Two Dimensional $\left( α,β\right) $-Constacyclic Codes of arbitrary length over a Finite Field
本文刻画了任意长度的二维$(α,β)$ -常循环码$s.\ell$的代数结构和它们的代数结构。对于$α,β\in \{1,-1\}$，给出了二维$(α,β)$ -常循环码是自对偶码的充要条件.我们还证明了长度为$n=s.\ell$的二维$(α,1 )$ -常循环码$\mathcal{C}$不可能是自对偶的，如果$\gcd(s,q)= 1$ .最后给出了二维$(α,β)$ -常循环码的自对偶码、等对偶码、MDS码和准扭码的例子。
2020-07-29 cs.IT math.IT
$m$-adic residue codes over $\mathbb{F}_q[v]/(v^s-v)$ and their application to quantum codes
本文研究商环 $\mathbb{F}_q[v]/(v^s-v)$ 上 $m$-adic 剩余码的结构，确定其幂等生成元，推导包含对偶的条件，并利用 Gray 映射构造量子纠错码。
2024-05-27 cs.IT math.IT
Recursive decoding of Reed-Muller codes
针对长度为$2^{m}$、距离为$2^{m-r}$的一般Reed-Muller码$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m}{r}\right\} $，提出了新的软、硬判决译码算法。我们使用Plotkin $(u,u+v)$构造并将代码$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m}{r}\right\} $分解为子块$u\in\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m-1}{r}\right\} $和$v\in\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{m-1}{r-1}\right\} .$。在解码中，我们首先尝试从更好保护的代码中找到子块$v$，然后继续进行块$u$。以类似于置信传播的方式重新计算接收到的符号的似然性。因此，解码被归入两个组成码。我们重复该递归并且仅在端节点$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{j}{1}\right\} $和$\left\{\genfrac{}{}{0pt}{}{j}{j-1}\right\} $处执行解码。整体复杂度低的顺序$n\log n.$它示出，这种解码大大优于其他算法的多项式复杂度已知的RM码。特别地，对于中码率和高码率，该算法校正权重$d\ln d/2.$的大多数错误模式
2017-03-14 cs.IT math.IT
Two classes of $p$-ary linear codes and their duals
设$\mathbb{F}_{p^m}$为$p^m$阶有限域，其中$p$为奇素数，$m$为正整数.本文研究了一类线性码的子域码，得到了\begin{equation*} \begin{split} \mathcal{C}_k=\left\{\left(\left( {\rm Tr}_1^m\left(ax^{p^k+1}+bx\right)+c\right)_{x \in \mathbb{F}_{p^m}}, {\rm Tr}_1^m(a)\right) : \, a,b \in \mathbb{F}_{p^m}, c \in \mathbb{F}_p\right\}, \end{split} \end{equation*}的重量分布，其中$k$是非负整数。我们的结果推广了\cite{Hengar}中圆锥码的子域码的结果.在其他结果中，我们研究了$\mathcal{C}_k$的删余码，定义为$$\mathcal{\bar{C}}_k=\left\{\left( {\rm Tr}_1^m\left(a x^{{p^k}+1}+bx\right)+c\right)_{x \in \mathbb{F}_{p^m}} : \, a,b \in \mathbb{F}_{p^m}, \,\,c \in \mathbb{F}_p\right\}.$$。这些线性码的参数在某些情况下是新的。其中一些码…
2019-10-12 cs.IT math.IT
Left dihedral codes over Galois rings ${\rm GR}(p^2,m)$
设$D_{2n}=\langle x,y\mid x^n=1, y^2=1, yxy=x^{-1}\rangle$是一个二面体群，$R={\rm GR}(p^2,m)$是一个具有特征$p^2$和基数$p^{2m}$的Galois环，其中$p$是一个素数.群环$R[D_{2n}]$的左理想称为长为$2n$的$R$上的左二面角码，简称为$R$上的左$D_{2n}$ -码。本文以${\rm gcd}(n,p)=1$为例。然后将$R$上的任意左$D_{2n}$ -码唯一地分解为由内码${\cal A}_i$和外码$C_i$组成的级联码的直和，其中${\cal A}_i$是$R$上长度为$n$的循环码，$C_i$是$R$的扩张Galois环或主理想环上长度为$2$的斜循环码，并给出了每个外码$C_i$的生成矩阵和基本参数.给出了自对偶左$D_{2n}$ -码和自正交左$D_{2n}$ -码的个数计算公式，确定了每个左$D_{2n}$ -码的对偶码，并分别给出了$R$上的自对偶左$D_{2n}$ -码和自正交左$D_{2n}$ -码.
