Machinery for Proving Sum-of-Squares Lower Bounds on Certification Problems
在本文中，我们通过推广Barak等人[FOCS 2016]用于证明种植集团的平方和下界的技术，构建了证明认证问题的平方和下界的通用机制。使用这种机器，我们证明度$n^ε$平方和下界张量PCA，稀疏PCA的Wishart模型，和种植集团的一个变种，我们称之为种植稍密集的子图。
2023-02-09 cs.CC
Statistical Algorithms and a Lower Bound for Detecting Planted Clique
我们介绍了一个框架，用于证明计算问题的下限分布对算法，可以使用访问统计查询Oracle。对于这样的算法，对输入分布的访问限于获得对从输入分布随机抽取的样本的任何给定函数的期望的估计，而不是直接访问样本。在理论和实践中最感兴趣的自然算法，例如，基于矩的方法、局部搜索、用于凸优化的标准迭代法、MCMC和模拟退火可以在该框架中实现。我们的框架基于学习理论中的统计查询模型（Kearns，1998）。我们的主要应用程序是一个几乎最优的下界的复杂性的任何统计查询算法检测种植二分团分布（或种植稠密的子图分布）时，种植团的大小$O(n^{1/2-δ})$的任何常数$δ> 0$。这些问题的变体的假设硬度已被用来证明其他几个问题的硬度，并作为密码学应用程序的安全性的保证。我们的下限提供了硬度的具体证据，从而支持这些假设。
2016-08-15 cs.CC cs.DS
Multiple Planted Structures Below $\sqrt{n}$: An SoS Integrality Gap and an SQ Lower Bound
University of Illinois Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）
研究多种植平均情况推断问题中的计算限制，提出基于SoS的积分间隙和SQ框架下的下界，证明在特定条件下无法检测多个种植的biclique。
2026-04-08 cs.CC
Tight Lower Bounds for Planted Clique in the Degree-4 SOS Program
我们给出了种植集团问题的4阶平方和SDP松弛的$\tildeΩ(\sqrt{n})$的下界。具体来说，我们表明，在一个Erdös-Rényi图$G(n,\tfrac{1}{2})$，有很高的概率有一个可行的点的度-4 SOS放松的集团问题的目标值$\tildeΩ(\sqrt{n})$，使程序无法区分随机图和随机图与种植集团的大小$\tilde{O}(\sqrt{n})$。这个界限很紧.我们以Deshpande、Montanari和Meka等人的作品为基础，分别给出了$\tildeΩ(n^{1/3})$和$\tildeΩ(n^{1/4})$的下界。我们通过对他们工作中提出的SDP解决方案进行扰动来改进他们的结果，然后表明这种扰动仍然是PSD，因为目标值接近$\tildeΩ(n^{1/2})$。在一项独立的工作中，Hopkins、Kothari和Potechin [HKP 15]获得了$4$ SOS松弛度的类似下限。
2016-03-11 cs.CC cs.DS
Is the space complexity of planted clique recovery the same as that of detection?
Stanford University（斯坦福大学）
We study the planted clique problem in which a clique of size k is planted in an Erdős-Rényi graph G(n, 1/2), and one is interested in either detecting or recovering this planted clique. This problem is interesting because it is widely believed to show a statistical-computational gap at clique size k=sqrt{n}, and has emerged as the prototypical problem with such a gap from which average-case hardness of other statistical problems can be deduced. It also displays a tight computational connection between the detection and recovery variants, unlike other problems of a similar nature. This wide in…
2020-11-23 cs.CC cs.DS cs.IT
Random Tensors and Planted Cliques
