(Almost-)Optimal FPT Algorithm and Kernel for $T$-Cycle on Planar Graphs
针对平面图上的 $T$-Cycle 问题，提出了首个次指数时间固定参数算法和多项式核化算法，在 ETH 假设下达到近似最优。
2025-04-27 cs.DM cs.DS
A deterministic polynomial kernel for Odd Cycle Transversal and Vertex Multiway Cut in planar graphs
我们表明，奇循环transmittance和顶点多路切割承认确定性多项式核时，限制到平面图和参数化的解决方案的大小。这就回答了索拉布的一个问题。在获得这些结果的过程中，我们提供了一个高效的稀疏化例程，其风格类似于用于平面图中施泰纳树问题的稀疏化例程（FOCS 2014）。它与以前的工作不同，因为它保留了低成本子图的存在，这些子图不一定是原始平面图中的Steiner树，而是在添加位于公共面上的顶点对之间的所有边后变成Steiner树的结构。我们还展示了顶点多路切割和顶点平面化问题之间的联系，其中多项式核的存在仍然是一个重要的开放问题。
2018-12-12 cs.DS
Nonblocker in H-minor free graphs: kernelization meets discharging
也许最著名的核化结果是Alber等人[JACM 2004]针对平面支配集问题的大小为335 k的核，后来Chen等人[SICOMP 2007]将其改进为67 k。这个结果大致上意味着，当最优解很小时，在平面图中寻找最小支配集的问题是容易的。另一方面，已知由k '= |V| -k参数化的平面支配集（也称为平面非阻塞集）具有大小为2k'的核。这意味着当最优解很大时，平面支配集是容易的。我们改进了Planar Nonblocker的核函数为7/4k '。这也意味着，平面支配集没有大小至多为（7/3-k）k的核，对于任何k>0，除非P=NP。这改进了Chen等人以前的（2-k）k的下界。这两个结果立即推广到H-子自由图（不改变常数）。在我们的核大小上的界的证明中，我们使用放电方法的变体（例如在四色定理的证明中使用）。我们给出了一些参数，这种方法是自然的核化的上下文中，我们希望它将被应用到得到改进的内核大小的界限，以及其他问题。作为一个副产品，我们显示了一个结果，这可能是独立的兴趣：每个n-顶点图，没有孤立的顶点，使每对1度顶点的距离至少为5，每对2度顶点的距离至少为2有一个支配集的大小最多为3/7 n。
2012-07-19 cs.DM cs.DS math.CO
A Polynomial Kernel for Planar Directed Feedback Vertex Set
本文解决了平面有向反馈顶点集问题的多项式核开放问题，提出确定性核算法，通过结构归约、平面偶图压缩和有向割论证，得到$O(k^{66}\log^2 k)$大小的核。
2026-11-04 cs.DS
Lossy Planarization: A Constant-Factor Approximate Kernelization for Planar Vertex Deletion
在无F-minor-free删除问题中，我们希望在给定的图中找到一个最小顶点集，该顶点集与族F中所有图的minor模型相交。顶点平坦化问题是族F ={K_5，K_{3,3}}的无F-子式删除的一种特殊情况。只要族F包含至少一个平面图，则已知F-minor-free删除允许常数因子近似算法和多项式核化[Fomin，Lokshtanov，Misra和Saurabh，FOCS '12]。顶点平面化问题可以说是F不包含平面图的最简单的设置，并且常数因子近似或多项式核化的存在仍然是一个主要的开放问题。在这项工作中，我们表明，顶点平面化承认一个算法，这是一个组合的两种方法。也就是说，我们提出了一个多项式A-近似核化，对于某个常数A> 1，基于有损核化的框架[Lokshtanov，Panolan，Ramanujan和Saurabh，STOC '17]。简单地说，当给定图G和整数k时，我们展示了如何计算poly（k）顶点上的图G '，使得G'的任何B-近似解都可以提升为G的（A * B）-近似解，只要A * B * OPT（G）<= k。为了实现这一点，我们开发了一个框架，稀疏的平面图，近似保留所有的隔离符和近隔离符之间的子集给定的终端集。我们的结果产生了一个国家的最先进的顶点平面化的近似算法的改进。这个问题允许一个多项式时间O（n ^eps）-近似算法，对于任何eps> 0，和一个准多项式时间（…
2022-02-04 cs.CC cs.DS
Kernelizing Problems on Planar Graphs in Sublinear Space and Polynomial Time
