On the chemical distance in critical percolation
我们考虑二维临界键渗流。条件的存在下，在一个环形的开路，我们表明，最短的开路的预期大小的最内层电路的预期大小的比率趋于零的环形的边长趋于无穷大，纵横比保持固定。同样的证明对于矩形的最低开交叉也得到类似的结果。在这最后一种情况下，我们回答了一个问题的凯斯滕和张显示，此外，该比率的长度最短的交叉长度最低的概率趋于零。这表明临界渗流中的化学距离由严格小于最低路径的指数给出。
2015-06-10 math.PR
Large deviations for the chemical distance in supercritical Bernoulli percolation
化学距离D（x，y）是无限伯努利渗流簇中两点x和y之间的最短开放路径的长度。在这项工作中，我们研究了这种随机度量的渐近行为，我们证明，对于一个适当的规范$μ$取决于尺寸和渗流参数，事件\[\biggl\{0\leftrightarrow x,\frac{D(0,x)}{μ(x)}\notin (1-ε, 1+ε) \biggr\}\]的概率呈指数下降时，$\|x\|_1$趋于无穷大。从这个界我们还得到了相应的渐近形状结果的一个大偏差不等式。
2007-07-31 math.PR
Strict inequality for the chemical distance exponent in two-dimensional critical percolation
给出了二维临界渗流中化学距离指数的第一个非平凡上界。具体地说，我们证明了在$\mathbb{Z}^2$上的临界渗流中，边长为$n$的盒子的最短水平交叉路径的期望长度由$Cn^{2-δ}π_3(n)$有界，对于某些$δ>0$，其中$π_3(n)$是距离$n$的三臂概率。“这意味着这个长度与最低交叉点长度的比率以高概率受$n$的逆幂限制。在三角格子上的位置渗流的情况下，我们得到了严格的上界的指数$4/3$。证明建立在我们以前的文件中开发的策略，但与一个新的迭代计划，和一个新的大偏差不等式的事件环条件臂事件，这可能是独立的利益。
2017-08-11 math.PR
On chemical distances and shape theorems in percolation models with long-range correlations
在本文中，我们提供了一般条件的一个参数家庭的随机无限子集Z^d包含一个唯一的无限连通分支的化学距离是可比的欧氏距离，主要集中在模型与长程相关。我们的结果是在精神上的那些由Antal和Pisztora证明伯努利渗流。在此条件下，我们还证明了球在化学距离上的形状定理。我们的一般陈述给出了新的结果的结构的无限连接组件的空集的随机交织和水平集的高斯自由场。我们还获得了arXiv：1111.3979中主要结果的替代证明。最后，作为推论，我们得到了环面上随机游动迹的补中最大连通分支的（化学）直径的新结果。
2014-10-02 math.PR
Distances in the highly supercritical percolation cluster
在参数为p的超临界渗流集团中，轴上两个远点之间的距离相对于通常的距离渐近地增加了1+（1-p）/2+o（1-p）倍。证明是基于一个显然是新的连接与TASEP（完全不对称的简单排它过程）。
2012-10-01 math.PR
Regularity of the time constant for a supercritical Bernoulli percolation
我们认为身份证。在Z^d上的超临界键渗流中，每条边都以概率p > pc（d）开放，其中pc（d）表示这种渗流的临界参数.我们知道，几乎必然存在唯一的无限大开星团Cp [11].我们感兴趣的是超临界伯努利渗流的化学距离的规律性。两点x，y $\in$ Cp之间的化学距离对应于Cp中连接两点的最短路径的长度。0和nx之间的化学距离像n $μ$ \_p（x）一样渐近增长。研究了超临界区域中p $\rightarrow$ $μ$ \_p的正则性.这可以看作是第一次通过渗流的一种特殊情况，其中通过时间的分布为G_p = p PDMATHABMP_1+（1 - p）PDMATHABMP_ $\infty$，p > pc（d）.已知映射p $\rightarrow$ $μ$ \_p是连续的（见[10]）。
2018-12-29 math.PR
Graph distances in scale-free percolation: the logarithmic case
无标度渗流是一种复杂网络的随机模型。在此空间随机图模型中，顶点$x,y\in\mathbb{Z}^d$由边连接，边的概率取决于i.i.d.。顶点权重和欧几里得距离$|x-y|$。根据所涉及的各种参数，我们得到丰富的相图。我们研究图距离并将其与顶点的欧几里得距离进行比较。我们的主要注意力是在一个政权，图的距离是（多）对数的欧几里得距离。我们得到了改进的对数指数上界。在轻尾区，正确的指数被确定。
2022-02-09 math.PR