图的r-奇偶张量是邻接矩阵的推广，其中张量的元素表示由r个不同顶点诱导的子图中边数的奇偶性。对于r=2，它是边为1，非边为-1的邻接矩阵。随机图的邻接矩阵的2-范数是O（\sqrt{n}）。这里我们证明了r-宇称张量的2-范数至多为f（r）\sqrt{n} \log^{O(r)} n，回答了Frieze和Kannan的一个问题，他们证明了r=3。因此，我们得到了一个紧密的联系之间的种植集团问题和找到一个向量，近似的2-范数的随机图的r-奇偶张量的问题。我们的证明方法是基于一个归纳应用的浓度的措施。
2009-05-14 cs.CC cs.DS
The Strongish Planted Clique Hypothesis and Its Consequences
我们制定了一个新的硬度假设，强种植集团假设（SPCH），它假定任何种植集团的算法必须运行在时间$n^{Ω(\log{n})}$（使国家的最先进的运行时间$n^{O(\log n)}$是最佳的指数常数）。我们提供了两套新假设的应用。首先，我们证明了SPCH对于下列研究得很好的问题，在参数$k$方面，暗示了（几乎）紧不可逼近的结果：Denmark $k$ -子图，最小$k$ -边子图，Denmark $k$ -子超图，Steiner $k$ -森林，和有向Steiner网络与$k$终端对。例如，我们表明，在SPCH下，没有多项式时间算法实现$o(k)$ -近似Denmark $k$ -子图。该不可近似性比改进了来自（Chalermsook等人，FOCS 2017）。此外，我们的下界甚至对固定参数易处理的算法与参数$k$。我们的第二个应用程序集中在复杂的图形模式检测。对于诱导和非诱导图形模式检测，我们证明了SPCH下的硬度结果，这改善了由（Dalirrooyfard等人，STOC 2019）下的指数时间假设。
2020-11-11 cs.CC cs.DS
Does robustness imply tractability? A lower bound for planted clique in the semi-random model
Stanford University（斯坦福大学）
我们考虑一个强大的模拟种植集团问题。在这个类比中，选择一组顶点$S$，并包含$S$中的所有边;然后，$S$和图的其余部分之间的边以概率$\frac{1}{2}$包含在内，而不接触$S$的边允许任意变化。对于这个半随机模型，我们表明，信息理论的阈值恢复是$\tildeΘ(\sqrt{n})$，形成鲜明对比的经典信息理论的阈值$Θ(\log(n))$。这与经典种植集团问题的计算阈值相匹配，从而提出了一种有趣的可能性，即一旦我们要求鲁棒性，种植集团就没有计算统计差距。我们的下界涉及建立一个结果关于KL分歧的家庭扰动伯努利分布，这可能是独立的利益。
2018-09-04 cs.CC cs.IT cs.LG
Sum-of-squares lower bounds for planted clique
在随机图中寻找团以及与之密切相关的“种植”团变体，即在一个随机G（n，1/2）图中种植一个大小为k的团，一直是算法设计中大量研究的焦点。尽管做了很多努力，但最著名的多项式时间算法只能解决k ~ sqrt（n）的问题。在本文中，我们研究的复杂性种植集团问题的算法从平方和层次。我们证明了这个模型的第一个平均情况下界：对于G（n，1/2）中的几乎所有图，SOS层次的r轮不能找到一个种植k-团，除非k > n^{1/2 r}（直到对数因子）。因此，对于任何常数轮数，大小为n^{o（1）}的种植集团不能通过这类强大的算法找到。这是通过SOS和Lasserre层次结构的随机图上的最大团问题的自然公式化的可积性间隙来显示的，这反过来又遵循Positivestelleniance证明系统的度下界。我们遵循这种证明的通常方法。首先，我们引入一个自然的“对偶证书”（也称为“向量解”或“伪期望”）的给定系统的多项式方程表示的问题，为每个固定的输入图。然后我们证明了与这个对偶证书相关联的矩阵是PSD（半正定），并且在输入图的选择上具有很高的概率，这需要使用某些工具。一个是理论的结合计划，特别是本征空间和本征值的约翰逊计划。另一个是一个组合的方法，我们开发的计算（通过痕迹）范数界的某些随机矩阵的条目是高度依赖的，我们希望这种方法将是有用的。
2015-03-22 cs.CC cs.DS math.CO
Broadcast Congested Clique: Planted Cliques and Pseudorandom Generators
我们开发的技术来证明BCAST（log n）广播拥塞集团模型（分布式消息传递模型，在每一轮，每个处理器可以广播O（log n）大小的消息到所有其他处理器）的下限。我们的技术是为了证明自然输入分布的界限。到目前为止，模型中问题的所有下限都依赖于为手头的特定问题构建专门定制的图族，从而导致人为构建的输入的下限，而不是自然的输入分布。我们的结果之一是有向种植集团问题的下界。在这个问题中，输入图是随机有向图（每个有向边以1/2的概率被包含），或者是具有大小为k的种植团的随机图。也就是说，k个随机选择的顶点之间的所有边都包括在内，图中所有其他边的出现概率为1/2。我们的目标是确定一个集团是否存在。我们证明了当k = n^（1/4 - eps）时，这个问题需要n中的多项式的轮数。此外，我们还构造了一个伪随机发生器来欺骗广播拥塞集团。这使我们能够表明，每个处理器使用多达n个随机比特的每k轮随机算法可以有效地转换为每个处理器仅使用多达O（k log n）个随机比特的O（k）轮随机算法，同时保持高的成功概率。伪随机发生器是简单的描述，计算非常便宜，其种子大小是最佳的常数因子。然而，分析是相当复杂的，是基于新的技术证明模型中的下限。该技术还允许我们证明广播拥塞集团的第一个平均情况下的下限，以及平均情况下的时间层次。
