Hartree动力学在Sobolev迹范数下收敛的一个简单证明

On the Hartree-Fock dynamics in wave-matrix picture

We introduce the Hamiltonian dynamics with the Hartree-Fock energy in new {\it wave-matrix} picture. Roughly speaking, the wave matrix is defined as the square root of the density matrix. The corresponding Hamiltonian equations are equivalent to an operator anticommutation equation. This wave-matrix picture essentially agrees with the density matrix formalism. Its main advantage is that it is Hamiltonian and allows an extension to infinite particle systems like crystals. Our main result is the existence of the global "reduced" wave-matrix dynamics for finite-particle molecular systems, and the…

从Hartree和Hartree-Fock到Vlasov-Poisson方程的强半经典极限

Strong semiclassical limit from Hartree and Hartree-Fock to Vlasov-Poisson equation

本文研究了从Hartree和Hartree-Fock到Vlasov方程的半经典极限，在Schatten范数下证明了强拓扑中的显式界，并给出了费米子情形下交换项估计及收敛速率，适用于一般初始数据和任意固定时间区间。

共振扰动下线性薛定谔方程的有界Sobolev范数

Bounded Sobolev Norms for Linear Schrödinger Equations Under Resonant Perturbations

我们证明了一维周期Schroedinger方程的Sobolev范数在小的共振扰动下保持有界。

关于Sobolev范数与点态积的一些不等式中的常数

On the constants in some inequalities for the Sobolev norms and pointwise product

我们考虑两个函数的点态积的Sobolev范数，并从上和下估计两个相关不等式中出现的常数。

正密度下从哈特里到弗拉索夫的半经典极限：强一致时间收敛和散射

The semiclassical limit from Hartree to Vlasov at positive density: strong uniform-in-time convergence and scattering

研究正密度下从哈特里方程到弗拉索夫方程的半经典极限，通过证明有限时间区间收敛速率并结合相关界，得到全局存在和散射，量子与经典初始扰动对齐时收敛一致且有显式速率。

某些发展方程解的通有性态：渐近性与Sobolev范数

The generic behavior of solutions to some evolution equations: asymptotics and Sobolev norms

本文研究了一类发展方程解的通有性态。将这些方法应用于圆上的薛定谔演化。

标准正交函数的限制定理，Schmidhartz不等式和一致Sobolev估计

Restriction theorems for orthonormal functions, Strichartz inequalities, and uniform Sobolev estimates

我们推广的Stein-Tomas和Rehartz定理的表面限制的傅里叶变换系统的正交函数的最佳依赖的功能。我们推导出了相应的薛定谔方程的解到端点的Schehartz界，从而解决了Frank，Lewin，Lieb和Seiringer的一个公开问题。我们还证明了均匀Sobolev估计Schatten空间，扩展的结果凯尼格，鲁伊斯和Sogge。最后，我们提供了应用这些结果的一个限制吸收原理在Schatten空间中，适定性的Hartree方程在Schatten空间中，Lieb-Thirring边界的本征值的薛定谔算子与复杂的潜力，和Schatten性质的散射矩阵。

半线性可逆偏微分方程的拟不变修正Sobolev范数

Quasi invariant modified Sobolev norms for semi linear reversible PDEs

本文考虑一类无限维可逆微分系统。假设线性频率上的非共振条件，我们构造了这类系统的几乎不变的伪范数，它们接近于Sobolev类范数。这使我们能够证明，如果索伯列夫范数的索引$s$的初始数据$z_0$是足够小的（顺序$ε$），然后索伯列夫范数的解决方案是有界的$2ε$在很长的时间（顺序$ε^{-r}$与$r$任意）。结果表明，该定理适用于包括d维环面上的非线性薛定谔方程在内的一大类可逆半线性偏微分方程。我们也将我们的方法应用到一个系统的耦合NLS方程是可逆的，但不是哈密顿。我们还注意到，对于同一类可逆系统，我们可以证明伯克霍夫范式定理，该定理反过来又意味着索伯列夫范数的相同界限。然而，我们证明拟不变伪范数存在性的技巧要简单直接得多。

