Probabilistic Solutions To Ordinary Differential Equations As Non-Linear Bayesian Filtering: A New Perspective
我们将常微分方程（ODE）解的概率数值近似表示为具有非线性测量函数的高斯过程（GP）回归问题。这是通过定义测量序列来实现的，该测量序列由GP的导数与在GP处评估的向量场之间的差的观测值组成-这些观测值在ODE的解处均为零。当GP具有状态空间表示时，问题可以简化为非线性贝叶斯滤波问题，并且所有广泛使用的贝叶斯滤波和平滑问题的近似都变得适用。此外，所有以前的基于GP的ODE求解器，制定在生成合成测量的梯度场出来作为特定的近似。基于本文提出的非线性贝叶斯滤波问题，我们开发了新的高斯求解器，我们建立了良好的稳定性。此外，非高斯近似的滤波问题推导出的粒子滤波器的方法。所得到的求解器进行了比较与其他概率求解器在说明性实验。
2019-04-24 stat.CO stat.ME stat.ML
Proximal Implicit ODE Solvers for Accelerating Learning Neural ODEs
University of Utah（犹他大学）；University of California, Los Angeles（加州大学洛杉矶分校）；Illinois Institute of Technology（伊利诺伊理工学院）；University of California, Irvine（加州大学欧文分校）；Scientific Computing and Imaging (SCI) Institute（科学计算与成像研究所）
学习神经常微分方程通常需要解决非常僵硬的常微分方程系统，主要是使用显式自适应步长常微分方程求解器。这些求解器在计算上是昂贵的，需要使用微小的步长来保证数值稳定性和精度。本文考虑使用不同阶数的隐式ODE求解器利用邻近算子学习神经ODE。近似隐式求解器由内部-外迭代组成：内迭代使用快速优化算法近似每个隐式更新步骤，而外迭代随时间求解ODE系统。近似隐式常微分方程求解器保证了在数值稳定性和计算效率方面优于显式求解器。我们在各种具有挑战性的基准任务上验证了近端隐式求解器相对于现有流行神经ODE求解器的优势，包括学习连续深度图神经网络和连续归一化流。
2022-04-19 cs.LG cs.NA math.NA
Modelling pathwise uncertainty of Stochastic Differential Equations samplers via Probabilistic Numerics
本研究将概率ODE求解器方法拓展至SDE，通过布朗运动分段可微近似将SDE转为随机ODE序列，得到路径概率解，证明了收敛阶并实现边际化精确转移密度计算，数值验证了弱收敛特性。
2025-03-04 cs.NA math.NA stat.CO
A Probabilistic State Space Model for Joint Inference from Differential Equations and Data
University of Tübingen（图宾根大学）；Max Planck Institute for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）
具有微分方程的机理模型是机器学习的科学应用的关键组成部分。在这种模型中的推断通常需要计算，因为它涉及到反复求解微分方程。这里的主要问题是数值求解器很难与标准推理技术相结合。最近的工作在概率数值已经开发了一类新的求解器的常微分方程（ODE），短语的解决方案的过程中直接在贝叶斯滤波。我们在这里表明，这使得这种方法可以非常直接地结合起来，概念和数值上的方便，在常微分方程本身的潜在的力模型。然后，可以在扩展卡尔曼滤波器/平滑器的单个线性复杂度通道中对潜在力以及ODE解执行近似贝叶斯推断-也就是说，以计算单个ODE解为代价。我们通过对COVID-19爆发数据的非参数SIRD模型进行训练，展示了该算法的表现力和性能。
2022-07-05 cs.LG stat.ME stat.ML
Stable and Scalable Probabilistic Numerical Solvers for Stiff and High-Dimensional ODEs
EPFL（瑞士联邦理工学院）
针对刚性和高维常微分方程，提出两种互补策略：无矩阵更新步骤实现线性扩展，以及迭代重线性化提升稳定性，从而开发出稳定且可扩展的概率求解器。
2026-06-06 cs.LG cs.NA math.NA
On solving Ordinary Differential Equations using Gaussian Processes
我们描述了一套基于高斯过程的方法，可以用来解决非线性常微分方程。我们提出了一个显式的概率求解器和两个隐式的方法，一个类似于Picard迭代和其他梯度匹配。所有方法都比以前提出的高斯过程方法具有更高的精度。我们还提出了一个通用的方法，可以从任何标准的ODE求解器产生误差估计。
2014-08-17 cs.NA math.NA stat.CO
Propagating Model Uncertainty through Filtering-based Probabilistic Numerical ODE Solvers
