The Hilbert function of bigraded algebras in $k[\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1]$
Giuseppe Favacchio
在$k[x_1, x_2, y_1, y_2]$中引入了一个称为Ferrers函数的数值函数，对双分次代数的Hilbert函数进行了分类.
We classify the Hilbert functions of bigraded algebras in $k[x_1, x_2, y_1, y_2]$ introducing a numerical function called Ferrers function.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Higher iterated Hilbert coefficients of the graded components of bigraded modules
设$S=K[x_1,\ldots,x_n]$是域$K$上的多项式环，$I\subset S$是分次理想.证明了分次$S$ -模$\Tor_i^S(M,I^k)$和$\Ext^i_S(M,I^k)$的高阶迭代Hilbert系数是$k$中的多项式函数，并给出了它们的次数的上界.这些结果是通过考虑适当的双分次模而得到的。
On the regularity of local cohomology of bigraded algebras
研究了双分次代数的局部上同调分次分支的正则性和Hilbert函数。对于双分次超曲面环，得到了这些不变量的显式界。
Grothendieck-Serre formula and bigraded Cohen-Macaulay Rees algebras
将分次代数的Hilbert函数与Hilbert多项式之差的Grothendieck-Serre公式推广到双分次标准代数上.这被用于得到局部环（A，m）的局部上同调模.研究了双阶化Rees代数的Kirby-Meiden复形的一个变分的上同调，并利用它刻画了Cohen-二维Cohen-Macaulay局部环的I和J的双分次Rees代数的Macaulay性质
Hilbert polynomials of non-standard bigraded algebras
本文系统地研究了由二次元（1，0），（d_1，1），.生成的二次代数R的Hilbert多项式，（d_r，1），其中d_1，.，d_r是非负整数。所得结果可用于研究齐次理想的Rees代数及其对角子代数。在下列情况下，Hilbert多项式是显式计算的：（1）R是上述类型的双阶多项式环;（2）R是由齐次正则序列生成的理想的Rees代数;（3）R是由一般（r-1）乘r矩阵的极大子式生成的理想的Rees代数.
Local Cohomology of Bigraded Rees Algebras and Normal Hilbert Coefficients
设$(R,\m)$是具有无穷剩余域的2维解析非分歧Cohen-Macaulay局部环，$\ov{I}$是$R$中理想$I$的积分闭包.给出了$\ov{I^{r+1}J^{s+1}}=a\ov{I^rJ^{s+1}}+b\ov{I^{r+1}J^s}$保持$[H^2_{(at_1,bt_2)}(\ov{\mathcal{R}^\prime}(I,J))]_{(r_0,s_0)}$的充要条件，其中$a \in I,b \in J$是过滤$\{\ov{I^rJ^s}\}.$的良好联合约化。$\ov{e}_2(IJ)$的消失等价于$\ov{\mathcal{R}}(I,J)$的Cohen-Macaulayness。
Bigraded structures and the depth of blow-up algebras
设$R$是Cohen-Macaulay局部环，$I\subset R$是具有最小约化的理想$J$ .在本文中，我们附加到对$I$，$J$一个非标准的双阶化模$Σ^{I,J}$。对$\SIJ$的双分次Hilbert函数的研究，使我们能够证明Wang猜想的一个改进版本和Sally猜想的一个弱版本，这两个版本都是关于分次环$gr_I(R)$的深度的.模块$\SIJ$可以被认为是由W.瓦斯康塞洛斯
The simplest minimal free resolutions in ${\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1}$
研究了双分次环K[s，t;u，v]的双齐次极大理想$ \langle s,t\rangle \cap \langle u,v \rangle$中包含的具有三个相同双度生成元的理想的最小双分次自由分解.我们的分析涉及代数几何（Segre-Veronese簇），经典交换代数（Buchsbaum-Eisenbud精确性标准，Hilbert-Burch定理）和同调代数（Koszul同调，谱序列）的工具。我们详细处理的情况下，其中的二度是（1，n）。我们连接我们的工作的一个猜想的Fröberg-Lundqvist双阶希尔伯特函数，并关闭一些开放的问题。
