A general formula for determinants and inverses of r-circulant matrices with third order recurrences
Emrullah Kirklar, Fatih Yilmaz
本文给出了具有一般三阶序列的r-循环矩阵的行列式和逆的计算公式。换句话说，这项研究结合了文献中的许多论文。
This note provides formula for determinant and inverse of r-circulant matrices with general sequences of third order. In other words, the study combines many papers in the literature.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The number of terms in the permanent and the determinant of a generic circulant matrix
设A=（a_（ij））是由a_（ij）=x_（i+j）给出的一般n阶循环矩阵，x的下标取模n。定义d（n）（分别p（n））是行列式中的项数（分别为永久的）A。函数p（n）是众所周知的，并且有几种组合解释。另一方面，函数d（n）以前没有研究过。我们证明了当n是素数幂时，d（n）=p（n）。证明使用对称函数。
The combinatorics of a three-line circulant determinant
研究了第一行为（1，-x，0，.的pxp循环矩阵的行列式0，-是，0，...，0），-y在位置q+1。该多项式的系数是对某些类别的排列进行计数的整数。我们证明，所有的排列，有助于一个固定的单项式x^ry^s有相同的符号，我们确定该符号。我们证明了单项式x^ry^s出现当且仅当p整除r+sq。最后，我们证明了出现的单项式的最大系数的大小随p呈指数增长。我们通过证明第一行为（1，1，0，...，0,1,0,..., 0)是原始行列式中单项式系数的绝对值之和。
Chebyshev Recurrence Structures for Reduced Spectral Functions of Cyclic Circulant Graphs
本文针对循环循环图的约化谱函数，构造了首一零化多项式，确定了最小递推阶数的充分条件，对特定集合推导了极小九次零化多项式。
Determinants of Binomial-Related Circulant Matrices
循环矩阵由于其丰富的代数结构和广泛的应用，一直受到人们的关注和不断的研究。本文引入了二项式相关矩阵的概念。这种矩阵是循环矩阵，其第一行是$(x+zy)^n$的系数，其中$z$是范数$1$的复数，而$n$是正整数。在$z\in \{1,-1,i,-i\}$的情况下，完全确定了这种矩阵的行列式的显式公式。关于二项式循环矩阵行列式的已知结果可以看作是其特例。最后，对一些尚待解决的问题进行了讨论。
Computation of Maximal Determinants of Binary Circulant Matrices
我们描述的算法计算的最大行列式的二元循环矩阵的小订单。这里，“二进制矩阵”是指其元素从$\{0,1\}$或$\{-1,1\}$中提取的矩阵。我们描述高效的并行算法的搜索，使用杜瓦尔的算法生成的项链和著名的表示的行列式的循环根的单位。给出了$\le 53$阶的极大行列式表。我们的计算扩展了早期的结果，并反驳了两个似是而非的假设。
On the norms of r-circulant matrices with generalized bi-periodic Fibonacci numbers
本文给出了具有广义双周期斐波那契数的r-循环矩阵的谱范数的上、下界.此外，我们还研究了这些矩阵的特征值和行列式。
On the Coefficients of the Permanent and the Determinant of a Circulant Matrix. Applications
令$d(N )$（分别$p(N )$）是行列式中的被加数（相应地，永久的），其中$i + j$应该被认为是$\mod N$。本文证明了$d(N ) = p(N )$当且仅当$N$是素数幂.然后，我们给出了一个应用程序齐单项理想失败的弱Lefschetz性质。
Determinants of Rising Powers of Second Order Linear Recurrence Entries by Means of the Desnanot-Jacobi Identity
