Presburger Arithmetic with algebraic scalar multiplications
该研究将Presburger算术扩展为带代数无理数标量乘法的α-PA，证明其判定复杂度远超PA：二次α时需塔式空间且特定量词结构为PSPACE-hard，非二次α时四块量词即不可判定。
2021-07-19 cs.CC cs.LO math.CO
Decidability for Sturmian words
该研究证明Presburger算术上Sturmian字的一阶理论可判定，借助通用加法器论证其一致ω-自动性，并用Pecan算法实现复现经典定理、得到特征Sturmian字中反平方与反回文的新结果。
2024-08-02 cs.LO math.CO math.LO
Arithmetic Combinatorics on Vinogradov systems
在本文中，我们提出了一个变种的Balog-Szemerédi-Gowers定理的Vinogradov系统。然后，我们使用我们的结果推导出更高程度的模拟和产品的现象。
2020-01-22 math.CO math.NT
The interplay of Invariant Theory with Multiplicative Ideal Theory and with Arithmetic Combinatorics
本文调查和发展之间的联系多项式不变量的有限群，分解理论的Krull域，和产品一序列的有限群。目的是更好地理解不变环的乘法理想理论，以及有限群的Noether数和Davenport常数之间的联系。
2016-07-03 math.AC math.CO math.NT
On some applications of GCD sums to Arithmetic Combinatorics
利用GCD和，我们证明了素数集与任意指数大整数集$S$具有小的公共乘法能量，特别是$S$中任意以零为起点的等差数列的大小至多为$O(\log |S| \cdot \log \log |S|)$ .这个结果可以被认为是Vinogradov关于最小二次非剩余问题的一个整数模拟。证明依赖于函数$f(x)=\log x$的某种排斥性质。此外，我们考虑的情况下，一般的$k$ -凸函数$f$和曲线$y=f(x)+c$的集合得到一个新的关联结果。
2020-10-24 math.CO math.NT
Finite field models in arithmetic combinatorics -- twenty years on
本文是为2024年英国组合数学会议报告撰写的综述，梳理了Green首篇有限域加法组合学综述发表二十年来、尤其Wolf后续综述发布后十年间该领域在有限域与整数场景下的核心进展，并指明未来方向。
2023-12-13 math.CO math.NT
Arithmetics and combinatorics of tropical Severi varieties of univariate polynomials
本文给出了具有两个二重根的n次一元多项式的热带簇的刻划。作为一个集合，它被给出为n-1维的三种类型的最大锥的并集，其中只有这些类型中的两种锥是{0，.，n}。通过Kapranov定理，这一目标是通过仔细研究具有两个二重根的多项式的根的初等对称函数的可能赋值来实现的。尽管表面上看起来很简单，但热带塞维里变种的计算既有组合的成分，也有算术的成分。
2016-09-11 math.AG math.CO
Two variable logic with ultimately periodic counting
本文研究带最终周期计数量词的二变量逻辑，证明其可满足性与有限可满足性可判定，并证明句子谱可在Presburger算术中定义，同时改进了双正则图方法。
2024-04-03 cs.LO math.CO
Algebraic combinatorial geometry: the polynomial method in arithmetic combinatorics, incidence combinatorics, and number theory
算术组合学经常关注的问题是，在一个群或环中，关于算术运算（如加法或乘法）的任意有限集的行为的边界。类似地，组合几何通常关注的问题是约束几何对象（如点、线或圆）的任意有限集合相对于几何运算（如关联或距离）的行为。由于这些问题中存在任意有限集，用于攻击这些问题的方法主要是组合的性质。然而，近年来，这些问题中的许多悬而未决的问题已经通过代数手段（更具体地说，使用代数几何和/或代数拓扑的工具）得到解决，从而产生了一套新兴的技术，现在被称为多项式方法。虽然多项式方法的各种实例已经知道了几十年（如Stepanov方法、组合零点定理或Baker定理），这种方法的一般理论尚处于成熟过程中;特别是多项式方法的局限性还没有被很好地理解，并且仍然有相当大的范围来应用来自代数几何或代数拓扑的更深入的结果以进一步加强该方法。在本调查中，我们提出了这些方法的几个已知的应用程序，重点放在最简单的情况下来说明的技术。我们将尽可能少地假设代数几何的先验知识。
2014-03-29 math.AG math.CO math.NT
Enumeration of three term arithmetic progressions in fixed density sets
