Long range scattering for the cubic Dirac equation on $\mathbf{R}^{1+1}$
Timothy Candy, Hans Lindblad
我们表明，立方狄拉克方程，也被称为Thirring模型，散射在无穷远的线性解模相位校正。
We show that the cubic Dirac equation, also known as the Thirring model, scatters at infinity to a linear solution modulo a phase correction.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Global well-posedness and scattering for the radial, defocusing, cubic nonlinear wave equation
本文在临界索伯列夫空间$\dot{H}^{1/2}(\mathbf{R}^{3}) \times \dot{H}^{-1/2}(\mathbf{R}^{3})$上证明了具有径向初值的散焦三次非线性波动方程在$\mathbf{R}^{1 + 3}$上的整体适定性和散射性.
Improved almost Morawetz estimates for the cubic nonlinear Schrodinger equation
利用$u_{0} \in H^{s}(\mathbf{R}^{2})$，$s > 1/4$数据，在$\mathbf{R}^{2}$上证明了三次、散焦、非线性Schr{<$}dinger方程的整体适定性.我们通过改进[9]中的几乎Morawetz估计来实现这一点。
Quasi-Invariance of Gaussian Measures Transported by the Cubic NLS with Third-Order Dispersion on $\mathbf{T}$
考虑非线性薛定谔方程，证明了在$L^2(\mathbf T)$上的协方差为$(1-\partial_x^2)^{-α}$的高斯测度对于$α>1/2$的关联流是拟不变的.这是尖锐的，并且改进了在\cite{OTT}中获得的先前结果，其中获得了值$α>3/4$。此外，我们的方法是完全不同的和更简单的，它是基于一个明确的公式的Radon-Nikodym导数。我们得到了一个明确的公式，后者在相同的精神，在\cite{Cruz1}和\cite{Cruz2}。这些结论具有一般性，可用于其它哈密顿方程。
Global solutions of 2-D cubic Dirac equation with non-compactly supported data
我们感兴趣的是二维空间中的三次狄拉克方程。我们建立了一般三次非线性项的小数据整体存在性和锐点态衰减结果，而无需额外的结构。我们还证明了散射的狄拉克方程的某些类的非线性。在上述所有结果中，我们不要求初始数据具有紧支撑。
Well-posedness and scattering of inhomogeneous cubic-quintic NLS
本文考虑空间维$d = 3$：$$ iu_t = -Δu + K_1(x)|u|^2u + K_2(x)|u|^4u. $$中的非齐次五次非线性最小二乘问题，研究了当$K_1, K_2 \in C^4(\mathbb R^3 \setminus \{0\})$满足增长条件$|\partial^j K_i(x)| \lesssim |x|^{b_i-j}\, (j = 0, 1, 2, 3, 4)$时，对于某些$b_i \ge 0$和对于$x \neq 0$，ICQNLS的局部适定性，有限时间爆破，小数据散射和非散射性质.为此，我们使用Sobolev不等式的功能$f \in H^n \,(n = 1, 2)$，使$\||\mathbf L|^\ell f\|_{H^n} < \infty \,(\ell = 1, 2)$，其中$\mathbf L$是角动量运营商定义的$\mathbf L = x \times (-i\nabla)$。
Global solutions to cubic Dirac and Dirac-Klein-Gordon systems on spacetimes close to the Minkowski space
该研究在接近闵可夫斯基时空的弯曲背景下，通过平方狄拉克算子简化分析并应用特定能量估计方法，解决了三次狄拉克及狄拉克-克莱因-戈登系统的整体存在性与精确衰减估计问题。
On Fundamental Solutions of Higher-Order Space-Fractional Dirac equations
