The Tree Property up to $\aleph_{ω^2}$
Yair Hayut
从超紧基数的一个平稳集出发，我们找到了一个泛型扩张，其中树属性在$\aleph_2$和$\aleph_{ω^2}$之间的每一个正则基数上都成立。
Starting from a stationary set of supercompact cardinals we find a generic extension in which the tree property holds at every regular cardinal between $\aleph_2$ and $\aleph_{ω^2}$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Easton's theorem for the tree property below aleph_omega
从无穷多个超紧基数出发，证明了在每个基数$\aleph_n$，$1 < n <ω$上的树的性质与满足$2^{\aleph_n} > \aleph_{n+1}$，$n<ω$的$\aleph_ω$以下的任意连续函数是一致的.因此，树的性质对$\aleph_ω$以下的连续函数没有可证明的影响，除了在$κ^{++}$的树的性质意味着对每个无限$κ$都有$2^κ>κ^+$的限制。
The $\aleph_{0}$-categorical Trees and Cycle-free Partial Orders
我们提供了一个结构的描述$\aleph_0$ -范畴树和无圈偏序。首先研究了$\aleph_0$ -范畴树的最大分支，然后研究了其分支序的配置，并结合这两个方面给出了树是$\aleph_0$ -范畴树的充要条件.分类的$\aleph_0$ -范畴无圈偏序被发现作为一个推论。
Destructibility of the tree property at $\aleph_{ω+1}$
我们构造了一个模型，其中树属性在$\aleph_{ω+ 1}$中成立，并且在$\text{Col}(ω, ω_1)$下是可破坏的。另一方面，我们讨论了一些情况下，树的性质是在小的或封闭的强迫下不灭。
Specializing trees and answer to a question of Williams
我们证明了如果$cf(2^{\aleph_0})=\aleph_1,$，那么任何大小为$\leq 2^{\aleph_0}$的非平凡$\aleph_1$ -闭强制概念都是强制等价于增加$ω_1.$的新Cohen子集的$Add(\aleph_1, 1),$的Cohen强制。$ZFC$模型，其中$2^{\aleph_0}=\aleph_2$和所有$\aleph_1$ -大小的封闭强迫概念$\leq 2^{\aleph_0}$坍缩$\aleph_2,$，因此强迫等价于$Add(\aleph_1, 1).$这些结果回答了Scott Williams在1978年提出的一个问题。我们还推广了Todorcevic和Foreman-Magidor-Shelah的一个结果，证明了每一个添加$\aleph_2,$的新子集的偏序都是相容的，它使$\aleph_2$或$\aleph_3.$坍缩
Asymptotic Classes of Trees and $\aleph_0$-categoricity
本文引入树计划刻画树的 $\aleph_0$-范畴理论，证明相关 Fraïssé 类为渐近类，并刻画有限树超积及超简单有限秩树。
The special Aronszajn tree property at $\aleph_2$ and $GCH$
本文从弱紧基数出发构建了一个满足 $GCH$ 的通用扩张，证明了所有 $\aleph_2$-Aronszajn 树均是特殊的且不存在 $\aleph_2$-Souslin 树，从而回答了1970年代的著名开放问题。
Kurepa trees and spectra of $\mathcal{L}_{ω_1,ω}$-sentences
