Notes on Backward Stochastic Differential Equations for Computing XVA
对金融数学中的一个新课题--X值调整问题进行了研究和分析。首先，回顾了逐步扩大滤过中具有随机时域的倒向随机微分方程的基本性质。接下来，违约场外（OTC）衍生证券的定价/对冲问题，使用这样的BSDES。给出了一个明确的充分条件，以确保不存在套利机会的卖方和买方的衍生证券。此外，一个明确的定价公式，其中XVA被解释为近似的理论公允价格的修正项。
2020-06-03 math.PR q-fin.MF
Multi-stage Euler-Maruyama methods for backward stochastic differential equations driven by continuous-time Markov chains
本文研究了由 CTMCs 驱动的马尔可夫 BSDEs 的数值求解方法，提出多阶段 Euler-Maruyama 方法求解刚性 BSDEs，并设计了基于稀疏网格的多层空间离散化方法以高效逼近高维问题，最后通过金融期权定价实验验证了方法的有效性。
2023-11-22 cs.NA math.NA math.PR
Backward stochastic differential equations under super linear G-expectation and associated Hamilton-Jacobi-Bellman equations
本文首先研究了超线性G-期望。建立了超线性期望下倒向随机微分方程（BSDEs）解的唯一性和存在性定理，为金融数学中不确定波动模型中的一类Hamilton-Jacobi-Bellman方程（包括著名的Black-Scholes-Barrenblett方程）的黏性解提供了概率解释.我们还证明了超线性期望下的倒向随机微分方程可以刻画一类随机控制问题。给出了具有相互奇异概率测度的递归超（子）策略与经典随机控制问题之间的直接联系。利用这一结果给出了Black-Scholes-Barrenblett方程和G-热方程解的表示。
2010-09-06 math.OC math.PR
Backward stochastic differential equation approach to modeling of gene expression
在这篇文章中，我们介绍了一种新的向后方法来模拟随机基因表达和蛋白质水平的动态。蛋白质的量被视为一个扩散过程，并描述了一个倒向随机微分方程（BERRY）。与文献中提出的许多其他方法不同的是，该方法在时间上是向后的;也就是说，除了模型参数化之外，它还需要指定端点（“最终”）条件，而不是初始条件。为了验证我们的方法，我们采用吉莱斯皮的随机模拟算法（SSA）生成（前）基准数据，根据预定义的基因网络模型。数值模拟结果表明，该方法是能够正确地推断蛋白质水平分布之前，一个已知的最终条件，最初从前向SSA。这使得Bethesda方法成为用于时间反演模拟的强大系统生物学工具，允许例如评估在实验测量的感兴趣事件（例如有丝分裂、细胞凋亡等）之前的生物条件（例如蛋白质浓度）。
2017-02-22 math.PR physics.bio-ph q-bio.MN
Backward SDE Representation for Stochastic Control Problems with Non Dominated Controlled Intensity
我们感兴趣的随机控制问题来自数学金融，特别是，与模型的不确定性，其中的不确定性影响波动率和强度。这类随机控制问题对应于一个完全非线性的积分-偏微分方程，它的特点是表征跳变部分的测度$(λ(a,\cdot))_a$不是固定的，而是依赖于一个参数$a$，该参数存在于某个欧氏空间$\R^q$的紧集$A$中.我们并不假定家族$(λ(a,\cdot))_a$是劣势的。此外，扩散部分可以是退化的。我们的目标是给出一个Bertmann表示，称为非线性Feynman-Kac公式，与这些控制问题相关的值函数。为此，我们引入了一类带跳跃和部分约束扩散部分的倒向随机微分方程。我们寻找最小的解决方案，这个家庭的BSDES，我们证明了唯一性和存在性的惩罚参数。然后，我们表明，最小的解决方案，我们的Besides提供了唯一的黏性解，我们完全非线性积分-偏微分方程。
2014-05-14 math.PR
A convolution method for numerical solution of backward stochastic differential equations
提出了一种基于傅里叶分析的倒向随机微分方程数值解的新方法。该方法包括一个欧拉时间离散化的Battlefield与某些条件期望表示的傅里叶变换和计算使用快速傅里叶变换（FFT）。解决了差错控制问题，并提供了局部误差分析。我们考虑的方法向前向后随机微分方程（FBSDES）和反射FBSDES的扩展。数值例子被认为是从金融演示的方法的性能。
2015-05-13 math.PR q-fin.CP
Deep learning-based numerical methods for high-dimensional parabolic partial differential equations and backward stochastic differential equations
Beijing Institute of Big Data Research (China)（北京大数据研究院（中国））；Princeton University (USA)（普林斯顿大学（美国））；Peking University (China)（北京大学（中国））；ETH Zurich (Switzerland)（苏黎世联邦理工学院（瑞士））
本文提出了一种基于深度学习的算法，通过将反向随机微分方程与强化学习类比，利用解的梯度作为策略函数，采用神经网络近似策略函数，有效解决了高维非线性偏微分方程和反向随机微分方程的问题。
2017-06-15 cs.LG cs.NA cs.NE
1D nonlinear backward stochastic differential equations: a unified theory and applications
School of Mathematics, China University of Mining and Technology（中国矿业大学数学学院）；Univ. Rennes, CNRS, IRMAR-UMR6625（雷恩大学）；Department of Finance and Control Sciences, School of Mathematical Sciences, Fudan University（复旦大学数学科学系金融与控制科学专业）
本文研究了一维非线性反向随机微分方程的存在性和唯一性理论，提出统一方法并应用于实际问题。
2026-02-11 math.PR
Stochastic Volterra integral equations with jumps and non-Lipschitz coefficients
带跳的随机Volterra积分方程（SVIEs）由于与数学金融、生物学、工程学等学科有着密切的联系，在非利普希茨条件下，利用逐次逼近方法研究了由布朗运动和补偿Poisson随机测度驱动的SVIEs解的存在唯一性.