Institute of Science and Technology Austria（奥地利科学与技术研究所）；Lund University（吕勒欧大学）；Tübingen AI Center, University of Tübingen（图宾根人工智能中心，图宾根大学）
针对ODE滤波器无法自动传播动力系统参数不确定性的问题，提出结合ODE滤波器与数值积分的新方法，可同时量化参数与数值不确定性，实验验证其估计结果与参考解高度吻合，且能避免大步长下的过度自信问题。
2025-10-01 cs.LG cs.NA math.NA
torchode: A Parallel ODE Solver for PyTorch
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
我们为PyTorch生态系统引入了一个ODE求解器，它可以独立地并行求解多个ODE，同时实现显着的性能提升。我们的实现分别跟踪每个ODE的进度，并针对GPU和与PyTorch的JIT编译器的兼容性进行了精心优化。它的设计使研究人员可以轻松地增强求解器的任何方面，并收集和分析内部求解器统计数据。在我们的实验中，我们的实现比其他ODE求解器每步快4.3倍，并且它对导致其他求解器采取多达4倍步骤的批内交互具有鲁棒性。代码可在https://github.com/martenlienen/torchode获得
2023-01-17 cs.LG cs.NA math.NA
Prob-GParareal: A Probabilistic Numerical Parallel-in-Time Solver for Differential Equations
University of Warwick（华威大学）；University of St. Gallen（圣加仑大学）
提出Prob-GParareal，通过高斯过程建模Parareal校正函数，为微分方程的并行时间求解提供不确定性量化，并在五个基准ODE系统上验证了精度和鲁棒性。
2026-08-25 cs.DC cs.NA math.NA
Joint Bayesian Inference of Parameter and Discretization Error Uncertainties in ODE Models
Kyushu University（九州大学）；The University of Osaka（大阪大学）
本文提出了一种联合贝叶斯推断框架，用于量化ODE模型中参数和离散化误差的不确定性，通过引入马尔可夫先验和状态空间模型，提升推断精度。
2025-11-28 stat.ME
Probabilistic ODE Solvers with Runge-Kutta Means
MPI for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）；Cambridge University（剑桥大学）
Runge-Kutta方法是常微分方程（ODE）的经典求解器家族，也是最新技术的基础。与大多数数值方法一样，它们返回点估计。我们构建了一个家庭的概率数值方法，而不是返回高斯-马尔可夫过程定义的概率分布的ODE解决方案。在以前的工作相比，我们构造这个家庭，使后意味着完全匹配的龙格库塔家庭的输出，从而继承其良好的性能。选择与龙格库塔匹配未识别的剩余自由度，使得后验概率测量适合ODE的观察结构。我们的研究结果揭示了龙格-库塔解算器的结构从一个新的方向，提供了一个更丰富的，概率的输出，具有较低的计算成本，并提出了新的研究问题。
2014-10-24 cs.LG cs.NA math.NA
Stable Implementation of Probabilistic ODE Solvers
University of Tübingen（图宾根大学）；Max-Planck Institute for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）
常微分方程（ODE）的概率求解器提供了与动力系统仿真相关的数值不确定性的有效量化。它们的收敛速度已被越来越多的理论分析所证实。然而，这些算法遭受数值不稳定时，运行在高阶或小步长-也就是说，正是在该制度中，他们实现了最高的精度。目前的工作提出并研究了解决这个问题的方法。它包括三个组成部分：精确的初始化，一个坐标变化预处理，使数值稳定性的关注步长无关，和平方根的实现。使用所有这三种技术，使数值计算的概率解的常微分方程的算法顺序高达11，证明了一组具有挑战性的测试问题。由此产生的快速收敛被证明是具有竞争力的高阶，国家的最先进的，经典的方法。因此，分析概率ODE求解器和将它们应用于有趣的机器学习问题之间的障碍被有效地消除。
2020-12-18 cs.LG cs.NA math.NA
Calibrated Adaptive Probabilistic ODE Solvers
University of Tübingen（蒂宾根大学）；Max Planck Institute for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）
常微分方程的概率求解器为初值问题的解分配后验测度。该分布的联合协方差提供了（全局）近似误差的估计。作为求解器步长的函数的该误差估计的收缩率将其识别为良好校准的最差情况误差，但是其对于特定步长的显式数值并不能自动地是显式误差的良好估计。针对这个问题，我们介绍，讨论和评估几种概率动机的方法来校准不确定性估计。数值实验表明，这些校准方法与自适应步长选择有效地相互作用，从而产生描述性的，有效地可计算的后验。我们证明了对经典的，广泛使用的Dormand-Prince 4/5龙格-库塔法的基准测试的方法的效率。
