On the nonexistence of $k$-reptile simplices in $\mathbb R^3$ and $\mathbb R^4$
一个$d$维单形$S$称为$k$ -爬虫形（或$k$ -爬虫形单形），如果它可以被内部不相交的$k$单形平铺，这些单形都与$S$相互全等和相似。对于$d=2$，三角形$k$ -爬行动物存在于所有形式为$a^2, 3a^2$或$a^2 + b^2$的$k$中，它们已经被Snover、Waiveris和Williams完全表征。另一方面，唯一已知的$d \ge 3$的$k$ -爬行单纯形具有$k = m^d$，其中$m$是正整数。我们大大简化了Matoušek和第二作者的证明，对于$d=3$，$k$ -爬行四面体只能存在于$k=m^3$。然后，我们证明了一个较弱的模拟$d=4$的结果表明，四维$k$ -爬行单纯形可以存在，只有$k=m^2$。
2016-02-15 math.CO math.MG
Ehrhart-Equivalence, Equidecomposability, and Unimodular Equivalence of Integral Polytopes
Ehrhart多项式是广泛研究的结构，它插值积分$n$ -多面体的膨胀的离散体积。然而，Ehrhart多项式的系数仍然没有被完全理解，并且不知道两个多面体何时具有等价的Ehrhart多项式。本文建立了Ehrhart-equivalence与其它等价形式之间的关系：$\mathbb{R}^n$中两个整数$n$ -多面体的$\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ -等可分解性和么模等价性.我们猜想任意两个Ehrhart-equivalent整$n$ -多面体$P,Q\subset\mathbb{R}^n$是$\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$ -等分解为$\frac{1}{(n-1)!}$ -th么模单形的，从而推广了$n=1, 2, 3$的已知情况.我们还创建了一个算法来检查的任何两个积分$n$ -单纯形在$\mathbb{R}^n$的幺模等价。然后，我们发现并证明了一个新的单模等价的积分$2$ -单纯形和单模等价的$n$维金字塔之间的一一对应。最后，我们证明了在$\mathbb{R}^n$中存在积分$n$ -单形，它们对所有$n \ge 2$不是幺模等价的。
2021-01-21 math.CO
Products of simplices are canonically Ramsey
University of Cambridge（剑桥大学）
研究单纯形的乘积是否为典范拉姆齐，通过扩展前人成果，证明所有单纯形的乘积都是典范拉姆齐的。
2026-07-21 math.CO
Product of simplices and sets of positive upper density in $\mathbb{R}^d$
我们建立了正上Banach密度的$\mathbb{R}^d$的任何子集必然包含$d\geq4$提供的任何固定的二维矩形的所有足够大的膨胀的等距副本。我们进一步提出了一个扩展的配置，是两个非退化单纯形的产品，具体地说，我们表明，如果$Δ_{k_1}$和$Δ_{k_2}$是两个固定的非退化单纯形的$k_1+1$和$k_2+1$点分别，那么任何子集的$\mathbb{R}^d$的正上Banach密度与$d\geq k_1+k_2+6$必然包含等距副本的所有足够大的膨胀的$Δ_{k_1}\timesΔ_{k_2}$。一个新的直接证明的事实，即任何子集的$\mathbb{R}^d$的正上Banach密度必然包含等距副本的所有足够大的膨胀的任何固定的非退化单形的$k+1$点提供$d\geq k+1$，一个结果，最初由于布尔甘，也提出。
2017-01-22 math.CA math.CO
Unimodular triangulations and Ehrhart theory for two families of Hermite normal form simplices
该研究针对两类Hermite标准形单形，构造正则单模三角剖分，推导$h^\ast$-多项式等闭式公式，证明Ehrhart正性，还得到单行情形Ehrhart多项式非单峰的维度条件。
2026-08-31 math.CO
Empty Monochromatic Simplices