加法组合学是建立在著名的定理Szemerédi断言存在的等差数列之间的任何长度的整数。有几个不同的证明定理的基础上非常不同的技术。Szemerédi定理是一个存在性陈述，而组合学的最终目标总是进行枚举陈述。本文利用实代数几何的方法，给出了固定密度集上等差数列个数的几种定量表述。我们进一步讨论的可能性推广Szemerédi定理使用的方法从真正的代数几何。
2014-11-10 math.CO
The Field Q and the Equality 0.999 . . . = 1 from Combinatorics of Circular Words and History of Practical Arithmetics
我们重新考虑经典的等式0.999。.. = 1的循环词的工具，即：有限的话，其最后一个字母被认为是其次是第一个。这样的循环词自然地嵌入了代数结构，揭示了这个有问题的等式，允许它在Q中而不是在R中被考虑。我们评论这种结构的早期历史，涉及十八世纪上半叶的英语教师和会计师，他们似乎是第一个断言平等0.999的人。.. = 1。他们的理解水平显示与Dubinsky等人的联系。数学教育中的数学观。最后，我们从循环词中重建了域Q，并对代数整数要么是整数要么是无理数这一事实提供了一个原始的证明。
2022-09-26 math.CO math.HO
Limitations of the slice rank method in additive combinatorics
Agentin AI；University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）
本文证明对于k≥4，仅在k项等差数列或k向日葵关系上非零的张量在任何域上具有最大切片秩，从而排除了切片秩方法在这些情形中的指数节省。
2026-09-24 math.CO
Power monoids: A bridge between Factorization Theory and Arithmetic Combinatorics
我们将Geroldinger和Halter-Koch在2006年关于这个主题的专著中提出的非唯一因子分解的经典理论的一些基本方面扩展到非交换和非可消的设置，与Baeth和Smertnig关于非交换但可消幺半群的因子分解理论的工作相同[J. Algebra 441（2015），475-551]。然后，我们引入幂幺半群，并应用第一部分中开发的抽象机器，我们对它们的算术进行了研究。更具体地说，设$H$是一个乘法写幺半群。$H$的所有非空有限子集的集合$\mathcal P_{\rm fin}(H)$通过赋予其运算$(X,Y) \mapsto \{xy: (x,y) \in X \times Y\}$而自然地成为幺半群，我们称之为$H$的幂幺半群，并且除非$H$是平凡的，否则它是非可消的。幂幺半群是算术组合学中感兴趣的主要对象之一，在这里，我们第一次从因子分解理论的角度来处理它们。证明导致考虑各种性质的有限子集的$\mathbf N$，可以或不能被分割成一个和集在一个非平凡的方式，这引起了丰富的相互作用与加性数论。
2018-07-02 math.AC math.CO math.NT
Cayley Digraphs Associated to Arithmetic Groups
我们探索一种范式，它将数论，加法组合学和几何组合学中看似不同的领域联系在一起，包括经典的Waring问题，Furstenberg-Sárközy正密度整数集合中的平方定理，以及有限域中三角形（也称为$2$ -单纯形）的研究。在其他结果中，我们表明，如果$\mathbb{F}_q$是奇数阶$q$的有限域，那么$Mat_d(\mathbb{F}_q), d \geq 2$中的每个矩阵是一定（有限）数量的正交矩阵的总和，这个数量只取决于$d$，矩阵的大小，以及是否$q$是全等$1$或$3$（mod $4$），但独立于$q$，否则。
2018-08-20 math.CO math.NT
Estimation of function's supports under arithmetic constraints
本文在算术约束下研究函数支撑集的上界估计，引入加性能量概念并证明了一个不确定性不等式，揭示了子集指示函数总变化与加性能量及傅里叶频谱间的权衡关系。
2023-11-18 math.CO
On arithmetic partitions of Z_n
Mansour和Sun推广了枚举组合学中的一个经典问题，计算了$\Z_n$的子集的数量，而没有一定的分离。陈，王，张然后研究了问题的分区$\Z_n$到算术级数的一个给定的类型在某些技术条件下。本文应用Raney-Mohanty的循环多项式系数的卷积公式改进了他们的主要定理。
2009-01-14 math.CO math.NT
An analytic version of stable arithmetic regularity
本文证明 amenable 群上稳定函数的结构定理，将有限群稳定子集的算术正则性引理推广到函数与非交换情形，并给出算术组合学应用。
2024-06-17 math.CO math.GR math.LO
Multiplicative Arithmetic Functions of Several Variables: A Survey
本文综述了多元乘法算术函数及相关卷积的一般性质，包括狄利克雷卷积和酉卷积。我们引入并研究了一种新的卷积，称为gcd卷积。根据卷积的不同类型，定义并研究了多元算术函数的卷积。讨论了多重狄利克雷级数和Bell级数，给出了由数论、群论和组合学中的一些特殊乘性函数的算术和渐近结果.给出了一个新的证明，得到了具有两两互素分量的正整数有序$r$ -元组集合的渐近密度，并考虑了一个与酉因子有关的类似问题.
