Finite almost simple groups whose Gruenberg--Kegel graphs coincide with Gruenberg--Kegel graphs of solvable groups
Ilya B. Gorshkov, Natalia V. Maslova
本文描述了所有有限几乎单群，其Gruenberg-Kegel图与有限可解群的Gruenberg-Kegel图重合.
In this paper we describe all the finite almost simple groups whose Gruenberg--Kegel graphs coincide with Gruenberg--Kegel graphs of finite solvable groups.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Gruenberg-Kegel graphs with four edges of finite solvable cut groups
本文证明了唯一具有四个边的Gruenberg-Kegel图是有限可解截群的Gruenberg-Kegel图，推动了该类图的分类研究。
On characterization by Gruenberg-Kegel graph of finite simple exceptional groups of Lie type
有限群$G$的Gruenberg-Kegel图$Γ(G)$是其顶点集是$|G|$的素因子集且其中两个不同顶点$r$和$s$相邻的图当且仅当在$G$中存在一个$rs$阶元素。如果只有有限个两两非同构的有限群具有Gruenberg-Kegel图作为$G$，则称有限群$G$几乎可识别（通过Gruenberg-Kegel图）。如果$G$不是几乎可识别的，则称之为不可识别的（根据Gruenberg-Kegel图）。最近，P. J. Cameron和第一作者证明了，如果一个有限群几乎可识别，那么这个群几乎是单的。因此，哪些几乎单群（特别是有限单群）几乎可识别的问题是最重要的。本文证明了：任何既不同构于${^2}B_2(2^{2n+1})$ with $n\geq1$，也不同构于$G_2(3)$，且Gruenberg-Kegel图至少有三个连通分支的有限李型单例外群几乎是可识别的.此外，无法识别组$ {^2}B_2(2^{2n+1})$，其中$n\geq1$和$G_2(3)$。
Characterization of groups $E_6(3)$ and ${^2}E_6(3)$ by Gruenberg--Kegel graph
有限群$G$的Gruenberg-Kegel图（或素图）$Γ(G)$定义如下。$Γ(G)$的顶点集是$G$阶的所有素因子的集合。在$Γ(G)$中，两个不同的素数$r$和$s$被看作是顶点，当且仅当在$G$中存在一个$rs$阶元素.假设$L\cong E_6(3)$或$L\cong{}^2E_6(3)$。证明了：若$G$是有限群，使得$Γ(G)=Γ(L)$，则$G\cong L$ .
Gruenberg-Kegel graphs: cut groups, rational groups and the Prime Graph Question
本文研究了有限可解切群和有理群的Gruenberg-Kegel图的分类与构造，解决了素数图问题，并对多个群类进行了完全分类。
On characterization of groups by isomorphism type of Gruenberg-Kegel graph
本文证明了有限单例外型群${^2}E_6(2)$和$E_8(q)$（$q$为若干特定值）可由其Gruenberg-Kegel图的同构类型唯一识别。
On the Gruenberg-Kegel Graph of Integral Group Rings of Finite Groups
素图问题询问整群环$\mathbb Z G$的Gruenberg-Kegel图，即$\mathbb Z G$的归一化单位群的素图是否与群$G$的素图重合。本文证明了对于有限群$G$，素图问题约化为几乎单群.我们将这一约化应用于阶至多可被三个素数整除的有限群$G$，并证明了这类群的Gruenberg - Kegel图与$G$的素图重合.