设$S$是$\mathbb{R}^d$，$d\geq 3$中$n$点的$k$着色（有限）集，在一般位置，即$S$中没有{ $(d + 1)$ }点位于公共$(d - 1)$ }维超平面.我们计算了由$S$确定的空单色$d$ -单形的数量，即，仅具有来自$S$的一个颜色类的点作为顶点并且在其内部没有$S$的点的单形。对于$3 \leq k \leq d$，我们提供了$Ω(n^{d-k+1+2^{-d}})$的下限，并将其加强为$k=2$的$Ω(n^{d-2/3})$。在此过程中，我们提供了$\mathbb{R}^d$中点集三角剖分的各种结果。特别是，对于任何常维$d\geq3$，我们证明了每一组$n$点（$n$足够大），在一般的位置在$\mathbb{R}^d$，承认三角至少$dn+Ω(\log n)$单纯形。
2012-10-26 cs.CG cs.DM math.CO
Lattice points in algebraic cross-polytopes and simplices
研究了格点个数$\left| tP \cap \mathbb{Z}^d \right|$作为实变量$t>1$的函数，其中$P \subset \mathbb{R}^d$属于代数交叉多面体和单形的一个特殊类型.它表明，格点的数量可以近似由一个明确给定的多项式$t$只依赖于$P$。误差项与代数数的同时丢番图逼近问题有关，如施密特定理。证明的主要成分是一般代数多面体的泊松求和公式，以及以复线积分形式的任意单纯形的特征函数的傅里叶变换的表示。
2018-06-04 math.CO math.NT
On the volumes of simplices determined by a subset of $\mathbb{R}^d$
本文证明高维 Borel 子集确定的单纯形体积集具有正测度，并给出尖锐下界及推广的切片定理。
2023-10-27 math.CA math.CO
Simplex volumes in hyperplane arrangements
Department of Applied Mathematics, Faculty of Mathematics and Physics, Charles University（查尔斯大学数学与物理学院应用数学系）
该研究探讨了超平面排列中简单体积的问题，包括单位体积简单体积的最大数目、最小/最大体积简单体积的最大数目以及不同体积简单体积的排列问题。
2026-07-22 math.CO
On a special class of general permutahedra
${\mathbb{R}}^n$中单形的Minkowski和形成了一类有趣的多面体，它们似乎出现在各种情况下。本文讨论了单形$Δ_{k-1}$在${\mathbb{R}}^n$中的Minkowski和，其中$k$和$n$是固定的，它们的标志和它们的一些面格结构.特别地，我们推导出了它们的{ \em指数生成标志函数}的闭公式。这些多面体是简单的，包括单纯形$Δ_{n-1}$和置换面体$Π_{n-1}$，并形成更一般的置换面体的闵可夫斯基基。
2016-11-16 math.CO
The cyclicity rank of empty lattice simplices
本文研究了空格点单纯形的循环秩，确定了维度 d ≤ 8 时的最大可能循环秩，并给出了该数值至对数项的渐近性态。
2025-03-07 math.CO
Simplices with fixed volumes of codimension 2 faces in a continuous deformation
针对欧氏空间中保持余维2面体积的连续形变是否必为刚体运动的开放问题，研究给出了伪欧氏空间变体情形下的反例。
2025-01-20 math.CO math.MG
The Ramsey property for Operator spaces and noncommutative Choquet simplices
非交换Gurarij空间$\mathbb{\mathbb{\mathbb{NG}}}$，最初由Oikhberg定义，是算子空间理论中的典范对象。作为有限维核型算子空间类的Fra\"ıssé极限，它可以被看作经典Gurarij Banach空间的非交换类似物。本文证明了$\mathbb{\mathbb{NG}}$的自同构群是极其顺从的，即它在紧空间上的任何作用都有不动点。证明依赖于对偶拉姆齐定理，和一个版本的Kechris-Pestov-Todorcevic对应的设置算子空间。Davidson和Kennedy最近的工作，建立在Arveson、Effros、Farenick、Webster和Winkler等人之前的工作之上，表明核型算子系统可以被看作是Choquet单纯形的非对易模拟。Poulsen单纯形在这方面的类似物是矩阵状态空间$\mathbb{NP}$的Fra\"ıssé极限$A(\mathbb{NP})$类的有限维核型算子系统。证明了$\mathbb{NP}$的自同构群在$A(\mathbb{NP})$上的单位线性泛函的紧集$\mathbb{NP}_1$上的标准作用是极小的，并且它分解到任何极小作用上，从而给出了\textrm{Aut} $\left( \mathbb{NP}% \right) $的泛极小流的描述.
