On partial orderings having precalibre-$\aleph_1$ and fragments of Martin's axiom

A Generalization of Martin's Axiom

We define the $\aleph_{1.5}$ chain condition. The corresponding forcing axiom is a generalization of Martin's Axiom and implies certain uniform failures of club--guessing on $ω_1$ that don't seem to have been considered in the literature before.

Martin公理与实数的Delta^2_1良序

Martin's Axiom and Delta^2_1 well-ordering of the reals

假设有一个不可达基数kappa，则存在一个泛型扩张，其中MA + 2^{aleph_0} = kappa成立，并且实数具有Delta^2_1良序。

关于可接近性理想的反思的一些结果

Some consequences of reflection on the approachability ideal

我们在奇异κ以下正则基数的大基数性质的背景下研究了可逼近理想I[κ^+].作为一个指导性例子，考虑可逼近理想I[ \aleph_{ω+1} ]，假设\aleph_ω是强极限。在这种情况下，我们得到俱乐部的许多点在\aleph_{ω+1}的共尾性\aleph_n的一些n>1是可接近的假设联合反射的可数家庭的平稳子集的\aleph_n。这个反射原理在Martin极大值下对所有n>1成立，并且对每个n>1都是等相容的，其中\aleph_n在L中是弱紧的。这表征了马丁极大值模型中的可逼近理想I[ \aleph_{ω+1} ]的结构。

梯级饱和与力迫公理

Echeloned saturation and forcing axioms

针对Paul Larson的问题，研究结合不同力迫公理与集合论假设，证明特定条件下ℵ₁上无弱Laver理想，以及Baumgartner公理下ℵ₂上无Laver理想。

马丁公理与$ω_1^2 \to (ω_1^2, 3)^2$

Martin's axiom and $ω_1^2 \longrightarrow (ω_1^2, 3)^2$

该研究从CH和Hajnal着色出发，通过σ-中心力迫的有限支持迭代构造出满足$MA_{ω_1}$（σ-中心）等条件且$ω_1^2\nrightarrow(ω_1^2,3)^2$成立的模型，同时提出并证明了相关力迫保持原理。

第二个均匀不可分辨的基数

The Cardinality of the second uniform indiscernible

当第二个一致不可分辨的是$\aleph_{2}$时，马丁-索洛维树只构造可数的实数;这解决了描述集合论中的一些悬而未决的问题。

Some infinitely generated non projective modules over path algebras and their extensions under Martin's Axiom

In this paper it is proved that, when $Q$ is a quiver that admits some closure, for any algebraically closed field $K$ and any finite dimensional $K$-linear representation $\mathcal{X}$ of $Q$, if ${\rm Ext}^1_{KQ}(\mathcal{X},KQ)=0$ then $\mathcal{X}$ is projective (Theorem 1.10). In contrast, we show that if $Q$ is a specific quiver of the type above, then there is an infinitely generated non-projective $KQ$-module $M_{ω_1}$ such that, when $K$ is a countable field, $\operatorname{\sf MA}_{\aleph_1}$ (Martin's Axiom for $\aleph_1$ many dense sets, which is a combinatorial axiom in set theory…

${\sf MM}^{++}$ implies $(*)$

We show that Martin's Maximum${}^{++}$ implies Woodin's ${\mathbb P}_{\rm max}$ axiom $(*)$. This answers a question from the 1990's and amalgamates two prominent axioms of set theory which were both known to imply that there are $\aleph_2$ many real numbers.

Weak diamond and Galvin's property

We prove that the Devlin-Shelah weak diamond implies Galvin's property. On the other hand, Galvin's property is consistent with the negation of the weak diamond, and even with Martin's axiom. We show that the proper forcing axiom implies a relative to the negation of Galvin's property for $\aleph_1$.

梯子系统染色的均匀化与平稳预 caliber 力迫

Uniformization of ladder system colorings and stationary precaliber forcings

本文研究了梯子系统染色均匀化变体与 Martin 公理片段的关系，提出了平稳预 caliber $\aleph_1$ 性质的力迫公理，并证明了其与 $σ$-链接偏序集力迫公理的分离。

针对 $\aleph_1$ 规模偏序集的真力迫公理、$ω_1$-链式对称真力迫与连续统的大小

The proper forcing axiom for $\aleph_1$-sized posets, $ω_1$-linked symmetrically proper forcing, and the size of the continuum

本文证明针对 $\aleph_1$ 规模偏序集的真力迫公理与任意大的连续统相容，并进一步构造模型同时满足 Martin's Maximum 及多种组合原则。

反射与递归

Reflection and Recurrence

本文研究结构性反射原则与递归公理对 ZFC 的扩展，提出其极大一致组合 Laver-generic Maximum（LGM），将连续统确定为 aleph_2 并整合多种已知独立陈述。

Baer-Specker群的自反子群与Martin公理

Reflexive subgroups of the Baer-Specker group and Martin's axiom

在最近的两篇论文（math.LO/0003164和math.LO/0003165）中，我们回答了埃克洛夫和麦克勒在书中提出的一个问题（第455页，问题12），这个问题是在diamondsuit_{aleph_1}的集合论假设下提出的，这个假设在集合论的许多模型中都成立，分别是特殊的连续统假设（CH）。对象是可数主理想整环R上的自反模，R不是域。根据H.Bass，R-模G是自反的，如果赋值映射s：G -> G^{**}是同构。这里G^*=Hom（G，R）表示G的对偶模.我们证明了无限秩自反R-模G的存在性，并且G不与G+R重合，这为上述问题提供了（甚至本质上不可分解的）反例。CH是找到“nasty”自反模的必要条件吗？在本文的最后一部分，我们将证明（假设超紧基数的存在），大自反模总是有大的和项。因此，至少本质上不可分解需要一个额外的集合论假设。然而，如本文第一部分所示，假设不一定是CH。我们将使用马丁公理找到具有上述分解的自反模，它们是贝尔-斯派克模R^omega的子模。