2019-05-19 cs.CC cs.DC
Logspace Reducibility From Secret Leakage Planted Clique
Stanford University（斯坦福大学）
该研究探讨植入团问题的计算难度归约在空间效率语境下的鲁棒性，通过利用输入作随机数、引入秘密泄漏植入团变体，实现了三类统计问题的对数空间随机归约。
2023-11-08 cs.CC cs.DS cs.IT
Some lower bounds in parameterized ${\rm AC}^0$
我们通过与经典${\rm AC}^0$相对应的参数化类证明了参数化问题的一些下界。除其他外，我们得出这样一个下界的所有FPT近似的参数化集团的问题和参数化停机问题，这最近变成了链接问题的计算复杂性，描述的复杂性，和证明理论。为了证明第一个下界，我们证明了一个强${\rm AC}^0$版本的种植集团猜想：${\rm AC}^0$ -电路渐近几乎肯定不能区分一个随机图和这个图与随机种植集团的任何大小$\le n^ξ$（其中$0 \le ξ< 1$）。
2016-06-26 cs.CC
Algorithmic Decorrelation and Planted Clique in Dependent Random Graphs: The Case of Extra Triangles
研究依赖噪声对计算复杂度的影响，通过在带三角形的随机图与Erdős-Rényi图间建立平均情形归约，首次将依赖噪声转化为独立噪声，并基于对扰动的低敏感性提出新框架证明归约有效性。
2023-06-27 cs.CC cs.DM cs.IT
Low-degree phase transitions for detecting a planted clique in sublinear time
本文研究亚线性时间内检测 planted clique 的问题，证明非自适应低度算法存在计算相变，并揭示最优查询模式的结构性质。
2024-02-08 cs.CC cs.DS stat.ML
Association schemes, non-commutative polynomial concentration, and sum-of-squares lower bounds for planted clique
在随机G（n，1/2）图中发现团以及与之密切相关的“种植”团变体，其中一个大小为t的团被种植在一个随机G（n，1/2）图中，一直是算法设计中大量研究的焦点。尽管付出了很多努力，但最著名的多项式时间算法只能解决t = Theta（sqrt（n））的问题。在这里，我们证明了击败sqrt（n）将需要大量新的算法思想，通过证明平方和（或Lasserre）层次中问题的下界，这是我们所知道的最强大的一类半定规划算法：平方和层次的r轮只能解决t > sqrt（n）/（C log n）^（r^2）的种植集团。以前，没有非平凡的下限是已知的。我们的证明是制定为一个度下界的Positivstellenestrant代数证明系统，这是相当于平方和层次。我们（平均情况）下界的核心是证明从输入图导出的某个随机矩阵是（高概率）半正定的。在这个证明中，有两个因素起着重要的作用。第一个是经典的理论的关联计划，适用于平均和方差的随机矩阵。第二个是矩阵值多项式的一个新的大偏差不等式。我们的新的尾部估计似乎是独立的兴趣，并可能找到其他的应用，因为它推广了实值多项式和独立随机矩阵的总和的估计。
2013-11-13 cs.CC cs.DS math.CO
Performance of Gaussian Boson Sampling on Planted Bipartite Clique Detection
本文通过分析高斯玻色采样中节点权重的分布与偏差，严格证明在推测困难区间内植入二分团检测信号被自然波动淹没，首次给出该问题在 GBS 量子计算下仍可能困难的证据。
2025-11-07 cs.CC cs.DS math.CO
Planted Cliques and Quantum Symmetry-Adapted Measurements
IBM Research（IBM研究院）；Stanford University（斯坦福大学）
本文研究植入团问题的两种量子编码，证明二进制相位态检测需要大量副本，而对称自适应测量在保留标签时能保持近完美可区分性，且单个量子样本可实现高效区分，揭示量子优势潜力。
2026-10-06 cs.CC quant-ph
Reducibility and Statistical-Computational Gaps from Secret Leakage
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