2021-08-24 math.CO math.DS math.FA
Angles of Random Simplices and Face Numbers of Random Polytopes
在$\mathbb R^d$中的单位球面上随机均匀拾取$d+1$点。这些点所张成的单形的角和的期望值是多少？在$d$维球中随机均匀选择$n$点。他们的凸包的期望面数是多少？我们回答这些和一些相关的问题随机几何。为此，我们计算随机单形的期望内角，其顶点是从以下$d$维分布之一采样的独立随机点：（i）密度与$(1-\|x\|^2)^β$成比例的β分布，其中$x$属于$\mathbb R^d$中的单位球;（ii）密度与$(1+\|x\|^2)^{-β}$成比例的β '分布，其中$x\in\mathbb{R}^{d}$。这些结果意味着以下随机多面体的期望面数的显式公式：（a）典型的Poisson-Voronoi胞;（b）Poisson超平面镶嵌的零胞;（c）定义为i.i.d.凸包的beta和beta'多面体。从相应的分布样本。
2020-03-03 math.CO math.MG math.PR
On the characteristic of integral point sets in $\mathbb{E}^m$
本文将整三角形的特征的定义推广到整单形，并证明了整点集中的每个单形都具有相同的特征。这个定理被用于整点集的一个有效的构造算法。利用这个算法，我们能够提供新的精确值的最小直径的整点集。
2005-11-29 math.CO
Tensor rank of the determinant and periodic triangulations of $\mathbb{R}^n$
本文证明周期三角剖分中单纯形轨道数至少为行列式张量秩，并给出一般空间的下界及环面结晶化的显式构造。
2025-09-26 math.CO math.GT
Simplices in large sets and directional expansion in ergodic actions
本文研究遍历 $\mathbb{Z}^r$-作用沿循环子群的方向扩张，并在谱条件下证明正测度可测集可被显著扩张，进而推出正上密度集合中 $r$-单纯形体积含无限等差数列。
2024-01-08 math.CO math.DS
Blocking codimension-one simplices on the moment curve
Baruch College, City University of New York（纽约市立大学巴鲁克学院）
本研究探讨阻断一般位置点集张成的余维一单形所需最少点数，改进平面下界，给出偶数维矩曲线的下界及奇数维的最优构造，推进阻断猜想相关研究。
2026-08-11 math.CO
Pinned simplices and connections to product of sets on paraboloids
本文给出了抛物面上紧子集对应的点积集的维数阈值的改进。作为这些估计的直接应用，我们获得了显着的改善，最知名的维阈值，保证一个给定的紧凑的子集的欧几里得空间确定一个积极的比例，所有可能的同余类的单纯形。在许多情况下，这改进了以前由Erdogan-Hart-Iosevich（\cite{EHI}）、Greenleaf-Iosevich-Liu-Palsson（\cite{GILP}）和其他人获得的结果。
2022-08-21 math.CA math.CO math.MG
Lifting degenerate simplices with a single volume constraint
设$M^d$是维数为$d\ge n+1$的球面、欧几里得或双曲空间。给定具有非退化$n$ -面$F_i$的$M^d$中的任何退化$(n+1)$ -单纯形$\mathbf{A}$，存在将$n$ -面的集合自然划分成两个子集$X_1$和$X_2$的自然划分，使得除了其中$X_2$是空集并且代之以$\sum_{X_1}V_n(F_i)=V_n(\mathbb{S}^n)$的特殊球形情况之外，$\sum_{X_1}V_n(F_i)=\sum_{X_2}V_n(F_i)$是空集合。对于所有的情况下，如果在$M^d$与\emph{single}体积约束，$\sum_{X_1}V_n(F_i)-\sum_{X_2}V_n(F_i)$被保存为一个常数（0或$V_n(\mathbb{S}^n)$），我们证明，如果一个\emph{stress}不变的退化单纯形$c_{n-1}(α^{n-1})$是非零的，那么顶点将被限制到一个低维$M^n$任何足够小的运动。这回答了作者的一个问题，并且证明了在欧几里德情形下，$c_{n-1}(α^{n-1})=0$等价于$\mathbb{R}^n$中$(n-1)$ -球面上的\emph{dual}退化$(n+1)$ -单形的顶点.