2021-02-22 cs.LG cs.NA math.NA
Adaptive Probabilistic ODE Solvers Without Adaptive Memory Requirements
Technical University of Denmark（丹麦技术大学）
本文针对自适应概率ODE求解器内存需求不可预测导致模拟失败的问题，提出一种基于鲁棒状态估计的固定内存需求自适应概率求解器，在消除内存问题、加速模拟的同时兼容JAX科学计算。
2025-07-03 cs.LG cs.NA math.NA
Hybrid solver methods for ODEs: Machine-Learning combined with standard methods
本文提出将前馈网络等机器学习方法与Runge-Kutta、有限差分等标准方法相结合求解ODE/PDE，以加速求解过程。
2025-08-19 cs.NA math.NA
A parallel-in-time Newton's method-based ODE solver
Aalto University（阿尔托大学）
介绍求解非线性常微分方程的并行时间求解器，将其数值解转化为求根问题用牛顿法求解，利用并行前缀和并行化牛顿步中的仿射递归运算，相比Parareal方法运行时间更优。
2026-07-07 cs.NA math.NA
PETSc/TS: A Modern Scalable ODE/DAE Solver Library
Argonne National Laboratory（阿贡国家实验室）；University of Colorado Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文介绍了基于PETSc的ODE/DAE求解器库TS，提供高扩展性和效率，支持显式、隐式及混合求解器，具备自适应误差控制和灵活的非线性/线性求解器选择。
2018-06-04 cs.NA math.NA
Probabilistic ODE Solutions in Millions of Dimensions
University of Tübingen（图宾根大学）；Max Planck Institute for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）
常微分方程的概率求解器已经成为动力系统不确定性量化和推理的有效框架。在这项工作中，我们解释的数学假设和详细的实施方案背后解决{高维}常微分方程的概率数值算法。由于每个求解步骤中的矩阵-矩阵运算，这在以前是不可能的，但对于科学相关问题至关重要-最重要的是，离散偏微分方程的求解。简而言之，有效的高维概率ODE解决方案要么建立在独立性假设上，要么建立在先验模型的克罗内克结构上。我们评估所产生的效率上的一系列问题，包括概率数值模拟的微分方程与数百万的尺寸。
2021-10-22 cs.LG cs.NA math.NA
Investigation of the Estimation Accuracy of 5 Different Numerical ODE Solvers on 3 Case Studies
本研究使用5种数值ODE求解器求解三个案例研究并比较相对误差，发现求解精度因模型行为而异，Midpoint Method在温度变化中表现最佳，而所有求解器均无法估计市场均衡价格的突变行为。
2025-07-11 cs.NA math.AG math.DG
Differentiable Likelihoods for Fast Inversion of 'Likelihood-Free' Dynamical Systems
Max Planck Institute for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）；Bosch Center for Artificial Intelligence（博世人工智能中心）
无可能性（也称为基于仿真的）推理问题是具有昂贵的或难以处理的前向模型的逆问题。常微分方程反问题通常被视为无可能性，因为它们的正向映射必须由常微分方程求解器进行数值近似。然而，这不是一个基本的约束，而只是缺乏经典ODE求解器的功能，它不返回可能性，而是点估计。为了解决这个缺点，我们采用高斯ODE滤波（ODE的概率数值方法）来构建一个局部高斯近似的可能性。这种近似产生易于处理的估计的梯度和海森的（日志）的可能性。插入这些估计到现有的基于梯度的优化和采样方法产生新的求解ODE反问题。我们证明，这些方法优于标准的似然自由的方法在三个基准系统。
2020-06-29 cs.LG cs.NA math.NA
Greedy kernel methods for accelerating implicit integrators for parametric ODEs
Institute for Applied Analysis and Numerical Simulation, University of Stuttgart（斯图加特大学应用分析与数值模拟研究所）
本文提出了一种基于贪心核方法的加速方法，用于通过单步隐式求解器求解参数ODE，通过预训练核模型来预测轨迹点，从而减少求解器迭代次数，提高整体模拟速度，同时保持求解精度。
2018-02-22 cs.NA math.NA
Learning by solving differential equations
