Betti numbers of configuration spaces of surfaces
Gabriel C. Drummond-Cole, Ben Knudsen
本文给出了任意有限型曲面的无序构形空间的稳定和不稳定贝蒂数的显式表达式。
We give explicit formulas for the Betti numbers, both stable and unstable, of the unordered configuration spaces of an arbitrary surface of finite type.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Betti numbers of unordered configuration spaces of the torus
利用Félix和Thomas的方法，我们计算了环面的无序构形空间的贝蒂数.
Betti numbers and stability for configuration spaces via factorization homology
利用因子分解同调，我们将任意流形$M$（可能有边界）的无序位形空间的有理同调实现为由$M$的紧支撑上同调构造的李代数的同调.通过在这个李代数的Chevalley-Eilenberg复形中定位每个位形空间的同调，我们推广了Bödigheimer-Cohen-Taylor和Félix-Thomas的定理，并给出了Church和Randal-Williams的同调稳定性结果的一个新的组合证明.我们的方法适合于明确的计算，其中的例子，我们包括。
A refinement of Betti numbers and homology in the presence of a continuous function II (the case of an angle valued map)
对于定义在紧ANR上的连续角值映射，一个固定域和任意一次域给出了由ANR和映射所表示的一次积分上同调类组成的对的贝蒂数和Novikov同调的一个加细.对于每个度的第一个细化是一个配置的点与多重性位于穿孔的复平面，其总基数是诺维科夫-贝蒂数的对。第二个改进是诺维科夫同调的子模的配置，其直和同构于诺维科夫同调，并具有与第一个配置相同的支持。当域是复数域时，第二种配置可转换为角值映射所定义的ANR的无限循环覆盖的L2-同调的相互正交的闭Hilbert子模的配置.一个讨论这些配置的属性，即，鲁棒性的角度值映射和庞加莱对偶的连续扰动，并得出一些计算拓扑中的应用。主要结果与实映射的结果相似，但用Novikov同调和Novikov-贝蒂数代替标准同调和标准贝蒂数.
A refinement of Betti numbers in the presence of a continuous function. ( I )
我们提出了一个细化的贝蒂数和与系数在一个领域的紧ANR在一个连续的实值函数的存在下的同调。贝蒂数的加细由复平面中具有重数的点的有限配置组成，其总基数是贝蒂数;同调的加细由复平面中的点索引的向量空间的配置组成，具有与第一个相同的支撑，其直和同构于同调。当同调是配备了标量积这些向量空间是规范实现的相互正交的子空间的同调。上述赋值类似于有限维复向量空间中线性映射的特征值和广义本征空间的集合。上述配置的一些显着的性能进行了讨论。
Asymptotic growth of Betti numbers of ordered configuration spaces on an elliptic curve
构造了一个计算有序位形空间在欧拉示性数为零的代数簇上的上同调的dga。由此可见，$Conf(C,n)$（$C$是椭圆曲线）的第$k$个Betti数作为次数恰好为$2k-2$的多项式增长。我们还计算了$k \leq 5$和任意$n$的$H^k(Conf(C,n))$。
Deformation equivalence classes of complex surfaces with the first Betti number one, and the second Betti number zero
证明了当第一个贝蒂数等于1，第二个贝蒂数等于0时，等价于光滑闭4-流形的曲面同伦的变形等价类的个数是有限的.
Refinement of Novikov - Betti numbers and of Novikov homology provided by an angle valued map
对（X，f），X紧ANR和f是定义在X上的连续角值映射，一个固定域和一个非负整数，赋予一个多重数位于穿孔复平面上的有限复数配置和一个由相同复数索引的Laurent多项式环（系数在固定域中）上的有限自由模配置.这与有限维复向量空间中可逆线性算子的本征值和广义本征空间的结构类似。复数的构形细化了诺维科夫-贝蒂数，自由模的构形细化了与由f定义的上同调类相关的诺维科夫同调，以同样的方式，本征值和广义本征空间的集合细化了向量空间和算子作用的向量空间的维数。在域是复数域的情况下，自由模的构形通过“von-Neumann完备化”导出X的无限循环覆盖的L2-同调的相互正交的闭Hilbert子模的构形，该无限循环覆盖由映射f确定，它是复平面中单位圆上复L-无穷函数的von-Neumann代数上的Hilbert模.