2019-11-06 math.CO math.MG
Geometric complexity of embeddings in ${\mathbb R}^d$
给定一个单纯复$K$，我们考虑几个概念的几何复杂性的嵌入的$K$在欧几里德空间${\mathbb R}^d$：厚度，失真和细化复杂性（PL嵌入所需的最小数量的单纯形）。我们证明了任何$n$ -复形的$N$单形拓扑嵌入${\mathbb R}^{2n}$，$n>2$，可以PL嵌入${\mathbb R}^{2n}$与细化复杂性$O(e^{N^{4+ε}})$。构造单纯$n$ -复形$K$的族，使得$K$到${\mathbb R}^{2n}$中的任何嵌入都具有作为$K$的单纯形数目的函数的厚度和精化复杂度的指数下界.这对比了稳定范围$K\subset {\mathbb R}^{2n+k}$、$k>0$中的嵌入，其中几何复杂度函数的所有已知界限都是多项式。此外，我们给出了一个几何参数的界限膨胀图的失真在欧氏空间。讨论了几个相关的公开问题，包括嵌入的复杂性函数的增长率问题，以及经典环的交叉数和绳长问题。
2013-12-30 cs.CG math.CO math.GT
Distribution of simplices in the discrete and continuous settings
该论文在离散有限域场景改进了单纯形分布的指数下界，在连续欧氏场景针对紧集与紧Salem集证明了带标记单纯形锚定距离配置测度的绝对连续性，完善了相关几何测度论问题的研究。
2026-08-04 math.CA math.CO math.NT
On the number of regular simplices in odd dimensions
University of Victoria（维多利亚大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文研究了奇数维空间中由 n 个点张成的正单纯形最大数量，建立了精确的渐近估计，并刻画了近极值点集的两种结构，推广了 Erdős-Pach 关于单位距离的结果。
2026-09-24 math.CO
Trace spectra of simplices in large sets
Chalmers University of Technology and University of Gothenburg（查尔姆斯理工大学和哥德堡大学）；University of Sydney（悉尼大学）
研究在有限着色或正Banach密度的点集中，单形边矩阵的高阶特征系数（迹的推广）是否必然取遍所有值，证明了除一阶迹外所有系数均可实现。
2026-06-12 math.CO math.DS math.NT
Congruence Classes of Simplex Structures in Finite Field Vector Spaces
研究有限域上 Erdős-Falconer 距离问题的推广，提出分支平移和单纯形失衡的几何技术，建立处理单纯形树等图结构的统一框架，获得了新的非平凡界并改进了现有结果。
2024-08-22 math.CA math.CO
On the size of lattice simplices with a single interior lattice point
设$\mathcal{T}^d(1)$是$\real^d$中所有$d$维单形$T$的集合，其顶点为整数，且在$T$内部有一个整数点.从Hensley的一个结果可以看出，直到保持$\mathbb{Z}^d$的仿射变换，$\mathcal{T}^d(1)$是有限的。已知当$d$增长时，单形$T \in \cT^d(1)$的最大体积变得非常大。我们改进和完善的$T \in \mathcal{T}^d(1)$（其中的大小，我们的意思是体积或晶格点的数量）的大小上的界限。它示出，每个$T \in \mathcal{T}^d(1)$可以被分解成一个上升链的面的大小是“不太大”。更确切地说，如果$T \in \mathcal{T}^d(1)$，则存在$T$的面$G_1 \subseteq ... \subseteq G_d=T$，使得对于每个$i \in \{1,...,d\}$，$G_i$是$i$维的，并且$G_i$的大小根据$i$和$d$从上方有界。$G_i$大小的界在$i$中是双指数的。给出的上界在双对数尺度上是渐近紧的。
2012-03-13 math.CO math.MG
The number of regular simplices in higher dimensions
University of Victoria（维多利亚大学）；Algoresearch L.L.C.（Algoreresearch有限责任公司）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；Research Institute of the University of Bucharest（布加勒斯特大学研究所）；Institute of Algebra and Geometry, Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院代数与几何研究所）