2020-09-14 math.PR
A new type of reflected backward doubly stochastic differential equations
本文引入了一类新的“变体”反射倒向双随机微分方程（简称VRBDSDEs），其中漂移是障碍过程的非线性函数.在单随机情形下，这类方程已经由Ma和Wang研究过了。他们称之为“变体”反射BSDEs（简称VRBSDEs），基于Bank和El Karoui最近研究的Skorohod问题的一般版本。其中，Ma和Wang表明，VRBSDES是解决金融中某些问题和最优停止问题的一种新工具，现有方法无法轻松应用。由于这些模型中有更多的随机模型，因此将Ma和Wang的工作转置到双随机版本是非常有用的。在此基础上，我们首先建立了基于随机表示定理的随机变量Skorohod问题，推广了Bank和El Karoui的工作。利用压缩映射定理证明了VRBDSDE解的存在唯一性。同时，我们给出了VRBDSDE解的比较定理和稳定性结果。
2011-08-03 math.PR
Non-negativity preserving numerical algorithms for stochastic differential equations
本文讨论分裂步方法的构造及其相关非负性和边界保持数值算法的性质，提出新分裂步算法的收敛性证明，并通过金融、生物和物理中的数值算例验证算法有效性。
2005-09-30 cs.NA math.NA math.PR
Stochastic functional differential equations and sensitivity to their initial path
我们考虑由随机泛函微分方程表示的具有记忆的系统。基本上，这些是随机微分方程，其系数取决于过程本身的过去历史。这样的系数因此被定义在函数空间上。具有记忆的模型出现在从生物学到金融学的许多应用中。在这里，我们考虑基于这些模型的一些评估结果（例如，一些金融产品的价格）和与这些模型的选择相关的风险。特别是，我们专注于初始条件对评估的影响。这个问题被称为对初始条件的敏感性分析，在金融术语中，它被称为Delta。在这项工作中的初始条件表示的随机泛函微分方程的有关过去的历史。这自然导致了Delta定义的重新设计。我们建议将它定义为一个泛函方向导数，这是一个自然的选择。为此，我们研究了一个表示公式，它允许其计算，而不需要评估功能是可微的。此功能与应用程序特别相关。通过研究Malliavin导数与泛函方向导数之间的一种恰当的关系，得到了该公式。为此，我们介绍了{ \it随机化的初始条件}的技术。
2017-01-22 math.PR
$α$-scaled strong convergence of stochastic theta method for stochastic differential equations driven by time-changed Lévy noise beyond Lipschitz continuity
本文针对系数满足局部Lipschitz条件的时变Lévy噪声驱动随机微分方程，提出α参数化框架分析随机theta方法的强收敛性，证明了其收敛阶为min{η_F,η_G,η_H,α/2}，并给出精确解的显式矩界，扩展了现有理论并支持金融与生物学应用。
2025-08-18 cs.NA math.NA math.PR
Numerical approximations of stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coefficients
University of Munich (LMU)（慕尼黑大学）；Swiss Federal Institute of Technology Zurich（苏黎世联邦理工学院）；Princeton University（普林斯顿大学）
针对漂移或扩散系数超线性增长的随机微分方程，基于稀有事件理论建立离散时间随机过程的矩界，证明全隐式、部分隐式及一类新显式方法的矩有界性和强收敛性。
2013-05-09 cs.NA math.NA math.PR
Deep learning approximations for non-local nonlinear PDEs with Neumann boundary conditions
Swiss Federal Research Institute for Forest, Snow and Landscape (WSL)（瑞士联邦森林、雪与景观研究所（WSL））；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；Shenzhen Research Institute of Big Data（深圳大数据研究院）；University of Münster（明斯特大学）
非线性偏微分方程（PDE）被广泛应用于从金融到生物学等众多科学领域。在许多应用中，标准局部模型不足以准确地说明某些非局部现象，例如，远距离的互动。为了正确地捕捉这些现象，非局部非线性偏微分方程模型经常在文献中使用。在这篇文章中，我们提出了两个数值方法基于机器学习和Picard迭代，分别近似求解非局部非线性偏微分方程。所提出的基于机器学习的方法是先前在文献中引入的基于深度学习的分裂型近似方法的扩展变体，并且利用神经网络来提供解的空间域的子集上的近似解。基于Picard迭代的方法是以前文献中介绍的所谓的全历史递归多级Picard近似方案的扩展变体，并提供了域的单个点的近似解。这两种方法都是无网格的，并允许非局部非线性偏微分方程与诺依曼边界条件，以解决在高维。在这两种方法中，由于偏微分方程的维数而产生的数值困难通过（i）使用反射随机过程的期望轨迹与偏微分方程的解（由Feynman-Kac公式给出）之间的对应关系以及（ii）使用普通的Monte Carlo积分来处理非局部项来避免。我们评估了这两种方法在物理学和生物学中产生的五种不同偏微分方程上的性能。在所有情况下，这些方法在最多10个维度上都能以较短的运行时间产生良好的结果。我们的工作扩展了最近开发的方法，以克服维数灾难在解决偏微分方程。
2022-05-07 cs.LG cs.NA math.NA
