A note on the coupon - collector's problem with multiple arrivals and the random sampling
在本说明中，我们评估的预期等待时间，以完成收集的优惠券，在这种情况下的优惠券到达组的大小不变，独立和不平等的概率。作为一个应用，我们将能够确定期望的g维样本样本个数，为了观察给定种群中的所有类型的个体，我们必须独立地抽取这些样本。
2012-10-05 math.PR
Asymptotic Results for Uniform Group Drawing in the Coupon Collector's Problem
Institute for the Theory of Computing, Ben-Gurion University（本-古里安大学计算理论研究所）；Department of Mathematics, Ben-Gurion University（本-古里安大学数学系）
研究彩票收集问题中分组抽取的渐进行为，分析不同分组大小下的期望收集时间渐近表达式。
2026-05-07 math.PR
Limit theorems in the extended coupon collector's problem
我们考虑一个扩展的变种的经典优惠券收藏家的问题与无限数量的集合。如果$r$是最小索引，则到达的优惠券被放置在$r^{th}$集合$r\ge0$中，使得相应的集合仍然没有这种类型的优惠券。我们推导出分布极限定理的空点在不同的集合的数量时，$0^{th}$收集完成，以及经过一些延迟。我们还得到了不同集合的完成时间的极限分布。所有的主要结果在$\mathbb R^\infty$的分布收敛意义下以最终的无穷维形式给出。证明的主要工具是特殊构造的点过程的收敛性。
2020-02-03 math.PR
Approaching the coupon collector's problem with group drawings via Stein's method
本文研究了带成组图纸的联票收集器问题。假设存在$ n $不同的试样。每次抽取$ n $优惠券的$ s $，所有选择都假定具有相等的概率。重点在于在第一次$k_n$绘图中未绘制的试样的数量$Z_{n,s}(k_n)$的波动，如$n\to\infty$。利用尺寸偏置耦合构造和Stein法向逼近方法，对$k_n={n\over s}(α\log(n)+x)$情形给出了$Z_{n,s}(k_n)$的定量中心极限定理，其中$0<α<1$和$x\in\mathbb{R}$ .同样的耦合结构用于检索定量泊松极限定理的边界情况下$α=1$，再次使用斯坦的方法。
2022-02-15 math.PR
The logarithmic Zipf version of the coupon collector's problem
收集者希望收集$m$完全不同的$N$优惠券。从群体中抽取的样本被认为是独立的，并且具有相同的分布，并进行替换，抽取$j$型样本的概率记为$p_{j}$。设$T_{m}(N)$为解决此问题所需的试验次数。我们提出了渐近的期望（5项加上一个错误），二次上升的时刻（6项加上一个错误），和方差的$T_{m}(N)$（首项），以及其极限分布$N\rightarrow \infty$，当\begin{equation*} p_{j}=\frac{a_{j}}{\sum_{j=2}^{N+1} a_{j}}, \,\,\,\text{where}\,\,\, a_{j}=\left(\ln j\right)^{-p}, \,\,p>0. \end{equation*}这些“对数Zipf”类的息票概率不包括现有的文献和本文件来填补这一空白。因此，我们扩大了解决收集器问题的类（矩，方差，分布）。
2015-10-30 math.PR
Convergence rate for the coupon collector's problem with Stein's method
本文利用Stein方法分析彩票收集问题收敛速率，通过定义马尔可夫过程的不变测度，展示如何应用该方法估计经典问题的收敛速度。
2025-11-23 math.PR
Antiduality and Möbius monotonicity: Generalized Coupon Collector Problem
对于有限状态空间上的吸收马尔可夫链$X^*$，如果链$X$的最快强平稳时间在分布上等于$X^*$的吸收时间，则链$X$是$X^*$的锐反对偶.在本文中，我们展示了一个系统的方法来找到这样一个反对偶的基础上的状态空间的一些偏序。我们使用的强平稳对偶理论最近开发的Möbius单调马尔可夫链。给出了一类广义息票回收问题对应的马尔可夫链的几个尖锐的反对偶链。因此-利用已知的结果上的吸收时间的限制分布-我们表明分离截止（其窗口大小）在几个链。我们还提出了一个链，（在某些条件下）有一个规定的平稳分布，其最快的强平稳时间分布作为一个规定的混合几何随机变量的总和。
2019-03-01 math.PR
On Conjectures concerning the Labeled Coupon Collector Problem
本文研究带标签的优惠券收集者问题变体，针对组大小为2的情况，严格证明了Tan等人提出的两个猜想，确定了唯一识别所有标签所需的期望抽取次数。