我们应用Desnanot-雅可比恒等式给出了一个行列式的另一种证明，该行列式的项是由Ellinger给出的斐波那契数的升幂。然后，我们推广的决定因素，包括项目的上升权力的条款在二阶线性递归。
Recurrence Relations and Determinants
我们研究两个未成年人之间的关系，一些矩阵的n行和n+r列的n阶。这是通过一类行列式，这里称为$n$ -行列式，这是我们的目标调查。证明了1-行列式是上Hessenberg行列式。特别是，我们陈述了几个1-行列式，每个行列式都等于一个斐波那契数。我们还推导出由相同的递归方程独立的初始条件定义的序列之间的关系。得到了推广两个行列式乘积公式的一个结果。最后证明了Schur函数可以表示为$n$ -行列式。
Homogeneous linear recurrence relations of the determinants of distance matrices of trees
本文通过分析树的子树结构，建立了距离矩阵行列式的四项至七项齐次线性递推关系，并由此给出Graham-Pollak公式的新证明。
On the Algebraic Properties of r-circulant Matrices Associated with Generalized k-Pell-Tribonacci Numbers
研究r-循环矩阵的代数性质，推导Frobenius范数和ℓ₁范数的显式表达式，给出特征值和行列式的闭式公式，并建立谱范数的上下界，推广了已有结果并提供更精确的界。
Permanents of Circulants: a Transfer Matrix Approach (Expanded Version)
计算（0，1）矩阵的积和式是一个P-完全问题，但有一些结构矩阵类的积和式可以在多项式时间内计算。最著名的例子是固定跳跃（0，1）循环矩阵，使用代数技巧，由Minc证明满足常数系数固定阶递归关系。在这篇文章中，我们将展示如何通过将问题解释为计算有向循环图中的圈覆盖数，来直接使用组合方法重新证明Minc的结果。这是一个两步的过程：第一步是证明有向循环图的圈覆盖可以使用转移矩阵参数进行评估。第二个是表明，相关的传递矩阵，而非常大，实际上有更小的特征多项式比先验预期。一个重要的后果，这种新的观点是，结合一个新的递归分解的循环图，它允许扩展Minc的结果来计算永久的更大的一类循环矩阵与非固定（但线性）跳跃。它还允许我们计算循环图中其他类型的结构，例如，哈密顿圈。
Combinatorialization of Sury and McLaughlin identities, general linear recurrences in a unified approach
在这篇文章中，我们提供了一些最近的身份由于苏里和麦克劳克林的组合证明。证明了一般的常系数线性递推式的解可以解释为矩阵的行列式。此外，我们还得到了Fibonacci数和Lucas数的行列式表达式。本文用纯组合的方法证明了Fibonacci数和Lucas数的Bevel公式，并在证明过程中发现了一个行列式恒等式，我们认为这是一个新的恒等式。
Circulant matrices and Galois-Togliatti systems
本文的目的是比较三行循环矩阵的行列式展开式和积式展开式中的系数。作为应用，我们证明了一个关于Galois-Togliatti系统极小性的猜想。
Arithmetic of Some Sequences Via $2$-determinants
我们扩展我们的调查$2$ -行列式，我们在以前的文件中定义。对于一个二阶线性齐次递推式，我们考虑满足同一个二阶线性齐次递推式的不同序列之间的关系。在我们证明了d 'Ocagne的一个广义恒等式之后，我们从一个恒等式中推导出一些经典恒等式（及其推广），如d' Ocagne的、Cassini的、Catalan的和Vajda的。一路上，相应的组合解释在有限的字母表的限制词的序列，我们调查。
Determinants containing powers of polynomial sequences
我们推导出矩阵的行列式的身份，其条目是（上升）的权力（产品）多项式，满足递归关系。特别地，这些结果覆盖了Fibonacci多项式，Lucas多项式和某些正交多项式的情况。这些恒等式自然地推广了Alfred，Carlitz，Schlinger，Tangboonduangjit和Thanatipanonda所得到的行列式恒等式。
Determinants Containing Powers of Generalized Fibonacci Numbers
研究了元素为斐波那契数幂的矩阵的行列式。然后，我们扩展的结果，包括条目的权力广义斐波那契数定义为一个二阶线性递归关系。这些研究使我们发现了一个基本的身份行列式涉及权力的线性多项式。最后讨论了元素为广义斐波那契数乘积的矩阵的行列式。