我们使用集合论的工具，使模型理论的贡献。特别地，我们构造了一个编码Kurepa树的\emph{single} $\mathcal{L}_{ω_1,ω}$ -语句$ψ$，证明了以下的一致性：（1）$ψ$的谱一致等于$[\aleph_0,\aleph_{ω_1}]$，也一致等于$[\aleph_0,2^{\aleph_1})$，其中$2^{\aleph_1}$是弱不可达的. (2)$ψ$的融合谱始终等于$[\aleph_1,\aleph_{ω_1}]$和$[\aleph_1,2^{\aleph_1})$，其中$2^{\aleph_1}$也是弱不可达的。这是第一个$\mathcal{L}_{ω_1,ω}$ -句子的例子，它的谱和合并谱都是右开和右闭的。它也为[18]中的一个问题提供了肯定的答案。(3)一致的，$ψ$在有限，可数和不可数的许多基数中具有极大模型。这补充了[1]和[2]中给出的具有可数多基数的最大模型的句子的例子。(4)$2^{\aleph_0}<\aleph_{ω_1}<2^{\aleph_1}$，并且存在一个$\mathcal{L}_{ω_1,ω}$ -语句，在$\aleph_{ω_1}$中有模型，但在$2^{\aleph_1}$中没有模型。这与Shelah的一个猜想有关，即如果$\aleph_{ω_1}<2^{\aleph_0}$，则任何具有大小为$\aleph_{ω_…
Property B: A Baumgartner-style Property that Applies to Preservation of $\aleph_1$ and $\aleph_2$ under Iterations with Supports of Size $\aleph_1$
本文研究了在支持大小为$\aleph_1$的迭代中保持$\aleph_1$和$\aleph_2$的性质B，扩展到其他满足$κ^{<κ}=κ$的基数，并引入了修正的完美集forcing。
Strong tree Properties for two successive cardinals
当$(κ, λ)$ -ITP对所有$λ\geq κ.$成立时，不可达基数$κ$是超紧的。我们证明了，如果存在一个具有两个超紧基数的$\ZFC$模型，则存在一个\ZFC模型，其中对所有的$μ\geq \aleph_2$和$μ'\geq \aleph_3.$，$(\aleph_2, μ)$-ITP和$(\aleph_3, μ')$-ITP同时成立
Global Square and Mutual Stationarity at the Aleph_n
我们证明了在Mitchell阶可测值o（kappa）=kappa^++以下的核心模型中的全局平方性质（最初由Jensen和Zeman得到的结果），Foreman和Magidor的互平稳性MS（Aleph_n（1<n<omega），Cof（omega_1））暗示了具有高Mitchell阶可测值的内部模型的存在。这个MS性质表明，Aleph_n的任何独立选择的静止子集序列S_n（具有固定的共尾性ω_1）在Aleph_omega以下相互静止。
On the weak Freese-Nation property of complete Boolean algebras
证明了下列结果：（a）在一个由aleph_2 Cohen实数相加得到的模型中，总有一个c.c.c.完全布尔代数，不具有弱Freese-Nation性质(b)模超紧基数的相容性强度，c.c.c.完全布尔代数不具有与GCH一致的弱自由国性质。(c)在0^#的否定的某些结果下，（P（omega），subseteq）的弱自由民族性质等价于C（kappa）或R（kappa）中任何一个的弱自由民族性质，对于不可数的kappa。(d)（aleph_{omega+1}，aleph_omega）-->（aleph_1，aleph_0）的模一致性，与GCH一致的是，（c）中的断言不成立，并且添加aleph_omega Cohen reals破坏了（P（omega），subseteq）的弱自由国家性质。
Successive failures of approachability
动机表明，在ZFC中，我们不能构建一个特殊的Aronszajn树的一些基数大于$\aleph_1$，我们产生了一个模型，其中的可接近性属性失败（因此没有特殊的Aronszajn树）在所有定期基数的间隔$[\aleph_2, \aleph_{ω^2+3}]$和$\aleph_{ω^2}$是强限制。
More Set-theory around the weak Freese-Nation property
本文引入了一个非常弱的平方原理，它比Foreman和Magidor提出的类似原理还要弱。利用H（χ）的初等子模型序列给出了这一原理的一个刻画.这反过来又被用来证明kappa-Freese-Nation性质下的非常弱的平方原理和奇异基数假设的一个弱变体的特征。这个特征的一个典型应用表明，在2^{ \aleph_0 }< \aleph_ω和我们对\aleph_ω的非常弱的平方下，偏序[omega_ω]^{<ω}（按包含排序）具有aleph_1-Freese-Nation性质。另一方面，我们证明了在张氏猜想下，上述偏序不具有aleph_1-Freese-Nation性质。因此，我们得到的独立性，我们的卡帕-Freese-Nation性质的表征，也从ZFC的非常弱的平方原则。
