Counting Automorphic Forms on Norm One Tori
Ernest Hunter Brooks, Ian Petrow
本文给出了非分裂范数为1的环面$T$上的自守形式的个数的渐近公式，该环面与$\mathbb{Q}$的虚二次扩张相关联，按解析导体排序.
We give an asymptotic formula for the number of automorphic forms on the non-split norm one torus $T$ associated with an imaginary quadratic extension of $\mathbb{Q}$, ordered by analytic conductor.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
We find the number $s_k(p,Ω)$ of cuspidal automorphic representations of $\mathrm{GSp}(4,\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ with trivial central character such that the archimedean component is a holomorphic discrete series representation of weight $k\ge 3$, and the non-archimedean component at $p$ is an Iwahori-spherical representation of type $Ω$ and unramified otherwise. Using the automorphic Plancherel density theorem, we show how a limit version of our formula for $s_k(p,Ω)$ generalizes to the vector-valued case and a finite number of ramified places.
L-indistinguishability for covering groups of algebraic tori
本文研究覆盖代数torus的L-不可区分性，验证了Brylinski-Deligne覆盖群的全局S群具有有限阶。
On the multiplicity formula for discrete automorphic representations of disconnected tori
研究不连通环面离散自守表示，通过对其局部朗兰兹对应进行内在重新解释，建立了自守重数公式。
Covers of tori over local and global fields
当$T$是局部域上代数环面的点群时，Langlands描述了$T$的不可约容许表示.此外，朗兰兹描述了$T_{\mathbb A}$的自守表示，当$T_{\mathbb A}$是一个整体域$F$上代数环面的顶点群时。我们描述的不可约（在当地设置）和自守（在全球设置）$ε$ -真正的表示覆盖的环面，也被称为metaplexic环面，这是从Brylinski和Deligne的框架。特别是，我们的结果包括一个描述的球面Hecke代数在当地unramified设置，和全球的多重性估计的自守表示覆盖的分裂环面。对于分裂环面覆盖的自守表示，我们证明了一个重一定理。
Factorization tests and algorithms arising from counting modular forms and automorphic representations
盖克勒的一个定理比较了与$Γ_0(N)$上的权重$k$的尖点形式空间相关的非同构自守表示的数量与$k$和$N$的简单函数的数量，表明只要$N$是squarefree，两者都是相等的。我们证明了这个定理的逆（有一个小的例外），从而提供了一个无平方整数的表征。我们还建立了一个类似的刻画素数的Hecke数新形式的重量$k$ $Γ_0(N)$。由此可见，即使对于单个权重$k$，用于计算这种自守表示的数量的假设快速算法也会产生关于$N$是否无平方的快速测试。我们还展示了如何获得一个数$N$，已被发现是不是squarefree通过这个测试的可能的平方因子的界限，我们展示了如何概率地获得$N$的squarefull部分的完全因式分解从这样的自守表示的数量为两个不同的权重。如果此外，我们有这样的Hecke新形式的数量，即使是一个单一的重量$k$，然后我们展示了如何概率因素$N$完全。所有这些计算在实践中可以快速地执行，给定作为输入的自守表示和模形式的数量。
The Weyl law for algebraic tori
本文利用局部Langlands对应定义代数环面的解析导子，给出有界解析导子下自守特征数量的渐近估计，并将其纳入约化群自守表示计数的一般框架。
Stable automorphic forms for the general linear group
本文引入了一般线性群自守形式的稳定性概念，并将其与实环面的模空间及雅可比实轨迹建立了联系。
Counting Square Discriminants
具有一定限制条件的整二元二次型的计数是一个经典问题。在本文中，我们计数的二元二次型的固定判别给定的限制，其系数的大小。我们通过研究某个二重狄利克雷级数的解析性质来实现这一点，该级数是某些经典自守形式的移位卷积和。
An upper bound for counting algebraic tori over $\mathbb{Q}$ by Artin conductor
该研究给出Q上n维代数环面同构类数的上界，其证明借助ChatGPT 5.6 Pro的迭代对话完成。
Counting Discrete, Level-$1$, Quaternionic Automorphic Representations on $G_2$
本文利用“hyperendoscopy”技术发展一般迹公式，研究例外群 $G_2$ 上的四元数自守表示，克服了离散级数非正则的技术困难，并计算出 level-$1$ 表示空间的维数。