A numerical property of Hilbert functions and lex segment ideals
我们介绍了分形展开，与一个数相关联的整数序列。我们表明，这些序列的特点的O-序列和编码的一些信息的lex段理想。此外，我们还引入了一个数值函数--分形函数，并证明了分形函数可以用来对双阶化代数的Hilbert函数进行分类。
The interpolation problem for a set of three fat points in $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$
这是Favacchio和Guardo最近论文的附录。本文给出了$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1.$中支撑为几乎完全交（ACI）的三点胖点集的最小二阶自由分解和二阶Hilbert函数，从而解决了具有ACI支撑的三点插值问题。
The projective coinvariant algebra, Young invariants and bigraded coordinate rings of Segre embeddings
本文研究了射影线 n 重自乘积的塞格雷嵌入坐标环的双分量结构，通过双分量细化计算了硬币代数特征，并探讨了杨不变量与多重集单词生成函数的关系。
On the diagonals of a Rees algebra
本文的目的是研究Rees代数的对角线的环论性质，从几何的观点来看，Rees代数是投射簇的blow-up沿着一个子簇的嵌入的齐次坐标环。在第一章中，我们将标准双分次k-代数上的双生成双分次模的双投射概型和Hilbert多项式的定义和结果推广到双生成双分次S-模上，其中S=k[X_1，…，X_n，Y_1，.，Y_r]是二阶化的多项式环，其中deg X_i=（1，0），deg Y_j=（d_j，1），d_j \geq 0.我们还把任何一个双分次生成的双分次S-模的双分次极小自由分解的移位与它的a-不变量联系起来。在第二章中，我们研究了双分次S-模范畴中的常数函子。我们比较了双分次S-模的局部上同调模与其对角线上的局部上同调模。第三章详细研究了环k[（I^e）_c]的Cohen-Macaulay性质。第四章研究了这类环的Gorenstein性质。作为某种意想不到的副产品，用于研究Rees代数对角线的方法也允许研究理想的幂的a-不变量及其渐近性质（第5章和第6章）。
Extremal Hilbert series
给定代数（多项式环，张量代数，外代数，李代数，双阶化多项式环）中的理想，考虑其因子环的Hilbert级数.我们专注于最小希尔伯特级数，这是实现时的形式是通用的。在多项式环中，我们也考虑了极大级数的相反情形。这主要是一个调查的文章，但我们给了很多的问题和建议。唯一的新结果涉及多项式环中的极大级数。
Multigraded Castelnuovo-Mumford regularity via Klyachko filtrations
本文考虑光滑完备环面簇$X$的$\mathrm{Cl}(X)$ $-$分次Cox环$\mathbb{C}[x_{1},\dotsc,x_{r}]$上的$\mathbb{Z}^{r}-$分次模.在自反的情况下使用Klyachko过滤理论，我们构造了一个集合的格多面体编码的多阶希尔伯特函数的模块。我们将这种方法应用于非标准双分次多项式环$\mathbb{C}[x_{0},\dotsc,x_{s},y_{0},\dotsc,y_{r}]$上的自反$\mathbb{Z}^{s+r+2}$ -分次模。在这种情况下，我们给出了它们的多阶Hilbert函数的多阶正则性指标的精确界，并给出了它们的Hilbert多项式的计算方法。
The minimal free resolution of fat almost complete intersections in $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$
当前的研究主题是比较理想$I$的符号功率与$I$的常规功率。在本文中，我们专注于$I=I_X$是一个理想的情况下，定义几乎完全交（ACI）点$X$在$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$。特别是，我们描述了一个最小的自由bigraded决议的非算术科恩-麦考利（也是非高斯）集的脂肪点$\mathcal Z$的支持是ACI。我们将$\mathcal Z$称为胖ACI。我们还证明了它的符号幂和普通幂是相等的，即对任何$m\geq 1.$都是$I_{\mathcal Z}^{(m)}=I_{\mathcal Z}^{m}$
Equivariant Hilbert Series of Monomial Orbits
确定了由单项式的轨道在严格增函数幺半群$\mbox{Inc}(\mathbb{N})$作用下生成的理想的等变Hilbert级数。这是用来找到这样一个理想的维数和程度。结果还表明，Nagel和Römer给出的关于任意$\mbox{Inc}(\mathbb{N})$-不变理想的等变Hilbert级数的分母的描述是相当有效的.