2025-10-27 math.CO math.PR
On the Validity of the Assumptions of the classical Coupon Collector's Problem
经典的优惠券收集者问题的解决方案是基于所有的贴纸是独立和均匀分布的假设。我们可以从统计和分析上证明，特别是独立性的假设在该领域并不成立。为了实现这一结果，我们系统地建模和分析的生产过程中的贴纸组合的方法。我们还推导出了偏离独立性的度量。因此，经典的息票收集者问题的结果不再适用于实际应用，但我们可以证明，它们构成了一个上界。这特别意味着，在实践中，偏离对收集者有利，而不是对供应商的欺诈。-- H.所有的图片都非常漂亮，并且在Packchen vertilt上也很显眼。我们也可以通过统计学来分析，这是一个很好的解释。在实践中不存在不受约束的情况。我们在大足采用了综合方法对样品进行了系统的处理。我们也知道这是一个很大的错误，就像从Zufall开始的错误一样。但在实践中，经典的Sammelbildermodels的效果并不好，但我们知道，它们可以在很短的时间内进行抽象。这是不可能的，因为没有人会背叛她，所以她更容易被人背叛。
2016-03-09 math.PR
An examination of the negative occupancy distribution and the coupon-collector distribution
我们研究了负占用分布和优惠券收集器分布，这两个都出现在扩展占用问题的分布有关的首中时。这些分布通过描述我们需要收集的物品数量的行为来获得任何大小的完整集合或部分集合，从而构成了优惠券收集者问题的广义版本的完整解决方案。我们检查这些分布的属性，并展示如何计算和近似。我们给出了一些实用的指导计算大块的值的分布的可行性，当近似是必需的。
2022-01-10 math.PR stat.CO
The coupon collector urn model with unequal probabilities in ecology and evolution
封闭种群中具有替换的不等概率种群的序贯抽样是生态学和进化论中经常遇到的问题。这些问题中的许多可以重新表述为瓮问题，通常是优惠券收集者问题的特殊情况，最简单的表示为必须收集到完整集合的优惠券的数量。我们的目的是应用优惠券收集器模型在一个全面的方式，一个例子-主机（球）被搜索（画）和寄生（球颜色变化）的寄生蜂-评估的影响，在项目之间的采样概率的差异收集速度。基于时间上的完全多项式过程模型，定义了给定时间后被寄生的宿主数的分布、分布函数、期望和方差，以及估计抽样努力的反问题。我们开发的风险分布之间的关系的主机和速度的寄生，并提出了一个更优雅的证明弱随机优势之间的寄生速度，使用舒尔凸性的概念和“罗宾汉转移”的数值运算。给出了数值算例，并提出了一个关于强优势的猜想。发现新项目的速度是抽样概率分布的整体形状的函数。仅比较方差值不足以比较与两种不同分布相关的速度，这是生态学研究中通常假设的。
2016-07-30 math.PR
Collecting Coupons is Faster with Friends
在这篇文章中，我们介绍了一个分布式扭曲的经典优惠券收集器问题：一组$m$收集器希望每个人都获得一组$n$优惠券，为此，他们可以每个样品优惠券均匀随机，但也可以满足成对的互动，在此期间，他们可以交换优惠券。通过这样做，他们希望减少每个收藏家为了获得全套而必须抽样的优惠券数量。当考虑到息票收集器现象的现实表现时，这种扩展是自然的，并且已经被评论和经验研究[Hayes and Hannigan 2006，Ahmad et al. 2014，Delmarcelle 2019]。我们为这种情况提供了第一个理论分析。我们发现，“优惠券收集与朋友”确实可以显着减少优惠券的数量，每个收藏家必须采样，并提出了有趣的连接到更传统的变种的问题。虽然我们的分析是在大多数情况下渐近紧，有几个开放的问题，关于细粒度的分析“优惠券收集与朋友”，和一个长期研究的原始问题的变种，其中一个收藏家需要多个全套的优惠券。
2021-12-10 cs.DC math.PR
The Siblings of the Coupon Collector
收集器问题的以下变体最近引起了相当大的关注（参见，例如，N. Pintacuda 1980，D.福阿塔湖Guo-Niu和B. Lass 2001，D. Foata和D. Zeilberger 2003，I.阿德勒，S。Oren和S. Ross 2003，and S. Ross 2010）：有一个主要的收藏家收集优惠券。假设存在$N$不同类型的优惠券，其通常具有不等的发生概率。当主收藏家得到一个“double”时，她把它给她的哥哥;当这个哥哥得到一个“double”时，他把它给下一个哥哥，等等。因此，当主收藏家完成她的收藏时，第$j$个兄弟姐妹$j = 2, 3, \dots$的专辑仍然有$U_j^N$空白的空间。在这篇文章中，我们开发的技术计算渐近的平均$E[U_j^N]$的$U_j^N$作为$N \rightarrow \infty,$的一大类家庭的优惠券概率。我们还给出了各种说明性的例子。
2014-12-14 math.CO math.PR
New results on a generalized coupon collector problem using Markov chains