Google Research（谷歌研究）；Google DeepMind（谷歌DeepMind）
本研究评估高阶龙格-库塔（RK）常微分方程求解器在深度学习中的性能与局限，提出通过融入预处理、自适应学习率、动量等现代优化器关键要素来提升其表现的方法。
2025-05-19 cs.LG cs.NA math.NA
ODE Solvers Using Bandlimited Approximations
University of Colorado at Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；Computational Solutions, Inc.（计算解决方案公司）
利用指数函数的广义高斯求积法开发了一种新的ODE求解器，该求解器具有辛性和A-稳定性，并在轨道确定问题中实现了接近显式多步法的速度。
2013-11-20 cs.NA math.CA math.NA
DelayDiffEq: Generating Delay Differential Equation Solvers via Recursive Embedding of Ordinary Differential Equation Solvers
传统的延迟微分方程（DDE）求解器仅围绕单一方法设计，并且没有有效地使用其更发达的常微分方程（ODE）对应物的基础设施。在这项工作中，我们提出了DelayDiffEq，数值求解延迟微分方程（DDE）的Julia软件包，它利用了OrdinaryDiffEq中的众多数值算法来解决刚性和非刚性常微分方程，并设法解决具有挑战性的刚性DDE。我们描述了如何编译的ODE积分器本身，并占不连续传播，导致一个设计，是有效的DDE，同时使用所有的ODE内部。我们强调一些困难，数值DDE求解器必须解决，并解释如何DelayDiffEq处理这些问题。我们展示了如何DelayDiffEq是能够解决困难的方程，它的刚性DDE求解器如何在时间尺度分离的问题上提供效率，以及如何设计允许的通用性和灵活性，如被重新用于生成随机延迟微分方程的求解器。
2022-08-26 cs.MS cs.NA math.DS
Mixed-Precision in adaptive Runge-Kutta method for large ODE systems
Univ. Rennes（雷恩大学）；Inria Lyon（法国国家信息与自动化研究所里昂分部）；CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1（法国国家科学研究中心，克莱贝尔·贝尔纳·里昂第一大学）；INSA de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1（里昂国立应用科学学院，克莱贝尔·贝尔纳·里昂第一大学）；INSA Lyon（里昂国立应用科学学院）
针对大型常微分方程组，研究混合精度Bogacki-Shampine 3(2)龙格-库塔对在保持高精度解精度的同时，利用低精度计算加速，并发现混合精度求解器在大型耦合系统中能以极少精度损失实现显著加速。
2026-05-22 cs.NA math.NA
On Accelerating Diffusion-Based Sampling Process via Improved Integration Approximation
University of Technology Sydney（悉尼科技大学）；NTT Communication Science Laboratories（NTT通信科学实验室）；Victoria University of Wellington（惠灵顿维多利亚大学）
本文提出改进积分近似（IIA），通过逐时间步最小化MSE来优化EDM、DDIM和DPM-Solver的ODE求解器系数，在低NFE下显著提升FID且无需改动预训练模型。
2023-10-03 cs.LG cs.NA math.NA
Error Estimation of Numerical Solvers for Linear Ordinary Differential Equations
本文提出基于分段赫尔米特插值的残差定义，用于评估数值解的可靠性，并通过实例展示其在多种ODE模型中的有效性。
2018-04-10 cs.NA math.NA
Optimization of One-parameter Family of Integration Formulae for Solving Stiff Chemical-kinetic ODEs
本文提出了一种快速、鲁棒的无雅可比时间积分方法--化学动力学常微分方程求解器的最小误差自适应方法（MACKS）--用于求解与化学动力学有关的刚性常微分方程。MACKS公式是基于优化的一个参数的家庭的积分公式，再加上一个双时间步长的方法，以便于误差最小化。该方法表现出更高的精度相比，方法-扩展的鲁棒性增强的数值算法（ERENA）-以前提出的作者。此外，当该方法被用于非稳态点火仿真时，与变系数常微分方程求解器（VODE）相比，它有助于实现更快的性能。
2019-10-12 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Comparison of Numerical Solvers for Differential Equations for Holonomic Gradient Method in Statistics