研究由n个点在\(\mathbb{R}^d\)中所张成的正则\((k - 1)\)-单形的最大数量\(S^k_d(n)\)，利用超图Turán理论和线性代数技术确定其渐近行为及特殊情况的值，解决了更强形式的Erdős猜想。
2026-10-26 cs.CG math.CO
Quantitative bounds for product of simplices in subsets of the unit cube
对于每个$1\leq i \le n$，令$k_i\geq 1$和$Δ_i$是$\mathbb{R}^{k_i+1}$中$k_i+1$点的非退化单形的顶点集。如果$A\subseteq [0,1]^{k_1+1}\times \cdots \times [0,1]^{k_n+1}$是一个勒贝格可测集的措施至少$δ$，我们表明，存在一个间隔$I=I(Δ_1,\ldots, Δ_n,A)$的长度至少$\exp(-δ^{-C(Δ_1,\ldots, Δ_n)})$，使每个$λ\in I$，集$A$包含$Δ'_1\times \cdots \times Δ'_n$，其中每个$Δ_i'$是一个等距拷贝的$λΔ_i$。这是Lyall和Magyar的结果的定量改进。我们的证明依赖于调和分析。在证明的主要成分是取消估计的形式类似于多线性奇异积分与$n$ -部$n$ -经常超图。
2022-06-20 math.CA math.CO
A note on diameter-Ramsey sets
一个有限集合$A \subset \mathbb{R}^d$被称为$\textit{diameter-Ramsey}$，如果对于每个$r \in \mathbb N$，存在一些$n \in \mathbb N$和一个有限集合$B \subset \mathbb{R}^n$与$\mathrm{diam}(A)=\mathrm{diam}(B)$，使得每当$B$用$r$颜色着色时，都有一个单色集合$A' \subset B$与$A$全等。证明了外接半径大于$1/\sqrt{2}$的直径$1$的集合不是直径Ramsey的.特别地，我们得到了角大于$135^\circ$的三角形不是diameter-Ramsey，改进了Frankl，Pach，Reiher和Rödl的一个结果.此外，我们还推出了几乎正则但非直径Ramsey的单形。
2018-03-22 math.CO
Flow polytopes of partitions
流动多面体的最新进展表明，许多有趣的家庭与产品的体积公式。这些产品公式都证明了使用分析技术。我们的工作打破了这种模式。我们为每个分区形状$λ$和净流向量${\bf a}\in \mathbb{Z}^n_{> 0}$定义了一系列密切相关的流多面体$\mathcal{F}_{(λ, {\bf a})}$。在每一个这样的家庭，我们证明了有一个多面体（在某种意义上的限制），这是一个产品的缩放单纯形，解释他们的产品体积。我们还表明，在一个固定的家庭$\mathcal{F}_{(λ, {\bf a})}$的所有多面体的组合类型是相同的。当$λ$是阶梯形，${\bf a}$是全一向量时，后一结果是第一作者与Morales和Rhoades的一个定理的特例，它表明Tesler多胞形的组合型是单形的乘积.
2017-07-11 math.CO
Upper bounds for stabbing simplices by a line
已知对于每个维$d\ge 2$和每个$k<d$，存在一个常数$c_{d,k}>0$，使得对于每个$n$ -点集$X\subset \mathbb R^d$，存在一个$k$ -平坦，它至少与$X$所张成的$(d-k)$ -维单形的$c_{d,k} n^{d+1-k} - o(n^{d+1-k})$相交.然而，常数$c_{d,k}$的最佳值大多是未知的。$k=0$（被一个点刺伤）一案受到了极大的关注。在本文中，我们专注于$k=1$（刺伤线）的情况下。具体来说，我们试图确定两个点集产生的上界，称为“拉伸网格”和“拉伸对角线”。尽管计算独立于$n$，但它们仍然非常复杂，因此我们采用解析和数值软件方法。我们提供了强有力的证据，令人惊讶的是，$d=4,5,6$拉伸网格产生更好的边界比拉伸对角线（不像所有情况下$k=0$和$(d,k)=(3,1)$，其中两个点集产生相同的边界）。我们的实验表明，拉伸网格产生$c_{4,1}\leq 0.00457936$，$c_{5,1}\leq 0.000405335$，和$c_{6,1}\leq 0.0000291323$。
2021-06-29 cs.CG math.CO
Simplicial and Conical Decomposition of Positively Spanning Sets