The Special Tree Number
定义特殊树编号，记为$\mathfrak{st}$，是高度为$ω_1$的树的最小尺寸，该树既不特殊也没有共尾分支。这红衣主教以前曾研究的背景下的片段$\mathsf{MA}$，但在本文中，我们看看它的关系，其他更典型的，红衣主教的特点。经典的事实意味着，$\aleph_1 \leq \mathfrak{st} \leq 2^{\aleph_0}$，根据马丁的公理$\mathfrak{st} = 2^{\aleph_0}$和$\mathfrak{st} = \aleph_1$是一致的$\mathsf{MA}({\rm Knaster}) + 2^{\aleph_0} = κ$的任何定期$κ$因此价值$\mathfrak{st}$是不决定的$\mathsf{ZFC}$，事实上可以严格低于基本上所有良好的研究基本特征。相反，我们证明了对于不可数共尾的$κ$，$\mathfrak{st} = 2^{\aleph_0} = κ$是相容的，而对于不可数共尾的${\rm non}(\mathcal M) = \mathfrak{a} = \mathfrak{s} = \mathfrak{g} = \aleph_1$，$\mathfrak{st} = 2^{\aleph_0} = κ$是相容的.尤其是$\mathfrak{st}$独立于Chichocolate图的左侧。证明涉及到深入研究的标准CC…
On the complexity of classes of uncountable structures: trees on $\aleph_1$
本文分析了在高阶Baire空间$ω_1^{ω_1}$的射影层次中的（特殊）Aronszajn树、Suslin树和Kurepa树类的复杂性.首先，我们将证明这些类都不具有Baire属性（除非它们为空）。此外，在$(V=L)$下，（a）Aronszajn树和Suslin树类是$Π_1^1$ -完全的，（b）特殊Aronszajn树类是$Σ_1^1$ -完全的，（c）Kurepa树类是$Π^1_2$ -完全的.我们实现这些结果，找到很好的定义减少映射子集$ω_1$ $X$树$T_X$，使$T_X$是在一个给定的树类$\mathcal T$当且仅当$X$是固定/非固定（取决于类$\mathcal T$）。最后，我们提出了CH模型，这些类具有较低的投影复杂度。
The strong tree property and weak square
我们证明了相对于$ω$的许多超紧基数，超树性质对所有$2 \leq n < ω$在$\aleph_n$是一致的，但在$\aleph_ω$有弱平方和很好的标度.
On the ideal $J[κ]$
从Gilton，Levine和Stejskalova最近的一篇论文中的一个问题的动机，我们得到了一个新的表征理想的$J[κ]$，从我们确认，$κ$ -Souslin树存在于各种感兴趣的模型。作为推论，我们得到对于任何整数$n$使得$\mathfrak b<2^{\aleph_n}=\aleph_{n+1}$，如果$\square(\aleph_{n+1})$成立，则存在一棵$\aleph_{n+1}$ -Souslin树.
The complexity of the index sets of $\aleph_0$-categorical theories and of Ehrenfeucht theories
我们分类的可计算性理论的复杂性的两个指标集类的一阶理论：我们表明，作为一个$\aleph_0$ -范畴理论的属性是$Π^0_3$ -完全的，和作为一个Escherichfeucht理论$Π^1_1$ -完全的属性。我们还证明了具有连续多模型的性质是$Σ^1_1$ -困难的。最后，作为推论，我们注意到只有可判定模型和只有可计算模型的性质都是$Π^1_1$ -完备的。
Reduced powers of Souslin trees
研究了$κ$ -Souslin树$T$与其约化幂$T^θ/\mathcal U$之间的关系.以前的工作从单电源$θ$的角度解决了这个问题，而在这里，开发了用于同时控制不同电源的工具。作为一个例子推论，我们得到了一个$\aleph_6$-Souslin树$T$和一个一致超滤子序列$\langle \mathcal U_n\mid n<6\rangle$的相容性，使得$ T^{\aleph_n}/\mathcal U_n$是$\aleph_6$ -Aronszajn当且仅当$n<6$不是素数.