在现代统计学、计算机科学和统计物理学中，具有约束的计算间隙的推理问题是普遍存在的。虽然已经成功地证明了这些差距的失败，限制类的算法，进展到一个更传统的减少为基础的方法，计算复杂性的统计推断已受到限制。现有的减少在很大程度上被限制到推理问题与类似的结构-主要是映射问题表示为一个稀疏的子矩阵信号加上噪声矩阵，这是类似的常见的硬度假设种植集团。在这项工作中的见解是，种植集团猜想的轻微概括-秘密泄漏种植集团-引起了各种新的平均情况下减少技术，产生一个网络的减少之间的问题非常不同的结构。使用特定形式的秘密泄漏种植集团的种植集团猜想的变体，我们推导出各种问题的紧密计算-计算权衡，包括鲁棒稀疏均值估计，稀疏线性回归的混合，鲁棒稀疏线性回归，张量PCA，稠密$k$ -块随机块模型的变体，负相关稀疏PCA，半随机种植稠密子图，隐藏分区模型中的检测和学习稀疏混合的普适性原则。特别是，一个$k$ -partite超图变体的种植集团猜想是足以建立我们所有的计算下界。我们的技术还揭示了新的连接到组合设计和随机矩阵理论。这项工作给出了第一个证据，一套扩大的硬度假设，如秘密泄漏种植集团，可能是一个关键的第一步，更完整的理论减少统计问题。
2020-06-28 cs.CC cs.LG math.PR
Average-case hardness of Betti number estimation
Department of Computer Science, University of Oxford（牛津大学计算机科学系）
通过从种植团问题的归约，证明了随机团复形上Betti数估计的平均情况困难性，并推导出经典和量子TDA中多个问题的条件困难性结果，阐明了量子优势的结构性要求。
2026-09-14 cs.CC quant-ph
Planted clique detection and recovery from the hypergraph adjacency matrix
Aalto University（阿尔托大学）；Indian Institute of Technology Bombay (IITB)（印度理工学院孟买分校）
本文研究了在仅观察邻接矩阵的情况下，如何通过谱范数检验和谱方法检测和恢复超图中的聚类。结果展示了在√n尺度下，谱方法在不同超边概率下具有精确恢复能力。
2026-04-17 cs.CC math.PR math.ST
Sharp Thresholds Imply Circuit Lower Bounds: from random 2-SAT to Planted Clique
该研究证明布尔函数尖锐阈值蕴含平均情形有界深度电路下界，给出逆命题，并在k-团、随机2-SAT、植入k-团等场景推导出新的指数级电路规模下界。
2024-07-16 cs.CC math.PR math.ST
Average-Case Lower Bounds for Learning Sparse Mixtures, Robust Estimation and Semirandom Adversaries
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
本文开发了几种平均情况下的减少技术，以显示新的硬度结果的三个中心的高维统计问题，这意味着一个由鲁棒性，检测恢复间隙和这些间隙的普遍性原则引起的计算间隙。我们的方法的一个主要特点是映射到这些问题通过一个共同的中间问题，我们介绍，我们称之为不平衡稀疏高斯混合。我们假设种植集团问题的一个版本的种植集团猜想，其中种植集团的位置受到轻度约束，并由此获得以下计算下界：（1）稳健稀疏均值估计的$k$到$k^2$计算间隙，为Li（2017）和Balakrishnan等人的猜想提供了第一个平均情况证据。（2017）;（2）半随机种植稠密子图的紧下界，表明半随机攻击者将种植稠密子图中的检测阈值移动到确定的恢复阈值;（3）稀疏混合问题中$k$到$k^2$间隙的普适性原理，包括许多自然公式，如尖峰协方差模型。我们的主要方法是引入几种平均情况下的技术，以产生结构化和高斯化版本的输入图问题，然后旋转这些高维高斯矩阵精心构造超平面在$\mathbb{F}_r^t$。对于我们的普适性结果，我们引入了一种新的方法来执行一个算法的变化量身定制的稀疏混合物。我们还提供证据表明，我们的种植集团变体中的温和承诺并没有改变问题的复杂性。
2020-05-19 cs.CC cs.LG math.PR
The power of sum-of-squares for detecting hidden structures
我们研究种植问题-在随机噪声输入中发现隐藏结构-通过平方和半定规划层次结构（SoS）的镜头。这个家庭的强大的半定方案最近产生了许多新的算法种植的问题，往往实现最知名的多项式时间的保证恢复的解决方案和鲁棒性噪声的准确性。在最近的工作中的一个主题是光谱算法的设计相匹配的种植问题的SoS算法的保证。经典的谱算法往往无法做到这一点：在这些新的谱算法的扭曲是使用矩阵的谱结构，其条目是输入变量的低次多项式。我们证明了对于一类广泛的种植问题，包括反驳随机约束满足问题，张量和稀疏PCA，稠密k-子图，随机块模型中的社区发现，种植集团，和其他人，d度矩阵多项式的特征值是强大的SoS半定规划的粗略度d。对于这样的问题，因此总是可以匹配的保证，没有解决一个大的半定计划的SoS。使用SoS算法和低次矩阵多项式的相关思想（并受到Barak等人最近关于SoS和种植集团问题的工作的启发），我们证明了张量和稀疏主成分分析问题的新的近紧SoS下界。我们的稀疏主成分分析的下限是第一个建议，超越现有的算法，这个问题可能需要亚指数的时间。