本文研究了一个广义的优惠券收集器问题，它包括在确定的分布和时刻的时间需要收集一个给定数量的不同的优惠券，从一组优惠券与任意概率分布。我们假设有一种叫做空息票的特殊息票可以被提取，但从来不属于任何集合。在这种情况下，我们得到的分布和时刻的表达式。我们还证明了几乎均匀分布（所有非空优惠券具有相同的抽取概率）是使获得不同优惠券的固定子集的预期时间最小化的分布。将这一优化结果推广到考虑全集合时的互补分布，顺便证明了这一著名猜想。最后，我们提出了一个新的猜想，它表达了这样一个事实，即几乎均匀分布应尽量减少互补分布的时间需要得到任何固定数量的不同的优惠券。
2014-02-21 cs.DM math.PR
The slowest coupon collector's problem
在经典的优惠券收集者问题中，每盒早餐麦片都包含一张来自n张不同优惠券的优惠券，每一张优惠券出现的可能性相等。目标是找到玩家需要购买的盒子的预期数量，以完成整个收藏。在这项工作中，我们将经典问题扩展到k个玩家，他们彼此竞争，成为第一个收集整个集合的玩家。我们找到了最慢和最快的玩家完成游戏所需的盒子的预期数量。一个特定的球员是最慢或最快的球员的几率也将被触及。解决方案将讨论从易于处理的代数技术以及概率的观点。
2023-02-21 math.CO math.PR
Two Multi--Draw Coupon Collector models with different retention rules
National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；Archimedes/Athena Research Center（阿基米德/雅典研究中心）；Canisius University（卡尼修斯大学）
研究两种多重优惠券收集者变体，分别保留所有新优惠券或选择最少收集的优惠券，推导完整收集N种均匀分布优惠券所需试验次数的期望、渐近展开、方差渐近及极限分布，并应用于DNA数据存储。
2026-07-03 math.PR
New results for the Coupon Collector's problem with swapping and replacement
本文重点研究了具有替换（有限购买缺失的贴纸）和交换的优惠券收集者问题。我们已经模拟了组合策略，并发现了新的结果，我们能够证明一个特定的情况。按专辑大小填充专辑所需的贴纸平均数量（所需不同贴纸的数量）与收藏家数量的比率以及方差与专辑大小的比率大约仅取决于替换贴纸的百分比（可以直接从供应商购买的贴纸的有限数量）和收藏家数量，而不是总专辑大小。因此，收藏家可以估计完成一张专辑的平均成本及其标准差，只需根据基本的计算和查表。此外，我们可以证明，渐进的效果，更换是强于交换。--在这篇文章中，我们将讨论带Nachkaufen和Tauschen的Sammelbilder问题。我们已经和模拟实验室合作完成了一项新的任务，他们也在一个特殊的领域取得了成功。Das Verhältnis der mittleren Anzahl zu kaufender Karten pro Sammler als auch das Verhältnis der Varianz zur Albumgröße hängt in sehr guter Näherung nur vom Anteil der nachkaufbaren Karten ab，aber nicht von der Albumgröße. Sammler和Nachkaufkarten的Prozentsatzes都是在一个标准的专辑中使用的，只有一个…
2016-03-06 math.PR
The mean and variance in coupons required to complete a collection
本文是关于息票收集者问题的。有一些优惠券，或棒球卡，或其他塑料小饰品，放在袋的芯片或下汽水瓶等收藏家开始收集这些小饰品，并希望形成一个完整的收集所有可能的。然而，每次他们购买产品时，他们不知道他们将“收集”哪张优惠券，直到他们打开产品。他们需要收集多少张优惠券才能完成收集？在本文中，我们探讨的均值和方差的随机变量，$N$使用各种方法。它们中的一些仅适用于具有被收集的相等概率的优惠券的特殊情况，而另一些则推广到以不等概率收集优惠券的情况（这更接近于现实世界的场景）。
2020-03-08 math.PR
Equal probabilities maximize the expected deficit in the siblings of the coupon collector
National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；Archimedes/Athena Research Center（阿基米德/雅典研究中心）；Canisius University（卡尼西乌斯大学）
本文证明在优惠券收集问题的兄弟姐妹变体中，均匀分布最大化所有后续收集者的预期空位数量，通过包含-排除和分部积分将径向导数转化为正加权协方差，并利用切比雪夫不等式确定符号。
2026-06-23 math.PR
The Careless Coupon Collector's Problem