2014-11-19 math.CO math.GR math.NT
Hurwitzian continued fractions containing a repeated constant and an arithmetic progression
我们证明了一个明确的公式，无穷多个收敛的Hurwitzian连分数，重复几个副本相同的常数和元素的一个等差数列，在一个准周期的方式。证明涉及组合数学和形式洛朗级数。使用很少的分析，我们可以表达他们的限制（修改）贝塞尔函数和斐波那契多项式。极限公式是Lehmer定理的推广，它包含$e$和$\tan(1)$的连续分数展开，并且它也可以从Lehmer的工作中使用Fibonacci多项式恒等式导出。我们完全描述了我们的极限公式的实现，其中每个贝塞尔函数的参数是一个奇数的一半，允许它们被替换为初等函数。
2013-05-25 math.CO math.NT
Combinatorics of lower order terms in the moment conjectures for the Riemann zeta function
Conrey，Farmer，Keating，Rubinstein和Snaith给出了一个配方，它可以自动生成黎曼ζ函数的全矩多项式。这个多项式的首项是由算术解释的因子和组合学（或者随机矩阵）解释的因子的乘积给出的。我们解释了如何出现的低阶项，并澄清每个因素的依赖性的指数$k$被认为是。我们广泛使用理论的对称函数和代表性的对称群，思想的Lascoux操纵的字母表，和一个关键的引理，由于在一个基本的版本凹凸和Gamburd。我们的主要结果最终涉及尺寸的斜分区，研究Olshanski，Regev，Vershik，伊万诺夫和其他人。在这篇文章中，我们也奠定了以后统一的组合计算的低阶项的时刻跨家庭的$L$ -功能的酉，正交和辛类型的矩阵。
2012-04-24 math.CO math.NT
A multivariate arithmetic function of combinatorial and topological significance
我们研究了多元函数$E(m_1,m_2,...,m_r)$的性质，称为{ \it orbicycle}，它出现在计数组合数学中，用于计数可定向曲面上的非同构映射.证明了$E(m_1,m_2,...,m_r)$是乘性的，并给出了一个简单的计算公式。证明了该函数为零的充要条件等价于人们熟悉的刻画Riemann曲面的有限循环自同构群的可能分支数据的Harvey条件.
2009-11-27 math.AT math.CO math.NT
Algebraic functions with Fermat property, eigenvalues of transfer operator and Riemann zeros, and other open problems
本文列举了数论、组合学和表示论中的若干未解决的问题：具有Fermat性质的代数函数，配分拆函数的生成函数的幂乘积展开式，转移算子的非平凡Riemann零点与特征值的关系，与范数形式有关的函数方程，几何组合学中的两个问题，几何组合学中的两个问题。Minkowski问号函数的矩问题;表示论中的一个问题; Stern双原子序列的矩插值问题;二元复合函数的算术性质。
2016-09-30 math.CO math.NT
Efficient equidistribution of periodic nilsequences and applications
本文通过建立周期幂零序列的等分布定理，改进了一类多项式 progression 的拟多项式界，证明了拟多项式 $U^4[N]$ 逆定理，并改进了无 5 项算术级数集合的界。
2024-02-27 math.CA math.CO math.DS