本文比较了求解线性微分方程的数值方法，用于评估统计学中的归一化常数。
2026-04-09 cs.NA math.NA stat.CO
Micro-macro Parareal, from ODEs to SDEs and back again
Department of Computer Science（计算机系）；Celestijnenlaan 200 A, box 2402, 3001 LEUVEN, Belgium（比利时鲁汶市塞莱斯蒂嫩兰200A号，2402信箱，邮编3001）
本文研究微-宏观Parareal初值问题仿真算法，完善了多尺度线性常微分方程下该方法的收敛性分析，并将标量随机微分方程的算法变体推广至高维情形。
2024-10-31 cs.NA math.NA stat.CO
Understanding the impact of numerical solvers on inference for differential equation models
该研究指出数值求解器精度不足会扭曲ODE模型的似然面导致参数推断陷入局部最优，建议谨慎设置求解器容差并检查似然面以避免数值偏差。
2023-07-03 cs.NA math.NA math.ST
Continuous-discrete unscented Kalman filtering framework by MATLAB ODE solvers and square-root methods
针对连续-离散无迹卡尔曼滤波器的实现设计问题，提出基于MATLAB ODE求解器和J正交变换平方根方法的实现框架，可提升随机动态系统状态估计的精度与鲁棒性。
2023-10-06 cs.NA cs.SY eess.SY
High order numerical methods for networks of hyperbolic conservation laws coupled with ODEs and lumped parameter models
TU Kaiserslautern（凯泽斯劳滕工业大学）
本文提出高阶有限体积方案，用于求解耦合ODEs的守恒律网络，采用两种广义Riemann求解器并探讨 lumped参数模型的整合方法，通过数值测试验证高阶收敛性和激波捕捉能力。
2015-07-28 cs.NA math.NA
Branched Signature Kernel Solvers for ODEs with rough Single-Trajectory signals
Department of Mathematics, Florida State University（佛罗里达州立大学数学系）；Department of Mathematics, Texas A&M University（德克萨斯大学阿姆斯特朗分校数学系）；Department of Mathematics, Rutgers University（罗格斯大学数学系）
针对由单个粗糙信号驱动的ODE，提出基于计数采样和核配置的分支签名核求解器，实现准确稳定的预测。
2026-07-14 cs.CE cs.LG cs.NA
DDC-PINNs: A Predictor-Corrector Approach Based on Neural Network-Driven Domain Decomposition and Classical ODE Solvers for Time-Dependent PDEs
Sichuan Normal University（四川师范大学）
本文提出DDC-PINNs方法，通过域分解和因果策略解决传统PINNs在求解时变PDEs时的时序因果性不足和表达能力限制问题，将PDEs简化为ODEs并利用经典ODE求解器提高精度和泛化能力。
2026-06-25 cs.NA math.NA
Fast Convergence for High-Order ODE Solvers in Diffusion Probabilistic Models
Beijing International Center for Mathematical Research, Center for Machine Learning Research, Peking University, Beijing, China（北京国际数学研究中心、机器学习研究中心、北京大学，北京，中国）；Department of Statistics and Data Science, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA, USA（统计与数据科学系、宾夕法尼亚大学，费城，PA，美国）；Department of Mathematics, Massachusetts Institute of Technology, 77 Massachusetts Ave, 02139 Cambridge MA, USA（数学系、麻省理工学院，马萨诸塞大道77号，02139剑桥MA，美国）
本研究针对扩散概率模型中的概率流 ODE，在评分函数导数有界假设下，分析了高阶龙格-库塔求解器的收敛性，给出了总变差距离的误差界，并通过实验验证了假设的合理性。
2026-09-14 cs.LG cs.NA math.CA
Bayesian Filtering for ODEs with Bounded Derivatives
Max-Planck-Institute for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）
