Restriction of 3D arithmetic Laplace eigenfunctions to a plane
我们考虑一个随机高斯系综的拉普拉斯本征函数的三维环面，并调查1-维Hausdorff措施（“长度”）的节点交叉对一个光滑的2-维toral子流形（“表面”）。预期长度与参考表面的面积乘以波数成正比，与几何形状无关。对于包含在一个平面中的曲面，我们给出了节点相交长度方差的上界，这取决于平面的算术性质。通过估计球的特定区域中的格点的数量来建立界。
2019-07-22 math.NT
On the behavior of nodal lines near the boundary for Laplace eigenfunctions on the square
我们感兴趣的是狄利克雷边界条件对拉普拉斯本征函数的节长的影响。本文研究了二维正方形上随机高斯拉普拉斯本征函数，得到了任意边长大于普朗克尺度的正方形中节点长度的期望值沿密度为1的能级序列的两项渐近展开.该证明依赖于对小弧线中格点的新研究，并表明所述期望与正方形的位置无关，在靠近边界和远离边界的地方给出相同的渐近展开。
2021-04-27 math-ph math.MP math.NT
On the Geometry of the Nodal Lines of Eigenfunctions of the Two-Dimensional Torus
平面内凸曲线的宽度是曲线的一对平行支撑线之间的最小距离。本文研究了标准平坦环面上拉普拉斯算子本征函数的节线宽度。我们证明了各种结果的宽度，一些具有较强的版本假设猜想Cilleruelo和格兰维尔断言一个统一的界限上的一些格子点的圆躺在短弧。
2011-01-28 math-ph math.AP math.MP
Nodal intersections for random eigenfunctions on the torus
我们调查的节点交叉的随机高斯拉普拉斯本征函数的标准的二维平面环面（“算术随机波”）与一个固定的实解析参考曲线与非零曲率。期望的相交数与参考曲线的长度乘以波数成正比，与几何无关。我们的主要结果规定的节点交点方差解析曲线在高能量极限的渐近行为;值得注意的是，它是依赖于两个角分布的格子点躺在圆上的半径对应于给定的波数，和给定的曲线的几何形状。特别是，这意味着节点交叉数承认一个普遍的渐近规律，具有任意高的概率。
2014-06-29 math-ph math.MP math.NT
On the nodal sets of toral eigenfunctions
研究了标准d维平坦环面上拉普拉斯算子的本征函数的节点集。我们要解决的问题是：一个固定的超曲面能不能位于具有任意大特征值的特征函数的节点集上？在二维，我们表明，这只发生在封闭测地线的部分。在更高的维度中，某些圆柱集确实位于对应于任意大特征值的节点集上。我们的主要结果是，这不会发生超曲面与非零高斯-克罗内克曲率。在二维空间中，这个结果来自于特征函数对曲线的限制的L^2-范数的一致下界，这在之前的一篇论文中得到了证明。在高维度中，我们目前没有这个界限。相反，我们利用平坦环面的实解析性质来研究本征函数限制在复域中合适子流形上的变化。在我们所有的结果中，我们需要一个算术成分有关的球上的格点的集群结构。我们还提出了一个独立的证明的二维情况下依赖于“abc定理”的功能领域。
2010-12-02 math-ph math.AP math.MP
On toral eigenfunctions and the random wave model
本说明的目的是提供一个确定性的随机波模型的实现节点域的数量在二维环面的上下文中。该方法是基于最近的工作，由于Nazarov和Sodin和算术性质的格点上的圆圈。
2013-03-12 math.NT
Random waves on $\mathbb{T}^3$: nodal area variance and lattice point correlations
本文研究了$\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$（“$3d$算术随机波”）上随机高斯拉普拉斯本征函数的系综，并研究了它们的节点表面积分布。预期面积与本征值的平方根或本征函数的“能量”成比例。我们表明，节点面积方差服从渐近规律。所得的渐近公式与球面上格点的角分布和相关性密切相关。
2017-08-23 math.NT math.PR
Eigenfunction statistics for a point scatterer on a three-dimensional torus
本文研究了三维平面环面上点散射体（拉普拉斯算子受δ势扰动）的本征函数统计。该算子的本征函数是在散射体处消失的拉普拉斯算子的本征函数，以及一组新的本征函数（扰动本征函数）。我们首先表明，对于一个点散射的标准环面上的所有扰动本征函数均匀分布在配置空间。然后，我们研究了同样的问题，一个点散射体在一个平坦的环面与一些非合理性条件，并显示均匀分布的配置空间中的几乎所有的扰动本征函数。
2012-12-19 math-ph math.AP math.MP
