The logarithmic Zipf version of the coupon collector's problem
收集者希望收集$m$完全不同的$N$优惠券。从群体中抽取的样本被认为是独立的，并且具有相同的分布，并进行替换，抽取$j$型样本的概率记为$p_{j}$。设$T_{m}(N)$为解决此问题所需的试验次数。我们提出了渐近的期望（5项加上一个错误），二次上升的时刻（6项加上一个错误），和方差的$T_{m}(N)$（首项），以及其极限分布$N\rightarrow \infty$，当\begin{equation*} p_{j}=\frac{a_{j}}{\sum_{j=2}^{N+1} a_{j}}, \,\,\,\text{where}\,\,\, a_{j}=\left(\ln j\right)^{-p}, \,\,p>0. \end{equation*}这些“对数Zipf”类的息票概率不包括现有的文献和本文件来填补这一空白。因此，我们扩大了解决收集器问题的类（矩，方差，分布）。
2015-10-30 math.PR
The Coupon Collector's Brother
收集者问题的一个流行变体如下：假设有$N$不同类型的优惠券具有相同的发生概率。有一个主要的收藏家谁收集优惠券。当她得到一个“双”，她给她的弟弟。因此，当主要收藏家完成她的收藏时，她哥哥的专辑仍然有$U_N$空白的空间。我们证明了，作为$N \to \infty$，$U_N/\ln N$的极限分布是指数的参数$1$。
2020-05-12 math.PR
The slowest coupon collector's problem
在经典的优惠券收集者问题中，每盒早餐麦片都包含一张来自n张不同优惠券的优惠券，每一张优惠券出现的可能性相等。目标是找到玩家需要购买的盒子的预期数量，以完成整个收藏。在这项工作中，我们将经典问题扩展到k个玩家，他们彼此竞争，成为第一个收集整个集合的玩家。我们找到了最慢和最快的玩家完成游戏所需的盒子的预期数量。一个特定的球员是最慢或最快的球员的几率也将被触及。解决方案将讨论从易于处理的代数技术以及概率的观点。
2023-02-21 math.CO math.PR
An examination of the negative occupancy distribution and the coupon-collector distribution
我们研究了负占用分布和优惠券收集器分布，这两个都出现在扩展占用问题的分布有关的首中时。这些分布通过描述我们需要收集的物品数量的行为来获得任何大小的完整集合或部分集合，从而构成了优惠券收集者问题的广义版本的完整解决方案。我们检查这些分布的属性，并展示如何计算和近似。我们给出了一些实用的指导计算大块的值的分布的可行性，当近似是必需的。
2022-01-10 math.PR stat.CO
New results on a generalized coupon collector problem using Markov chains
本文研究了一个广义的优惠券收集器问题，它包括在确定的分布和时刻的时间需要收集一个给定数量的不同的优惠券，从一组优惠券与任意概率分布。我们假设有一种叫做空息票的特殊息票可以被提取，但从来不属于任何集合。在这种情况下，我们得到的分布和时刻的表达式。我们还证明了几乎均匀分布（所有非空优惠券具有相同的抽取概率）是使获得不同优惠券的固定子集的预期时间最小化的分布。将这一优化结果推广到考虑全集合时的互补分布，顺便证明了这一著名猜想。最后，我们提出了一个新的猜想，它表达了这样一个事实，即几乎均匀分布应尽量减少互补分布的时间需要得到任何固定数量的不同的优惠券。
2014-02-21 cs.DM math.PR
Weighted-threshold Coupon Collection
Aix Marseille Université, CNRS, Centrale Marseille（艾克斯-马赛大学、法国国家科学研究中心、中央马赛学院）；University of Zagreb Faculty of Electrical Engineering and Computing（萨格勒布大学电气工程和计算学院）
研究连续时间下优惠券收集问题的加权阈值版本，通过证明集中估计等方法分析不同情况，包括对齐齐普夫族，得出该模型有三种情况，且法定时间期望在齐普夫指数中不一定单调的结论。
2026-07-10 math.PR
The clumsy coupon collector's problem
Monash University（蒙纳士大学）
研究了笨拙优惠券收集问题的时间复杂度，通过极限定理分析了在不同参数下收集完整集合所需时间的渐进行为。
2026-05-14 math.PR
The Ballot Event for Two-Player Coupon Collection: A Renewal--Catalan Asymptotic
Headlamp Software（Headlamp软件公司）
本文研究两人彩票收集竞赛，证明最终胜者从未落后概率渐近为 2/d，利用 renewal 分解和 Catalan 哈尔米特分析。
2026-05-10 math.CO math.PR