2016-09-14 cs.IT math.IT math.RA
Signature Codes for a Noisy Adder Multiple Access Channel
在这项工作中，我们考虑$q$ ary签名码的长度$k$和大小$n$的噪声加法器多址信道。该模型中的签名码具有这样的性质，即码字的任何子集可以基于从这些码字的和（在整数上）获得的任何向量来唯一地重构。我们表明，存在一种算法来构建一个签名码的长度$k = \frac{2n\log{3}}{(1-2τ)\left(\log{n} + (q-1)\log{\fracπ{2}}\right)} +\mathcal{O}\left(\frac{n}{\log{n}(q+\log{n})}\right)$能够纠正$τk$错误的通道输出，其中$0\le τ< \frac{q-1}{2q}$。此外，我们提出了一个显式的构造的签名码字的多项式复杂度能够纠正$\left( \frac{q-1}{8q} - ε\right)k$错误的码字长度$k = \mathcal{O} \left ( \frac{n}{\log \log n} \right )$，其中$ε$是一个小的非负数。此外，我们证明了几个不存在的结果（逆界）的$q$元签名码，使纠错。
2022-07-23 cs.IT math.IT
On the List-Decodability of Random (Linear) Sum-Rank Metric Codes
本文建立了和秩度量码的列表译码容量定理，并证明随机一般及随机 $\mathbb{F}_q$-线性和秩度量码在速率不超过容量时均以高概率具有 $O(1/ε)$ 大小的列表可译性，其中通过证明和秩度量球与子空间的有限相关性实现了列表大小的指数级改进。
2025-03-13 cs.IT math.IT
Construction of Optimal Binary Z-Complementary Code Sets with New Lengths
Z互补码集（ZCCS）用于多载波码分多址（MC-CDMA）系统中，用于多用户和准异步环境中的无干扰通信。本文基于广义布尔函数（GBF）提出了三种新的最优二元$\left(R2^{k+1},2^{k+1}, Rγ,γ\right)$、$\left(R2^{k+1},2^{k+1}, R2^{m_{2}},2^{m_{2}}\right)$和$\left(2^{k+1},2^{k+1},3γ,2γ\right)$的构造方法，其中$γ=2^{m_{1}-1}+2^{m_{1}-3}, m_{1}\geq 5, k\geq 1,m_{2}\geq 1$和$R$为任意偶数.拟议的ZCCS涵盖了许多未报告的长度和大的集大小。
2023-02-22 cs.IT math.IT
Left Dihedral Codes over Finite Chain Rings
设$R$是有限交换链环，$D_{2n}$是大小为$2n$的二面体群，$R[D_{2n}]$是二面体群环。本文完全刻画了当${\rm gcd}(char(R),n)=1$为$R[D_{2n}]$时，$R[D_{2n}]$的左理想（称为左$D_{2n}$ -码）.通过这种方法，我们研究了$R$和$R\times S$上长度为2的斜循环码的结构，其中$S$是$R$的同构拷贝.作为一个特殊的结果，我们给出了$R$上长度为2的循环码的结构.在$R=\F_{p^m}$是Galois域的情况下，对任意正整数$N$，给出了$\F_{p^m}$上左$D_{2N}$ -码的一个分类.在这两种情况下，我们确定对偶码，并确定自对偶的。
2021-05-16 cs.IT math.IT math.RA
Using Reed-Solomon codes in the $\left( U\mid U+V\right)$ construction and an application to cryptography
在本文中，我们提出了一个修改的Reed-Solomon码，击败古鲁瓦米苏丹$1-\sqrt{R}$解码半径的Reed-Solomon码在低速率$R$。其思想是在$\left( U\mid U+V\right)$结构中选择具有适当速率的Reed-Solomon码$U$和$V$，并使用Koetter-Vardy软信息解码器对它们进行解码。我们建议使用这些代码的稍微更一般的版本（但具有相同的解码性能的$\left( U\mid U+V\right)$ -建设）的代码为基础的密码，即建立一个McEliece计划。这里的要点是，这些码不仅表现得几乎与Reed-Solomon码一样好（或者在低速率区域中甚至更好），它们的结构似乎避免了Sidelnikov-Shestakov攻击，该攻击打破了先前基于广义Reed-Solomon码的McEliece提案。
2016-01-29 cs.CR cs.IT math.IT
Skew Polycyclic Codes over $\frac{\mathbb{F}_{p^m}[u]}{\langle u^t \rangle}$
Indian Institute of Technology Delhi（印度理工学院德里分校）
本文研究了斜多项式环 $R^t[x,Θ]/⟨f(x)⟩$ 的左理想结构，探讨了斜循环码的生成元和结构特性，并给出了特定参数下的码类描述。
2026-05-13 cs.IT math.IT
A class of constacyclic codes over $\mathbb{F}_{p^m}[u]/\left<u^2\right>$
设$p$为奇素数，$m$为满足$p^m \equiv 3~(\text{mod }4).$的正整数，$\mathbb{F}_{p^m}$为具有$p^m$元的有限域，$R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\left<u^2\right>$为具有单位元的有限交换链环.本文确定了$R$上所有长度为$4p^s$的常循环码及其对偶码，其中$s$为正整数.给出了$R.$上长度为$4p^s$的等对偶常循环码
2018-05-22 cs.IT math.AC math.IT