Betti numbers of unordered configuration spaces of small graphs
本文的目的是提供关于小图的无序配置空间的已知贝蒂数的数据，以指导研究，避免重复劳动。它包含最多有九条边的连通多重图的信息，这些边不含环，不含二价顶点，也不含内部（即，非叶）桥。
Asymptotic Betti numbers for hard squares in the homological liquid regime
本文研究了$q$ × $p$中$n$有序单位正方形的位形空间$C(n; p, q)$.我们的目标是估计大$n$、$j$、$p$和$q$的贝蒂数。我们考虑面积归一化坐标序列，其中当$n$、$j$、$p$和$q$接近无穷大时，$(\frac{n}{pq}, \frac{j}{pq})$收敛。对于每一个序列，收敛到一个点的“可行域“中的$(x,y)$平面，我们证明了阶乘增长率的贝蒂数是相同的阶乘增长率的$n!$。这意味着（1）贝蒂数远大于平面中$n$有序点的位形空间，其具有$j!$的阶乘增长率，以及（2）可行区域中的每个点最终都处于同调液体状态。
Betti numbers of random manifolds
研究了平面连杆机构位形空间贝蒂数的数学期望，将连杆机构杆长视为随机变量。我们的主要结果给出了一个明确的渐近公式，这些数学期望为两个不同的概率测度描述的统计长度向量时，链接的数量趋于无穷大。在证明中，我们使用了几何和分析工具的组合。平均贝蒂数用单形与某些半空间的交点的体积表示。
Betti and Hodge numbers of configuration spaces of a punctured elliptic curve from its zeta functions
给定定义在$\mathbb{C}$上的椭圆曲线$E$，设$E^{\times}$是通过去除点而获得的$E$的开子集。本文证明了$E^{\times}$上$n$点的无序位形空间$\mathrm{Conf}^{n}(E^{\times})$的$i$阶Betti数表现为二元显式有理函数的系数.我们还计算其霍奇数的系数的另一个显式的有理函数的四个变量。我们的结果是有趣的，因为这些有理函数类似于$\mathrm{Conf}^{n}(E^{\times})$的$\mathbb{F}_{q}$ -点计数的生成函数，它可以从有限域$\mathbb{F}_{q}$上的$E$的zeta函数得到。证明了复系数$i$阶奇异上同调群$H^{i}(\mathrm{Conf}^{n}(E^{\times}))$的混合Hodge结构是纯权$w(i)$的，本文给出了一个显式整数.这个纯度陈述包含了我们关于Betti数和Hodge数的主要结果。我们的证明使用Totaro的频谱序列计算，描述了$H^{i}(\mathrm{Conf}^{n}(E^{\times}))$上的混合霍奇结构的权重过滤。
First Betti numbers of orbits of Morse functions on surfaces
本文研究由圈积和直积生成的特殊群类$\mathcal{G}$的代数性质。这类群出现在紧致流形上Morse函数轨道的基本群的计算中。证明了对任意群$G\in\mathcal{G}$，中心$Z(G)$的秩与换位子群$G/[G,G]$的商一致.而且，这个秩是Morse函数轨道的第一个贝蒂数.
A spectral sequence to compute L2-Betti numbers of groups and groupoids
我们构造了离散可测群胚的L2型上同调群的谱序列。基于该谱序列，我们证明了具有多面基本群的非球面流形的Hopf-Singer猜想.在更一般的情形下，我们得到了Hopf-Singer猜想在底空间为具有多面基本群的非球面流形的纤维丛中的持久性结果.作为谱序列的进一步应用，我们得到了群和流形的L2-贝蒂数的消灭定理和显式计算，以及在度量等价关系中存在正规子关系的障碍.