On a Conjecture on Uniform Group Drawings in the Coupon Collector Problem
Institute for the Theory of Computing, Ben-Gurion University（本-古里安大学计算理论研究所）；Department of Mathematics, Ben-Gurion University（本-古里安大学数学系）
本文研究了优惠券收集问题中分组抽取场景下的统一分布最优性猜想，通过构造非均匀分布证明了Schilling的猜想，并给出了期望收集时间的显式公式。
2026-05-11 math.CO math.PR
The coupon collector urn model with unequal probabilities in ecology and evolution
封闭种群中具有替换的不等概率种群的序贯抽样是生态学和进化论中经常遇到的问题。这些问题中的许多可以重新表述为瓮问题，通常是优惠券收集者问题的特殊情况，最简单的表示为必须收集到完整集合的优惠券的数量。我们的目的是应用优惠券收集器模型在一个全面的方式，一个例子-主机（球）被搜索（画）和寄生（球颜色变化）的寄生蜂-评估的影响，在项目之间的采样概率的差异收集速度。基于时间上的完全多项式过程模型，定义了给定时间后被寄生的宿主数的分布、分布函数、期望和方差，以及估计抽样努力的反问题。我们开发的风险分布之间的关系的主机和速度的寄生，并提出了一个更优雅的证明弱随机优势之间的寄生速度，使用舒尔凸性的概念和“罗宾汉转移”的数值运算。给出了数值算例，并提出了一个关于强优势的猜想。发现新项目的速度是抽样概率分布的整体形状的函数。仅比较方差值不足以比较与两种不同分布相关的速度，这是生态学研究中通常假设的。
2016-07-30 math.PR
The Coupon Collector's Problem Revisited: Generalizing the Double Dixie Cup Problem of Newman and Shepp
D.J.Newman和L. Shepp（1960）是优惠券收集者问题的一个著名的变体，其中研究的对象是收集者为了完成所有$N$现有的不同优惠券的$m$集而必须购买的优惠券的数量$T_{m}(N)$。更准确地说，问题是确定$T_{m}(N)$的期望（和方差）的渐近性，以及它的极限分布，因为不同的试样的数量$N$变得任意大。经典的情况下的问题，即相同的优惠券概率的情况下，在这里扩展到一般情况下，所选择的优惠券的概率是不相等的。本文首先对随机变量$T_{m}(N)$的矩和矩母函数的计算公式作了简要的回顾。然后，我们开发的技术计算的第一和第二时刻的$T_{m}(N)$（我们的技术适用于更高的时刻的$T_{m}(N)$以及）。从这些渐近公式，我们得到的领先行为的方差$V[\,T_{m}(N)\,]$为$N \to \infty$。最后，基于$E[\,T_{m}(N)\,]$和$V[\,T_{m}(N)\,]$的渐近性，我们得到了随机变量$T_{m}(N)$在大类息票概率下的极限分布。事实证明，在许多情况下，尽管并非总是如此，$T_{m}(N)$（适当归一化）在分布上收敛于Gumbel随机变量。我们关于$T_{m}(N)$的极限分布的结果推广了P.Erdens和A. Rényi（1961）关于在息票概率相等的情况下$T_{m}(N)$的极限分布。
2015-11-05 math.CO math.PR
Uniform versus Zipf distribution in a mixing collection process
我们考虑以下变种的经典收藏家的问题：家庭的优惠券概率是两个子家庭的混合，其中之一是\textit{uniform}家庭，而其他属于众所周知的\textit{Zipf family}。我们获得了随机变量$T_N$的期望值、二次上升矩和方差的渐近性，即所有$N$类型的试样被收集（至少一次，更换）为$N \rightarrow \infty$所需的试验次数。有趣的是，均匀子集对$T_N$期望的渐近性的影响（至少到第六项）只出现在$T_N$期望的主导因子中。并导出了$T_N$的极限分布。这些结果回答了我们最近工作中的一个问题[ \textit{Electron. J. Probab.} \textbf{18}（2012）1- 15]。
2019-04-22 math.PR
Two Multi--Draw Coupon Collector models with different retention rules
National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；Archimedes/Athena Research Center（阿基米德/雅典研究中心）；Canisius University（卡尼修斯大学）
研究两种多重优惠券收集者变体，分别保留所有新优惠券或选择最少收集的优惠券，推导完整收集N种均匀分布优惠券所需试验次数的期望、渐近展开、方差渐近及极限分布，并应用于DNA数据存储。
2026-07-03 math.PR
The Siblings of the Coupon Collector