Left ideal LRPC codes and a ROLLO-type cryptosystem based on group algebras
本文利用群代数引入左理想低秩校验码，并将其推广到ROLLO-IKEM。
2022-10-21 cs.CR cs.IT math.IT
Group Testing using left-and-right-regular sparse-graph codes
我们考虑的问题，非自适应组测试的$N$项目，其中$K$或更少的项目是已知的缺陷。我们提出了一种基于左右正则稀疏图码的测试方案和一个简单的迭代译码器。我们表明，对于任何任意小的$ε>0$，我们的计划只需要$m=c_εK\log \frac{c_1N}{K}$测试，以恢复$(1-ε)$分数的缺陷项目具有高概率（w.h.p），即，其中概率在$N$和$K$中渐近地接近$1$，其中常数$c_ε$和$\ell$的值是期望的误差平层$ε$和常数$c_1=\frac{\ell}{c_ε}$的函数（对于$ε$的各种值，观察到近似等于1）。更重要的是，迭代解码算法具有$\mathcal{O}(K\log \frac{N}{K})$的次线性计算复杂度，这已知是最优的。同样对于$m=c_2 K\log K\log \frac{N}{K}$测试，我们的方案恢复了\textit{whole}组缺陷项w.h. p。这些结果对于问题的无噪声和有噪声版本都是有效的，只要缺陷项的数量与项目的总数成次线性比例，即，$K=o(N)$。仿真结果验证了理论结果，显示出所需的测试的数量相比，基于左正则稀疏图的测试方案有很大的改善。
2017-01-25 cs.IT math.IT
Subfield codes of linear codes from perfect nonlinear functions and their duals
设$\mathbb{F}_{p^m}$是具有$p^m$元素的有限域，其中$p$是奇素数，$m$是正整数.最近，\cite{Hengar}和\cite{Wang2020}分别为$f(x)=x^2$和$f(x)=x^{p^k+1}$确定了具有$$\mathcal{C}_f=\left\{\left(\left( {\rm Tr}_1^m(a f(x)+bx)+c\right)_{x \in \mathbb{F}_{p^m}}, {\rm Tr}_1^m(a)\right)\, : \, a,b \in \mathbb{F}_{p^m}, c \in \mathbb{F}_p\right\}$$形式的子域码的权重分布，其中$k$是非负整数。本文进一步研究了$\mathbb{F}_{p^m}$上的完备非线性函数$f(x)$的子域码$\mathcal{C}_f$，推广了\cite{Hengar,Wang2020}中的一些结果.应用二次型理论和有限域上完全非线性函数的性质，确定了所构造码的重量分布。此外，还确定了这些码的编码参数。几个例子表明，我们的一些代码和他们的代码具有最好的已知参数相对于代码表在\cite{MGrassl}。当$p\geq 5$满足时，某些码的收敛性相对于球填充界是最优的.
2020-12-11 cs.IT math.IT
Generator polynomial matrices of the Galois hulls of multi-twisted codes
本文研究了有限域上多扭转码的Galois核，通过将生成多项式矩阵与准循环码关联，推导出核的维数公式和GPM公式，并建立了自正交与线性互补对偶码的等价条件。
2023-05-24 cs.IT math.IT
Parallelism versus Latency in Simplified Successive-Cancellation Decoding of Polar Codes
本文分析了在硬件资源受限条件下极化码简化的逐次相消（SSC）译码方案的时延特性。具体地，当可以并行执行SSC解码操作的处理元件$P$的数量有限时，如实践中的情况，SSC解码的等待时间是$O\left(N^{1-1/μ}+\frac{N}{P}\log_2\log_2\frac{N}{P}\right)$，其中$N$是码的块长度，而$μ$是信道的缩放指数。三个直接的后果，这一约束。首先，在$P=\frac{N}{2}$的完全并行实现中，SSC解码的延迟是$O\left(N^{1-1/μ}\right)$，其在块长度上是次线性的。这恢复了我们以前工作的一个结果。其次，在$P=1$的全串行实现中，SSC解码的延迟按比例缩放为$O\left(N\log_2\log_2 N\right)$。乘法常数也计算：我们表明，SSC解码时的延迟$P=1$是由$\left(2+o(1)\right) N\log_2\log_2 N$。第三，在半并行实现中，给出与全并行实现相同的延迟的最小$P$是$P=N^{1/μ}$。通过大量的仿真验证了我们对SSC解码延迟的约束的紧密性和上述结果的适用性。
2020-12-24 cs.IT math.IT
Construction of minimal non-abelian left group codes
给出了构造最小左群码的算法。这些结果的基础上描述了一个完整的一组正交本原幂等元在每个Wedderburn组件的半单有限群代数FG的一大类群体G。作为我们方法的一个例子，给出了F_2和F_3上的一些最佳线性码的替代构造。
2014-01-09 cs.IT math.GR math.IT
A class of twisted generalized Reed-Solomon codes