本文从Dirac算子$\displaystyle \mathbf{D}=\sum_{j=1}^n\mathbf{e}_j\partial_{x_j}$关于$1$阶分数算子$(-Δ)^{\frac{1}{2}}$和Riesz-Hilbert型算子$\mathcal{H}$的伪微分分解$\mathbf{D}=(-Δ)^{\frac{1}{2}}\mathcal{H}$出发，研究了含有$α$阶分数Laplacian算子$-(-Δ)^{\fracα{2}}$的Lévy-Feller型$$\partial_tΦ_α(\mathbf{x},t;θ)=-(-Δ)^{\fracα{2}}\exp\left( \frac{iπθ}{2} \mathcal{H}\right)Φ_α(\mathbb{x},t;θ) $$空间分数Dirac方程的基本解，其中$2m\leq α<2m+2$（$m\in \mathbb{N}$），以及作为携带\textit{skewness parameter} $θ$的分数Riesz-Hilbert变换的超复数对应物的取幂运算符$\exp\left( \frac{iπθ}{2} \mathcal{H}\right)$，其值在范围$|θ|\leq \min\{α-2m,2m+2-α\}$中。这样的模型问题使我们能够得到高阶热型方程$\partial_t F_M(x,t)=κ_…
Scattering of cubic Dirac equations with a general class of Hartree-type nonlinearity for the critical Sobolev data
近年来，在对非线性项的结构作了一定的假设的情况下，对具有Hartree型非线性项的三次Dirac方程解的低正则性态进行了广泛的研究。以前的结果的关键途径是利用零结构的非线性和Yukawa势的衰减。在本文中，我们的目标是超越，我们研究了三次Dirac方程的强散射性质与相当普遍的一类Hartree型非线性，其中包括库仑势以及汤川势，和双线性型，其中不能使用特定的零结构。作为一个直接的应用，我们还得到了玻色子-恒星方程的散射标度临界Sobolev数据。
The cubic Dirac equation: Small initial data in $H^1(\mathbb{R}^3)$
在临界空间$H^1(\mathbb{R}^3)$中建立了三次Dirac方程小数据解的整体适定性和散射性.主要的成分是获得一个尖锐的端点Klein-Gordon方程的Eschhartz估计。在经典意义上，这失败了，它与空间维3中波动方程的端点Eschenhartz估计的失败有关。在本文中，系统的坐标框架中，端点的Eschhartz估计恢复和能量估计建立。
The massless and the non-relativistic limit for the cubic Dirac equation
针对二维、三维下带洛伦兹协变三次非线性项的有质量与无质量Dirac方程，提出结合双线性傅里叶限制估计和原子函数空间的新方法，证明小初值柯西问题的全局适定性、散射性及两类极限下的全局一致收敛，且为首个推出散射态和波算子收敛的结果。
Strichartz estimates for the half Klein-Gordon equation on asymptotically flat backgrounds and applications to cubic Dirac equations
研究渐近平坦时空上半克莱因 - 戈登方程的\(L^2_t\)端点斯特里赫茨估计，通过拟基本解构造等方法，证明了全次临界范围内大质量三次狄拉克方程的小数据全局适定性和散射性。
Global well-posedness for the massless cubic Dirac equation
我们证明了在尺度不变空间H^{ \frac{n-1}{2} }（R^n）（n=2，3）中，零质量三次Dirac方程对于小数据是整体适定的.证明过程中使用Fierz恒等式重写方程的形式，系统的零结构是显而易见的。这种空结构，然后利用双线性估计的空框架空间的基础上的Tataru。我们希望这里所使用的空间和估计可以应用到尺度不变的其他非线性Dirac方程。我们的工作补充了Bejenaru-Herr最近的结果，他在大规模的情况下证明了n=3的类似结果。
The cubic Dirac equation: Small initial data in $H^{\frac12}(\mathbb{R}^2)$
在临界空间$H^{\frac12}(\mathbb{R}^2)$中建立了具有小初值的三次Dirac方程的整体适定性和散射性.证明基于Klein-Gordon方程在$n=2$维上的一个尖端点的Schlichartz估计，该估计通过构造一个自适应的坐标系来捕获.