2017-10-13 cs.CC cs.DS
Average-Case Communication Complexity of Statistical Problems
UC San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Tsinghua University（清华大学）
我们研究统计问题，如种植集团，其变种，稀疏主成分分析的背景下，平均情况下的通信复杂性。我们的动机是了解流媒体、草图和基于查询的模型中统计计算的权衡。在这些模型中，通信复杂性是证明下界的主要工具，然而许多先前的结果在平均情况下并不成立。我们提供了一个通用的约简方法，该方法保留了涉及随机图或矩阵与种植结构的问题的输入分布。然后，我们推导出两方和多方的通信下限检测或发现种植集团，双方集团，和相关问题。因此，我们得到了新的边界上的查询复杂度的边缘探针，矢量矩阵矢量，矩阵矢量，线性素描，和$\mathbb{F}_2$素描模型。许多这些结果是近紧，我们使用我们的技术提供简单的证明边缘探测模型的一些已知的下界。
2021-07-03 cs.CC cs.DS cs.LG
Counting Stars is Constant-Degree Optimal For Detecting Any Planted Subgraph
本文研究任意植入子图检测问题的计算极限，证明在 p=Ω(1) 时，数星是最优的常数度多项式检测方法，且该类多项式仅能感知植入图的度分布。
2024-03-26 cs.CC cs.DS math.ST
Improved Sum-of-Squares Lower Bounds for Hidden Clique and Hidden Submatrix Problems
给定一个大的数据矩阵$A\in\mathbb{R}^{n\times n}$，我们考虑确定其元素是否独立同分布的问题。具有某种已知的边际分布$A_{ij}\sim P_0$，或者$A$包含其条目具有边际分布$A_{ij}\sim P_1\neq P_0$的主子矩阵$A_{{\sf Q},{\sf Q}}$。作为一种特殊情况，隐藏（或种植）团问题需要在一个均匀随机图中找到一个种植团。假设无限的计算资源，这个假设检验问题是统计上可解的$|{\sf Q}|\ge C \log n$为一个合适的常数$C$。然而，尽管付出了大量努力，但当$|{\sf Q}| = o(\sqrt{n})$时，没有已知的多项式时间算法以高概率成功。最近Meka和Wigderson \cite{meka2013association}提出了一种在平方和（SOS）半定族中建立下界的方法.在这里我们考虑度- $4$ SOS松弛，并研究\cite{meka2013association}的构造，证明SOS失败，除非$k\ge C\, n^{1/3}/\log n$。巴拉克提出的一个论点意味着，除非在证明中改变证明结构，否则这个下界不能得到实质性的改进。我们的证明使用矩的方法来绑定某个随机结合方案的谱，即一个对称随机矩阵，其行和列由Erdös-Renyi随机图的边索引。
2015-02-23 cs.CC cs.IT math.IT
Reducibility and Computational Lower Bounds for Problems with Planted Sparse Structure
典型的高维统计问题需要在噪声中找到结构化信号。这些问题中的许多都表现出一个有趣的现象：所有已知的计算效率高的算法所需的数据量远远超过搜索所有可能结构的低效算法所需的数据量。Berthet和Rigollet在2013年发起的一系列工作旨在通过减少计算机科学中的数学上困难的平均情况问题来解释这些数学计算差距。然而，平均情况下减少的微妙性质限制了这种方法的适用性。在这项工作中，我们引入了几种新的技术，给一个网络的平均情况下减少显示强大的计算下限的基础上种植集团猜想使用自然问题作为中间体。这些包括种植独立集，种植稠密子图，稀疏尖峰维格纳，稀疏PCA，随机块模型的子图变体和稀疏PCA的有偏变体的紧下界。我们还给出了算法匹配我们的下限，并确定我们考虑的模型的信息理论的限制。
2019-11-18 cs.CC cs.DS cs.IT
Edge-coloring problems with forbidden patterns and planted colors
Charles University（查理大学）；Hamburg University of Technology（汉堡工业大学）
本文研究了具有禁止模式的边着色问题，证明了在特定禁止家族（如奇数环和完全图）下，该问题与预着色问题在多项式时间内等价，并通过有限约束满足问题的P vs NP完全二元性得出结论。
2026-04-28 cs.CC cs.DM
Universality of Computational Lower Bounds for Submatrix Detection