令$\mathbb{F}_q$是大小为$\mathbb{F}_q$的有限域，而$\mathbb{F}_q^*$是$\mathbb{F}_q$的非零元素集合。本文研究了一类由矩阵\[ \left(\begin{array}{cccc} v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{n} \\ v_{1} α_{1} & v_{2} α_{2} & \cdots & v_{n} α_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{1} α_{1}^{\ell-1} & v_{2} α_{2}^{\ell-1} & \cdots & v_{n} α_{n}^{\ell-1} \\ v_{1} α_{1}^{\ell+1} & v_{2} α_{2}^{\ell+1} & \cdots & v_{n} α_{n}^{\ell+1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{1} α_{1}^{k-1} & v_{2} α_{2}^{k-1} & \cdots & v_{n} α_{n}^{k-1} \\ v_{1}\left(α_{1}^{\ell}+ηα_{1}^{q-{2}}\right) & v_{2}\left(α_{2}^{\ell}+ ηα_{2}^{q-2}\right) &\…
2022-03-31 cs.IT math.IT
Binary linear codes with few weights from two-to-one functions
本文将$\mathbb{F}_{2^n}$上的二对一函数应用于二元线性码的两种一般构造。我们考虑两种形式的二对一函数：（1）广义二次函数;（2）$\left(x^{2^t}+x\right)^e$与$\gcd(t, n)=1$和$\gcd\left(e, 2^n-1\right)=1$。在研究这些函数或其相关函数的Walsh变换的基础上，我们提出了许多类非零重量的线性码，包括一重量、三重量、四重量和五重量。确定了单权码和三权码的权分布。此外，我们还讨论了所构造的码的对偶的最小距离，并证明了其中一些码达到了球填充界。{此外，几个例子表明，我们的一些代码是最佳的，有些具有最好的已知参数。}
2020-06-22 cs.IT math.IT
Linear and cyclic codes over some special rings
本文研究了形如 $R_{s,p}=\mathbb{Z}_{p}[u]/\left( f\left(u ight) /\left( u-s ight) ight)$ 的环上的线性码和循环码，其中 $p$ 为素数，$f(u)=u^p-u$，$s\in\{0,1,\dots,p-1\}$。
2026-05-27 cs.IT math.IT math.RA
Polar Coding for Non-Stationary Channels
研究了任意序列独立二进制输入无记忆对称信道$\left\{W_i\right\}_{i=1}^{N}$的极化编码问题。信道序列被假设为发射机和接收机都完全已知（相干场景）。此外，在每个码块传输时，每个信道仅使用一次。换句话说，构造长度为$N$的码字，然后通过$W_i$发送第$i$个编码比特.目标是以接近$W_i$的对称容量的平均值的速率$R$操作，该平均值由$\overline{I}_N$表示。为此，我们构建了一个极化编码方案，使用Arikan的信道极化变换结合在每个极化水平和某些跳过的操作的某些排列。具体地，给定BMS信道$\left\{W_i\right\}_{i=1}^{N}$和$P_e$的非平稳序列，其中$0 < P_e <1$，我们构造长度为$N$并且速率为$R$的极化码，保证在$\left\{W_i\right\}_{i=1}^{N}$上传输的块错误概率至多为$P_e$，使得$$ N \leq \fracκ{(\overline{I}_N - R)^μ}, $$，其中$μ$是常数，并且$κ$是常数，这取决于$P_e$和$μ$。我们进一步显示了一个数值上界$μ$，即：$μ\leq 7.34$的非平稳二进制擦除通道和$μ\leq 8.54$一般非平稳BMS通道。所构造的极化码的编码和解码复杂度保留了Arikan极化码的$O(N \log N)$复杂度。在渐近意义上，当编码比…
2020-08-26 cs.IT math.IT
Sum-Rank BCH Codes and Cyclic-Skew-Cyclic Codes
本文介绍了循环-斜循环码和和秩BCH码。循环-斜循环码的特征在于一个合适的非交换有限环的左理想，使用多项式上的斜多项式构造（反之亦然）。单生成这样的左理想被发现，他们被用来构建相应的代码的生成矩阵。利用多项式上斜多项式的根对，引入定义集的概念。对于定义集包含某些连续码对的循环-斜循环码，给出了最小秩和距离的一个下界（称为秩和BCH界）。然后定义具有最小秩和距离的秩和BCH码为最大循环-斜循环码，其定义集包含这样的连续码对。给出了和秩BCH码的定义集，并给出了其维数的一个下界。由于它，提供了表，其示出了对于二进制$ 2 \times 2 $矩阵（即，其码字是$ 2 \times 2 $二进制矩阵列表的代码，列表长度的范围很广，对应于代码长度）。最后，得到了一个和秩BCH码的译码器，译码距离可达其规定距离的一半。
2021-06-08 cs.IT math.IT
A Sugiyama-like decoding algorithm for convolutional codes
提出了一种斜BCH卷积码的译码算法。这些卷积码的设计汉明距离赋予一个循环结构，产生一个左理想的非交换环（商的斜多项式环）。在这种设置中，右和左划分算法存在，所以我们的算法遵循杉山的过程中发现的错误定位器和错误评估器的BCH分组码多项式的指导方针。
2016-07-25 cs.IT math.IT math.RA
The two-sided Galois duals of multi-twisted codes
描述具有丰富代数结构的线性码的可积性是近几十年来的研究热点。一开始是通过将有限域上的循环码表示为多项式环中的理想。随后，对常循环码、拟循环码、拟扭码、广义拟循环码和多扭码的研究在文献中大量出现。我们考虑的类多扭（MT）码，因为它扩展到所有这些代码。我们将MT码$\mathcal{C}$描述为主理想整环上的模.因此，$\mathcal{C}$具有满足恒等式的生成多项式矩阵（GPM）。$\mathcal{C}$的约化GPM是其GPM的Hermite范式。证明了$\mathcal{C}$的欧氏对偶$\mathcal{C}^\perp$也是MT.利用$\mathcal{C}$的约化GPM的恒等式证明了$\mathcal{C}^\perp$的GPM公式。然后，我们的目标是用伽罗瓦对偶代替欧几里得对偶。伽罗瓦内积是一种不对称形式，所以我们区分了右伽罗瓦内积和左伽罗瓦内积。我们表明，右和左伽罗瓦的MT码的MT以及，但可能不同的移位常数。我们的研究是第一个包含右和左伽罗瓦码的线性代码同时。这提供了两个优点：建立他们的相互联系的身份，并介绍了双边伽罗瓦对偶，以前没有出现在文献中。利用MT码的双边Galois对偶为MT的条件，刻画了MT码的GPM。两种特殊情况下也进行了研究，一个是当右和左伽罗瓦平凡相交，另一个是当他们重合。后一种情况被认为是任何线性码，其中的一个必要和充分条件是建立平等的权利和左伽罗…