Hilbert functions of schemes of double and reduced points
在$\mathbb{P}^2$中，对具有二重点的Hilbert函数的分类是一个尚未解决的问题.给定$\mathbb{P}^2$中零维格式的一个有效Hilbert函数$H$，我们给出了如何构造一组二重点和约化点的胖点$Z \subseteq \mathbb{P}^2$，使得$Z$的Hilbert函数$H_Z$与$H$相同.换句话说，我们证明了零维格式的任何有效的Hilbert函数$H$是由正数个二重点和一些约化点组成的集合的Hilbert函数。对于某些有效的Hilbert函数族，我们也能够证明$H$是仅有二重点的Hilbert函数。此外，我们还给出了一个二重点或二重点加一个附加约化点的概型的Hilbert函数是星型线上支撑点的Hilbert函数的充要条件.
Hilbert-Kunz multiplicity of quadrics decreases
通过证明Z/p^eZ的Green环与Z/pZ的Green环的e重张量积同构，并利用p-adic展开，计算Fermat二次曲面的Hilbert-Kunz函数和重数，证明其随特征递减，肯定Yoshida猜想。
Tensor product surfaces and graded syzygies
本文研究了由双分层理想I_U具有单分层斜导子时的张量积曲面的隐式方程问题，通过扩展Duarte-Schenck和作者之前的工作，解决隐式化难题。
Disconnected multigraded Hilbert schemes on $\mathbb{P}^2\times\mathbb{P}^1$
本研究针对双射影空间P²×P¹上的多重分次Hilbert概型连通性问题，通过构造特定多项式对应的概型族，证明存在无穷多个不连通的该类概型，拓展了低变量多项式环下的相关结论。
On the Hilbert function of general fat points in $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$
研究了$\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$中一般胖点理想的重数相同的双阶Hilbert函数。我们的第一个工具是第二作者在以前的作品与A.V. Geramita和A.吉米利亚诺他们解决了二重点的情况。通过这种方式，我们可以计算出当双度的最小项至多是点的重数时的希尔伯特函数。我们的第二个工具是由J.Alexander和A. Hirschowitz研究了标准射影空间中胖点集的Hilbert函数。这样，我们计算了整个双分次Hilbert函数的情况下，三重点。
Hilbert series, Poincaré series and homotopy Lie algebras of graded algebras -- a seminar
首先证明了一个关于分次代数$A$的Hilbert级数与二元分次代数$A$的Poincaré级数的关系式.这给出了Fröberg公式的情况下，双分次$Tor^A(k,k)$是集中在对角线上，我们采取的定义$A$是“Koszul”。我们看看在交换的情况下，从Koszul复杂的“平凡的Golod”的情况下获得的决议。用不同的方法介绍了$Ext_A(k,k)$的代数结构。由一维元素生成的子代数定义为$A$的“Koszul”对偶。我们定义了“广义Koszul复形”，并在$A$的增广理想的立方为零的情况下构造了一个最小分辨率.以上结果至少有45年的历史，大部分可以在我的论文中找到。第二部分定义了分次李代数。引入了自由李代数和包络代数。在分次交换情形下，Koszul对偶被看作是李代数的包络代数，并举例说明.提出了Poincaré-Birkhoff-Witt定理，给出了包络代数的Hilbert级数的一个公式.同伦李代数有不同的定义，特别是由一维元素生成的李子代数。对于完全交、Golod环和增广理想的立方等于零的环给出了同伦李代数的例子。给出了一个由Hilbert级数表示的李代数的维数的对数公式，并给出了它的包络代数的维数。给出了周期李子代数的例子，得到无理庞加莱级数。定义了超平面排列的“holonomy”李代数，并以图形排列$K_4$为例进行了讨论.