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Tel-Aviv University（特拉维夫大学）
在一般的子矩阵检测问题中，任务是检测小$k \times k$子矩阵的存在，该小$k \times k$子矩阵具有从来自$\mathcal{Q}$的样本的$n \times n$矩阵中的分布$\mathcal{P}$采样的条目。这个公式包括了一些研究得很好的问题，如双聚类时，$\mathcal{P}$和$\mathcal{Q}$是高斯和种植稠密的子图公式的社区检测时，子矩阵是一个主子式和$\mathcal{P}$和$\mathcal{Q}$是伯努利随机变量。这些问题似乎都表现出一种普遍现象：在可以解决该任务的最小$k$和可以在多项式时间内解决该任务的最小$k$之间存在取决于$\mathcal{P}$和$\mathcal{Q}$的计算间隙。我们的主要结果是紧密的特点，这个计算障碍之间的权衡$k$和KL之间的分歧$\mathcal{P}$和$\mathcal{Q}$通过平均情况下减少种植集团猜想。这些计算下界保持了对$\mathcal{P}$和$\mathcal{Q}$的温和假设，这些假设自然产生于经典的二进制假设检验。我们的结果恢复并推广了Ma-Wu（2015）和Brennan et al.（2018）中高斯双聚类的种植集团下界以及Hajek et al.（2015）和Brennan et al.（2018）中种植稠密子图的稀疏和一般制度。这产生了第一个普遍性原则的计算下界通过平均情…
2019-06-01 cs.CC cs.LG math.PR
A Unified Approach to Memory-Sample Tradeoffs for Detecting Planted Structures
Rutgers University（罗格斯大学）；Stanford University（斯坦福大学）；University of Southern California（南加州大学）
本文提出了一种统一框架，用于证明检测嵌入结构的多轮流算法的内存下界，并展示了在多个问题中获得的几乎紧致的内存下界。
2026-02-28 cs.CC cs.DS
Statistical inference of a ranked community in a directed graph
针对有向图中植入排序子图的检测与恢复问题，建立统计与计算阈值，确定对数密度设置下的精确指数阈值，并给出两种极端情况的细粒度结果，为该类排序社区推断提供理论基础。
2024-11-18 cs.CC cs.DS math.CO
Finer Tight Bounds for Coloring on Clique-Width
我们重新审视经典的$k$ -着色问题的复杂性参数的candle宽度。这是一个研究得很好的问题，当颜色$k$的数量很大时，这个问题变得非常棘手。然而，对于$k$的小的具体值，其复杂性知之甚少。本文对任意固定的$k$，在SETH下，完全确定了以宽度为参数的$k$ -着色的复杂性.具体地说，我们证明了对于所有的$k\ge 3,ε>0$，$k$着色不能解决的时间$O^*((2^k-2-ε)^{cw})$，并给出了一个算法运行的时间$O^*((2^k-2)^{cw})$。因此，如果SETH为真，则$2^k-2$是每个$k$的指数的“正确”基数。在此过程中，我们还考虑了$k$ -着色的复杂性，该着色由相关参数模块树宽（$mtw$）参数化。在这种情况下，我们表明，“正确的”运行时间，在SETH下，是$O^*({k\choose \lfloor k/2\rfloor}^{mtw})$。如果我们将我们的结果基于一个较弱的假设（ETH），它们意味着$k$ -着色不能在时间$n^{o(cw)}$中求解，即使在具有$O(\log n)$颜色的实例上也是如此。
2018-04-21 cs.CC cs.DS
On the Complexity of Random Satisfiability Problems with Planted Solutions
在给定与分配一致的随机$k$公式的情况下识别种植分配的问题表现出大的算法差距：虽然种植解决方案变得唯一并且可以在给定具有$O(n\log n)$子句的公式的情况下被识别，但是在子句上存在分布，对于这些分布，最知名的有效算法需要$n^{k/2}$子句。我们提出并研究了一个统一的模型种植$k$ -SAT，它捕获了著名的特殊情况。一个实例由一个种植的赋值$σ$和一个带有$k$文字的子句分布来描述。我们将其分布复杂性定义为最大的$r$，其分布不是$r$独立的（$1 \le r \le k$用于具有种植分配的任何分布）。我们的主要结果是一个无条件的下限，紧对数因子，统计（查询）算法[Kearns 1998，Feldman et. al 2012]，匹配已知的上限，如我们所示，可以使用统计算法来实现。由于已知的用于分布问题的方法具有统计类似物（谱、MCMC、基于梯度、凸优化等），该下限提供了对所观察到的算法差距的严格解释。证明引入了一个新的一般技术的统计查询算法的分析。它还指出了所有种植作业空间中的几何配对现象。我们描述的后果，我们的下界费格的反驳假设[费格2002年]和下界一般凸方案，解决种植$k$ -SAT。我们的边界也扩展到其他种植的$k$ -CSP模型，特别是，提供了具体的证据Goldreich的单向函数和相关的伪随机发生器的安全性时，使用一个足够硬的谓词[Goldreich 2000…