2022-10-13 cs.IT math.AC math.IT
Peterson-Gorenstein-Zierler algorithm for skew RS codes
我们设计了一个非交换版本的彼得森-Gorenstein-Zierler解码算法的一类代码，我们称之为斜RS码。这些码是斜多项式环的商的左理想，这赋予了它们一种非交换的循环结构。由于我们在任意领域工作，我们的技术可以应用于线性分组码和卷积码。特别是，我们的解码算法适用于块码超出了经典的循环情况。
2017-03-02 cs.IT math.IT
Simplex and MacDonald Codes over $R_{q}$
本文在环$R_{q}=\mathbb{F}_{2}[u_{1},u_{2},\ldots,u_{q}]/\left\langle u_{i}^{2}=0,u_{i}u_{j}=u_{j}u_{i}\right\rangle$上引入了$q \geq 2$的齐次权和齐次Gray映射.我们还考虑了该环上$α$和$β$型单纯形码和MacDonald码的构造.
2015-06-06 cs.IT math.IT
On Skew Convolutional and Trellis Codes
提出了有限域$\F$上的两类新的斜交码，称为斜卷积码和斜格码。这两个类分别由$\F$上的斜多项式的分数的斜域上的左或右子模定义。斜卷积码可以表示为周期性时变普通卷积码。斜格码在$\F$上一般是非线性的。这两类的每一个码都有一个码格，可以用维特比或BCJR算法解码。
2021-02-02 cs.IT math.IT
Skew cyclic codes over F_{p}+uF_{p}+\dots +u^{k-1}F_{p}
本文研究了环R_{k} = F_{p} + uF_{p} + \dots +u^{k-1} F_{p}上长为n的斜循环码.将R_{k}上长为$n$的斜循环码刻画为R_{k} [x;θ]/ \langle x^{n}-1 \rangle的自由左R_{k} [x;θ]-子模，并构造了它们的生成元和极小生成集.此外，已经提供了一种算法来编码和解码这些偏斜循环码。
2018-02-23 cs.IT math.IT
Sparse Graph Codes for Non-adaptive Quantitative Group Testing
本文研究定量分组测试问题。考虑一组$N$项，其中$K$项有缺陷。QGT问题是识别（所有或足够大的一部分）有缺陷的项目，其中测试的结果揭示了测试组中有缺陷的项目的数量。在这项工作中，我们提出了一个非自适应QGT算法使用稀疏图码的双正则二部图与左度$\ell$和右度$r$和二进制$t$纠错BCH码。所提出的方案提供了准确的恢复概率保证，即恢复所有的有缺陷的项目与高概率。特别是，我们表明，对于次线性制度，$\frac{K}{N}$消失的$K,N\rightarrow\infty$，该算法需要在最多${m=c(t)K\left(t\log_2\left(\frac{\ell N}{c(t)K}+1\right)+1\right)+1}$测试，以恢复所有的缺陷项目的概率接近一个${K,N\rightarrow\infty}$，其中$c(t)$只依赖于$t$。我们的理论分析的结果表明，所需的测试次数最少的$t=2$实现。对于任何$t\leq 4$，所提出的算法的编码和解码的计算复杂度分别为$\mathcal{O}(K\log^2 \frac{N}{K})$和$\mathcal{O}(K\log \frac{N}{K})$。我们的仿真结果还表明，该算法显着优于Abdalla \emph{et al.}最近提出的非自适应半定量组测试算法在所需的测试数量，以确定所有的缺陷项目的概率高。
2019-04-24 cs.IT math.IT
Classification of Self-Dual Constacyclic Codes of Prime Power Length $p^s$ Over $\frac{\mathbb{F}_{p^m}[u]}{\left\langle u^3\right\rangle} $
本文研究有限环上素数幂长度自对偶常循环码的存在条件，完成了 $p=2$ 时长度 $2^s$ 自对偶循环码的分类与计数，并修正改进了前人结果。
2025-01-08 cs.IT math.IT math.RA
Classification of LCD and self-dual codes over a finite non-unital local ring
Indian Institute of Technology Patna（印度理工学院巴特那分校）；Aix-Marseille University（艾克斯-马赛大学）
研究非交换非单位环E_p上的LCD和自对偶码，推导自由E_p线性码为MDS和几乎MDS的充要条件，并对E_2和E_3上的短码进行分类。
2026-06-25 cs.IT math.IT
MSR Codes with Linear Field Size and Smallest Sub-packetization for Any Number of Helper Nodes
本文构造了首类适用于任意$d$值、达最小子分组化且域大小线性的显式最优访问MSR码，还提出了子分组化更小的非最优访问MSR码构造，解决了领域内两个开放问题。
2023-12-09 cs.IT math.IT
On the trifference problem for linear codes
证明了$\mathbb{F}_{3}^{n}$中的完美$3$ -Hash线性码对某个绝对常数$ε> 0$的维数至多为$ \left(\frac{1}{4}-ε\right)n$.