本文研究了一个集$X$的分解，它正地跨越欧氏空间$\mathbb{R}^{d}$成为一个最小正基的集合，我们称之为单形，并成为正地跨越尖锥的最大集合，即只有一个顶点的锥。对于任何集合$X$，令$\mathcal{S}(X)$表示$X$的单纯形子集的集合，并且令$\ell(X)$表示$X$的线性壳。集合$X$被称为满足因式分解条件，当且仅当对于每个子集$Y\subset X$和每个单纯形$S\in\mathcal{S}(X)$，$\ell(Y)\cap\ell(S) = \ell(Y\cap S)$。证明了$X$是正基当且仅当它是大多数d个单形的并，且$X$满足分解条件.在这种情况下，$X$包含一个线性基$B$，使得$\mathcal{S}(X)$中的每个单纯形与$B$除了一个元素之外都是公共的。我们证明了，对于正生成$\mathbb{R}^{d}$的集合，$X$的子基的集合形成布尔格，该布尔格可以嵌入到集合$2^{\mathcal{S}(X)}$中，正基同构。我们的第二个主要结果取决于前者如下。一个有限集$X\subset\mathbb{R}^{d}\setminus\{0\}$可以写为至多$2^{d}$的生成点锥的极大集的并集，如果$X$是一个正基，则这些点锥等价于锥的标架。这个不等式成立当且仅当$X$是一个十字，即从$\mathbb{R}^{d}$的线性基导出的1-单形的并集。…
2020-03-16 math.AG math.CO
On Spheres with $k$ Points Inside
本研究推广Delaunay三角剖分定义，证明含k个内点的d维单纯形对空间的覆盖次数公式，并将其拓展至加权点、有限点集等情形，以此为k-面、超平面排列及超单纯体积等经典组合几何结论提供新证明。
2025-09-05 cs.CG math.CO
Overlap properties of geometric expanders
有限$(d+1)$ -均匀超图$H$的{ \em重叠数}定义为最大常数$c(H)\in (0,1]$，使得无论如何将$H$的顶点映射到$\R^d$，都存在一个点被至少一个由其超边的像所诱导的单形的$c(H)$ -分数所覆盖.在~ \cite{Gro2}中，为了寻找高维单纯复形的图扩张的类似概念，有人问是否存在一个任意大的$(d+1)$ -有界度一致超图的序列$\{H_n\}_{n=1}^\infty$，其中$\inf_{n\ge 1} c(H_n)>0$。使用随机的方法和明确的建设，我们回答这个问题，积极通过构建无限家庭的$(d+1)$ -一致超图有界度，使他们的重叠数是有界的正常数$c=c(d)$从下面。我们还表明，对于每个$d$，常数$c=c(d)$的最佳值，可以实现这样的建设是渐近等于极限的完全$(d+1)$ -一致超图的$n$顶点的重叠数，作为$n\rightarrow\infty$。为了证明后一种说法，我们建立了以下独立感兴趣的几何划分结果。对于任何$d$和任何$ε>0$，存在满足以下条件的$K=K(ε,d)\ge d+1$。对于任何$k\ge K$，对于任何点$q \in \mathbb{R}^d$和对于$\mathbb{R}^d$上的任何有限Borel测度$μ$，关于其每个超平面具有测度$0$，将$\mathbb{R}^d=A_1 \cup \ldots \cup A…
2010-05-09 cs.CG math.CO
Minimal Face Numbers for Volume Rigidity
本文推广了Maxwell的欧氏刚性边数下限，利用体积刚性拟阵与外代数移位工具，给出了纯$d$维单纯复形在$\mathbb{R}^d$中生成体积刚性泛型框架所需的最小$k$-单纯形数量，并证明了顶点移除引理。
2023-06-26 math.CO
Lower bounds and integrality gaps in simplicial decomposition
本文研究可容许单纯复形的最小定向单纯形分解问题，通过整数与线性规划及对偶性给出下界，证明两种分解量的可加性，并探讨低维情形下的完整性间隙。
2024-04-01 math.AT math.CO
Hardness of almost embedding simplicial complexes in $\mathbb{R}^d$, II
单纯复形的映射$f: K \to \mathbb{R}^d$是一个几乎嵌入，如果只要$σ, τ$是$K$的不交单纯形，则$f(σ) \cap f(τ) = \varnothing$。修正整数$d,k \geqslant 2$，使$k+2 \leqslant d \leqslant\frac{3k}2+1$。假设“一个循环的原像是一个循环”，我们证明了有限$k$维复形在$\mathbb{R}^d$中几乎可嵌入性的识别算法问题的$\mathbf{NP}$-困难性.假设$\mathbf{P} \ne \mathbf{NP}$（和“原像的循环是一个循环”），我们证明了嵌入阻塞是不完全的$k$维复$\mathbb{R}^d$使用配置空间。我们的证明推广了Skopenkov-Tancer对$d = \frac{3k}{2} + 1$的证明。
2022-06-27 cs.CC cs.CG math.CO
A Lower Bound on the Crossing Number of Uniform Hypergraphs
本文研究了具有$n$个顶点的完全$d$ -一致几何超图在$\mathbb{R}^d$中的嵌入问题，其中每个超边表示为一个$(d-1)$ -单形，如果一对超边是顶点不相交的，并且在对应的单形的相对内部包含一个公共点，则它们交叉.作为Van Kampen-Flores定理的推论，可以看出这样的超图包含$Ω(\frac{2^d}{\sqrt{d}})$ $n\choose 2d$交叉的超边对。利用Gale变换和Ham三明治定理，我们将这个下界改进为$Ω(\frac{2^d \log d}{\sqrt{d}})$ $n\choose 2d$ .