Mod $p$ homology of unordered configuration spaces of surfaces
我们提供了一个简短的证明，证明环面中$k$点的无序配置空间$B_k(T)$的mod $p$同调群的维度与$p>2$和$k\leq p$的贝蒂数相同。因此，积分同调没有$p$ -幂挠率。同样的论证适用于具有$g>0$的穿孔亏格$g$表面，从而通过Lubin-Tate理论恢复Brantner-Hahn-Knudsen的结果。
Telescopic Linkages and Topological Approach to Phase Transitions
统计物理学中平衡相变理论的拓扑方法是基于拓扑假设（TH），该假设声称相变是由于位形空间中合适子流形的拓扑变化。在本文中，我们详细研究了反铁磁平均场XY模型，并研究了子能量流形的拓扑结构。后者可以机械地解释为具有一个伸缩腿的连杆的配置空间。我们使用莫尔斯理论的方法来明确地描述这个位形空间的贝蒂数。我们将这些结果应用到反铁磁平均场XY模型中，计算了总贝蒂数的指数增长性。前人研究的是欧拉示性数而不是总贝蒂数。我们表明，在存在一个外部磁场的模型经历了一个单一的“总贝蒂数相变”。
The Topology of the Cosmic Web in Terms of Persistent Betti Numbers
我们介绍了一个多尺度的拓扑描述兆秒差距网状宇宙物质分布。贝蒂数和拓扑持久性提供了一种强有力的手段来描述宇宙网的丰富的连通性结构及其物质和星系的多尺度排列。Betti数和持久性图源自代数拓扑和Morse理论，是宇宙学上熟悉的拓扑亏格测度和相关几何Minkowski泛函的扩展和深化。除了描述的数学背景，本研究提出了计算贝蒂数和持久性图的密度场过滤的计算程序。该场可以从星系或模拟粒子的离散空间分布开始计算。本研究的主要重点是广泛而系统地探索不同的网状形态和不同层次的多尺度聚类在相应的计算贝蒂数和持久性图的印记。为此，我们使用Voronoi聚类模型作为模板的丰富多样的网状配置，和分形的Soneira-Peebles模型的范围内的多尺度配置。我们已经确定了清晰的印记集群节点，细丝，墙壁，并在持久性图中的空隙，随着嵌套层次结构的多尺度点分布。最后，我们概述了持久的拓扑结构的潜力，了解宇宙网络的连接结构，在大型模拟宇宙结构的形成，并在具有挑战性的背景下观察到的星系分布在大型星系调查。
Cohomology of 3-points configuration spaces of complex projective spaces
计算了复射影空间中三点的有序和无序位形空间的贝蒂数，并给出了它们的上同调代数，包括无穷维情形.我们还计算这些不变量的配置空间的三个共线和非共线点。
Extra structure on the cohomology of configuration spaces of closed orientable surfaces
Drummond-Cole和Knudsen研究了任意曲面上点的无序位形空间的有理同调。我们计算了闭可定向曲面上的位形空间的有理上同调，并跟踪了混合Hodge数和辛群对上同调的作用.我们发现一个系列的系数的Grothendieck环sp（2 g），明确地描述了分解的上同调成不可约表示。在此基础上推导出了混合Hodge数和贝蒂数，得到了一个新的不带消去项的公式.
Topology of randon linkages
机械连杆机构的位形空间（也称为多边形空间）的贝蒂数取决于大量的参数--连杆机构杆的长度。出于拓扑机器人，统计形状理论和分子生物学中的应用，我们认为这些长度作为随机变量和研究的平均贝蒂数的渐近值的链接数n趋于无穷大。我们建立了一个令人惊讶的事实，对于一个相当充足的一类序列的概率测度的平均贝蒂数的渐近值是独立的措施的选择。本文的主要结果适用于平面连杆机构以及R^3中的连杆机构。我们还证明了关于贝蒂数的高阶矩的结果。
Borel-Moore Homology of 2-Particle Unordered Configuration Spaces of Graphs via Discrete Morse Theory
本研究通过离散莫尔斯理论定义图的2粒子无序构形空间的开正则胞腔复形上的莫尔斯函数，借助同构关系得出其Borel-Moore同调群由图的第一贝蒂数决定的结论。
Moduli spaces of vector bundles over a real curve: Z/2-Betti numbers
实曲线上实丛的模空间自然地产生为复曲线上半稳定丛的模空间的拉格朗日子流形。本文采用Atiyah-Bott的“Riemann曲面上的Yang-Mills”方法计算这类空间的Z/2-贝蒂数，证明了Liu和Schaffhauser最近得到的公式.