European University of Rome（罗马欧洲大学）；University of Salzburg（萨尔茨堡大学）
研究了粗心优惠券收集问题，分析了在不同丢失概率下完成收集所需轮次，并提出了计算预期完成时间的算法。
2026-02-24 cs.DM math.PR
Radial Transform Extremality for the Siblings of the Coupon Collector
研究优惠券收集问题兄弟版本中，均匀概率向量沿径向变换时，收集者空位数生成函数的单调性，证明均匀分布最大化二项式矩。
2026-07-01 math.PR
On a Conjecture on Uniform Group Drawings in the Coupon Collector Problem
Institute for the Theory of Computing, Ben-Gurion University（本-古里安大学计算理论研究所）；Department of Mathematics, Ben-Gurion University（本-古里安大学数学系）
本文研究了优惠券收集问题中分组抽取场景下的统一分布最优性猜想，通过构造非均匀分布证明了Schilling的猜想，并给出了期望收集时间的显式公式。
2026-05-11 math.CO math.PR
Optimization results for a generalized coupon collector problem
本文研究了一个广义的优惠券收集器问题，它包括在分析所需的时间来收集一个给定数量的不同的优惠券，从一组优惠券与任意概率分布。我们假设有一种叫做空息票的特殊息票可以被提取，但从来不属于任何集合。在这种情况下，我们证明了几乎均匀分布，所有的非空的优惠券有相同的绘图概率，是随机最小化收集固定数量的不同优惠券所需的时间的分布。此外，我们表明，在一个给定的概率分布的闭子集，分布的所有条目，但一个，等于最小的可能值是一个，随机最大化收集固定数量的不同的优惠券所需的时间。一个计算机科学的应用表明这些结果的实用性。
2015-04-15 cs.DC cs.DS cs.IT
The Coupon Collector's Problem Revisited: Generalizing the Double Dixie Cup Problem of Newman and Shepp
D.J.Newman和L. Shepp（1960）是优惠券收集者问题的一个著名的变体，其中研究的对象是收集者为了完成所有$N$现有的不同优惠券的$m$集而必须购买的优惠券的数量$T_{m}(N)$。更准确地说，问题是确定$T_{m}(N)$的期望（和方差）的渐近性，以及它的极限分布，因为不同的试样的数量$N$变得任意大。经典的情况下的问题，即相同的优惠券概率的情况下，在这里扩展到一般情况下，所选择的优惠券的概率是不相等的。本文首先对随机变量$T_{m}(N)$的矩和矩母函数的计算公式作了简要的回顾。然后，我们开发的技术计算的第一和第二时刻的$T_{m}(N)$（我们的技术适用于更高的时刻的$T_{m}(N)$以及）。从这些渐近公式，我们得到的领先行为的方差$V[\,T_{m}(N)\,]$为$N \to \infty$。最后，基于$E[\,T_{m}(N)\,]$和$V[\,T_{m}(N)\,]$的渐近性，我们得到了随机变量$T_{m}(N)$在大类息票概率下的极限分布。事实证明，在许多情况下，尽管并非总是如此，$T_{m}(N)$（适当归一化）在分布上收敛于Gumbel随机变量。我们关于$T_{m}(N)$的极限分布的结果推广了P.Erdens和A. Rényi（1961）关于在息票概率相等的情况下$T_{m}(N)$的极限分布。
2015-11-05 math.CO math.PR
Extremality and Limit Laws for the Siblings of the Coupon Collector
Headlamp Software（Headlamp软件公司）
研究优惠券收集问题的兄弟姐妹版本，证明均匀分布最大化期望空位数，构造随机递增耦合，并证明归一化向量联合收敛到指数分布。
2026-06-28 math.CO math.PR
Computing hitting times via fluid approximation: application to the coupon collector problem
本文在研究随机过程的流体近似到达其不动点的距离为1/N的时间的基础上，给出了如何利用随机逼近计算该过程的首中时.这种方法是研究广义版本的优惠券收集器问题。该系统由N个独立的全同马尔可夫链组成。在每个时间步，随机选取一个马尔可夫链，并执行一次转移。我们证明了所有链到达相同状态的时间是有界的N log N + b N log log N + O（N），其中a和b是两个常数，取决于特征值的马尔可夫链。
2011-07-18 cs.DM math.CO math.PR
Convergence of Coupon Collecting Process via Wormald's Differential Equation Method