2021-05-20 cs.IT math.CO math.IT
Cyclic Codes over the Matrix Ring $M_2(F_p)$ and Their Isometric Images over $F_{p^2}+uF_{p^2}$
设$F_p$是具有$p$元素的素域。利用生成特征，导出了Frobenius矩阵环$M_2(F_p)$上的齐次权.我们还给出了有限链环$F_{p^2}+uF_{p^2}$上Lee重量的推广，其中$u^2=0$ .通过从$F_{p^2}$到$M_2(F_p)$的酉嵌入$τ$，构造了一个非交换环，记为$\mathcal{F}_{p^2}+\mathbf{v}_p \mathcal{F}_{p^2}$，$\mathbf{v}_p$是$M_2(F_p)$中的对合，它同构于$M_2(F_p)$，是一个左$F_{p^2}$ -向量空间. $\mathcal{F}_{p^2}$的元素来自$M_2(F_p)$，使得$τ(F_{p^2})=\mathcal{F}_{p^2}$。在$τ$中所需的不可约多项式$f(x)=x^2+x+(p-1) \in F_p[x]$限制了我们对赋予Bachoc权的$M_2(F_p)$上的循环码的研究，使其限于$p\equiv$ $2$或$3$ mod $5$的情况。这些码通过左$F_p$ -模等距的图像是赋予Lee重量的$F_{p^2}+uF_{p^2}$上的加性循环码。新的例子，这样的代码。
2017-06-29 cs.IT math.IT
Additive Polycyclic Codes over $\mathbb{F}_{4}$ Induced by Binary Vectors and Some Optimal Codes
本文研究了$\mathbb{F}_{2}^{n}.$中二元向量$a$诱导的加法右、左多环码的结构和性质，得到了这类码的生成多项式和基数.我们还研究了这些代码的不同类型。特别地，我们证明了如果$C$是由向量$a\in \mathbb{F}_{2}^{n}$诱导的右多环码，则$C$的Hermitian对偶是由$a.$诱导的序列码。我们给出了$\mathbb{F}_{4}$上的加性右多环码的例子，这些加性右多环码比相应的最优线性码具有更多的码字，以及由加性右多环码得到的最优二元线性码和最优量子码在$\mathbb{F}_{4}.$上
2021-08-20 cs.IT math.IT
Lexicodes over Finite Principal Left Ideal Rings
设R是有限主左理想环.通过环元素的全序和有序基，产生了模R^n的字典序。这用于建立贪心算法，该算法选择与先前选择的向量的所有线性组合满足预先指定的选择性质的向量，并将待构造的代码更新为迄今为止选择的向量的线性外壳。输出称为字典码。这个过程在前面的文献中讨论过域和链环。在本文中，我们调查的性质，这样的lexicodes在有限的主左理想环，并表明，环元素的总序必须尊重包容的理想，以使算法产生有意义的结果。只有这样，它才能保证算法是穷举的，从而产生的代码是最大的包含。它进一步说明了算法的输出很大程度上取决于总的排序和选择的基础。
2016-12-14 cs.IT math.IT math.RA
A Construction of Arbitrarily Large Type-II $Z$ Complementary Code Set
本研究针对I型Z互补码集码字数量受限的问题，利用扩展布尔函数、哈密顿路径性质与孤立顶点概念，构造出码字数量更多的II型$Z$互补码集，且可作为特例生成任意参数的互补码集。
2024-05-14 cs.IT math.IT
Group codes over fields are asymptotically good
群码是有限域上有限群的群代数中的右理想或左理想。根据Bazzi和Mitter关于二元域上群码的思想，我们证明了具有任意特征的有限域上的群码都是渐近好的。
2020-01-20 cs.IT math.CO math.IT
Codes over Affine Algebras with a Finite Commutative Chain coefficient Ring
我们考虑定义在仿射代数$\mathcal A=R[X_1,\dots,X_r]/\left\langle t_1(X_1),\dots,t_r(X_r)\right\rangle$上的码，其中$t_i(X_i)$是有限交换链环$R$上的一元多项式。即研究$\mathcal A^l$（$l\in \mathbb{N}$）的$\mathcal A-$子模块。这些码推广了多项式环上的有限阶元码和有限链环上的多元码。{Some Frobenius局部环上的非链环的码也是这种类型}。借助规范生成系统，给出了这类码的规范生成矩阵。也考虑了码的对偶性。
2017-09-16 cs.IT math.IT
Binary irreducible quasi-cyclic parity-check subcodes of Goppa codes and extended Goppa codes
