发表机构
University of Victoria; Karlsruhe Institute of Technology（维多利亚大学; 卡尔斯鲁厄理工学院）
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本文研究了奇数维空间中由 n 个点张成的正单纯形最大数量，建立了精确的渐近估计，并刻画了近极值点集的两种结构，推广了 Erdős-Pach 关于单位距离的结果。
AI 中文摘要
设 $S^k_d(n)$ 表示由 $\mathbb{R}^d$ 中 $n$ 个点张成的正 $(k-1)$-单纯形的最大数量。对于所有固定的 $r\geq k\geq3$，$S^k_{2r}(n)$ 的精确值最近由 Dumitrescu 和作者确定：当 $k=3$ 时对所有充分大的 $n$ 成立，当 $k\geq4$ 时依赖于一个优化问题的条件。本文通过证明 \\[S^k_{2r+1}(n)=\binom{r}{k}\left(\frac{n}{r}\right)^k+\Theta(n^{k-2/3})\\] 对所有固定的 $r\geq k\geq3$ 成立，从而在奇数维空间中建立了精确估计。这可以视为 Erdős 和 Pach 关于奇数维单位距离结果的推广。我们还建立了近极值点集的结构刻画。一个显著差异是，与偶数维情形不同，奇数维中的近极值点集具有两种不同的构型。证明利用了超图 Turán 理论和线性代数技术，并辅以额外的几何论证。
英文摘要
Let $S^k_d(n)$ denote the maximum number of regular $(k-1)$-simplices spanned by $n$ points in $\mathbb{R}^d$. For all fixed $r\geq k\geq3$, the exact value of $S^k_{2r}(n)$ was recently determined by Dumitrescu and the authors for all sufficiently large $n$ when $k=3$, and conditionally on an optimization problem when $k\geq4$. In this paper we establish a sharp estimate in odd dimensions by proving that \[S^k_{2r+1}(n)=\binom{r}{k}\left(\frac{n}{r}\right)^k+Θ(n^{k-2/3})\] for all fixed $r\geq k\geq3$. This can be viewed as a generalization of the result by Erdős and Pach on unit distances in odd dimensions. We also establish a structural characterization of nearly extremal point sets. A notable difference from the even-dimensional case is that nearly extremal point sets in odd dimensions admit two distinct configurations. The proof leverages techniques from hypergraph Turán theory and linear algebra, with additional geometric arguments.
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