Small data scattering for a cubic Dirac equation with Hartree type nonlinearity in $ \R^{1+3}$
我们证明了Dirac方程$ \left ( -iγ^μ\partial_μ+ m \right) ψ = \left(\frac{e^{- |x|}}{|x|} \ast ( \overline ψψ)\right) ψ\quad \text{in } \ \R^{1+3} $的初值问题是全局适定的，并且如果我们从$s>0$的$H^s$中的小初始数据开始，解渐近地散射到自由波$t \rightarrow \pm \infty$。这是一个几乎临界的适定性结果，因为$L^2$是方程的临界空间。证明中的主要成分是Ehartz估计，时空双线性零形式估计的自由波在$L^2$，和应用的$U^p$和$V^p$ -函数空间。
Global well-posedness for the defocusing, cubic, nonlinear Schrodinger equation when n = 3 via a linear-nonlinear decomposition
本文证明了三维散焦三次非线性Schr{ö}dinger方程在$n = 3$时的全局适定性和散射性，当$u_{0} \in H^{s}(\mathbf{R}^{3})$、$s > 3/4$时。为此，我们利用线性-非线性分解，类似于[12]中用于波动方程的分解。
Cubic Dirac equations with a class of large data
本文研究二维和三维无质量三次狄拉克方程（Soler模型），针对一类$L^2$范数可能很大的初始数据，证明解的全局存在性并分析其渐近行为。
The cubic nonlinear Dirac equation
本文给出了与Piero D'Ancona教授合作在$H^1$中关于具有小初始数据的三维立方非线性无质量Dirac方程的整体存在性的一些结果，并作了一些额外的假设.新的关键工具是通过证明一些改进的端点Eschhartz估计。
Global existence of strong solutions to a biological network formulation model in $2+1$ dimensions
本文研究二维空间中\\ $-\mbox{div}\left[(I+\mathbf{m} \mathbf{m}^T)\nabla p\right]=s(x),\ \ \mathbf{m}_t-α^2Δ\mathbf{m}+|\mathbf{m}|^{2(γ-1)}\mathbf{m}=β^2(\mathbf{m}\cdot\nabla p)\nabla p$系统的初边值问题.这个问题已被提出作为一个连续体模型的生物运输网络。数学上的挑战是由于系统中存在立方非线性，也称为三线性形式。我们得到了一个弱解$(\mathbf{m},p) $，其中$|\nabla p|$和$|\nabla\mathbf{m}|$都有界.这个结果立即触发了一个引导参数，它可以为弱解产生更高的正则性。这是通过导出$v\equiv(I+\mathbf{m} \mathbf{m}^T)\nabla p\cdot\nabla p$的方程，然后将De Giorge迭代法适当地应用于该方程来实现的。
On inverse scattering for the one-dimensional nonlinear Dirac equation
针对一维非线性狄拉克方程的反散射问题，在非线性项满足一定光滑性和衰减条件下，利用散射算子重构其泰勒系数，通过引入基于自由解无质量极限的新方法克服方程组带来的矩阵可逆性难题。
A Hardy-type inequality and some spectral characterizations for the Dirac-Coulomb operator
我们证明了Dirac算子的一个尖锐的Hardy型不等式。我们利用这个不等式得到了Dirac算子受库仑型埃尔米特矩阵值位势$\mathbf V$扰动时的谱性质：我们用Birman-Schwinger原理证明了它的特征值，并从下面束缚了它的离散谱，证明了达到\emph{ground-state energy}的充要条件是$\mathbf V$满足一定的{刚性}条件.在静电势的特定情况下，这些意味着$\mathbf V$是库仑势。
Global solution to the cubic Dirac equation in two space dimensions
我们感兴趣的是二维空间中质量为$m \in [0, 1]$的三次狄拉克方程，它也被称为Soler模型。我们在高正则性索伯列夫空间中对初始数据足够小的模型进行了深入的研究。首先，我们证明了模型的整体存在性，它是质量均匀的。此外，我们得到了一个统一的逐点衰减结果适用于所有$m \in [0, 1]$。最后，我们证明了三次Dirac方程的线性散射具有显式的散射速度。当质量为$m=0$时，我们可以给出一个改进的逐点衰减结果.
Global small solutions to the critical radial Dirac equation with potential
本文用小临界范数$H^{1}$的数据，整体求解了一个带有小扰动势的径向三次Dirac方程。主要工具是一类径向型初始数据的扰动Dirac流的新的端点估计。
On the cubic Dirac equation with potential and the Lochak--Majorana condition
研究了$\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{3}$ \begin{equation*} i \partial _t u + \mathcal{D} u + V(x) u = \langle βu,u \rangle βu \end{equation*}上的三次Dirac方程受几乎临界正则性的大扰动.我们证明了小初始数据在$H^{1}$中的整体存在性和散射性，并增加了角正则性。主要工具是扰动狄拉克流的一个端点Eschhartz估计。特别地，该结果覆盖了具有小$H^{1}$范数的球对称数据的情况。当潜在的$V$有一个合适的结构，我们证明了全球存在性和散射的\emph{large}初始数据具有一个小的手征成分，有关的Lochak-Majorana条件。
Global solution to a cubic nonlinear Dirac equation in 1+1 dimensions
本文研究了$R^{1+1}$中一类带立方项的非线性Dirac方程，包括有质量Thirring模型和有质量Gross-Neveu模型的方程.在初始数据具有小电荷的假设下，证明了$H^1$解的整体存在性。通过引入一些Bony泛函，得到了非线性项的一致估计和局部光滑解的一致界，从而使我们能够在时间上将局部解推广到全局.然后利用一个李雅普诺夫泛函建立了这些解的$L^2$ -稳定性估计，并得到了$L^2$弱解的整体存在性.