On partial orderings having precalibre-$\aleph_1$ and fragments of Martin's axiom
定义了偏序的可数反链条件（ccc）性质，弱于precalibre-$\aleph_1$，并证明了限制于具有该性质的偏序类的Martin公理并不意味着$σ$连接的偏序的Martin公理.这回答了一个老问题的第一作者的相对强度马丁公理$σ$为中心的偏序连同断言，每一个Aronszajn树是特殊的。我们还回答了J. Steprans和S. Watson（1988）通过证明通过保持基数的强迫，可以破坏偏序的precalibre- $\aleph_1$性质，同时保持其ccc性。
Full Souslin trees at small cardinals
本文改进 Kunen 问题的已有结果，证明满 Souslin 树可在小基数上相容存在，并构造 $\aleph_3$ 棵满足任意可数棵乘积仍为 $\aleph_2$-Souslin 树的满 $\aleph_2$-树。
Minimal obstructions for normal spanning trees
Diestel和Leader刻画了连通图的特征，通过两类禁止子图可以得到一个正常的生成树.一类是Halin的$(\aleph_0,\aleph_1)$ -图：具有二分图$(\mathbb{N},B)$使得$B$不可数且$B$的每个顶点都有无限度的二部图.我们的主要结果是，在Martin公理和连续统假设失败的情况下，Diestel和Leader结果中的禁止的$(\aleph_0,\aleph_1)$ -图类可以被这样的图的一个单个实例替换。然而，在CH下，$(\aleph_0,\aleph_1)$ -图类包含次要的不可比元素，即二元型图和$\mathcal{U}$ -不可分图。假设CH，Diestel和领导人问是否每一个$(\aleph_0,\aleph_1)$ -图有一个$(\aleph_0,\aleph_1)$ -未成年人是不可分的或二进制类型，以及是否任何两个$\mathcal{U}$ -不可分的图形必然是对方的未成年人。对于这两个问题，我们构造的例子表明，答案是否定的。
Projective Determinacy from long Chang's Conjecture
考虑属性$(\aleph_{ω+ 1},\aleph_{ω+ 2},\ldots) \twoheadrightarrow (\aleph_1,\aleph_2,\ldots)$。这里我们将证明，这个性质加上广义连续统假设意味着投影确定性。这里特别有趣的是使用一个变量覆盖参数来证明鼠标反射的有限实例。我们相信这种方法也可以用于其他形式的张氏猜想。
On the consistency of the definable tree property on \aleph_1
本文证明了“H_{omega_1}上一阶可定义的每一棵ω_1树都有一个共尾分支”的等同性，且存在一个Pi^1_1反射基数.证明使用了一个关于aleph_1的拉姆齐定理的可定义版本，该定理再次与Pi^1_1反射基数等相容。我们还证明了除了$MA$的可定义树属性增加的一致性强度的弱紧基数。最后，我们评论推广到更高的基数。
The first omega alephs: from simplices to trees of trees to higher walks
本工作的出发点是Barry Mitchell的1972年定理，即$\aleph_n$的上同调维数是$n+1$。我们记录了一个新的证明和温和的加强这一定理;我们更根本的目的，虽然，是一些澄清的高维无穷组合躺在其核心。在这项工作的过程中，我们描述了简单的特征的序数$ω_n$，高维推广的连贯Aronszajn树，基地的关键逆系统在大指数集，非平凡的$n$ -连贯家庭的功能，和高维推广的部分Todorcevic的散步技术。这些构造和论证完全在$\mathsf{ZFC}$框架内进行;其核心是一种简单的、可重复的复合$C$序列的技术。
Canonical models for aleph_1 combinatorics
我们定义了集合论的一个陈述phi的Pi_2-紧性，粗略地说，phi对aleph_1的组合数学的影响的核心可以被隔离在陈述phi的一个规范模型中.我们证明了下列陈述是Pi_2-紧的：“控制数= aleph_1”，“贫乏理想的共尾性= aleph_1 "，”零理想的共尾性= aleph_1“，各种类型的Souslin树的存在性以及测度和范畴一致性的变化= aleph_1.指出了集合论经典命题中几种重要的新的元数学模式。
Strong Tree Properties for Small Cardinals
当（kappa，lambda）-ITP对所有大于或等于kappa的lambda成立时，一个不可达基数kappa是超紧的.证明了如果存在一个具有无穷多个超紧基数的ZFC模型，则存在一个ZFC模型，其中对每一个自然数n大于1和每一个序数μ大于或等于aleph_n，我们有（aleph_n，mu）-ITP.