A $D$-module approach on the equations of the Rees algebra
设$I \subset R = \mathbb{F}[x_1,x_2]$是由三个相同次数的齐次多项式$d$极小生成的高度为2的理想，其中$\mathbb{F}$是特征为零的域。利用$D$ -模的理论推导了$I$的Rees代数的定义方程.设$\mathcal{K}$是从$I$的对称代数到$I$的Rees代数的正则映射$α: \text{Sym}(I) \rightarrow \text{Rees}(I)$的核.证明了$\mathcal{K}$可描述为微分方程组的解集，$\mathcal{K}$的整个双阶结构可用某些$b$ -函数的整根来刻画，某些de Rham上同调群可给出$\mathcal{K}$的部分信息.
Hilbert-Burch matrices and explicit torus-stable families of finite subschemes of $\mathbb A ^2$
本文利用Hilbert-Burch矩阵，研究了Hilbert方案上的Białynicki-Birula细胞，并给出了固定点位留正维时的有理映射构造，同时探讨了形式变形的显式描述。
Initial Ideals, Low-degree Foliations and the Hilbert Scheme of Points on $\mathbb{CP}^{2}$: A First Approach
该研究针对复射影平面上点的希尔伯特概型，以$d=2$次全纯叶状结构对应的7个点的希尔伯特函数为对象分析覆盖该概型的仿射簇，同时给出$d=3$次的相关结果，是相关领域的初步探索。
Hilbert-Burch virtual resolutions for points in $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$
本文证明了 $\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^1$ 中有限点集多重度正则性极小元素的虚拟分解大多属 Hilbert-Burch 类型，给出仅依赖点数的明确描述，并指出其并非总是短分解，提供了长度为 3 的充分条件。
On virtual resolutions of points in a product of projective spaces
本文针对射影空间乘积中的有限点集，构造了短虚分解，推广了现有工作，并揭示了Betti数与双分次Hilbert函数高阶差分矩阵的显式关系。
Hilbert-Kunz Multiplicity of Fibers and Bertini Theorems
设$k$是特征$p > 0$的代数闭域.证明了如果$X\subseteq\mathbb{P}^n_k$是一个等维子概型，且在所有点$x\in X$上的Hilbert-Kunz重数都小于$λ$，则对于一般超平面$H\subseteq\mathbb{P}^n_k$，$X\cap H$的Hilbert-Kunz重数在所有点$x\in X\cap H$上都小于$λ$.这回答了一个猜想，推广了Carvajal-Rojas，Schwede和Tucker的一个结果，当$X\subseteq\mathbb{P}^n_k$正规时，他们的结论与我们的结论相同.在这个过程中，我们基本上推广了由上述作者获得的关于映射纤维的Hilbert-Kunz重数的某些一致估计，这些估计应该是独立感兴趣的。
Hilbert Polynomials of Kähler Differential Modules for Fat Point Schemes
给定特征为零的域$K$上的射影$n$ -空间$\mathbb{P}^n$中的胖点概型$\mathbb{W}=m_1P_1+\cdots+m_sP_s$，其齐次坐标环的Kähler微分$k$ -形式的模包含了当$\mathbb{W}$.在本文中，我们确定其希尔伯特多项式的值明确的情况下$k=n+1$，证实了早先的猜想。更确切地说，该值由胖点方案$\mathbb{Y} = (m_1-1)P_1 + \cdots + (m_s-1)P_s$的多重性给出。对于$n=2$，这使我们能够确定$k=1,2,3$的Kähler微分$k$ -形式的模的Hilbert多项式，并为$k=2$的正则性指数产生一个清晰的界。
Hilbert-Samuel sequences of homogeneous finite type
本文讨论了局部分次Artin代数$\mathbb{K}[x,y]/I$的分类问题，其中$\mathbb{K}$是特征$0$的代数闭域。它们有一个自然不变量，称为希尔伯特-塞缪尔序列。我们称一个Hilbert-Samuel序列是齐有限型的，如果它是有限个分次局部代数同构类的Hilbert-Samuel序列.本文给出了由$1$的$2$次元生成的代数的齐次有限型Hilbert-Samuel序列的列表.