Criterion of unrecognizability of a finite group by its Gruenberg-Kegel graph
与有限群$G$相关联的Gruenberg-Kegel图$Γ(G)$的顶点是$|G|$的素因子，其边从$p$到$q$当且仅当$G$包含一个$pq$阶元素。这个图最近引起了人们的极大兴趣，我们的目标之一就是对其中的一些材料进行一个综述，这些材料与具有相同Gruenberg-Kegel图的群有关。然而，我们的主要目的是证明几个新的结果。其中包括：- 存在无穷多个有限群与一个有限群$G$的Gruenberg-Kegel图相同当且仅当存在一个具有非平凡可解根的有限群$H$使得$Γ(G)=Γ(H)$ . - 自然数上存在一个函数$F$，它具有如下性质：如果一个顶点由两两相异素数标号的有限$n$ -顶点图是多于$F(n)$有限群的Gruenberg-Kegel图，则它是无限多个有限群的Gruenberg-Kegel图. (The我们给出的函数满足$F(n)=O(n^7)$，但这可能不是最好的。）- 如果一个顶点为两两相异素数的有限图PDMATHAMBMY是仅有1/2个有限群的Gruenberg-Kegel图，则所有这样的群几乎是单的;而且，PDMATHAMBMY至少有3个两两不相邻的顶点，PDMATHAMBMZ至少与一个奇顶点不相邻. - 幂图或交换图同构的群具有相同的Gruenberg-Kegel图。- 群${^2}G_2(27)$和$E_8(2)$由它们的Gruenberg-Kegel图的同…
The Gruenberg-Kegel graph of finite solvable rational groups
本文完成了有限可解有理群的Gruenberg-Kegel图的分类，该图以整除群阶的素数为顶点，以群中存在pq阶元素为边连接不同素数p和q。
Realizing Gruenberg-Kegel graphs of $T$-solvable groups with structurally simplified extensions of $T$
本文研究了T-可解群的素数图补集，证明其可由可解群和准简单T-可解群作用于元素阿贝尔群的直积实现，并探讨了PSL(2,13)-可解群的素数图补集分类。
On the cut-set of the Gruenberg-Kegel graph of a finite solvable group
本文证明有限可解群的Gruenberg-Kegel图割集对应长度为5的受控σ-列，给出割点情形Fitting长度的最优上界，并刻画具有二元极小割集的图结构。
On combinatorial properties of Gruenberg--Kegel graphs of finite groups
本文研究有限群的Gruenberg-Kegel图（素图）的组合性质，证明了偶数阶群中与2不相邻的顶点构成团的并，并给出了强正则图及完全二部图（每部分大小至少3）能否作为有限群素图的判定条件。
The Gruenberg-Kegel graph of finite solvable groups that are character-quadratic or semi-rational
本文研究了特征二次或半有理有限可解群的Gruenberg-Kegel图结构，给出了不连通情况下的完全分类，并刻画了顶点数不超过3时的图列表。
Characterization of some alternating groups by order and the largest element order
有限群$G$的素图（或Gruenberg-Kegel图）是一种常见的图。本文首先研究了具有非完全素图的有限群的结构。然后证明了每一个交错群$A_{n}$，其中$n\leq20$或$n\in\{23,24\}$由它的阶和它的最大元阶决定.
Classification of non-solvable groups whose power graph is a cograph
Cameron，Manna和Mehatari研究了哪些有限群允许幂图是余图的问题，也称为幂余图群（Journal of Algebra 591（2022））。给出了幂零群的一个分类和一般群的部分结果。然而，作者指出了分类的数论障碍。当群被假定同构于PSL 2（q）或Sz（q）时，这些问题就出现了，并且很可能是困难的。在本文中，我们证明了这些数论问题实际上是唯一的障碍，分类的非可解幂余图群。特别地，对于不可解的情形，我们给出了幂余图群的一个分类，这类群同构于PSL 2（q）或Sz（q）。对于可解情形，我们能够精确地描述可解幂余图群的结构。给出了Gruenberg-Kegel图连通的可解幂余图群的一个完全分类。此外，我们减少的情况下，Gruenberg-Kegel图是断开的p-群的分类，允许不动点自由自同构的素数幂阶，这是在一般情况下，一个开放的问题。
Torsion units in integral group rings of Janko simple groups
利用Luthar-Passi方法，研究了Janko散在单群的整群环的正规化单位群的经典Zassenhaus猜想.由此得到Janko群$J_1$、$J_2$和$J_3$的Gruenberg-Kegel图与它们各自整群环的正规化单位群的Gruenberg-Kegel图相同.