关于$2d$和$3d$流形上NLS的Sobolev范数的增长性

On the growth of Sobolev norms for NLS on $2d$ and $3d$ manifolds

利用适当的修正能量，研究了一般$2d$或$3d$紧致流形上非线性薛定谔方程高阶Sobolev范数随时间的增长性.在$2d$中，我们推广了以前只处理三次非线性项的结果，得到了任意高阶非线性项的多项式时间界。在$3d$中，我们证明了三次NLS的解最多是指数增长的，而对于次三次NLS，我们得到了$H^2$ -范数增长的多项式界。

Standing waves and global well-posedness for the 2d Hartree equation with a point interaction

We study a class of two-dimensional non-linear Schrödinger equations with point-like singular perturbation and Hartree non-linearity. The point-like singular perturbation of the free Laplacian induces appropriate perturbed Sobolev spaces that are necessary for the study of ground states and evolution flow. We include in our treatment both mass sub-critical and mass critical Hartree non-linearities. Our analysis is two-fold: we establish existence, symmetry, and regularity of ground states, and we demonstrate the well-posedness of the associated Cauchy problem in the singular perturbed energy s…

Hartree动力系统的Bogoliubov修正和迹模收敛

Bogoliubov corrections and trace norm convergence for the Hartree dynamics

我们考虑了一类包含库仑相互作用的相互作用势在平均场极限下大量N个非相对论玻色子的动力学。为了描述平均场Hartree态周围的涨落，我们在N粒子空间上引入了一个辅助哈密顿量，它与Bogoliubov理论中得到的哈密顿量非常相似。我们显示收敛的辅助时间演化的N粒子空间的规范完全相互作用的动力学。这一结果使我们能够证明其他几个结果：收敛的减少密度矩阵的跟踪范数与最佳的速度，收敛的能量跟踪范数，并收敛到一个时间的发展得到的Bogoliubov哈密顿Fock空间与预期的最佳速度。因此，我们扩展和量化了几个以前的结果，例如，通过提供物理上重要的收敛速率，包括依赖于时间的外部场和奇异相互作用，并允许一般的初始状态，例如，那些被认为是相互作用系统的基态的。

高Sobolev范数下薛定谔方程的全局逼近能控性及其应用

Global approximate controllability for Schrödinger equation in higher Sobolev norms and applications

证明了薛定谔方程在Sobolev空间$H^s$，$s>0$中关于位势是近似可控的.我们给出了这个结果的两个应用。首先，在一维空间的情形下，将我们的结果与局部精确能控性相结合，得到了系统在高阶Sobolev空间中的全局精确能控性。证明了具有随机含时振幅势的薛定谔方程在$L^2 $中的单位球$S$上至多存在一个定态测度.

散焦$H^{\frac12}$ -亚临界Hartree方程在$\mathbb{R}^d$中的整体适定性和散射

Global well-posedness and scattering for the defocusing $H^{\frac12}$-subcritical Hartree equation in $\mathbb{R}^d$

在$\mathbb{R}^d$，$d\geq 3$中证明了具有低正则性数据的散焦$H^{\frac12}$ -亚临界（即$2<γ<3$）Hartree方程的整体适定性和散射性.准确地说，我们表明，一个唯一的和全球性的解决方案存在的Sobolev空间$H^s\big(\mathbb{R}^d\big)$与$s>4(γ-2)/(3γ-4)$，这也分散在两个时间方向上的初始数据。这改进了\cite{ChHKY}中的结果，其中为任何$s>\max\big(1/2,4(γ-2)/(3γ-4)\big)$建立了全局适定性。在我们的证明中的新成分是，我们使用的相互作用Morawetz估计的平滑的解决方案$Iu$，而不是一个相互作用Morawetz估计的解决方案$u$，我们仔细分析的单调性性质的乘数$m(ξ)\cdot < ξ>^p$。作为我们的证明的副产品，我们得到的$H^s$规范的解决方案服从统一的时间界限。

