证明了 $k$-Dimensional Matching 及相关独立系统优化问题的近似硬度下界，将其从 $\Omega(k/\log k)$ 提升至常数级别，缩小了与 $O(k)$ 近似算法的差距，并基于新颖的保近似 gadget 归约提供了理论解释。
2024-09-26 cs.CC cs.DS math.CO
Faster quantum and classical SDP approximations for quadratic binary optimization
本文给出了求解二次优化正则半定规划松弛问题的量子加速算法。这类用于组合优化的松弛到目前为止还没有实现量子加速。我们的方法结合量子吉布斯采样和矩阵指数更新的想法。该算法的去量化也导致更快的经典求解器。对于一般的情况下，我们的量子求解器提供了一个接近二次的速度比国家的最先进的算法。这样的例子包括近似自旋玻璃的基态和埃尔德什-雷尼图上的MaxCut。我们还提供了一个有效的随机舍入过程，近似最优的SDP解决方案转化为近似的原始二次优化问题。
2022-01-10 cs.DS quant-ph
Clustering with Semidefinite Programming and Fixed Point Iteration
Brown University（布朗大学）
我们介绍了一种新的方法，使用半定规划（SDP）松弛的最大k-切问题的聚类。该方法是基于一种新的方法，四舍五入的SDP松弛使用迭代线性最优化的解决方案。我们显示的顶点的最大k-切松弛对应的分区的数据到最多k集。我们还证明了这些顶点是迭代线性最优化的吸性不动点。这个迭代过程的每一步都解决了最近顶点问题的松弛，并导致一个新的聚类问题，其中底层聚类的定义更清楚。我们的实验表明，与随机舍入相比，使用不动点迭代舍入最大k-Cut SDP松弛会导致显著更好的结果。
2022-07-05 cs.DS cs.LG math.CO
Using Optimization to Obtain a Width-Independent, Parallel, Simpler, and Faster Positive SDP Solver
Princeton University（普林斯顿大学）；MIT（麻省理工学院）；Boston University（波士顿大学）
本文提出一种基于优化框架的简单算法，通过新的矩阵不等式和随机化梯度截断技术，实现与最佳线性规划求解器相同的迭代次数，解决正SDP求解问题。
2016-01-11 cs.DC cs.DS cs.NA
A Semidefinite Programming Method for Integer Convex Quadratic Minimization
考虑整数格${\bf Z}^n$上凸二次函数极小化的NP-困难问题。我们提出了一个简单的半定规划（SDP）松弛获得的最优值的问题的一个非平凡的下界。通过解释的解决方案的SDP松弛概率，我们得到了一个随机算法找到良好的次优解，从而上界的最优值。该方法的有效性示出了各种大小的数值问题的实例。
2017-03-10 cs.DS math.OC
Improved SDP Coloring of 3-Colorable Graphs from Recursive Gaussian Certificates
Georgia Institute of Technology, School of Computer Science（佐治亚理工学院计算机学院）；Princeton University, Operations Research and Financial Engineering（普林斯顿大学运筹与金融工程学系）
本文提出一种随机多项式时间算法，利用递归高斯证书分析高层邻域，将3-可着色图的着色数改进至O(n^{0.17506+ε})，优于此前最优界。
2026-09-29 cs.DM cs.DS
The Price of Privacy For Approximating Max-CSP
Rutgers University（罗格斯大学）；Nanjing University（南京大学）；Google Research（谷歌研究院）；New York University（纽约大学）；University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学）
本文研究了在差分隐私下近似最大约束满足问题的隐私成本，证明了高隐私下算法的近似比率上限，并提出了在有限度和三角形自由条件下达到该上限的多项式时间算法。
2026-09-15 cs.CR cs.DS