Classification of finite Cθθ-groups with even order and its application
一个可被3整除的阶有限群，其中3-元的中心化子是3-子群，称为Cθθ-群。有限群G的素图（或Gruenberg-Kegel图）记为Γ（G）（或GK（G）），它是一个熟悉的图.也称Γ（G）的度序列为G的度模式，记为D（G）。本文首先对偶数阶有限Cθθ-群进行了分类。证明了存在无穷多个Cθθ-群具有相同的度模式.最后证明了单群PSL（2，q）和几乎单群PGL（2，q）（其中q > 9是3的幂）是由它们的度模式决定的.
The N-prime graph and the Subgroup Isomorphism Problem
本文引入群的N-素图（经典Gruenberg-Kegel图的细化），证明有限可解群与其整群环增广1单位群N-素图相同，将问题约化到几乎单群并验证特定几乎单群情形，还为可解群子群同构问题提供结果。
A classification of prime graphs of pseudo-solvable groups
有限群$G$的素图$Γ(G)$（也称为Gruenberg-Kegel图）的顶点是$|G|$的素因子，并且$p\text-q$是$Γ(G)$中的边当且仅当$G$有一个$pq$阶元素。自20世纪70年代开始，这些图被广泛研究;然而，完全分类更大的群族的可能素图仍然是一个困难的问题。对于可解群，这样的分类在2015年被发现。在本文中，我们超越了可解群的第一次和刻画素图的更一般的一类群，我们称之为伪可解。这些组的组成因子为循环或$A_5$。分类基于两个条件：顶点$\{2,3,5\}$在$\overlineΓ(G)$中形成三角形，或者$\{p,3,5\}$对于某个素数$p\neq 2$形成三角形。
The Prime Graphs of Groups With Arithmetically Small Composition Factors
我们继续研究有限群的素图，也称为Gruenberg-Kegel图。有限群的素图的顶点是群阶的素除子，两个顶点$p$和$q$由一条边连通当且仅当群中存在一个$pq$阶元.可解群的素图仅在图论术语中被刻画，就像唯一不可解合成因子是$A_5$的群的素图一样。本文对所有合成因子具有算术小阶数的群的素图进行了分类，即群的阶数中的素除子不超过3个。我们发现，所有这样的图有$3$ -可着色补充，我们提供了充分的刻画的基础上的确切类型和多重性的nonabelian合成因子的群的素图。
$\text{M}$, $\text{B}$ and $\text{Co}_1$ are recognisable by their prime graphs
有限群$G$的素图或Gruenberg-Kegel图是图$Γ(G)$，其顶点是$|G|$的素因子，其边是$G$包含一个$pq$阶元素的对$\{p,q\}$。有限群$G$可由其素图识别，如果每个具有$Γ(H)=Γ(G)$的有限群$H$与$G$同构.根据Cameron和Maslova的一个结果，每个这样的群必须几乎是单群，所以一个自然的研究案例是$G$是$26$散在单群之一。现有的工作的各种作者回答了问题的可识别性的主要图，但所有这些群体，即怪物，$\text{M}$，婴儿怪物，$\text{B}$，和第一康威组，$\text{Co}_1$。我们证明了这三个群体是可识别的，他们的素图。
On Difference of Enhanced Power Graph and Power Graph of a Finite Group
本文定义了有限群的增强幂图与幂图之差图$D(G)$，研究了其连通性与完美性，并揭示了差图与Gruenberg-Kegel图之间的若干联系。
The Prime Graphs of Some Classes of Finite Groups
本文研究了有限群的素图。有限群$G$的素图，也称为Gruenberg-Kegel图，是顶点集{素数整除$|G|$ }且边为$p$的图当且仅当$G$中存在$pq$阶元素。在有限群论中，研究群的素图是近半个世纪以来的一个重要课题。直到最近，可解群的素图才在图论术语中被刻画出来。在本文中，我们继续这条线的研究，并给出完整的几类群，包括群的平方自由秩序，亚幂零群，群的立方自由秩序，并为任何$n\in \mathbb{N}$，可解群的$n^\text{th}$ -幂自由秩序。我们还探讨了素图的合成因子是循环或$A_5$和绘制连接到一个猜想的Maslova。然后，我们提出了一个算法，从一个对偶素图恢复素图。