Counting algebraic tori over $\mathbb{Q}$ by Artin conductor
本文通过Artin导数研究有理数上代数tori的计数问题，提出渐进行为猜想并证明其与Malle猜想的关系，同时给出二维tori的上界估计。
Counting and Equidistribution for Quaternion Algebras
在可除四元数代数的背景下，研究有界解析导体的自守形式。我们证明了均匀分布的普遍家庭关于一个明确的和几何意义的措施。在这种情况下，它导致回答Sato-Tate命题，并包含泛族的计数律，在完全确定的情况下具有功率节省误差项。
Weyl's law in the theory of automorphic forms
对于紧致的黎曼流形，外尔定律描述了拉普拉斯算子特征值的计数函数的渐近行为。本文在自守形式的背景下讨论外尔定律。基础流形是有限体积的局部对称空间。在非紧情形下，外尔定律与尖点形式的存在性问题密切相关。
Toroidal automorphic forms for some function fields
Zagier引入了环面自守形式来研究zeta函数的零点：一个关于GL_2的自守形式是环面的，如果它的所有右平移在GL_2的所有非分裂环面上积分为零;一个爱森斯坦级数是环面的，如果它的权是相应场的zeta函数的零点。对于类数类数为1且亏格为0或1的整体函数域，我们计算了具有有理位置的这种形式的空间。这个空间的维数为g，并且被期望的爱森斯坦级数所张成。我们推导出一个“自守”证明的黎曼假设的zeta函数的这些曲线。
Toroidal automorphic forms, Waldspurger periods and double Dirichlet series
环面自守形式空间是由Zagier在20世纪70年代提出的：一个GL_2-自守形式是环面的，如果它沿着所有嵌入的非分裂环面具有消失的常数傅里叶系数。在这个空间的兴趣源于（除其他外）的事实，即一个爱森斯坦系列的重量s是环形的一个给定的环面，正是如果s是一个非平凡的零zeta函数的二次域对应的环面。本文研究了任意数域F的环面自守形式空间的结构。我们证明了它分解成一个空间，由所有的衍生物的重量s和类群特征的Eisenstein级数的n-1阶正好如果s是一个零的n阶的L-系列对应的欧米茄在s，和一个空间组成的正是那些尖点形式的L-系列的中心值为零。证明是基于Hecke关于Eisenstein级数的环面积分的一个恒等式和Waldspurger关于尖点形式的环面积分的一个结果，并结合用二重狄利克雷级数方法证明的L-级数扭的非零结果。
Toroidal automorphic forms for function fields
空间的环形自守形式介绍了Zagier在1979年。设$F$为全局字段。$\GL(2)$上的自守形式是环面的，如果它沿所有嵌入的非分裂环面具有消失的常傅立叶系数。在这个空间的兴趣源于这样一个事实（除其他外），即重量$s$的爱森斯坦级数是环形的，如果$s$是zeta函数的非平凡零点，因此与黎曼假设建立了联系。在本文中，我们集中在函数域的情况下。我们显示以下结果。一个非平凡的重量$s$和Hecke字符$χ$的爱森斯坦级数的$(n-1)$阶导数是环形的，当且仅当$L(χ,s+1/2)$在$s$中为零，以至少订购$n$（对于“仅当”-部分，我们假设$F$的特征是奇数）。Eisenstein级数不存在非平凡的环面剩余。如果特征不为2，则非分歧艾森斯坦级数的导数空间的维数等于$h(g-1)+1$;在特征2中，维数由这个数从下到上有界。这里$g$是属，$h$是$F$的类号。环面自守形式空间是一个容许表示，且每个不可约子商都是调和的。
Counting $3$-dimensional algebraic tori over $\mathbb{Q}$
本文计算了 $\mathbb{Q}$ 上 Artin 导子有界的 $3$ 维代数环面数量，给出了其上界，并在 Cohen-Lenstra 启发式假设下改进了上界，同时验证了多数共轭类下的 Malle 猜想。
Let $D$ be a definite quaternion algebra over $\mathbb{Q}$ and $\mathcal{O}$ an Eichler order in $D$ of square-free level. We study distribution of the toric periods of algebraic modular forms of level $\mathcal{O}$. We focus on two problems: non-vanishing and sign changes. Firstly, under certain conditions on $\mathcal{O}$, we prove the non-vanishing of the toric periods for positive proportion of imaginary quadratic fields. This improves the known lower bounds toward Goldfeld's conjecture in some cases and provides evidence for similar non-vanishing conjectures for central values of twisted …
On Tamagawa numbers of CM tori
本文研究了CM环面玉河数的计算问题，通过系统研究Galois上同调群计算了多种CM域对应的玉河数，并证明2的任意幂次均可作为某CM环面的玉河数，验证了Ono猜想。
Horizontal non-vanishing of Heegner points and toric periods