Shelah's conjecture fails for higher cardinalities
本文构造编码 $\aleph_{α+1}$-Kurepa 树的 $\mathcal{L}_{ω_1,ω}$-语句，证明在更高基数版本中局部 Hanf 数可不存在，并给出非绝对的合流谱。
More notions of forcing add a Souslin tree
$\aleph_1$ -Souslin树是一种复杂的组合对象，其存在性不能仅根据ZFC来判定.但是，在Tennenbaum和Jech独立地设计出引入这样一棵树的强迫概念15年后，Shelah证明了已经是最简单的力迫概念-- Cohen强迫--增加了一棵$\aleph_1$ -Souslin树。在本文中，我们确定了一个相当大的一类强迫的概念，假设一个GCH型的假设，添加一个$λ^+$ -Souslin树。这类包括Prikry、Magidor和Radin强迫。
The Strong and Super Tree Property at Successors of Singular Cardinals
该研究聚焦奇异基数后继的强树性质与ITP（超树性质），构造通用力迫类，推广Neeman的结果，证明多种基数组合下两类性质同时成立的一致性，推进了同时在多个相继基数上获得两类树性质的问题研究。
Sealed Kurepa Trees
本文研究了 Kurepa 树的分配性问题，证明了存在添加分支而不崩塌基数的一致性，并推导出一个 proper forcing 概念，能在不崩塌 $\aleph_1$ 和 $\aleph_2$ 的情况下将任意 Kurepa 树转化为非分配树。
Tree property at successor of a singular limit of measurable cardinals
设$λ$是$η$超紧基数的奇异极限，其中$η\leq λ$是极限序数.本文提出了两种使$λ^+$成为第一个$η$可测基数的极限的后继者的强制方法，同时树的性质保持在$λ^+.$上。第一种方法是在同样的假设下，当$SCH$在$\aleph_{η^2}$失效时，得到树在$\aleph_{η^2+1}$上的性质。这推广了Neeman和Sinapova的结果。第二种方法也被用来得到任意奇异基数的后继树性质，推广了Magidor-Shelah，Neeman和Sinapova的一些结果.
Tree Properties at Successors of Singulars of Many Cofinalities
本研究利用多个超紧基数，证明树性质可在多个不同共尾性的奇异基数小后继上相容成立，构造了特定基数上树性质成立的模型，并将结果推广到强树性质及不可数长共尾序列情形。
Siblings of an $\aleph_0$-categorical relational structure
关系结构$R$的兄弟是可以嵌入到$R$中的任何结构$S$，反之亦然，其中可以嵌入$R$。令$sib(R)$为$R$的兄弟节点数，这些兄弟节点被计数直到同构。Rassé指出，对于至多由可数个关系组成的可数关系结构，$sib(R)$要么是$1$，可数无限，要么是连续统的大小;但当$R$是一棵可数树时，即使显示特殊情况$sib(R)=1$或无限也是不确定的。这与Bonato-Tardif猜想有关，Bonato-Tardif猜想断言对于每棵树$T$，作为$T$兄弟的树的数量是1或无限。证明了如果$R$是可数的，而$\aleph_{0}$是范畴的，则$sib(R)$确实是一或无限的.此外，$sib(R)$是一个当且仅当$R$在Hodkinson和Macpherson的意义下是可分的。我们证明中的关键工具是Pouzet和Thiéry 2013在一篇论文中引入的关系结构的单态分解的概念，并由Oudrar和Pouzet 2015进一步研究，以及Frasnay 1984的结果。
Cofinalities of elementary substructures of structures on aleph_omega