Hankel determinant solutions to several discrete integrable systems and the Laurent Property
许多离散的可积系统都表现出Laurent现象。本文研究了三个可积系统：Somos-4常返式，Somos-5常返式和一个与所谓的$A_1$ $Q$ -系统有关的系统，并利用Hankel行列式导出了它的通解.因此，我们直接确认它们满足Laurent性质。此外，还证明了Somos-5递推式可以看作是Somos-4递推式的一个特定的贝克隆变换.并对索莫斯多项式的相关问题进行了研究。
Determinant Identities for Toeplitz-Hessenberg Matrices with Tribonacci Number Entries
本文研究了一类含有tribonacci数的Toeplitz-Hessenberg矩阵族的行列式。这些行列式公式也可以等价地表示为涉及多项式系数和特里波那奇数的乘积之和的恒等式。特别是，我们通过Toeplitz-Hessenberg行列式建立了tribonacci和Fibonacci和Padovan序列之间的联系。然后，我们得到，通过组合参数，我们的行列式公式的推广广义tribonacci序列满足r阶递归的更一般的形式与适当的初始条件，其中r>2是任意的。
Constructive recurrences for determinants and permanents of banded Toeplitz matrices
针对带状Toeplitz矩阵，提出两种构造性Laplace展开方法，得到行列式与积和式的极小阶递推，并精确分类状态图，推广至循环情形。
Symmetry reductions and recurrence degrees for banded Toeplitz determinants and permanents
本文研究带状Toeplitz行列式与积和式的对称约化，提出三种机制并给出对称与斜对称情形下的精确递归度界，同时证明五对角带的积和式-行列式转换。
The Hankel determinants for the generalized derangement polynomials of order r
本文引入r阶广义错排多项式，建立其恒等式与递推关系，并用概率方法给出相关Hankel行列式的显式表达式，进而推导错排多项式与循环错排数的Hankel行列式。
A proof of Xin-Zhang's tridiagonal determinant conjecture (extended version)
本文证明了辛-张关于三对角矩阵特征多项式猜想，并扩展方法应用于更广泛的三对角矩阵家族。
A combinatorial proof of the non-vanishing of Hankel determinants of the Thue--Morse sequence
1998年，Allouche，Peyrière，Wen和Wen建立了与$\{-1, 1\}$上的Thue-Morse序列相关的Hankel行列式总是非零的。他们的证明依赖于一组十六个递归关系。我们提出了一个替代的，纯粹的组合证明相同的结果。我们还重新证明了最近的结果Coons的非零的Hankel行列式与其他两个经典的整数序列。
New Records for the Hadamard Maximal Determinant Problem
该研究针对51、107、115维±1矩阵行列式的阿达马最大问题，计算出新下界并提供对应矩阵构建数据，提升了相关记录。
Principal Specialization of Monomial Symmetric Polynomials and Group Determinants of Cyclic Groups
研究单项对称多项式在单位根处的主特殊化，给出显式公式，并证明这些特殊值自然出现在循环群行列式的k次幂展开中，推广了Ore公式，同时确定了循环群群积和k次幂的项数。
Evaluations of some determinants of matrices related to the Pascal triangle
我们证明了几个评估的矩阵，其条目是由递归$a_{i,j}=a_{i-1,j}+a_{i,j-1}$，或其变化的行列式。这些评估由Roland Bacher进行了验证或扩展验证[J. Théorie Nombres Bordeaux 13（2001），to appear; see http：//arxiv.org/abs/math.CO/0109013]。