设$F/\mathbb{Q}$是一个全实域，$A$是$F$上的模$\GL_2$ -型阿贝尔簇.令$K/F$是CM二次扩张。设$χ$是$K$上的一个类群特征标，使得Rankin-Selberg卷积$L(s,A,χ)$是自对偶的，其根数为$-1$。证明了类群特征数$χ$与有界分支的个数使得$L'(1, A, χ) \neq 0$随$K$判别式的绝对值的增加而增加.我们还考虑了一个相当普遍的零秩情况。设$π$是$\GL_{2}(\BA_{F})$上的尖点上同调自守表示.令$χ$是$K$上的Hecke特征标，使得Rankin-Selberg卷积$L(s,π,χ)$是自对偶的，其根数为$1$。我们证明了Hecke字符$χ$与固定的$\infty$型和有界的分歧，使$L(1/2, π, χ) \neq 0$ $K$的判别式的绝对值的增加。Gross-Zagier公式和Waldspurger公式分别与Heegner点和复曲面周期的水平非零性有关。对于这两种情况下，该策略是几何依赖于CM点的Zagliki密度的自产品的四元数志村品种。最近的结果\cite{Ts, YZ, AGHP}的安德烈-奥尔特猜想是基本的方法。
Zero-loci of Brauer group elements on semi-simple algebraic groups
本文研究数域上半单代数群上Brauer群元素的零轨迹上有界高有理点的计数问题。利用自守形式的谱理论得到了奇妙紧化计数问题的渐近公式。应用程序包括渐近公式的数量矩阵超过Q的决定因素是一个总和的两个平方。这些结果提供了一个积极的回答，在某些情况下的一个问题的塞尔关于这样的计数问题。
Multi-height distribution of rational points of split toric stacks
通过将计数问题提升到与轨道皮卡德群相关的环面扩展泛旋子，研究了所有高度在Q上有界的分裂环状栈的有理点分布，证明了有理点的整数参数化存在性，并定义了环状栈的玉河数。
Zero counting and invariant sets of differential equations
考虑具有代数系数的$\mathbb{C}^n$中的多项式向量场$ξ$，并且$K$是轨迹的紧凑段。令$N(K,d)$表示$K$与次数为$d$的代数超曲面之间的最大孤立相交数。我们在$ξ$上引入了一个条件，称为\emph{constructible orbits}，并证明了在这个条件下，$N(K,d)$随$d$多项式增长.建立了$\mathbb{C}(t)$上线性微分方程、平面多项式微分方程和与自守$j$ -函数有关的某些微分方程的可构造轨道条件.作为主要结果的应用，我们证明了$K$平面投影中给定高度的有理点个数的多项式上界.
Machine learning automorphic forms for black holes
本文通过在前馈神经网络上训练自守形式傅里叶系数，证明机器学习能从截断展开中准确预测模权，尤其在负权黑洞计数公式中表现突出，为量子引力对称性的自动检测提供了概念验证。
A norm on homology of surfaces and counting simple geodesics
我们定义了一个规范的穿孔环面配备了一个完整的双曲度量的有限体积的同调，并用它来寻找渐近的增长数量的简单测地线的有界长度。
Unitary Friedberg-Jacquet periods and their twists: Relative trace formulas
本文通过引入新的相对迹公式，在局部假设下证明了关于酉群对称对的自守周期积分的全局猜想，并建立了相对特征的局部结果。
Counting locally supercuspidal newforms
本文利用迹公式和局部椭圆轨道积分，给出了权重$k$、水平$N$且局部类型为固定超尖点表示的新形式计数公式，并在导子$\text{le} p^3$时显式计算，还计算了Hecke算子迹并应用于根数偏差。
Level one automorphic representations of an anisotropic exceptional group over $\mathbb{Q}$ of type $\mathrm{F}_{4}$
本文研究Q上F4型各向异性例外群的一级自守表示，给出按阿基米德分量计数的显式公式，并在Arthur-Langlands猜想下细化计数，进而得到GL26上Sato-Tate群为F4(R)的代数尖点一级自守表示数量的显式猜想公式。
The number of varieties in a family which contain a rational point
考虑数域上含有有理点的簇的个数的计算问题。特别是，对于Brauer-Severi品种的产品和与Brauer群元素密切相关的计数函数。使用调和分析复曲面品种，我们提供了一个肯定的答案塞尔在某些情况下，这样的计数函数的问题。我们还制定了一些概括的塞尔的问题。
Counting cusp forms by analytic conductor
该研究针对数域上${\rm GL}_n$的酉尖点自守表示通用族，证明了解析导子截断下的族大小渐近公式，给出首项常数几何解释与Sato–Tate测度猜想，还得到一致Weyl定律与非tempered离散谱定量界。
Counting rational points on Hirzebruch-Kleinschmidt varieties over number fields
本文研究了数域上 Picard 秩为 2 的光滑射影分裂环面簇在 Arakelov 高度下的有理点渐近增长，证明其可分解为有限个不相交子簇并给出显式渐近公式，同时提供了包含 Hirzebruch 曲面的实例。
Faltings heights of big CM cycles and derivatives of L-functions
本文给出了签名为（2d，2）的有理二次空间的Shimura簇的极大环面上的特殊有理0-圈（大CM点）上的自守格林函数值的一个公式.我们的方法依赖于这样一个事实，即所讨论的格林函数被构造为调和弱质量形式的正则化θ提升，它涉及Siegel-Weil公式和非相干Eisenstein级数的中心导数的全实场。在弱全纯形式的情况下，该公式是从非相干艾森斯坦级数的中心导数的傅里叶系数获得的量的显式组合。在一般调和弱马斯形式的情况下，存在由Rankin-Selberg型卷积的中心导数给出的附加项。
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