Computing cohomology of configuration spaces
本文给出了一个具体的方法来显式地计算连通、定向、闭、偶维有限型流形的无序构形空间的有理上同调，该方法已在Sage [S+09]中实现.作为应用，我们给出了无序构形空间在某些情形下的稳定和不稳定有理上同调的完整计算，包括$\mathbb{CP}^3$和亏格为1的Riemann曲面，它等价于椭圆辫群的同调.在附录中，我们还给出了无序位形空间的不稳定和稳定贝蒂数的大表。由此，我们经验地观察到一些流形的无序构形空间的不稳定上同调的稳定性现象，其中一些我们证明了，其中一些我们陈述为猜想。
Vortex Nerves and their Proximities. Nerve Betti Numbers and Descriptive Proximity
本文介绍了CW（闭包有限Weak）拓扑空间中的涡神经复合体。霍普夫和J.H.C. 1930年代的怀特黑德。涡神经是包含一个或多个交叉路径连接环的CW复合体。每个漩涡神经都有自己独特的形状。涡神经形状（具有非空内部的有界平面）和孔（存在于内部并定义形状的具有空内部的有界平面）都具有路径连接循环的边界。在CW复合物的背景下，通常的贝蒂数$\mathcal{B}_0$（细胞计数）、$\mathcal{B}_1$（循环计数）和$\mathcal{B}_2$（空穴计数）为引入几个新的贝蒂数，即本文介绍的涡旋$\mathcal{B}_{vtex}$、涡旋神经$\mathcal{B}_{vNrv}$和形状$\mathcal{B}_{sh}$提供了基础。此外，CW复合物配备了一个描述性的接近，以及同伦类型的涡神经和复杂的神经和周期的结果。
Strong stability and shifted stability for the cohomology of configuration spaces
Th发现了连通流形的无序位形空间的同调稳定性。教会和O. Randal-Williams和B. Knudsen：对于$k\geq f(i)$，$H_i(C_k(M);\mathbb{Q})$是常数。刻画了满足强稳定性的流形：对于$k\gg 0$，$H^*(C_k(M);\mathbb{Q})$是常数.我们给出了几个顶部贝蒂数在度数变化后稳定的流形的例子。
Asymptotic homology of graph braid groups
给出了域上任意有限图的无序构形空间的渐近贝蒂数的显式公式。
Configuration spaces of labeled points on a circle with two anchors
本文研究圆上含两个固定锚点的 $n$ 个标记点构型空间，利用离散 Morse 理论确定其 Betti 数，并给出同调与上同调基的显式组合描述。
Espaces de configuration généralisés. Espaces topologiques $i$-acycliques. Suites spectrales "basiques"
与拓扑空间$X$相关联的广义（有序）位形空间是空间$Δ_{\leq\ell}X^{m}:=\{(x_1,\ldots,x_{m})\in X^{m}\mid\#\{x_1,\ldots,x_{m}\}\leq \ell\}$和$Δ_{\ell}X^{m}:=Δ_{\leq\ell}X^{m}\setminus Δ_{\leq\ell-1}$。他们配备了对称群$S_m$置换坐标的行动。当$X$没有内部上同调（即是$i$ -无环的），我们能够明确计算$S_m$作用于这些空间的上同调的特征公式，如果$X$是一个连通的和定向的维数为$\geq2$的伪流形，我们将Church的表示稳定性定理推广到家族$\{Δ_{\leq m-a}X^m\}_m$和$\{Δ_{\ell-a}X^m\}_m$的情况。我们发现，对于固定的$a,i\in\mathbb N$，家庭的代表$\{ S_m: H ^{i}(Δ_{?m-a}X^{m})\}_{m}$是单调和固定的$m\geq4i+4a$，如果$d_{X}=2$，和$m\geq2i+4a$，如果$d_{X}\geq3$。相应的字符族和贝蒂数是多项式，整数族$\{\mathop{\rm Betti}_{i}({Δ_{?m-a}X^{m} / S_m})\}_{m}$在同一整数范围内是常数。我们进一步表明，家庭$\{\mathop{\rm Betti}_{i}(…
Homology of planar telescopic linkages
研究了单腿变长平面连杆机构位形空间的拓扑。这种伸缩腿在现代机器人中很常见，它们用于减震和其他各种目的。利用Morse理论方法，我们根据度量数据，明确地计算了这些机构的位形空间的贝蒂数。
Secondary representation stability and the ordered configuration space of the once-punctured torus
本文研究了一次穿孔环面的有序配置空间的二次表示稳定性，证明其同调生成元序列既非自由也非稳定零，并首次展示正亏格表面中二次稳定性现象的非平凡性。
Dual boundary complexes of Betti moduli spaces over the two-sphere with one irregular singularity
本文通过微局部几何方法，验证了弱几何 P=W 猜想对双球面上带一个不规则奇点的秩 n 野特征簇成立，其对偶边界复形同伦等价于 $d-1$ 维球面。
Representation asymptotics in the homology of pure graph braid groups
该研究针对图的有序构型空间同调问题，给出了任意域上渐近Betti数的显式公式，并在特征零情形下得到对称群不可约表示同调渐近重数的显式公式，推进了表示稳定性相关研究。
Topology of the spaces of Morse functions on surfaces
设$M$是光滑的闭可定向曲面，并且设$F$是$M$上的Morse函数空间，使得$F$的每个函数的至少$χ(M)+1$临界点由不同的标签标记（枚举）。赋予空间$F$ $C^\infty$ -拓扑。证明了同伦等价$F\sim R\times{\widetilde{\cal M}}$，其中$R$是流形${\mathbb R}P^3$，$S^1\times S^1$和$χ(M)$的符号依赖点之一，${\widetilde{\cal M}}$是框架Morse函数的泛模空间，是光滑分层流形.得到了空间$F$中Betti数的Morse不等式.