Goppa码对于密码应用特别有吸引力。我们对Goppa码的知识的每一个改进都是特别有趣的。本文给出了$r$上不可约一元多项式$g(x)$满足$γg(x)=(x+d)^rg({A}(x))$的一个充要条件，其中$q=2^n$，$A=\left(\begin{array}{cc} a&b\\1&d\end{array}\right)\in PGL_2(\Bbb F_{q})$，$\mathrm{ord}(A)$是素数，$g(a)\ne 0$，$0\ne γ\in \Bbb F_q$ .并给出了次数为$2s$或$3s$的不可约多项式$g(x)$的完整刻画，其中$s$为正整数.此外，我们还构造了Goppa码和扩展Goppa码的一些二元不可约准循环奇偶检验子码。
2021-07-22 cs.IT math.IT
A Gröbner Approach to Dual-Containing Cyclic Left Module $(θ,δ)$-Codes over Finite Commutative Frobenius Rings
本文研究有限交换 Frobenius 环上斜多项式循环左模 $(θ,δ)$-码，利用 Gröbner 基推导奇偶校验矩阵并刻画 Euclidean/Hermitian 对偶包含条件。
2024-07-05 cs.DM cs.IT math.IT
Partial permutation decoding for binary linear and Z4-linear Hadamard codes
置换解码是一种涉及找到码$C$的置换自同构群的子集$S$（称为PD集）以便辅助解码的技术。本文描述了长度为$2^m$的二元线性Hadamard码$H_m$的部分置换译码的最小尺寸$\left \lfloor{\frac{2^m-m-1}{1+m}} \right \rfloor + 1$的$\left \lfloor{\frac{2^m-m-1}{1+m}} \right \rfloor$-PD-集的显式构造，对于所有$m\geq 4$.此外，还建立了一种递归构造，以从给定的$H_m$的相同大小的$s$-PD-集获得长度为$2^{m+1}$的$H_{m+1}$的大小为$l$的$s$-PD-集。这些结果被推广到寻找长度为$2^m$的（非线性）二元Hadamard码的$s$-PD-集，称为$\mathbb{Z}_4$ -线性Hadamard码，它作为长度为$2^{m-1}$的四元线性码的Gray映射图像而得到.
2016-04-30 cs.DM cs.IT math.IT
Self-Dual Skew Cyclic Codes over $\mathbb{F}_{q}+u\mathbb{F}_{q}$
本文给出了有限链环$\mathbb{F}_q+u\mathbb{F}_q$上Hermitian自对偶$Θ-$循环码和$Θ-$非循环码存在的条件.通过定义一个从$R=\mathbb{F}_q+u\mathbb{F}_q$到$\mathbb{F}_{q}^{2}$的Gray映射，证明了$R$上具有偶特征的奇长斜循环码$n$的Gray象等价于指数为$2$的$\mathbb{F}_q$上长为$2n$的斜准扭码.我们还扩展了Boucher和Ulmer的\cite{BF3}算法，利用$\mathbb{F}_q+u\mathbb{F}_q$上非交换多项式的最小左公倍数构造自对偶斜循环码.
2019-03-02 cs.IT math.IT
Skew cyclic codes over $\mathbb{F}_{p}+u\mathbb{F}_{p}$
本文研究了环$R=\mathbb{F}_{p}+u\mathbb{F}_{p}$上任意长度的斜循环码，其中$p$是奇素数，$% u^{2}=0$ .我们刻画了所有长度为$n$的斜循环码为$R_{n}=R[x;θ]/\langle x^{n}-1\rangle $的左$% R[x;θ]$ -子模.我们发现所有这些代码的生成多项式，并描述其最小生成集。此外，给出了环$R$上的斜循环码的编译码算法。最后，基于本文所发展的理论，我们给出了具有不同奇素数$p.$的$F_{p}$上具有好参数的码的例子。实际上，本文的例子25是一类新的准扭码。我们提供的其他示例是最优代码的示例。
2017-12-21 cs.IT math.IT
A Note on Hamming distance of constacyclic codes of length $p^s$ over $\mathbb F_{p^m} + u\mathbb F_{p^m}$
对于任何素数$p$，$λ$ -长度为$p^s$的常循环码恰好是局部环${\cal R}_λ=\frac{{\cal R}[x]}{\left\langle x^{p^s}-λ\right\rangle}$的理想，其中$u^2=0$ .本文首先研究了${\cal R}$上长度为$p^s$的循环码的汉明距离.确定了${\cal R}$上所有长度为$p^s$的循环码的最小汉明距离.此外，还建立了$α$ -长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码和$α$ -长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码之间的等距关系，其中$α$是$\mathbb{F}_{p^m}$的非零元素，它继承了关于$α$-长度为$p^s$ over ${\cal R}$的常循环码所对应的循环码的结果.