Negative moments of orthogonal polynomials
如果一个由非负整数索引的序列满足一个不含常数项的线性递归式，则可以利用该递归式将该序列的索引推广到负整数。最近，Rehler和Krattenthaler证明了有界Dyck路的个数的负版本是有界交错序列的个数。本文给出了计算与正交多项式矩有关的序列的负型的两种方法。给出了有界Motzkin路数的负版本的一个组合模型。我们还证明了两个图的Rehller和Krattenthaler之间的互易行列式。
Limiting spectral laws for sparse random circulant matrices
本文研究稀疏随机循环矩阵的极限谱定律，证明其经验谱分布期望弱收敛的充要条件为群元素阶分布弱收敛，且概率收敛等价于阶分布为狄拉克质量，同时给出行列式的高概率渐近形式。
Continued fractions for $q$-deformed real numbers, $\{-1,0,1\}$-Hankel determinants, and Somos-Gale-Robinson sequences
本文研究$q$-变形实数的连分数展开，发现新例子，并找到使前几个Hankel行列式仅含$-1,0,1$的无穷幂级数族，这些序列满足Somos和Gale-Robinson递推。
Polynomial recurrences and cyclic resultants
设$K$是特征为零的代数闭域，令$f \in K[x]$ . $f$的第$m$个{ \it循环结式}是\[r_m = \text{Res}(f,x^m-1).\]。通用一元多项式由其循环结式的全序列确定;然而，证明该结果的已知技术没有给出有效的计算界限。我们证明了一个通用的一元多项式的次数$d$是由它的第一个$2^{d+1}$循环结式和通用的一元倒数多项式的次数$d$是由它的第一个$2\cdot 3^{d/2}$。此外，我们证明了循环结式满足长度为$d+1$的多项式递归。这一结果证明了Sturmfels和Zworski的猜想，即$d+1$的结式决定了$f$。在这个过程中，我们建立了两个独立的兴趣一般结果：我们表明，某些Toeplitz行列式是足以确定是否是线性递归序列，我们给出的条件下，线性递归序列满足多项式递归的长度较短。
Schur polynomials, banded Toeplitz matrices and Widom's formula
我们证明了对于任意分划$\mathbfλ \subseteq \mathbfκ,$和整数$0\leq c<r\leq n,$，Schur多项式序列$S_{(\mathbfκ + k\cdot \mathbf{1}^c)/(\mathbfλ + k\cdot \mathbf{1}^r)}(x_1,...,x_n)$对于$k$足够大，满足线性递归。特征方程的根被明确地给出。这些递推式对于带状Toeplitz矩阵的某些子式序列也是有效的。此外，我们表明，Widom的行列式公式从1958年是一个特殊的情况下，一个著名的身份舒尔多项式。
Kirchhoff index of a nested geometric graph with weighted multiple edges
本文研究了具有加权多重边的嵌套几何图序列Gn的基尔霍夫指数，推导了拉普拉斯矩阵特征多项式的递推关系，并获得Kf(Gn)的显式公式，揭示其渐近线性增长特性。
Hankel determinants of linear combinations of moments of orthogonal polynomials, II
本文提出了一个将正交多项式矩的线性组合的 Hankel 行列式表示为正交多项式行列式的公式，给出了四种不同证明及两个应用，涵盖奇异情形计算与经典组合序列的线性递推。
Juggler's friezes
本注记将$\mathrm{SL}(k)$ -friezes推广到其中一个边界行被不规则边缘（由杂耍函数描述）所取代的数的配置。我们提供了几个等价的定义/刻画这些杂耍的friezes，在行列式，线性递归，和一个双重杂耍的friezes。我们推广经典的结果，如周期性，对偶性，和参数化的一部分格拉斯曼。我们还提供了一种方法来构建这样的friezes从某些$k \times n$矩阵使用扭曲的矩阵。
Hankel continued fractions and Hankel determinants for $q$-deformed metallic numbers
本文研究了$q$-变形金属数的Hankel连续分数和行列式性质，证明其序列具有周期性和递推关系，并验证了相关猜想。
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