Vortex motion for the lake equations
湖泊方程$$\left\{\begin{aligned} \nabla \cdot \big( b \, \mathbf{u}\big) &= 0 & & \text{on}\ \mathbb{R}\times D,\\ \partial_t\mathbf{u} + (\mathbf{u}\cdot \nabla)\mathbf{u} &= -\nabla h & & \text{on}\ \mathbb{R}\times D ,\\ \mathbf{u} \cdot \boldsymbolν &= 0 & & \text{on}\ \mathbb{R}\times\partial D . \end{aligned}\right.$$模拟了盆地中流体的无粘不可压缩流中的垂直平均水平速度，该盆地的可变深度$b : D \to [0, + \infty)$与其二维投影$D \subset \mathbb{R}^2$的大小相比很小。当深度$b$在$D$中处处为正且在边界上为常数时，我们证明了初始涡量集中于内点的湖方程解的涡量渐近地为Dirac质量的倍数，而Dirac质量的运动受深度函数$b$的控制.
Spectral stability and instability of solitary waves of the Dirac equation with concentrated nonlinearity
本文研究具有集中Soler型非线性的Dirac方程孤立波的光谱稳定性，证明仅打破SU(1,1)对称性而不破坏宇称对称性的扰动仍保持稳定性，而同时打破两种对称性的扰动会通过嵌入特征值分岔导致弱相对论孤立波失稳。
The Dirac-Klein-Gordon system in the strong coupling limit
在强耦合和大质量场的极限下，研究了标量和矢量Klein-Gordon场耦合的Dirac方程。在初始旋量重合的条件下，我们证明了三次非线性Dirac方程解的收敛性。这表明，在这个参数区，这是相关的相对论平均域论的核，推迟相互作用是很好的近似的瞬时，本地的自相互作用。我们将这个结果推广到Hilbert-Schmidt算子空间上的多体Dirac-Fock方程。
Local well-posedness for the nonlinear Dirac equation in two space dimensions
二维空间中三次非线性Dirac方程的Cauchy问题对于H^s中的数据是局部适定的，其中s > 1/2。在Bourgain-Klainerman-Machedon型空间中给出的证明依赖于d 'Ancona-Foschi-Selberg以前对Dirac-Klein-Gordon系统使用的非线性的零结构以及Selberg和Foschi-Klainerman对波动方程的双线性Schlhartz型估计。
Singularity formation for the 1-D cubic NLS and the Schrödinger map on $\mathbb S^2$
本文考虑一维三次薛定谔方程，其数据为Dirac- $δ$函数的小扰动以及其它一些相关方程。我们首先回顾一下，虽然这类数据的问题是不适定的，但可以使用薛定谔映射的几何框架来定义奇点时间之外的解。然后，我们找到一些自然的和定义良好的几何量，在零时刻不规则。最后，我们将这些结果与激发本说明的流体力学中的一些已知现象联系起来。
Scattering results for Dirac Hartree-type equations with small initial data
本文研究了由Dirac-Klein-Gordon方程组解耦得到的具有三次Hartree型非线性项的Dirac方程。我们证明了小数据散射结果在整个亚临界范围。证明的主要内容是局部化的Eschhartz估计，改进的双线性估计由于零结构隐藏在Dirac算子和$Up,Vp$函数空间。我们应用投影算子得到了一个线性部分为Klein-Gordon型的系统。它使我们能够利用零结构方程。通过表明基于Duhamel公式的迭代法在超临界范围内失败，表明该结果几乎是最优的。
On the convergence to equilibrium for the spatially homogeneous Boltzmann equation for Fermi-Dirac particles
本文证明了Fermi-Dirac粒子空间齐次Boltzmann方程解（具有一般初值）的强收敛性和时间平均强收敛性.对碰撞核的假设包括具有较弱角截止的库仑势。证明是基于矩估计，熵耗散不等式，碰撞增益算子的正则性，和一个新的观察，许多碰撞核大于或等于一些完全正的内核，这使我们能够避免处理的三次碰撞积分的收敛问题。
A Remark on Nonlinear Dirac Equations