本文提出了一种新的贝叶斯滤波方法，用于求解具有有界导数的常微分方程，通过引入集成奥本海姆-乌伦贝克过程（IOUP）作为先验，改进了传统积分维纳过程（IWP）滤波器。
2017-09-25 cs.AI cs.NA math.NA
Efficient implementation of the hybrid method for stochastic simulation of biochemical systems
Virginia Tech（弗吉尼亚理工大学）
本文提出高效实现混合方法的方案，结合传统ODE求解器，提升生物化学系统随机模拟效率，并比较三种ODE求解器的性能。
2016-03-25 cs.CE cs.NA math.NA
SciML Agents: Write the Solver, Not the Solution
UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；LBNL（劳伦斯伯克利国家实验室）；ICSI（国际计算机科学研究所）
本文探讨利用LLM编写科学机器学习求解器，通过设计新数据集评估不同模型在ODE问题中的表现，发现引导提示和微调能有效提升求解准确性。
2025-09-12 cs.LG cs.NA math.NA
Quantum differential equation solvers: limitations and fast-forwarding
本研究分析量子算法求解线性常微分方程的局限，提出下界框架并针对特殊非齐次ODE给出无需时间离散化的指数加速快速前进算法。
2025-07-09 cs.NA math.NA quant-ph
GRADSOLVE: fast exact gradients for ODE ensembles on GPUs
Royal Holloway, University of London（伦敦大学皇家霍洛威学院）
GRADSOLVE是开源JAX库，可在NVIDIA GPU上快速精确求导低维ODE集合，比现有工具在梯度计算上快5.6-14.1倍，支持多种积分器，已发布。
2026-09-03 cs.DC cs.LG cs.MS
Parallelizing Explicit and Implicit Extrapolation Methods for Ordinary Differential Equations
数值求解常微分方程（ODE）是一个自然的串行过程，因此绝大多数ODE求解器软件都是串行的。在这篇手稿中，我们开发了一套并行ODE求解器使用外推法，利用“并行的方法”，使任意用户的ODE可以并行化。我们描述了具体的选择，在实现的显式和隐式的外推方法，允许生成低开销的静态时间表，然后利用优化的多线程实现。我们证明，虽然多线程显式和隐式问题上提供了显着的加速，显式的并行外推方法没有显着的改善，即使对当前优化的高阶龙格库塔表的多线程的优势，国家的最先进的。然而，我们证明了隐式并行外推方法能够在标准多核x86 CPU上实现最先进的性能（2x-4x），用于以低容差求解的$<200$刚性ODE系统，这是高级语言方程求解器套件的绝大多数用户的典型设置。由此产生的方法作为第一个广泛可用的开源软件分发，用于针对典型的适度计算架构的方法内并行加速。
2022-09-10 cs.MS cs.NA math.NA
Efficient high order schemes for stiff ODEs in cardiac electrophysiology
INRIA Bordeaux Sud Ouest, Université de Bordeaux（法国国家信息与自动化研究所波尔多西南分部，波尔多大学）；Institut de Mathématiques de Bordeaux, UMR CNRS 5241（波尔多数学研究所）；Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications, UMR CNRS 5142, Université de Pau et des Pays de l’Adour（波尔多大学及阿杜尔地区大学数学及其应用实验室）
本文分析了在心脏电生理建模中使用高阶指数求解器处理刚性ODEs的效率。研究了指数Adams-Bashforth和Rush-Larsen方案，分析其精度和计算成本，并与经典显式和隐式方案进行比较，证明显式高阶方法在大时间步长下能实现高精度计算。
2018-01-08 cs.NA math.NA
Sub-ODEs Simplify Taylor Series Algorithms for Ordinary Differential Equations
本文提出子 ODE 方法，将满足简单 ODE 的函数内联进泰勒级数求解器，简化实现并证明递推系统可靠性，性能优于 Matlab ODE 套件。
2025-03-27 cs.MS cs.NA math.NA
A deep learning-based ODE solver for chemical kinetics
Princeton University（普林斯顿大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）