Clique complexes of groups and order sheaves
介绍有限群的团复形\(X_G\)，其\(1\) - 骨架以\(\Gamma_G\)为商，有限单群由其确定到同构。团复形可赋予序层，通过顶点链同调计算任意单纯复形同调，还计算了某些特殊群的序层系数团复形同调。
Prime and N-Prime graphs of solvable uniformly semi-rational groups
研究有限可解一致半有理群可实现的素图，通过对亚幂零群素图分类及引入MP*群，给出其素图完整分类，还得到该群在不同子类中可实现素图情况并对N-素图分类，解决了一致半有理群的素图问题。
A characterization of root classes of groups
一类群C在K的意义下是根。W. Gruenberg如果它在取子群下是闭的并且满足Gruenberg条件：对任意群X和任意因子在C中的次正规序列Z \leqslant Y \leqslant X，存在X的正规子群T使得T \leqslant Z和X/T \in C.我们证明了一类群是根当且仅当它在子群和笛卡尔圈积下闭。利用这个结果，我们还证明了：若C是在取商群下闭的群的非平凡根类，G = <A*B; H=K，φ>是两个具有φ-可分中心列的幂零C-群A和B的广义自由积，则G是剩余可解C-群.
On the Generation, Structure, and Symmetries of Minimal Prime Graphs
本文继续研究有限可解群的素图。有限群G的素图或Gruenberg-Kegel图具有由G的阶素除子组成的顶点和从素数p到q的边当且仅当G包含阶为pq的元素。自从2015年发现了可解群的素图的一个简单的纯图论特征以来，这些图已经从图论的角度进行了更详细的研究。在本文中，我们将探讨这些图的几个新的方面。我们刻画了正则同格图，研究了任意基图的同格图的自同构。然后，我们研究了最小素图在较大的顶点集上的一个新的正则图建设的基础图和证明结果的素数图的性质下的图的产品。最后，我们给出了从一个给定的极小素图得到一个新的极小素图的第一种不同于顶点复制的新方法。
OD-Characterization of Some Linear Groups Over Binary Field and Their Automorphism
有限群$G$的Gruenberg-Kegel图${\rm GK}(G)=(V_G, E_G)$是具有顶点集$V_G=π(G)$的简单图，$V_G=π(G)$是划分$G$的阶的所有素数的集合，并且使得两个不同的顶点$p$和$q$由边$\{p, q\}\in E_G$连接，如果$G$包含阶为$pq$的元素。顶点$p\in V_G$的度${\rm deg}_G(p)$是关联在$p$上的边的数目。在$π(G)=\{p_1, p_2,..., p_h\}$与$p_1< p_2< ... < p_h$的情况下，我们考虑$h$ -元组$D(G)=({\rm deg}_G(p_1), {\rm deg}_G(p_2),..., {\rm deg}_G(p_h))$，它被称为$G$的度模式。称群$G$是$k$ -fold OD-可刻画的，如果存在满足条件$(|H|, D(H))=(|G|, D(G))$的$k$-非同构群$H$.特别地，一个1重OD-可刻画群简称为OD-可刻画群。本文首先给出了二元域$L_n(2)$上射影特殊线性群的度模式，并证明了单群$L_{10}(2)$和$L_{11}(2)$是OD-可刻画的（定理\ref{10-11}）.还证明了自同构群${\rm Aut}(L_p(2))$和${\rm Aut}(L_{p+1}(2))$是OD-可刻画的（定理\ref{auto}），其中$2^…
Generalized non-coprime graphs of groups