2018-03-06 cs.CC cs.DM cs.DS
Computational Lower Bounds for Community Detection on Random Graphs
研究了在大的Erdens-Rényi随机图$\mathcal{G}(N,q)$中存在一个小的稠密社区的检测问题，其中社区内的边概率超过$q$一个常数因子.假设种植集团检测问题的难度，我们证明了检测社区的计算复杂性表现出以下相变现象：随着图大小$N$增长并且图根据$q=N^{-α}$变得更稀疏，存在$α= \frac{2}{3}$的临界值，低于该临界值，存在计算密集的过程，其可以检测比任何计算高效的过程小得多的社区，并且在其之上线性时间过程是统计上最优的。这些结果也导致了恢复稠密社区和近似稠密$K$ -子图的平均情况硬度结果。
2015-03-11 cs.CC math.ST stat.ML
The Fine-Grained Complexity of Graph Homomorphism Parameterized by Clique-Width
一般同态问题，即输入图$G$是否允许同态到固定目标图$H$，已经在文献中被广泛研究。在这篇文章中，我们提供了一个细粒度的复杂性分类的同态问题的运行时间相对于的cumber-width的$G$（表示为$\operatorname{cw}$）几乎所有的选择$H$下的强指数时间假设。特别是，我们确定了一个属性的$H$称为签名数$s(H)$，并表明，对于每个$H$，同态问题可以解决的时间$\mathcal{O}^*(s(H)^{\operatorname{cw}})$。至关重要的是，我们然后表明，该算法可以用来获得本质上紧的上界。具体来说，我们提供了一个减少，产生匹配的下界为每个$H$，这是一个投影核心或图形承认一个因子分解与其他属性-允许我们覆盖所有可能的目标图下长期的布局。
2022-10-13 cs.CC
Optimal Average-Case Reductions to Sparse PCA: From Weak Assumptions to Strong Hardness
Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
在过去的十年中，稀疏主成分分析已经成为一个典型的问题，说明计算的权衡。这一趋势在很大程度上是由一系列研究驱动的，这些研究旨在通过从种植集团（PC）猜想的减少来表征稀疏PCA的平均情况复杂度-这表明没有多项式时间算法来检测$\mathcal{G}(N, \frac{1}{2})$中$K = o(N^{1/2})$大小的种植集团。所有以前的减少稀疏PCA要么没有显示出紧密的计算下限匹配现有的算法或显示出较低的界限，制定稀疏PCA以外的规范生成模型，尖峰协方差模型。而且，这些下界都随着PC猜想中的指数而迅速退化。具体地说，当仅给定PC猜想直到$K = o(N^α)$，其中$α< 1/2$时，不存在这些下界保持紧密的稀疏水平$k$。如果$α\le 1/3$，这些减少甚至不能显示在任何稀疏度$k$的计算-计算折衷的存在。我们从PC产生的第一个完整的表征的计算障碍的尖峰协方差模型，在所有的稀疏$k$提供严格的下限减少。我们还显示了令人惊讶的结果，较弱形式的PC猜想集团大小$K = o(N^α)$为任何给定的$α\in (0, 1/2]$意味着紧密的计算下界稀疏PCA稀疏$k = o(n^{α/3})$。这表明，即使是最知名的多项式时间稀疏PCA算法所需的信号强度的轻微改善也意味着PC的硬度阈值是次多项式。这是第一个次优硬度假设的例子，暗示了无监督学习中另一个问题的最优下限。
2019-02-20 cs.CC cs.LG math.PR
Inapproximability of NP-Complete Variants of Nash Equilibrium
在Hazan和Krauthgamer最近的工作（SICOMP 2011）中，证明了在两人博弈中找到具有接近最优值的$\eps$近似纳什均衡与在随机图$G(n,1/2)$中找到大小为$O(\log n)$的隐藏集团一样困难。这就提出了一个问题，即在没有这些约束的情况下，近似纳什均衡是否也存在类似的难题。我们给出的证据表明，近最优值的约束，使问题明显困难：一个简单的算法找到一个最佳的1/2近似平衡，而严格优于1/2近似平衡是很难的隐藏集团问题。这是在对比无约束的问题，其中更复杂的算法，实现更好的近似，是已知的。与PPAD中的一般纳什均衡不同，最优（最大值）纳什均衡是NP难的。我们继续表明，最佳的纳什均衡只是几个已知的NP-困难的问题有关的纳什均衡，所有这些都有近似的变种，这是很难找到一个种植集团。特别是，我们证明了这对于以下问题的近似变体：找到一个纳什均衡值大于$η$（对于任何$η>0$，即使最好的纳什均衡值为$1-η$），找到第二个纳什均衡，并找到一个小支持的纳什均衡。最后，我们考虑了两人博弈中近似纯贝叶斯纳什均衡的复杂性。在这里，我们表明，一般的贝叶斯游戏的问题是NP难的。对于类型分布均匀的特殊情况，我们基于隐团问题给出了一个与硬度结果相匹配的拟多项式时间算法。