本文提出一种在亚线性空间和多项式时间内对平面图问题进行核化的方案，利用平面性使算法空间降至O((sqrt(n)+k)log n)位，并应用于Dominating Set和Vertex Cover等问题。
2023-07-03 cs.DS
A Linear Kernel for Planar Total Dominating Set
针对平面图上的全控制集问题，本文给出了一个顶点数至多410k的显式线性核，其中k为解的大小，补充了其他支配问题的已知线性核结果。
2018-05-07 cs.DS
Planar Disjoint Paths, Treewidth, and Kernels
本文研究平面不相交路径的核化复杂性，证明以 k 为参数时无多项式核及多项式 Turing 核，同时给出以 k+树宽为参数的多项式核，并导出匹配已知界的参数算法。
2023-07-13 cs.DS
Cyclic generators and an improved linear kernel for the rooted subtree prune and regraft distance
本文针对 NP 难的有根二元系统发育树 rSPR 距离，引入循环生成元并改进链归约规则，得到至多 9k-3 个叶子的紧线性核，并推出最小杂交问题的改进加权线性核。
2022-02-20 cs.DS q-bio.PE
Designing Practical PTASes for Minimum Feedback Vertex Set in Planar Graphs
我们提出了两个算法的最小反馈顶点集问题的平面图：一个$O(n \log n)$ PTAS使用线性核和平衡分离器，和一个启发式算法使用核化和局部搜索。我们实现了这些算法，并将其性能与Becker和Geiger的2-近似算法进行了比较。我们观察到，虽然我们的PTAS是有竞争力的2-近似算法的大平面图，其运行时间要长得多。我们的启发式算法在大多数大型平面图上的性能优于2-近似算法，并提供了运行时间和解质量之间的折衷，即“PTAS行为”。
2018-04-21 cs.DS
Polynomial Kernels for Tracking Shortest Paths
给定无向图$G=(V,E)$、顶点$s,t\in V$和整数$k$，跟踪最短路径需要判定是否存在一组$k$顶点$T\subseteq V$，使得对于$s$和$t$之间的任何两个不同的最短路径，例如$P_1$和$P_2$，我们有$T\cap V(P_1)\neq T\cap V(P_2)$。在本文中，我们给出了第一个多项式核的大小问题。具体地说，我们证明了一般图中存在一个具有$\mathcal{O}(k^2)$顶点和边的核，平面图中存在一个具有$\mathcal{O}(k)$顶点和边的核。这个问题允许一个多项式参数变换来跟踪最短路径，这意味着在一般图中跟踪最短路径的核是一个具有$\mathcal{O}(k^4)$顶点和边的核，而在平面图中跟踪最短路径的核是一个具有$\mathcal{O}(k^2)$顶点和边的核.在此基础上给出了平面图中最短路跟踪的单指数算法。
2022-02-24 cs.DS
Conflict Packing: an unifying technique to obtain polynomial kernels for editing problems on dense instances
我们开发了一种技术，我们称之为冲突包装的内核化的背景下，获得（和改进）几个多项式内核的编辑问题上密集的实例。我们将这种技术应用于几个研究得很好的问题：反馈弧集（二分）旅游，密集有根三重不一致性和旅游中介。对于前者，给定一个（二分）竞赛图$T = (V,A)$，并寻找一组至多$k$弧，其在$T$中的反转导致非循环（二分）竞赛图。虽然第一个问题的线性顶点核已经是已知的，但使用冲突打包允许我们找到一个所谓的安全分区，这是中的核化算法的中心工具，具有更简单的参数。对于二部竞赛图的情况，同样的技术允许我们获得二次顶点核。再一次，这样的内核已经知道存在，使用所谓的双模的概念。然而，我们相信，提供一个统一的技术来处理这些问题是有趣的。关于密集有根三元组不一致性，给出一组顶点$V$和$V$的三个顶点上的有根二叉树的密集集合$\mathcal{R}$，并从$\mathcal{R}$中寻找包含所有但至多$k$三元组的$V$上的有根树。作为我们的技术的一个主要后果，我们证明了密集有根三重不一致问题承认一个线性顶点核。这一结果改进了该问题的$O(k^2)$顶点的最佳已知界。最后，我们使用这种技术，以获得一个线性的顶点内核在Tournament，其中一个是给定的一组顶点$V$和密集的集合$\mathcal{R}$的所谓的中间三元组，并寻求一个线性排序的顶点包含所有，但最多$k$三元组从$\mathcal{R…