2014-03-14 math.CO
Combinatorial Lefschetz theorems beyond positivity
考虑允许嵌入到$\mathbb{R}^d$中的单纯复形。尺寸为$\frac{d}{2}$或更高的面可以有多少个？它们能有多密集？这个基本问题可以追溯到笛卡尔的“丢失定理”和欧拉关于多面体的工作。使用它和其他基本的组合问题，我们介绍了一个版本的凯勒包超越积极性，使我们能够证明硬莱夫谢茨定理复曲面品种（和超越），即使当充分锥是空的。一个特别的重点在于取代霍奇-黎曼关系的非退化关系在环面不变的子空间，使我们能够国家和证明的定理霍尔和拉曼的一个推广的设置环面品种，更一般地说，面对环的Hochster，Reisner和斯坦利。这有几个应用：- 我们充分刻画了单纯有理同调球面的可能面数，解决了McMullen的$g$ -猜想，并推广了Stanley早期对单纯多面体的证明。同样的方法也验证了Kühnel的一个猜想：如果$M$是$n$顶点上的三角化闭$(d-1)$ -流形，那么\[\binom{d+1}{j}\mathrm{b}_{j-1}(M)\ \le \ \binom{n-d+j-2}{j}\ \quad \text{for}\ 1\le j\le \frac{d}{2}.\] -我们证明了对于嵌入到$\mathbb{R}^{2d}$中的单纯复形，$d$ -维单形的数目最多超过$(d-1)$ -维单形的数目$d+2$。这推广了笛卡尔和欧拉的一个结果，解决了格林鲍姆-卡莱-萨卡利亚猜想。我们由…
2019-07-02 math.AC math.AG math.CO
Cayley Digraphs Associated to Arithmetic Groups
我们探索一种范式，它将数论，加法组合学和几何组合学中看似不同的领域联系在一起，包括经典的Waring问题，Furstenberg-Sárközy正密度整数集合中的平方定理，以及有限域中三角形（也称为$2$ -单纯形）的研究。在其他结果中，我们表明，如果$\mathbb{F}_q$是奇数阶$q$的有限域，那么$Mat_d(\mathbb{F}_q), d \geq 2$中的每个矩阵是一定（有限）数量的正交矩阵的总和，这个数量只取决于$d$，矩阵的大小，以及是否$q$是全等$1$或$3$（mod $4$），但独立于$q$，否则。
2018-08-20 math.CO math.NT
A note on distinct volume subsets problem
Charles University（查理大学）
本文针对不同体积子集问题及其对偶版本，构造点集改进了H_{a,d}(n)的上界，还改进了D_d(n)的上界并给出D_2(n)、D_3(n)的首个非平凡下界。
2026-08-25 math.CO math.MG
A short exposition of S. Parsa's theorems on intrinsic linking and non-realizability
我们对S. Parsa.设$L$是一个图，使得连接$L*\{1,2,3\}$（即$L$上三个圆锥沿着它们的公共基底的并集）分段线性（PL）嵌入到$\mathbb R^4$中。则$L$允许PL嵌入到$\mathbb R^3$中，使得任意两个不相交的圈具有零环绕数。存在$C$，使得每个具有$n$顶点并且可嵌入到$\mathbb R^4$中的2维单纯复形包含小于$Cn^{8/3}$的2维单纯形。我们还提出了类似的第二个结果的内在联系。
2020-07-03 cs.CG math.CO math.GT
The hamburger theorem
我们将火腿三明治定理推广到$\mathbb{R}^d$中的$d+1$度量，如下所示。设$μ_1,μ_2, \dots, μ_{d+1}$是$\mathbb{R}^d$上绝对连续的有限Borel测度.设$ω_i=μ_i(\mathbb{R}^d)$为$i\in [d+1]$，$ω=\min\{ω_i; i\in [d+1]\}$，并假设$\sum_{j=1}^{d+1} ω_j=1$。假设对于每个$i\in[d+1]$，都有$ω_i \le 1/d$。则存在一个超平面$h$，使得由$h$定义的每个开半空间$H$对每个$i \in [d+1]$和$\sum_{j=1}^{d+1} μ_j(H) \ge \min(1/2, 1-dω) \ge 1/(d+1)$都满足$μ_i(H) \le (\sum_{j=1}^{d+1} μ_j(H))/d$。因此，我们得到了$\mathbb{R}^d$中的$nd$点的每个$(d+1)$着色集，使得没有颜色用于超过$n$点可以被划分成$n$不相交的彩虹$(d-1)$维单形.