收集器问题的以下变体最近引起了相当大的关注（参见，例如，N. Pintacuda 1980，D.福阿塔湖Guo-Niu和B. Lass 2001，D. Foata和D. Zeilberger 2003，I.阿德勒，S。Oren和S. Ross 2003，and S. Ross 2010）：有一个主要的收藏家收集优惠券。假设存在$N$不同类型的优惠券，其通常具有不等的发生概率。当主收藏家得到一个“double”时，她把它给她的哥哥;当这个哥哥得到一个“double”时，他把它给下一个哥哥，等等。因此，当主收藏家完成她的收藏时，第$j$个兄弟姐妹$j = 2, 3, \dots$的专辑仍然有$U_j^N$空白的空间。在这篇文章中，我们开发的技术计算渐近的平均$E[U_j^N]$的$U_j^N$作为$N \rightarrow \infty,$的一大类家庭的优惠券概率。我们还给出了各种说明性的例子。
2014-12-14 math.CO math.PR
Optimization results for a generalized coupon collector problem
本文研究了一个广义的优惠券收集器问题，它包括在分析所需的时间来收集一个给定数量的不同的优惠券，从一组优惠券与任意概率分布。我们假设有一种叫做空息票的特殊息票可以被提取，但从来不属于任何集合。在这种情况下，我们证明了几乎均匀分布，所有的非空的优惠券有相同的绘图概率，是随机最小化收集固定数量的不同优惠券所需的时间的分布。此外，我们表明，在一个给定的概率分布的闭子集，分布的所有条目，但一个，等于最小的可能值是一个，随机最大化收集固定数量的不同的优惠券所需的时间。一个计算机科学的应用表明这些结果的实用性。
2015-04-15 cs.DC cs.DS cs.IT
Equal probabilities maximize the expected deficit in the siblings of the coupon collector
National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）；Archimedes/Athena Research Center（阿基米德/雅典研究中心）；Canisius University（卡尼西乌斯大学）
本文证明在优惠券收集问题的兄弟姐妹变体中，均匀分布最大化所有后续收集者的预期空位数量，通过包含-排除和分部积分将径向导数转化为正加权协方差，并利用切比雪夫不等式确定符号。
2026-06-23 math.PR
The Careless Coupon Collector's Problem
European University of Rome（罗马欧洲大学）；University of Salzburg（萨尔茨堡大学）
研究了粗心优惠券收集问题，分析了在不同丢失概率下完成收集所需轮次，并提出了计算预期完成时间的算法。
2026-02-24 cs.DM math.PR
New results for the Coupon Collector's problem with swapping and replacement
本文重点研究了具有替换（有限购买缺失的贴纸）和交换的优惠券收集者问题。我们已经模拟了组合策略，并发现了新的结果，我们能够证明一个特定的情况。按专辑大小填充专辑所需的贴纸平均数量（所需不同贴纸的数量）与收藏家数量的比率以及方差与专辑大小的比率大约仅取决于替换贴纸的百分比（可以直接从供应商购买的贴纸的有限数量）和收藏家数量，而不是总专辑大小。因此，收藏家可以估计完成一张专辑的平均成本及其标准差，只需根据基本的计算和查表。此外，我们可以证明，渐进的效果，更换是强于交换。--在这篇文章中，我们将讨论带Nachkaufen和Tauschen的Sammelbilder问题。我们已经和模拟实验室合作完成了一项新的任务，他们也在一个特殊的领域取得了成功。Das Verhältnis der mittleren Anzahl zu kaufender Karten pro Sammler als auch das Verhältnis der Varianz zur Albumgröße hängt in sehr guter Näherung nur vom Anteil der nachkaufbaren Karten ab，aber nicht von der Albumgröße. Sammler和Nachkaufkarten的Prozentsatzes都是在一个标准的专辑中使用的，只有一个…
2016-03-06 math.PR
The impatient collector
在$n$物品的优惠券收集器问题中，收集器需要随机尝试$T_n\simeq n\ln n$次数来完成收集。此外，在$nt$尝试之后，收集器已经获得了完整集合的大约一部分$ζ_\infty(t)=1-e^{-t}$，因此我们将$ζ_\infty$称为（渐近）\emph{completion curve}。在本文中，对于$ν>0$，我们解决的渐近形状$ζ(ν,.) $的完成曲线的条件下$T_n\leq \left( 1+ν\right) n$，即假设集合是\emph{completed unlikely fast}。作为完全可及自动机的渐近研究的一个应用，我们提供了一个新的推导公式由于Korš。
2019-06-26 cs.DM math.CO math.PR