2016-12-12 cs.IT math.IT
On codes decoding a constant fraction of errors on the BSC
利用Kudekar等人的技术和结果，我们加强了第一作者所证明的在BEC上实现容量的线性码的重量分布的界限。特别是，我们证明了，对于任何双传递二进制线性码$C \subseteq \{0,1\}^n$率$0 < R < 1$与重量分布$\left(a_0,...,a_n\right)$持有$a_i \le 2^{o(n)} \cdot (1-R)^{-2 \ln 2 \cdot \min\{i, n-i\}}$。对于最小距离至少为$Ω\left(n^c\right)$，$0 < c \le 1$的双传递码，在这个界中$2^{o(n)}$的误差因子可以被去除，代价是用更小的常数$a = a(R,c) < 1- R$代替$1-R$.此外，在Reed-Muller码的特殊情况下，由于这些码的额外对称性，可以基本上没有成本地去除该误差因素。这意味着，对于速率为$R$且最小距离至少为$Ω\left(n^c\right)$的任何双传递码$C$，存在正常数$p = p(R,c)$，使得$C$在$p < p(R,c)$的情况下以高概率解码$\mathrm{BSC}(p)$上的错误。对于速率足够低（小于某个绝对常数）的双传递码，可以忽略对最小距离的要求，因此这个临界概率$p(R)$仅取决于$R$。此外，$p(R) \rightarrow \frac12$作为$R \rightarrow 0$。特别地，…
2020-08-25 cs.IT math.CO math.IT
Codes and Pseudo-Geometric Designs from the Ternary $m$-Sequences with Welch-type decimation $d=2\cdot 3^{(n-1)/2}+1$
本文首次通过编码理论方法，利用具有 Welch 型抽样的三元 $m$ 序列构造循环码及其对偶码，生成了 2-设计和 Steiner 系统，并证明其中一个 Steiner 系统不等价于射影空间的点线设计，从而构成伪几何设计。
2023-06-28 cs.IT math.IT
Dual skew codes from annihilators: Transpose Hamming ring extensions
本文提出了一个研究斜循环码对偶的框架。转置汉明环扩张是基于斜多项式环之间代数的反同构的存在性。我们的构造应用于左理想卷积码，斜常循环码和斜Reed-Solomon码，表明这些码的对偶属于同一类。
2018-03-01 cs.IT math.IT math.RA
The Probability of Primeness for Specially Structured Polynomial Matrices over Finite Fields with Applications to Linear Systems and Convolutional Codes
计算了有限域上具有一定结构的随机多项式矩阵分别是右素数或左素数的概率。特别地，我们给出了n个非奇异多项式矩阵互左互质的概率的一个渐近公式。这些结果被用来估计可达和可观测的线性系的数量以及非灾难性的卷积码的数量。此外，我们能够获得一个渐近公式的概率，并联线性系是可达的。
2017-04-06 cs.IT math.DS math.IT
Several classes of BCH codes of length $n=\frac{q^{m}-1}{2}$
本文研究长度为 $\frac{q^m-1}{2}$ 的负循环与循环 BCH 码，确定多类负循环 BCH 码的维数，并给出循环 BCH 码扩展码的重量分布及对偶码参数。
2024-06-29 cs.IT math.IT
Some punctured codes of several families of binary linear codes
有限域上函数线性码的两种一般构造在文献中得到了广泛的研究。第一个由$\mathcal{C}(f)=\left\{ {\rm Tr}(af(x)+bx)_{x \in \mathbb{F}_{q^m}^*}: a,b \in \mathbb{F}_{q^m} \right\}$给出，其中$q$是素数幂，$\bF_{q^m}^*=\bF_{q^m} \setminus \{0\}$，$\tr$是从$\bF_{q^m}$到$\bF_q$的跟踪函数，$f(x)$是从$\mathbb{F}_{q^m}$到$\mathbb{F}_{q^m}$的函数，其中有$f(0)=0$。第一种构造方法是利用$\bF_{2^m}$上的几乎Bent函数、二次函数和一些单项式，得到了许多具有较少权值的二元线性码族。本文研究了这类二进制码的一些删余码。本文得到了几类具有新参数和少重量的二元线性码。本文还提出了几类具有新参数的距离最优二元线性码。
2021-01-21 cs.IT math.IT
A Polynomial-Time Attack on the McEliece Cryptosystem on Elliptic Codes with Arbitrary Divisors
QApp
本文提出一种针对任意有效除子的椭圆码McEliece密码系统的多项式时间结构性攻击，利用三个已知点恢复整个除子，并优化为无需额外信息的版本，从而破坏该密码系统。
2026-09-17 cs.IT math.IT
On MDS Negacyclic LCD Codes
在线性码中，带互补码的线性码（LCD）具有重要的意义。最大距离可分离码（MDS）也是一类重要的线性码，因为它们在固定长度和维数下实现了最大的纠错和检测能力。同时具有LCD和MDS性质的线性码的构造是编码理论中的一个难题。本文研究了奇素数幂$q$元有限域上的非循环码MDS的LCD码的构造。构造了四类长度为$n|\frac{q-1}{2}$、$n|\frac{q+1}{2}$的MDS非循环LCD码和一类长度为$n=q-1$的MDS非循环LCD码.此外，我们还得到了五类长度为$n|\left( q-1\right)$的$q^{2}$元Hermitian MDS非循环LCD码和四类长度为$n=q^{2}+1.$的Hermitian非循环LCD码。对于欧氏和Hermitian情形，我们确定了这些码的维数，并确定了某些类的最小距离。对于其他情形，通过研究$q$和$q^{2}$ -分圆类，我们给出了最小距离的下界。
2018-09-10 cs.IT math.IT