设0<n^* < omega and f:X->n^*+1是一个函数，其中X subseteq omega反斜杠（n^*+1）是无穷大。考虑以下集合S_f= {x子集aleph_omega：|x| <= aleph_{n^*} &（对于X中的所有n）cf（x cap alpha_n）= aleph_{f(n)} }。这个问题首先由鲍姆加特纳提出，即S_f在[alpha_omega]^{< aleph_{n^*+1} }中是否平稳。根据一个标准的结果，上述问题也可以被重新表述为某种转移性质。也就是说，S_f是平稳的当且仅当对任意结构A=< aleph_omega，. >有一个B prec A使得|B| = aleph_{n^*}，对于X中的所有n，我们有cf（B cap aleph_n）= aleph_{f(n)}。在本文中，我们将证明有关上述问题的几个结果。
Strong Tree Properties at Successors of Singular Cardinals
证明了强紧基数的奇异极限的后继具有强树性质。我们还证明了aleph_{omega+1}能够一致地满足强树性质。
Many simple cardinal invariants
对于ω ^ω中的g < f，我们定义c（f，g）为覆盖一个具有f-分裂的均匀树所需的具有g-分裂的均匀树的最少数量。我们表明，我们可以同时迫使aleph_1许多不同的值为不同的功能（f，g）。用布拉斯的话来说：可能有许多明显的一致的Pi ^[0_1]特征。
Stationary Reflection and the Failure OF SCH at $\aleph_{ω_1}$
针对Ben-Neria、Hayut和Unger的问题，本文以不可数多个超紧致基数存在为假设，证明了ℵ_{ω₁}是强极限且2^ℵ_{ω₁}>ℵ_{ω₁+1}、ℵ_{ω₁+1}的每个驻集都反射的一致性，实现了驻集反射与SCH在ℵ_{ω₁}处失效的结合。
Squares and narrow systems
狭义系统是由Magidor和Shelah在奇异基数的后继树性质的工作中引入的组合对象。类似于树的性质，基数$κ$满足\emph{narrow system property}，如果每个高度的窄系统$κ$都有一个共尾分支。本文研究了狭义系统性质、平方原理和强迫公理之间的联系。在大基数的假设下，证明了$\aleph_{ω+1}$满足狭义系统性质与$\square_{\aleph_ω, < \aleph_ω}$成立是相容的，并且每个正则基数满足狭义系统性质也是相容的.我们介绍了自然加强经典平方原则，并展示了它们如何可以用来产生狭窄的系统，没有共尾分支。最后，我们表明，适当的强制公理意味着，每一个窄系统的可数宽度有一个共尾分支，但与存在一个窄系统的宽度$ω_1$没有共尾分支是一致的。
A cardinal trichotomy for topological equivalence classes of countable trees
针对可数树，研究其拓扑等价类基数，证明基数三分法：每个可数树的拓扑等价类基数要么可数、要么为连续统，并给出基于Schmidt秩的良基递归描述。
Partial orderings with the weak Freese-Nation property
称一个偏序P具有弱自由国性质（WFN），如果存在映射f：P -> [P]^{<= aleph_0}使得对P中的任意a，b，如果a <= b，则存在c在f（a）cap f（b）中使得a <= c <= b.本文研究了WFN及其推广。具有WFN的BA类的一些特征似乎对集合论的附加公理非常敏感：例如，在CH下，每个ccc cBA都具有此属性，而在b >= aleph_2下，WFN不存在cBA。
The tree property at successors of singular cardinals
假设一些大基数，得到了ZFC的模型，其中aleph_{omega+1}不携带Aronszajn树。还证明了如果λ是强紧基数的奇异极限，则λ ^+不携带Aronszajn树。
Club Stationary Reflection and other Combinatorial Principles at $\aleph_{ω+2}$
本文研究可数共尾性奇异基数双后继上的树性质与俱乐部驻留反射，构造了满足这些性质的模型，并证明一类满足关联假设的偏序集保持俱乐部驻留反射。
Note on the Splitting Property in Strongly Dense Posets of Size $\aleph_0$
该研究指出并非所有可数无限强密集偏序集都具有分裂性质，反驳了此前提出的猜想。