从Hartree到Vlasov动力学：条件强收敛

From the Hartree to the Vlasov dynamics: conditional strong convergence

我们回顾了[45，46]关于从Hartree动力学到具有奇异势的Vlasov方程的半经典极限的最新结果，并将其推广到更一般的径向相互作用的情况。我们证明了，在正温度下，Hartree动力学收敛于迹范数的Vlasov一个，对于一个特定的类的初始状态。

一类发展方程解的Sobolev范数和Fourier局部化

The Sobolev norms and localization on the Fourier side for the solutions to some evolution equations

在一维环面情形下，研究了具有粗糙含时势的发展方程。我们表明，该解决方案具有较高的正则性的一般值的耦合常数。研究了大时间渐近性和傅立叶侧的局部化。

含时不定常半经典非谐振子中Sobolev模的长时间增长

Long time growth of Sobolev norms in time dependent semiclassical anharmonic oscillators

本文考虑由$$\mathrm{i} \hbar \partial_t ψ= \left(-\frac{\hbar^2}{2} Δ+ W_l(x) \right)ψ+ V(t,x)ψ,$$给出的$\mathbb R^d$上的半经典薛定谔方程，其中$W_l$是$W_l(x)= \frac{1}{2l}\sum_{j=1}^d x_j^{2l}$形式的非谐陷波，$l\geq 2$是整数，$\hbar$是半经典小参数.我们构造了一个光滑的潜在$V(t,x)$，有界的时间与其衍生物，和一个初始数据，使Sobolev规范的解决方案增长的对数速度为所有时间的顺序$\log^{\frac12}(\hbar^{-1})$。证明依赖于两个成分：首先，我们构造了一个无界的解决方案的强制机械非谐振子，然后我们利用半经典近似与相干态，以获得增长的Sobolev范数的量子系统，这是有效的半经典时间尺度。

超压缩性与完全有界范数的对数Sobolev不等式

Hypercontractivity and the logarithmic Sobolev inequality for the completely bounded norm

本文对作用在矩阵代数上的超算子半群的完全有界范数，提出了超压缩性（HC）和log-Sobolev（LS）不等式。在适当的假设下，我们证明了HC和LS的完全有界版本的等价性。我们还证明了一个版本的格罗斯引理，它允许LS在一般$q$推导出LS在$q=2$。

NLS的$L^2$-解的Sobolev范数

Sobolev norms of $L^2$-solutions to NLS

本文利用逆谱理论，针对非线性薛定谔方程，证明了对于$L^2$初始数据和$s\in[-1,0]$，存在与解的$H^s$范数等价的守恒量。

径向能量临界聚焦Hartree方程的整体适定性、散射和爆破

Global well-posedness, scattering and blow-up for the energy-critical, focusing Hartree equation in the radial case

我们建立了能量和$\dot{H}^1$范数小于$\mathbb{R}\times \mathbb{R}^d$，$d\geq 5$中基态能量和$\dot{H}^1$范数的能量临界聚焦Hartree方程径向解的整体存在性和散射性.

Kolmogorov算子中具有缩放临界漂移项的Sobolev范数等价性

Equivalence of Sobolev norms for Kolmogorov operators with scaling-critical drift

本文研究了Kolmogorov算子中具有缩放临界漂移项的Sobolev范数等价性，指出需对可比Sobolev空间范围施加额外限制，因相关半群缺乏梯度界。

Sobolev空间中径向对称函数子空间的刻画

A characterization of the subspace of radially symmetric functions in Sobolev spaces

该研究通过径向剖面的加权Sobolev范数等价刻画径向对称函数的Sobolev空间，并将结果用于描述共旋映射的范数。

涉及广义哈代算子的索伯列夫范数等价性

Equivalence of Sobolev norms involving generalized Hardy operators

本文研究带哈代位势的分数阶薛定谔算子所生成的齐次索伯列夫空间与通常齐次索伯列夫空间的等价性，得到广义及反向哈代不等式，并推广了非分数阶情形下的近期结果。