由于化学积分的强刚性和高维性，开发高效、准确的化学积分算法是一项具有挑战性的任务。目前的工作提出了一种基于深度学习的数值方法，称为DeepCombustion0.0，用于求解刚性常微分方程系统。以DME/空气混合气的均质自燃为例，验证了该算法的有效性和准确性。训练和测试数据集涵盖了750-1200 K、30-50 atm和当量比= 0.7-1.5之间的温度、压力和混合物条件。考虑了第一阶段低温点火（LTI）和第二阶段高温点火（HTI）。该方法强调了自适应数据采样技术、功率变换预处理和二进制深度神经网络（DNN）设计的重要性。通过使用自适应随机采样和适当的幂变换，观察到状态向量相空间中的光滑子流形，可以在其上适当地训练两个三层DNN。神经网络是端到端的，它直接预测状态向量的时间梯度。结果表明，DNN预测的时间演化与传统的数值方法在所有的状态矢量维，包括温度，压力，和物种浓度。点火延迟时间差在1%以内。同时，CPU时间分别比HMTS和VODE方法减少了20倍和200倍以上。目前的工作展示了将深度学习算法应用于化学动力学和燃烧建模的巨大潜力。
2020-11-24 cs.LG cs.NA math.NA
A quantitative investigation into the accumulation of rounding errors in the numerical solution of ODEs
通过理论分析和数值实验，研究了确定性ODE求解器中舍入误差的随机性积累及其对长期解发散行为的影响。
2005-12-15 cs.NA math.NA math.PR
Efficient implicit solvers for models of neuronal networks
本文提出针对神经元网络模拟的经济型隐式 ODE 求解器，通过缩小每步代数系统提升 ESDIRK 等方法效率，并在三类慢-快单细胞模型网络中验证其优越性。
2025-06-11 cs.NA math.NA
Statistical Properties of the Probabilistic Numeric Linear Solver BayesCG
我们分析校准的贝叶斯CG下的Krylov前，共轭梯度（CG）方法求解系统的对称正定系数矩阵的线性方程的概率数值扩展。校准是指由求解器产生的后验协方差的统计质量。由于BayesCG在严格的现有概念中没有校准，因此我们提出了两个检验统计量：Z-统计量和新的S-统计量。我们的分析和实验表明，在低秩近似Krylov后验，BayesCG表现出理想的性能校准的求解器，只是稍微乐观，计算上的竞争力与CG。
2022-08-08 cs.NA math.NA
An adaptive spectral method for oscillatory second-order linear ODEs with frequency-independent cost
本文介绍了一种有效的数值方法，用于求解在解区间上可能在高振荡和慢变化之间变化的二阶线性常微分方程。在振荡区域的解决方案是通过一个非振荡相函数，服从非线性Riccati方程。我们提出了一个缺陷校正迭代，给出了一个渐近级数这样的相位函数，这是数值近似的切比雪夫网格与少量的节点。对于解析系数，我们证明，每次迭代，达到一定的最大数量，减少了当地频率的顺序的一个因素的残留。该算法适应的步长和方法的选择，切换到一个传统的频谱配置法远离振荡区域。在数值实验中，我们发现，我们的建议优于其他国家的最先进的振荡求解器，最显着的是在低到中频和低公差，在那里它可以使用高达$10^6$倍少的功能评估。即使在高频区域，我们的实现平均也比其他专业求解器快10倍。
2022-12-13 cs.NA math.NA
Neural Ordinary Differential Equations for Model Order Reduction of Stiff Systems
针对神经ODEs用于刚性系统模型降阶时的刚性问题，提出基于隐式求解器自适应步长的时间重参数化方法，在保持精度与鲁棒性的同时提升了推理效率，且具备良好的外推泛化能力。
2025-06-17 cs.NA math.NA
Implementation and performance analysis of efficient grid-free integral wall models in unstructured-grid LES solvers
本文在非结构网格LES求解器中实现了两种无网格积分壁面模型，其中谱求积实现的ODE平衡壁面模型在保持相当计算成本的同时，比传统有限体积方法性能更优且对并行负载不均衡更不敏感。
2023-07-12 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Homotopy Continuation for Sensor Networks Self-Calibration
给定传感器网络，TDOA自校准的目的是同时估计接收机和发射机的位置以及发射机的时间偏移。这可以用公式表示为一组多项式方程。由于未知数的增加和问题的非线性，有效地获得精确的解决方案是不平凡的。以前的工作表明，迭代算法是敏感的初始化和小噪声可能会导致收敛失败。因此，研究集中在代数技术。稳定和有效的代数求解器已经提出了一些网络配置，但他们不适用于较小的网络。在本文中，我们使用同伦延拓解决四个以前未解决的配置在二维时差自校准，包括一个最小的。作为一个理论贡献，我们调查的新的最小配置的解决方案的数量，这是远远低于以前的估计。作为一个更实际的贡献，我们还提出了新的次最小解算器，它可以用来实现独特的准确的解决方案，在以前无法解决的配置。我们证明了我们的求解器是稳定的干净和嘈杂的数据，即使没有非线性细化之后。此外，我们证明了同伦连续传感器网络校准问题的适用性，开辟了新的应用前景。
2021-08-02 cs.NA math.NA