An estimate for the radial chemical distance in $2d$ critical percolation clusters
我们推导出一个估计的距离，在晶格间距测量，从原点到边界的框的边长$2n$的二维临界渗流集群内，条件是存在一个开放的连接。我们得到的估计是在Damron，Hanson和Sosoe的工作中发现的径向模拟。然而，在目前的情况下，在盒子中没有最低交叉点可供比较，因此我们构建了一条从原点到距离$n$的路径$γ$，该路径由“三臂”点组成，其体积因此可以由$O(n^2π_3(n))$估计。这里，$π_3(n)$是原点通过三个臂（两个开放和一个双闭合）连接到距离$n$的“三臂概率”。然后，我们开发的估计存在的捷径周围的边缘$e$在框中，条件$\{e\in γ\}$，以获得一个界的形式$O(n^{2-δ}π_3(n))$的一些$δ>0$。
2022-01-27 math.PR
The variance of the graph distance in the infinite cluster of percolation is sublinear
我们考虑i.i.d.的标准模型。参数$p$的$\mathbb Z^d$上的键渗流。当$p>p_c$时，几乎必然存在唯一的无限簇$\mathcal C_p$。利用Cerf和Dembin的最新技术，我们证明了$\mathcal C_p$中两点之间的$\mathcal C_p$图距离的方差是次线性的。主要结果扩展了Benjamini、Kalai和Schramm、Benaim和Rossignol以及Damron、Hanson和Sosoe的工作，用于研究边缘无力矩条件下第一次通过渗透中通过时间的方差-权重分布。
2022-03-02 math.PR
Shadow and percolation III: chemical distance in continuous landscapes with correlations
研究了斜率场α的 excursion 集合的几何性质，证明在超临界水平下，两点在 excusion 集合中的化学距离与欧几里得距离成正比，扩展了 Antal Pisztora 定理的应用范围。
2026-04-23 math.PR
Distribution tail of the distance to infinity in supercritical bond percolation
Stockholm University（斯德哥尔摩大学）
该研究针对Z^d上首次通过渗流，在权重分布有界且0处有超临界原子的条件下，估计了0到无穷远通行时间的分布尾部，还证明了点到点通行时间上尾偏差的速率函数在0附近渐近为多项式，其特殊情形涉及超临界键渗流的不交割集数量。
2026-10-14 math.PR
Distances in critical long range percolation
研究了$\mathbb{Z}$上的长程渗流模型，其中$i$和$j$以概率$β|i-j|^{-s}$连接.图距离现在很好地理解所有指数$s$，除了在$s=2$的情况下，模型表现出非平凡的自相似缩放。建立一个猜想的Benjamini和Berger \cite{BenBer:01}，我们证明了典型的距离从网站0到$n$增长作为一个幂律$n^{θ(β)}$到一个乘法常数为一些指数$0<θ(β)<1$作为一个框的长度$n$的图的直径。
2015-11-07 math.PR
On the upper tail large deviation rate function for chemical distance in supercritical percolation
本文研究了超临界键渗流中化学距离的上尾大偏差问题，证明了当 $d\ge 3$ 且 $\varepsilon>0$ 足够小时速率函数的存在性，并揭示该大偏差事件由时空切点迫使测地线绕行引发。
2023-04-11 math.PR
Speed of convergence in first passage percolation and geodesicity of the average distance
我们给出了一个初等的证明，Talagrand的次高斯浓度不等式意味着一个极限形状定理的第一次通过渗流的任何凯莱图Z^d，与一个界的收敛速度略有改善亚历山大的界限。我们的方法，它不使用次加性定理，是基于证明的平均距离是接近测地线。我们的关键观察，独立的利益，是估计的平均距离的收敛速率的问题是等价的（在精确的意义上），以估计其“测地线的水平”。
2015-05-11 math.PR
First-passage percolation in random planar maps and Tutte's bijection
我们考虑大型随机平面映射，并研究通过分配独立同分布长度的边缘获得的第一次通过渗透距离。我们考虑的情况下，四边形和一般平面地图。在这两种情况下，第一通道渗流距离表现在大规模像一个常数倍通常的图形距离。我们应用我们的方法与$n$面临的四边形和一般平面地图与$n$边缘之间的经典Tutte双射的度量性质。证明了当$n \to \infty$时，四边形剖分上的图距离与相应的一般平面地图上的图距离在大尺度上是等价的。