2014-01-30 cs.DS
Kernel(s) for Problems With no Kernel: On Out-Trees With Many Leaves
The { \sc $k$ -Leaf Out-Branching} problem is to find an out-branching (i.e. a rooted oriented spanning tree) with at least $k$ leaves in a given digraph. The problem has recently received much attention from the viewpoint of parameterized algorithms {alonLNCS4596,AlonFGKS07fsttcs,BoDo2,KnLaRo}. In this paper we step aside and take a kernelization based approach to the { \sc $k$ -Leaf-Out-Branching} problem. We give the first polynomial kernel for { \sc Rooted $k$ -Leaf-Out-Branching}, a variant of { \sc $k$ -Leaf-Out-Branching} where the root of the tree searched for is also a part of the inp…
2008-11-06 cs.CC cs.DS
FPT Algorithms and Kernels for the Directed $k$-Leaf Problem
有向图$D$的一个子图$T$是一个{ \em外分支}，如果$T$是一个有向生成树，只有一个入度为零的顶点（称为{ \em根}）。出度为零的$T$的顶点是{ \em叶}。在{ \sc Directed $k$-Leaf}问题中，给定一个有向图$D$和一个整参数$k$，我们要判断$D$是否有一个至少有$k$叶子的外分支.最近，Kneis等人（2008）获得了运行时间问题的算法$4^{k}\cdot n^{O(1)}$。我们描述了一个新的算法的运行时间问题$3.72^{k}\cdot n^{O(1)}$。在{ \sc Rooted Directed $k$-Leaf}问题中，除了$D$和$k$，我们还给定了$D$的一个顶点$r$，我们要判断$D$是否有一个以$r$为根的至少有$k$叶子的外分支.最近，Fernau等人（2008）发现了一个$O(k^3)$大小的{ \sc Rooted Directed $k$ -Leaf}内核。本文得到了限制于无圈有向图的{ \sc Rooted Directed $k$ -Leaf}的$O(k)$核.
2009-08-18 cs.CC cs.DS
Dynamic Meta-Kernelization
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
本文将稀疏图类上经典NP-hard问题的线性核化结果推广至动态环境，提出动态数据结构在拓扑无小图中维护近似最优凸出分解，并由此导出动态核化、常数近似及改进的动态FPT算法。
2025-11-05 cs.DS
Threshold Minimum Cut with Terminal Quotas: Logarithmic and Planar Approximation Algorithms
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究带根节点、终端集和配额的阈值最小割问题，提出随机对数近似算法（一般图）和确定性2-近似（平面边割）及2Δ-近似（有界度平面点割）。
2026-06-16 cs.CC cs.DS
Linear kernels and single-exponential algorithms via protrusion decompositions
图$G$的\emph{$t$-treewidth-modulator}是一个集合$X \subseteq V(G)$，使得$G-X$的树宽至多是某个常数$t-1$。在本文中，我们提出了一种新的算法来计算一个分解方案的图$G$，配备了一个$t$树宽调制器。这种分解称为\emph{protrusion decomposition}，是获得以下两个主要结果的基础。我们首先证明了任何具有\emph{finite integer index}且是\emph{treewidth-bounding}的参数化图问题（带参数$k$）都在$H$-topological-minor-free图上有一个线性核，其中$H$是任意的但固定的图。一个参数化的图问题被称为树宽边界，如果所有的正实例都有一个$t$-树宽调制器的大小为$O(k)$，对于一些常数$t$。这一结果部分地扩展了以前关于有界亏格图上线性核的存在性的元定理[Bodlaender等人，FOCS 2009]和$H$-无次要图[Fomin等人，SODA 2010]。我们的第二个应用程序涉及平面$\mathcal{F}$删除问题。设$\mathcal{F}$是一个至少包含一个平面图的固定有限图族。给定一个$n$顶点图$G$和一个非负整数$k$，Planar-$\mathcal{F}$-Deletion询问$G$是否有一个集合$X\subseteq V(…