2011-04-19 cs.CC cs.GT
Computational Lower Bounds for Sparse PCA
在稀疏主成分检测的背景下，我们带来的证据对存在的统计代价支付计算效率。我们衡量的最小信号强度，它可以检测到的测试的性能，我们提出了一个计算效率高的方法的基础上半定规划。我们还证明，这个测试的统计性能不能严格提高任何计算效率的方法。我们的结果可以被视为复杂性理论的下界条件的假设，种植集团问题的某些情况下，不能在随机多项式时间内解决。
2013-04-26 cs.CC math.ST stat.ML
Improving Viterbi is Hard: Better Runtimes Imply Faster Clique Algorithms
维特比的经典算法计算隐马尔可夫模型（HMM）中最可能的路径，从而产生给定的观测序列。它在时间$O(Tn^2)$中运行，给定来自具有$n$状态的HMM的$T$观测序列。尽管在这个问题上的重大利益和长期的努力，不同的社区，没有已知的算法实现超过一个多项式对数加速。在本文中，我们通过提供匹配的条件下界来解释这一困难。我们表明，维特比算法的运行时间是最佳的子多项式的因素，即使当不同的意见是小的。我们的下界是基于这样的假设，即所有对最短路径问题（APSP）和最大权$k$ -团问题的边加权图的最佳已知算法基本上是紧的。最后，使用Green Larsen和Williams最近提出的在线布尔矩阵向量乘法算法，当HMM中几乎没有不同的转移概率时，我们得到了Viterbi算法的$2^{Ω(\sqrt {\log n})}$加速。
2016-11-03 cs.CC cs.DS
Computational Barriers to Estimation from Low-Degree Polynomials
高维统计的一个基本目标是检测或恢复隐藏在噪声数据中的植入结构（如低秩矩阵）。越来越多的研究工作将低次多项式作为此类问题的受限计算模型：在各种设置中，已经证明数据的低次多项式可以与最知名的多项式时间算法的统计性能相匹配。先前的工作已经研究了用于检测隐藏结构的存在的任务的低次多项式的功率。在这项工作中，我们扩展这些方法来解决问题的估计和恢复（而不是检测）。对于一个大类的“信号加噪声”的问题，我们给出了一个用户友好的下界的最佳可能的均方误差可实现的任何程度的D多项式。据我们所知，这些是第一个结果，以建立低程度的硬度恢复问题，相关的检测问题很容易。作为应用，我们给出了一个紧密的表征的低度最小均方误差的种植子矩阵和种植稠密子图的问题，解决（在低度框架）开放的问题，在这两种情况下的恢复的计算复杂性。
2022-06-18 cs.CC cs.DS math.ST
Tight Dynamic Problem Lower Bounds from Generalized BMM and OMv
利用组合布尔矩阵乘法（BMM）假设和相关的在线矩阵向量乘法（OMv）假设的$k$维推广，证明了动力学问题的新的紧条件下界.组合$k$-团假设是文献中的标准假设，自然地推广了组合BMM假设。本文在组合$k$-Clique假设下证明了几个动力学问题的紧下界。例如，我们表明：* 动态范围模式问题没有组合算法与$\mathrm{poly}(n)$预处理时间，$O(n^{2/3-ε})$更新时间和$O(n^{2/3-ε})$查询时间的任何$ε> 0$，匹配已知的上限为这个问题。以前的下界只排除了在OMv假设下具有$O(n^{1/2-ε})$更新和查询时间的算法。其他示例包括用于动态子图连接性、动态2D正交范围颜色计数、动态2模式文档检索和更高维度中的动态范围模式的紧密组合下限。此外，我们提出OuMv $_k$假设作为OMv假设的自然推广。在这个假设下，我们证明了各种动态问题的紧下界。例如，我们表明：* 动态天际线点计数问题在$(2k-1)$维空间没有算法与$\mathrm{poly}(n)$预处理时间和$O(n^{1-1/k-ε})$更新和查询时间为$ε> 0$，即使更新是半在线的。其他例子包括单位立方体的（半在线）动态克利测度的紧条件下界，以及埃里克森问题和朗格曼问题的高维推广。
2022-02-23 cs.CC cs.CG cs.DS
Statistical Query Algorithms and Low-Degree Tests Are Almost Equivalent
MIT（麻省理工学院）；UC Berkeley（加州大学伯克利分校）；Microsoft Research（微软研究院）；Stanford University（斯坦福大学）
目前，研究人员使用多种方法来预测和证实高维统计估计问题中的信息计算缺口。一个突出的方法是限制计算模型的限制，这一方面产生强大的计算下界的强大的算法类，另一方面有助于指导高效算法的发展。在本文中，我们研究了两个最流行的限制计算模型，统计查询框架和低次多项式，在高维假设检验的背景下。我们的主要结果是，在测试问题的温和条件下，这两类算法在功率上本质上是等价的。作为推论，我们获得了新的统计查询下界稀疏PCA，张量PCA和种植集团问题的几个变种。
2021-06-26 cs.CC cs.DS cs.LG