用解某个微分方程来逼近随机过程的轨迹，在概率论、计算机科学和组合数学等领域有着广泛的应用。本文通过最初在Wormald（1995）中提出并在Warnke（2019）中修改的微分方程技术研究了息票收集过程的收敛性。换句话说，我们提供了一个新的方法来分析经典的优惠券收集器的问题，并跟踪所有的优惠券在收集过程中。
2019-12-05 math.PR
On a generalisation of the coupon collector problem
本文推广了经典优惠券收集问题，定义超级优惠券为 $n$ 元集合的 $s$ 元子集，研究了随机抽取 $r$ 元子集时收集所有超级优惠券的时间期望与 Gumbel 极限，并扩展至马尔可夫时间依赖模型进行探讨。
2023-09-12 math.CO math.PR
Clumsy and Careless: Stationary-Entry Flux in Non-monotone Coupon Collectors
本文研究了三种非单调优惠券收集器模型，通过稳态进入视角分析其完成机制，证明了稳态进入流量与指数击中律的关系，并探讨了固定损失和后损失模型的极限行为。
2026-05-14 math.CO math.PR
A Useful Solution of the Coupon Collector's Problem
优惠券收集者问题是少数几个经常成为新闻头条的数学问题之一。其原因一方面是足球相册（称为Paninimania）的巨大普及，另一方面是没有解决方案已知能够考虑所有影响，例如更换（有限购买缺失的贴纸）或交换。在以前的论文中，我们已经证明，经典的假设在实践中不满足。因此，我们定义了符合现实的新假设。基于这些假设，我们能够推导出所需贴纸的平均数量（以及相关的标准差）的公式，该公式能够考虑到实际收集中发生的所有影响。因此，收藏家可以估计完成一个专辑的平均成本及其标准差只是基于基本的计算。从实践的角度来看，我们认为息票收集者的问题已经解决。---这是一个伟大的大众对足球的兴趣，也是一个令人惊讶的事实，因为它没有任何Lösung gibt，所有相关的效果都像Nachkaufen或Tauschen一样。我们已经知道了，经典的Annahmen并没有被现实所吸引。因此，我们要重新开始，使实践更美好。Darauf aufbauend können wir Formeln für die mittlere Anzahl benötigter Bilder（sowie deren Standardabweichung）ableiten，die alle in der Praxis relevanten Effekte berücksichtigen.但是，如果Sammler的小专辑是标准的，那么它就只能得到…
2017-02-26 math.HO math.PR
Dixie cup problem in an interlacing process
本文研究混合分布下的双重迪克西杯问题，运用泊松化技术等推导了N趋于无穷时收集m套优惠券所需数量期望的渐近首项，还讨论了升阶矩渐近并推广到j个子族混合的情况。
2025-10-29 math.PR
Coupons collecting with or without replacement, and with multipurpose coupons
经典的优惠券收集者问题（CCP）被推广到某种程度上，每个优惠券服务于某些“目的”。只使用基本的概率论。相反，中心块是一种算法，它有效地计数集合系统的所有$k$元素横截。
2012-11-24 cs.DM math.PR
The Expiring Coupon Collector: Sliding-Window Surjection Flux and Rare-Entry Laws
Headlamp Software（Headlamp软件公司）
研究具有确定性过期的优惠券收集器，分析滑动窗口覆盖集的稳定流量，推导出精确的流量公式并证明局部衰减，揭示了在亚临界条件下覆盖时间的对数尺度和归一化特性。
2026-04-29 math.CO math.PR
Speed and concentration of the covering time for structured coupon collectors
设$V$是一个$n$ -集，$X$是一个随机变量，取值于$V$的幂集中.假设我们给出一个随机券序列$X_1, X_2, \ldots $，其中$X_i$是独立的随机变量，其分布由$X$给出。覆盖时间$T$是使得$\bigcup_{i=1}^tX_i=V$ . $T$的分布在组合概率的许多应用中是重要的，并且已经被广泛地研究。然而，文献几乎完全集中在假设$X$以某种方式对称和/或均匀的情况下。在本文中，我们研究了覆盖时间更一般的随机变量$X$，我们给出了一般的标准$T$急剧集中在其平均值，精确的工具来估计，平均值，以及例子$T$未能集中时，结构特性的分布$X$允许一个非常不同的行为$T$相对于对称/均匀的情况。
2016-01-18 cs.DM math.CO math.PR
The Ballot Event for Two-Player Coupon Collection: A Renewal--Catalan Asymptotic
Headlamp Software（Headlamp软件公司）
本文研究两人彩票收集竞赛，证明最终胜者从未落后概率渐近为 2/d，利用 renewal 分解和 Catalan 哈尔米特分析。
2026-05-10 math.CO math.PR