Nodal intersections for random waves on the 3-dimensional torus
本文研究了标准三维平面环面上随机高斯拉普拉斯本征函数与固定光滑参考曲线的节点交点的个数，该参考曲线的曲率无处消失。期望的相交数与参考曲线的长度乘以波数成普遍比例，与几何无关。我们的主要结果给出了一个约束的方差，如果要么扭曲的曲线是无处为零，或者如果曲线是平面的。
2016-05-12 math-ph math.MP math.NT
Small scale equidistribution of eigenfunctions on the torus
研究了平坦环面$\mathbb T^d$上拉普拉斯算子的本征函数的$L^2$质量的小尺度分布。给定本征函数的规范正交基，我们证明了在小尺度上存在一个密度为1的子序列，其$L^2$质量均匀分布。在二维空间中，我们的结果一直适用于普朗克尺度。对于维度$d=3,4$，我们可以限制到单个特征空间，并在该上下文中显示小尺度等分布。我们还研究量子均匀分布的不规则性：我们构造本征函数，其$L^2$质量在普朗克尺度以上的所有尺度上都不均匀分布。此外，在尺寸$d=4$，我们表明存在的本征函数的比例$L^2$质量在小球在一定的尺度爆炸。
2016-06-16 math-ph math.AP math.MP
Uniform Distribution of Eigenstates on a Torus with Two Point Scatterers
本文研究了二维平面环面上的拉普拉斯算子受两个δ势扰动的情形。有两种类型的本征函数为该运营商：旧的，或未扰动的本征函数，这是本征函数的标准拉普拉斯算子，和新的，扰动本征函数的散射体的影响。证明了在散射点之差为丢番图的条件下，新的本征函数沿密度为1的序列在位形空间中均匀分布。
2017-01-24 math-ph math.AP math.MP
Nodal length fluctuations for arithmetic random waves
利用标准环面的谱重数，我们赋予拉普拉斯本征空间高斯概率测度。这就引出了环面上随机高斯拉普拉斯本征函数的概念（“算术随机波”）。本文研究了随机本征函数在大本征值时节长的分布，得到了方差的渐近性是非普适的，并且与位于半径与能量相对应的圆上的格点的算法密切相关。
2012-06-21 math-ph math.MP math.NT
Quantum ergodicity for a point scatterer on the three-dimensional torus
考虑标准三维平坦环面上的点散射体（拉普拉斯算子受δ势扰动）。与拉普拉斯算子的本征函数在该点处消失，该算子有一组新的扰动本征函数。在最近的一篇论文中，作者能够证明所有的扰动本征函数均匀分布在位形空间。本文证明了几乎所有的本征函数在相空间中是均匀分布的，即证明了扰动本征函数的子空间的量子遍历性。Kurlberg和Ueberschär最近证明了二维环面上点散射体的类似结果。
2013-12-27 math-ph math.AP math.MP
Statistics of wave functions for a point scatterer on the torus
在几乎所有本征态均匀分布于相空间的意义上，其经典对应物具有遍历动力学的量子系统是量子遍历的。与此相反，当经典动力学是可积的时，在相空间的不变结构上存在本征函数的集中。在本文中，我们研究的拉普拉斯方程的本征函数统计的三角洲电位（也被称为点散射体）扰动的一个平坦的环面，一个流行的模型，用于研究量子力学中的可积性和混沌之间的过渡。该算子的本征函数由在散射体处消失的拉普拉斯算子的本征函数和新的或扰动的本征函数组成。我们证明了几乎所有的扰动本征函数都均匀分布在位形空间中。
2012-04-22 math-ph math.AP math.MP
Nodal intersections and Lp restriction theorems on the torus
研究了标准环面上拉普拉斯算子的本征函数的节线与固定参考曲线的交点数，即本征函数限制在参考曲线上的零点个数。上界是波数k。当曲线没有地方为零曲率时，我们推测，直到常数倍数，这也应该是正确的a下界。我们给出了一个下界，它与这个下界相差一个算术量，这个算术量是以半径为k的圆上波数k的平方根大小的弧中格点的最大数目给出的。根据Cilleruelo和Granville的猜想，这个量是有界的，在这种情况下，我们恢复我们的猜想。为了得到下界，我们将问题简化为给出特征函数对曲线的限制的L1范数的下界，然后给出L4限制范数的上界。
2014-02-04 math-ph math.AP math.MP
Small scale equidistribution for a point scatterer on the torus
我们研究了二维和三维平面环面上的点散射体（拉普拉斯算子受δ势扰动）的本征函数的小尺度分布。在两个维度上，我们建立了小尺度等分布的“新”本征函数举行所有的方式下降到普朗克尺度。在三维空间中，所有的“新”本征函数在一定尺度下都建立了小尺度等分布。
2019-12-23 math-ph math.AP math.MP