对于具有固定自旋结构和旋量丛$ΣM$的$n$维自旋流形$M$，我们证明了三次非线性Dirac方程的弱解的$ε$ -正则性定理.这特别回答了陈-约斯特-王在$n=2$时提出的一个正则性问题。
A Lorentz-Covariant Interacting Electron-Photon System in One Space Dimension
本文对一维空间中由一个电子和一个光子组成的量子力学二体系统，建立了一个洛伦兹协变波动方程组。使用狄拉克的多时间波函数形式实现明显的洛伦兹协方差，即，波函数$Ψ(\mathbf{x}_{ph},\mathbf{x}_{el})$，其中$\mathbf{x}_{el},\mathbf{x}_{ph}$分别是电子和光子的一般时空事件。它们的相互作用是通过洛伦兹不变的无交叉路径的边界条件在符合子流形$\{\mathbf{x}_{el}=\mathbf{x}_{ph}\}$，兼容粒子流守恒。相应的初边值问题被证明是适定的。电子和光子的轨迹被证明存在于全球的超曲面玻姆-狄拉克理论，典型的粒子初始条件。本文还介绍了一些数值实验的结果，这些结果说明了康普顿散射以及一种新的现象：光子被电子捕获和释放。
Dirac solitons in one-dimensional nonlinear Schrödinger equations
本文通过构造狄拉克孤子，证明了非线性狄拉克方程可作为非线性薛定谔方程的有效模型。
Initial boundary value problem for nonlinear Dirac equation of Gross-Neveu type in $1+1$ dimensions
研究了一类带三次项的非线性Dirac方程的初边值问题。对于具有有界$L^2$范数的初值和适当的边界条件，证明了该方程的整体强解的存在唯一性.
Rigorous derivation of an effective model for periodic Schrödinger equations with linear band crossing of Dirac type
本文通过半经典尺度和多尺度分析，推导出描述NLS在狄拉克点附近谱局域解动力学的非线性狄拉克方程，用于周期性势场中的一维三次薛定谔方程。
Symmetric solutions for a 2D critical Dirac equation
本文证明了一个二维三次Dirac方程无穷多个对称解的存在性，它是蜂窝结构系统的有效模型。这样的方程是关键的Sobolev嵌入和解决方案找到了变分方法。此外，我们还证明了光滑性和指数衰减在无穷远。
Endpoint estimates and global existence for the nonlinear Dirac equation with potential
我们证明端点估计与角正则性的波动和狄拉克方程扰动一个小的潜力。估计被应用于证明整体存在性的三次狄拉克方程扰动与一个小的潜在的，小的初始$H^{1}$数据与额外的角正则性。这意味着在特别是全球存在的临界能量空间$H^{1}$的小径向数据。
Global solution to nonlinear Dirac equation for Gross-Neveu model in $1+1$ dimensions
本文研究了$R^{1+1}$中一类带立方项的非线性Dirac方程，包括有质量Thirring模型和有质量Gross-Neveu模型的方程.在初始数据具有有界$L^2$范数的假设下，证明了$C([0,\infty),L^2(R^1))$强解的整体存在唯一性.
Nonexistence of self-similar blowup for the nonlinear Dirac equations in (1+1) dimensions
讨论了（1+1）维非线性Dirac方程组，证明了经典自相似爆破解在有界函数空间中的不存在性.虽然这一论点并不排除有限时间爆破的可能性，但它仍然表明（1+1）维非线性狄拉克方程的光滑解在有限时间内不会产生自相似奇点。在特殊情况下的三次狄拉克方程，我们的特点（无界）自相似解决方案的封闭的解析形式。
A conformal lower bound of weighted Dirac eigenvalues on manifolds with boundary
本文研究了带有边界的流形上加权狄拉克本征值的共形下界，并证明了在特定条件下等号成立的条件。
Almost Periodic Solutions of The Cubic Defocusing Nonlinear Schrödinger Equation
本文结合正、逆谱理论，证明满足丢番图频率条件的小解析拟周期初值下，三次散焦NLS方程存在时空概周期且唯一的局部有界解，并解决了相关谱理论问题。
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