2018-12-16 math.CO math.MG
Eventual quasi-linearity of the Minkowski length
格多面体$P$的Minkowski长度是$P$的格直径的自然推广。它可以定义为最大数量的格段，其闵可夫斯基和包含在$P$。著名的Ehrhart定理指出，正整数中的格点的数目扩张格多面体$P$的$tP$，在$t\in\mathbb{N}$中表现为多项式。本文证明了对任意格多面体$P$，$t\in\mathbb{N}$的$tP$的Minkowski长度最终是一个具有线性分支的拟多项式.我们还给出了一个公式的闵可夫斯基长度的坐标盒，度一多面体，和扩张的单模单形。此外，我们还给出了格多边形的Minkowski长度的一个新的界，并证明了格三角形的Minkowski长度与其格直径一致。
2016-05-23 math.CO math.MG
Holes and islands in random point sets
对于$d\in\mathbb{N}$，令$S$是$\mathbb{R}^d$中处于一般位置的点的集合。如果$I$的凸壳$\mathrm{conv}(I)$满足$\mathrm{conv}(I) \cap S = I$，则来自$S$的$k$点的集合$I$是$S$中的$k$ -岛. $S$中处于凸位置的$k$ -岛是$S$中的$k$ -孔。对于$d,k\in\mathbb{N}$和体积为$1$的凸体$K\subseteq\mathbb{R}^d$，令$S$是从$K$均匀且独立地随机选择的$n$点的集合。我们表明，$S$中的$k$ -孔的预期数量是在$O(n^d)$中。我们的估计改进和推广了所有以前的界限。特别地，我们通过$2^{d-1}\cdot d!\cdot\binom{n}{d}$估计了$S$中空单形的期望数目。这在平面上直到低阶项都是紧的。我们的方法给出了一个渐近紧的上限$O(n^d)$，即使在更一般的设置，我们估计的预期数量的$k$ -岛屿在$S$。
2022-02-07 cs.CG cs.DM math.CO
Universal simplicial complexes inspired by toric topology
令$\mathbf{k}$为字段$\mathbb{F}_p$或环$\mathbb{Z}$。研究了单形为$\mathbf{k}^n$的某些幺模子集的泛单纯复形$X(\mathbf{k}^n)$和$K(\mathbf{k}^n)$的组合和拓扑性质.作为一个主要结果，我们表明，$X(\mathbf{k}^n)$，$K(\mathbf{k}^n)$和他们的单形的链接同伦等价于一个楔形球指定的确切数目的领域在相应的楔形分解。这是Davis和Januszkiewicz关于$K(\mathbb{Z}^n)$和$K(\mathbb{F}_2^n)$是$(n-2)$连通的单纯复形的结果的推广.我们讨论这些普遍的单纯复形的应用，环面拓扑和数论。
2020-11-23 math.AT math.CO math.KT
Topological Tverberg theorems for products of polytopes
Bard College（巴德学院）
本文针对单纯形乘积给出拓扑Tverberg定理，改进了原有的维数阈值，将结果推广到任意多面体乘积，还涉及网格点集划分与van Kampen–Flores型定理的扩展。
2026-08-18 math.AT math.CO