设G是一个有限群，H \neq \{e\}是G的一个子群. G关于H的广义非互质图GAmma_{G,H}是以G - \{e \}\）为顶点集且两个不同顶点a和b相邻的简单无向图当且仅当\gcd（|a|，|b|）\neq 1和a \in H或b \in H，其中|a|是\in G的阶.本文研究了有限群的广义非互质图的若干图论性质，主要集中在循环群上。更具体地说，我们得到了循环群的广义非互质图是星形图、路图、圈图、无三角形图、完全二部图、完全图、单圈图、分裂图、无爪图、弦图或完美图的充要条件.然后我们证明，将群类扩大到所有有限的幂零群不会给我们带来新的图，但我们给出了EPPO群类（其中所有元素都具有素幂阶的群）作为对比行为的例子。我们的结论与连接的Gruenberg-Kegel图。
Several Quantitative Characterizations of Some Specific Groups
设$G$是一个有限群，$π(G)=\{p_1, p_2, \ldots, p_k\}$是$|G|$的素因子集合，其中$p_1<p_2<\cdots<p_k$ .定义了$G$的Gruenberg-Kegel图，记为${\rm GK}(G)$：它的顶点集是$π(G)$，两个不同的顶点$p_i$和$p_j$通过一条边相邻当且仅当$G$包含一个$p_ip_j$阶元素. ${\rm GK}(G)$中的顶点$p_i$的度用$d_G(p_i)$表示，$k$元组$D(G)=\left(d_G(p_1), d_G(p_2), \ldots, d_G(p_k)\right)$被称为$G$的度模式。此外，如果$ω\subseteq π(G)$是${\rm GK}(G)$的连通分支的顶点集，则整除$|G|$的最大$ω$ -数称为${\rm GK}(G)$的序分支。我们可以说，一个有限群的OD-刻画问题得到了解决，如果我们找到了与所研究的群具有相同阶和度模式的两两非同构有限群的个数。本文的目的是双重的。首先，我们完全解决了阶数不超过29的有限非阿贝尔单群的OD-刻画问题。特别地，我们证明了恰好有两个非同构的有限群具有与$U_4(2)$相同的阶和度模式。其次，证明了存在两个与$U_5(2)$具有相同阶分支的非同构有限群。
Criteria for Classifying Prime Graphs of PSL(2, q)-Solvable Groups
本文为PSL(2,q)-可解群提供素图分类准则，并首次对T属于大（可能无限）群族PSL(2,2^f)的T-可解群证明一般分类结果。
Prime simplicial complexes of finite groups
本文研究有限群的素单纯复形，证明其可识别性严格强于素图可识别性，并给出首个可由素单纯复形和谱识别但不能由素图识别的非直积群例，同时分类了若干无限族有限单群中的纯素单纯复形及极大单纯形大小至多为2的非交换有限单群。
Graphs defined on groups
这些注释涉及各种图的各个方面，这些图的顶点集是一个群$G$，并且其边以某种方式反映群结构（因此它们在$G$的自同构群的作用下是不变的）。我将讨论的图是幂图，增强幂图，深度交换图，交换图和非生成图，尽管我对零图和可解图进行了简短的讨论，并对更一般的图进行了一些评论。将讨论的方面包括诱导子图，禁止子图，连通性和自同构群。我们也可以询问由一个图中的边形成的图，但不是层次结构中较早的图中的边。我已经包括了一些结果的交图的子群的各种类型，这往往是在一个双重关系的其他图形之一考虑。另一个演员是Gruenberg-Kegel图，或素图，一组：这个非常小的图影响各种图定义的组。关于凯莱图我说得很少，因为（除了特殊情况）它们在$G$的自同构群下不是不变的。所有的图都有这样的性质，它们包含\emph{twins}，即具有相同邻居的顶点对（可能彼此保存）。相等或孪生是一种等价关系，图的自同构群在每一个孪生类上都有一个正规子群导出对称群。出于某些目的，我们可以合并双顶点，得到一个更小的图。继续下去，直到没有进一步的孪生子出现，结果是独立的约简，是$1$ -顶点图当且仅当原始图是一个\emph{cograph}。因此，我用一节讨论上图和孪生约化，另一节讨论自同构群的推论。对相关问题的讨论较为简短。
On quadratic rational Frobenius groups
本文分类了二次有理 Frobenius 群，证明其均为一致半有理群，并表明该类群与文献 [4] 研究的群类一致，从而完成了对二次有理群 Gruenberg-Kegel 图描述的关键一步。
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