2012-07-31 cs.DM cs.DS math.CO
From Directed Steiner Tree to Directed Polymatroid Steiner Tree in Planar Graphs
在有向斯坦纳树（DST）问题中，输入是有向边加权图$G=(V,E)$、根顶点$r$和$k$终端的集合$S \subseteq V$。我们的目标是找到一个最小成本的子图，连接$r$到每个终端。DST允许准多项式时间的$O(\log^2 k/\log \log k)$ -近似，以及多项式时间的任何固定$ε> 0$的$O(k^ε)$ -近似。解决多项式时间多对数逼近的存在性问题是逼近算法中的一个主要问题。在最近的工作中，Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]通过Thorup的最短路径分离定理获得了平面有向图中DST的简单而优雅的多项式时间$O(\log k)$ -近似。我们建立在他们的工作，并取得了一些新的成果DST和相关问题。- 我们通过对Friggstad和Mousavi [ICALP 2023]中递归的解释，开发了一种用于平面有向图中有根问题的树嵌入技术。利用这一点，我们得到多项式时间的多对数近似的群Steiner树，覆盖Steiner树，和多拟阵Steiner树问题的平面有向图。所有这些问题即使在树中也很难近似到$Ω(\log^2 n/\log \log n)$的因子内。- 我们证明了DST的自然割LP松弛在平面图中具有$O(\log^2 k)$的完整性间隙。这与一般图形成对比，其中已知该LP的完整性间隙为$Ω(k)$，并且对于某些固定的$δ> 0$为$Ω(…
2024-07-02 cs.DS
Linear kernels for outbranching problems in sparse digraphs
在$k$ -叶子外分支和$k$ -内部外分支问题中，我们给出了一个有向图$D$，它有一个指定的根$r$和一个非负整数$k$ .问题是确定是否存在一个以$r$为根的分支，该分支分别至少有$k$叶或至少有$k$内部顶点。这两个问题进行了深入的研究，从参数化的复杂性和核化的角度来看，特别是他们的内核与$O(k^2)$顶点是已知的一般图。在这项工作中，我们表明，$k$ -叶外分支承认一个核心与$O(k)$顶点的$\mathcal{H}$ -小的自由图，对于任何固定的家庭图$\mathcal{H}$，而$k$ -内部外分支承认一个核心与$O(k)$顶点的任何图形类的有界扩展。
2015-09-05 cs.DS
Uniform Kernelization Complexity of Hitting Forbidden Minors
F-Minor-Free Deletion问题要求，对于固定集合F和由图G和整数k组成的输入，是否可以从G中移除k个顶点，使得所得图不包含F的任何成员作为子图。本文分析了在何种程度上可证明有效和高效的预处理是可能的F-小自由删除。Fomin等人（FOCS 2012）证明了特殊情况平面F-删除（当F包含至少一个平面图时）对于某些函数f和g具有大小为f（F）* k^{g（F）}的核。多项式的次数g增长得非常快;它甚至不知道是可计算的。Fomin等人对平面F-删除是否具有大小均匀多项式的核，即，形式为f（F）* k^c，对于某个不依赖于F的普适常数c。我们在本文中的结果是双重的。(1)我们证明了一些平面F-删除问题没有一致的多项式内核（除非NP是在coNP/poly）。特别地，我们证明了Treewidth-Eta Deletion对于任何eps > 0都不具有O（k^{eta/4} - eps）顶点的核，除非NP在coNP/poly中。事实上，我们甚至证明了较大参数顶点覆盖数的核化下界。这解决了Cygan等人的一个未决问题（IPEC，2011年）。这是一个自然的问题是否进一步限制F导致一致多项式核。然而，我们证明了，即使当F包含一个路径，多项式的程度必须，在一般情况下，取决于集合F。(2)当F包含路径时，一个规范的F-Minor-Free Deletion问题是Treedepth-eta…
2015-02-13 cs.CC cs.DS