Ray inflations of $ω_1$-trees and ends of degree $\aleph_1$
该研究针对ω₁-树的射线膨胀，证明了两类图的细分或子图同构性结论，并在◇公理下构造了哈林端度猜想的反例。
Uniformization of ladder system colorings and stationary precaliber forcings
本文研究了梯子系统染色均匀化变体与 Martin 公理片段的关系，提出了平稳预 caliber $\aleph_1$ 性质的力迫公理，并证明了其与 $σ$-链接偏序集力迫公理的分离。
Universal wide Aronszajn tree
本文在弱紧致基数一致性假设下，证明存在一棵包含所有宽 Aronszajn 树同构副本的通用宽 Aronszajn 树。
Chang's conjecture may fail at supercompact cardinals (submitted)
我们证明了一个修订版本的拉弗的不灭性定理略有改进的经典结果。当$κ$是超紧的时，应用程序产生$(κ^+,κ)\notcc(\aleph\_1,\aleph\_0)$的一致性。实际证明表明，$ω\_1$ -回归Kurepa-树在超紧基数上是一致的，即使${\rm MM}$在所有正则基数上破坏了它们。这个相当矛盾的事实与一般的直觉相矛盾。
Topology, Metric Spaces and the Generalized Continuum Hypothesis
这篇论文的目的是用Baire范畴来解释集合的基数，即在集合本身变得可以忽略之前，可以从集合中删除多少个闭无处稠密集。.为了做到这一点，引入了自然树理论结构，如Baire拓扑，并将Baire范畴定理扩展为一个陈述，即具有基数$\aleph$的闭合基并且没有孤立点或离散点的Hausdorff拓扑空间的$\aleph$ -顺序完全二叉树表示不是$<\aleph+1$ -基数$\aleph\ge\aleph_{0}$的许多无处稠密子集的并集，其中$\aleph$ -序列完备拓扑空间是这样的空间，其中每个函数$f:\aleph\rightarrow\{0.1\}$使得$(\forall x)(x\in f\rightarrow x\in\in X)\rightarrow(f\in X)$。它表明，如果$\aleph<\left|X\right|\le2^{\aleph}$为$\left|X\right|$的集合$X$的基数，那么它是可能的，以迫使$\left|X\right|-\aleph\times\left|X\right|\ne\emptyset$通过删除一个稠密序列的$\aleph$特别选择的闭集，而如果任何稠密序列的$\aleph+1$闭集被删除，然后$\left|X\right|-(\aleph+1)\times\left|X\right|=\emptyset$。这就产生了基数的…
Degrees of the finite model property: the antidichotomy theorem
本文引入有限模型性质程度概念，证明直觉主义命题演算扩张的 fmp 程度可实现为任意非零基数 κ≤ℵ₀ 或 κ=2^ℵ₀，并借助 Blok-Esakia 定理将该反二分结果推广到 S4 和 K4 的正规扩张。
On the canonical base property
我们给出了一个有限秩的例子，实际上aleph-1范畴理论的CBP（典型的基础属性）不成立。我们包括一个“类组”的例子。我们还证明，在有限的Morley秩的情况下，如果所有可定义的伽罗瓦群是“刚性”的理论CBP（在一个强意义上）。
On the absoluteness of $\aleph_1$-freeness
$\aleph_1$ -自由群，即每个可数子群都是自由的阿贝尔群，表现出许多有趣的代数和集合论性质。本文给出了交换群$\aleph_1$ -free的性质是绝对的，即如果阿贝尔群$G$在ZFC的某个传递模型$\textbf{M}$中是$\aleph_1$ -free的，则它在ZFC的任何包含$G$的传递模型中是$\aleph_1$ -free的. $\aleph_1$ -free的绝对性有如下显著的结果：阿贝尔群$G$在ZFC的某个传递模型中是$\aleph_1$ -free的当且仅当它在某个模型扩张中是（可数的和）free的.这个集合论的刻画将是进一步探索$\aleph_1$ -自由群的集合论性质和代数性质之间关系的出发点。特别是，本文将演示如何证明可能会大大简化使用模型扩展$\aleph_1$ -自由群。