Simplicial Homology of Random Configurations
给定一个$d$维环面上的泊松过程，其随机几何单纯复形是以泊松过程的点为顶点的复形，单形由与每个点的覆盖相关的uCech复形给出.利用Malliavin演算，我们显式地计算了$k$-单形个数的n阶$th$矩.这个量的两个一阶矩允许我们找到欧拉特征的均值和方差。当Poisson点过程的强度趋于无穷大时，任何连通的几何单纯复形的个数收敛于高斯律.我们利用一个浓度不等式，得到了这种单纯复形中一阶Betti数和欧拉示性数分布的界.
Twisted cohomology of configuration spaces and spaces of maximal tori via point-counting
我们考虑两个家庭的代数簇$Y_n$索引的自然数$n$：配置空间的无序$n$ -元组的不同点的$\mathbb{C}$，和空间的无序$n$ -元组的线性无关的线在$\mathbb{C}^n$。设$W_n$是由特征多项式给出的任意虚$S_n$ -表示序列，我们用二重生成函数计算所有$i$和所有$n$的$H^i(Y_n; W_n)$.计算的结果之一是一个新的递归现象：稳定的扭曲Betti数$\lim_{n\to\infty}\dim H^i(Y_n; W_n)$在$i$中是线性递归的.我们的方法是计算某些代数簇的$F_q$ -点上的扭点数，然后通过Grothendieck-Lefschetz不动点公式来证明拓扑上的结果.我们还推广了Church-Ellenberg-Farb关于仿射线的位形空间的一个结果到一般光滑簇的位形空间。
On the homotopy type of the spaces of Morse functions on surfaces
设$M$是光滑闭可定向曲面。设$F$是$M$上的Morse函数空间，每个指标的临界点个数固定，而且至少$χ(M)+1$临界点用不同的标号（枚举的）标注.引入斜圆柱-多面体复形的概念，推广了多面体复形的概念。定义了与空间$F$相关的斜圆柱多面体复形$\mathbb{\widetilde K}$（“框架Morse函数复形”）。当$M=S^2$时，多面体$\mathbb{\widetilde K}$是有限的，求出了它的欧拉示性数，得到了它的贝蒂数的Morse不等式.指出了多面体$\mathbb{\widetilde K}$的同伦类型与Morse函数空间$F$的同伦类型之间的关系，并赋予了$C^\infty$ -拓扑.
Functorial invariants of trees and their cones
我们研究的范畴，其对象是树（有或没有根），其态射是压缩。我们证明了相应的逆变模范畴是Noether的，并研究了这些范畴上的两个自然模族。第一种方法把一棵树带到它的无序构形空间的同调的一个分次段，或者带到它的锥的无序构形空间的同调。第二种方法是将树取为它的锥的倒易平面的交同调的分次段，这是一个向量空间，其维数由Kazhdan-Lusztig系数给出。我们证明了这些模块的有限生成结果，这使我们能够获得的结果的增长贝蒂数的配置空间和Kazhdan-Lusztig系数的图形拟阵。
Hilbert polynomials of configuration spaces over graphs of circumference at most 1
本文研究了周长至多为1的图上的k-构型空间，证明了其Betti数由Hilbert多项式给出，并基于标准1-桥分解给出了该多项式的表达式及系数的组合描述。
Pairs of pants, Pochhammer curves and $L^2$-invariants
我们提出了一个直观的解释非平凡的$L^2$ -Betti数的紧黎曼曲面的某些环嵌入的裤子。这种描述使用扭曲的同源性相关联的Hurewicz映射的表面，它满足缝纫性能相对于一个大类的裤子分解。简要讨论了包含Aharonov-Bohm相的超对称量子力学在二维点粒子和拓扑孤子（交换和非交换涡旋）中的应用。
The contraction category of graphs
研究了一类以固定亏格图为对象，态射为压缩图的范畴。我们证明了相应的逆变模范畴是Noether的，并研究了这些范畴上的两类模。第一个图的无序配置空间的同源性的一个分次片，第二个图的交集同调群，其尺寸是由Kazhdan-Lusztig系数，在这两种情况下，我们证明了该模块是双生成的。这使我们能够得出关于图配置空间的同调群的挠、图配置空间的贝蒂数的增长和图拟阵的Kazhdan-Lusztig系数的结论。我们还探讨了我们的范畴与外层空间的关系，这种关系被用于研究自由群的外层自同构。
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