On the first infinitesimal neighborhood of a linear configuration of points in $\mathbb P^2$
我们考虑以下未决问题。修复一个希尔伯特函数$h$，它出现在$\mathbb P^2$的简化零维子方案中。在所有的子格式$X$中，有Hilbert函数$h$，对于$X$的第一无穷小邻域$Z$，可能的Hilbert函数和分次Betti数是什么（即$X$上支持的双点格式）？是否有最小值（$h^{\min}$）和最大值（$h^{\max}$）这样的函数？编码在$h$中的数值信息转换为{ \it类型向量}，这使我们能够使用希尔伯特函数$h$找到线上点的并集，称为{ \it线性配置}。给出了{ \it all}这类线性构形的第一无穷小邻域的Hilbert函数和分次Betti数相同的充要条件.即使对于那些$h$的Hilbert函数或分级贝蒂数的结果双点计划不是唯一确定的，我们给一个（仅取决于$h$），确实发生。我们证明了$h^{\max}$的存在性，在一般情况下，并讨论了$h^{\min}$。我们的方法包括联络技巧。
Syzygies in Hilbert schemes of complete intersections
设$ e_1, ..., e_c $是正整数，$ Y \subseteq \mathbb{P}^n$是由$x_1^{e_1}, ..., x_c^{e_c}$的消失所定义的单项完全交.本文研究了点$Hilb^d(Y)$的Hilbert格式参数化的子格式的方程数和合矢数的精确上界，并讨论了它在点$Hilb^d(X)$的任意完全交的Hilbert格式$X \subseteq \mathbb{P}^n$中的应用.
The Hilbert series and $a$-invariant of circle invariants
令$V$是由权重向量$\mathbf{a}\in\mathbb{Z}^n$确定的复数圆$\mathbb{C}^\times$的有限维表示。研究了多项式$\mathbb{C}^\times$ -不变量的分次代数$\mathbb{C}[V]^{\mathbb{C}_{\mathbf{a}}^\times}$的Hilbert级数$\operatorname{Hilb}_{\mathbf{a}}(t)$，它是由$\mathbb{C}^\times$ -作用的权向量$\mathbf{a}$表示的.特别地，我们给出了$\operatorname{Hilb}_{\mathbf{a}}(t)$的显式公式以及$t=1$上的$\operatorname{Hilb}_{\mathbf{a}}(t)$的Laurent展开式的前四个系数。当权重成对重合时，这些系数的朴素公式具有可去奇点。识别这些取消，洛朗系数表示使用部分舒尔多项式是独立对称的两组变量。我们同样给出了$\mathbb{C}[V]^{\mathbb{C}_{\mathbf{a}}^\times}$的$a$ -不变量的一个显式公式，在这种情况下，这个代数是Gorenstein。作为应用，我们给出了确定权向量的Gorenstein和非Gorenstein不变代数的方法。
An Introduction to Hilbert Module Approach to Multivariable Operator Theory
设$\{T_1, \ldots, T_n\}$是Hilbert空间$n$上可交换的有界线性算子的集合.然后，$n$元组$(T_1, \ldots, T_n)$将$\mathcal{H}$转换为$\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$上的模块，其意义如下：\[\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n] \times \mathcal{H} \raro \clh, \quad \quad (p, h) \mapsto p(T_1, \ldots, T_n)h,\]，其中$p \in \mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$和$h \in \mathcal{H}$ .上面的模通常称为$\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$上的希尔伯特模。$\mathbb{C}[z_1, \ldots, z_n]$（或自然函数代数）上的Hilbert模是由R. G. Douglas和C. 1976年的Foias。两个主要的驱动力是多变量算子理论的代数和复几何观点。本文介绍了函数代数上的Hilbert模，并综述了它的一些最新进展。本文将Hilbert模理论作为交换代数、复几何和Hilbert空间几何的结合，并将其应用于交换算子的$n$ -元组（$n \geq 1$）理论.研究的主题包括：模型理论从希尔伯特模块的角度来看，希尔伯特模块的全…
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