Remarks on a paper by Juhász and Kunen
我们给出了一个等价的，但更简单的公理SEP介绍Juhasz和Kunen制定。我们的公式表明，许多后果的弱自由民族属性的$\mathcal P(ω)$已经遵循SEP。我们表明，这是一致的，SEP举行，而$\mathcal P(ω)$未能有$(\aleph_1,\aleph_0)$ -理想的属性，这已经介绍了哈特和道。这回答了Fuchino和Kunen独立提出的一个问题。我们还考虑了一些自然的变体，SEP和某些变化的定义SEP不会导致不同的原则。这回答了布拉斯提出的一个问题。
Noetherian Properties, Large Cardinals, and Independence Around $\aleph_ω$
研究了拓扑空间的Noetherian性质与大基数之间的关系，并探讨了多个拓扑和组合原理在ZFC + GCH下的独立性。
The Cardinality of the second uniform indiscernible
当第二个一致不可分辨的是$\aleph_{2}$时，马丁-索洛维树只构造可数的实数;这解决了描述集合论中的一些悬而未决的问题。
On Shelah's Approachability Ideal
该研究解决了Shelah关于可逼近理想I[κ^+]的长期开放问题，构造ZFC模型使可逼近性质在奇异基数上同时失效，为Foreman和Magidor的问题提供重要进展。
The Joint Embedding Property and Maximal Models
我们引入了一个“纯”抽象初等类的概念来阻止平凡的反例。我们研究了二部图的模型类，并证明了：主要定理（参见。定理3.5.2和推论3.5.6）：如果$(λ_i : i \le α<\aleph_1)$是一个严格递增的可特征化基数序列（定义2.1），其模型满足JEP $(<λ_0)$，则存在一个$L_{ω_1,ω}$ -语句$ψ$，其模型形成纯AEC，并且（1）$ψ$的模型满足JEP $(<λ_0)$，而JEP对所有较大的基数都失败，AP对所有无限基数都失败。(2)对于所有的$i \le α$，在$λ_i^+$中存在$ψ$的$2^{λ_i^+}$非同构最大模型，但在任何其他基数中不存在最大模型;（3）$ψ$具有任意大的模型.特别地，这表明JEP的Hanf数和具有洛文海姆数$\aleph_0$的纯AEC的最大值的Hanf数至少为$\beth_{ω_1}$。我们表明，虽然AP $(κ)$为每个$κ$意味着完整的融合属性，JEP $(κ)$为每个κ并不意味着完整的联合嵌入属性。我们表明，本文的主要组合设备不能用于扩展的主要定理，一个完整的句子。
Classical Namba forcing can have the weak countable approximation property
该研究从不可达基数出发证明经典Namba力迫可具有弱$\omega_1$-逼近性质，推导了$\mathsf{MM}$下相关猜测模型的存在性，解决了Cox、Krueger及Adolf等人的多个集合论力迫相关问题。
The super tree property at the successor of a singular
对于不可访问的基数$κ$，当且仅当$κ$是超紧凑的时，$κ$处的超级树属性（ITP）成立。然而，就像树属性一样，它可以在继任者红衣主教。我们证明了ITP在$ω$极限的后继上保持许多超紧基数.然后我们证明了它可以始终保持在$\aleph_{ω+1}$。我们还考虑了一个更强的原则，ISP，和它的某些较弱的变化。我们确定ISP的哪一个水平可以保持在一个奇异的继任者。这些结果适用于测试宇宙中可以存在多少紧致性的广泛程序，并在较小的基数上获得大基数型性质。
Diagonal supercompact Radin forcing
出于构建一个模型的目标，其中没有$κ$ -Aronszajn树的任何定期$κ>\aleph_1$，我们产生了一个模型与许多奇异基数的奇异基数假设和弱平方失败。
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