2019-06-24 math.PR
The probability of connection between two vertices cannot be monotone with the distance for Bernoulli Percolation on transitive graphs
Universidade Federal de Minas Gerais（米纳斯吉拉斯联邦大学）
本文研究了伯努利渗流中两个顶点连接概率与距离的关系，发现其不必然随距离单调递减，并定义了临界点现象。
2026-01-01 math.PR
On the scaling of the chemical distance in long-range percolation models
我们考虑在d维\ge 1中Z^d上的（无定向）长程渗流，其中不同的位置x，y \in Z^d以概率p_{xy} \in [0，1]连接。假设p_{xy} =| X-Y| ^{-s+o（1）}作为|X-Y| \to \infty，其中s>0，并且|\cdot|是Z^d上的范数距离，并且假设所得到的随机图包含无限连通分支C_{\infty}，我们让D（x，y）是在C_{\infty}上测量的x和y之间的图距离。我们的主要结果是，对于s \in（d，2d），D（x，y）=（\log| X-Y|）^{Δ+o（1）}，\qquad x，y \in C_{\infty}，|X-Y| \to \infty，其中Δ^{-1}是2d/s的二进制对数，o（1）是概率趋于零的量，|X-Y| \to \infty。除了对一般渗流理论的兴趣之外，这一结果还揭示了最近在“小世界”现象背景下出现的一个问题。作为证明的一部分，我们还建立严格的界限上的概率，最大的连接组件在一个有限的盒子中包含一个积极的分数的所有网站的盒子。
2005-04-06 math.PR
Graph distances of continuum long-range percolation
本文研究了基于 Poisson 点过程的连续长程渗流模型中的图论距离，证明了该随机图模型在 $s=d$ 和 $s=2d$ 处发生相变，与经典长程渗流类似。
2023-11-20 math.PR
Convergence of Discrete Percolation Models to the Brownian Web Distance
本文提出一种不依赖平面偶图的新论证方法，证明一大类离散首达渗流模型收敛到布朗网距离，扩展了Veto和Virag的结果，适用于随机游走可交叉的模型。
2025-10-07 math.PR
Inhomogeneous Long-Range Percolation for Real-Life Network Modeling
随机图的研究已经成为非常流行的现实生活中的网络建模，如社交网络或金融网络。格点$\mathbb Z^d$（$d\ge1$）上的非均匀长程渗流（或无标度渗流）是随机图模型的一个特别有吸引力的例子，因为它满足现实网络的几个程式化事实。对于这个模型的各种几何性质，如渗流行为，度分布和图的距离进行了分析。在本文中，我们补充了有关图距离的图片。此外，我们证明了渗流概率在相变点的连续性。
2014-09-26 math.PR
Percolation in a hierarchical random graph
我们研究了嵌入在阶为$N$的层次群中的无限随机图${\cal G}_N$中的渐近渗流为$N\to \infty$，连通概率依赖于顶点之间的超度量距离. ${\cal G}_N$被构造为有限随机子图的级联（近似）Erdös-Renyi型.我们给出了一个标准的渗透，并表明渗透发生沿巨组件的巨组件在前一级的级联的子图的所有连续的层次距离。证明涉及一个层次的随机图的顶点具有内部结构和随机连接概率。
2007-01-08 math.PR
Nonhomogeneous Euclidean first-passage percolation and distance learning
IMAS-CONICET, Departamento de Matemática, Fac. Cs. Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires（IMAS-CONICET，数学系，理学院，布宜诺斯艾利斯大学）；NYU-ECNU Institute of Mathematical Sciences at NYU Shanghai（纽约大学-华东师范大学上海纽约大学数学科学研究所）；Intituto de Cálculo, Fac. Cs. Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires（计算研究所，理学院，布宜诺斯艾利斯大学）；Aristas S.R.L.（Aristas有限责任公司）；Departamento de Matemática, Fac. Cs. Exactas y Naturales, Universidad de Buenos Aires（数学系，理学院，布宜诺斯艾利斯大学）
针对高维欧氏空间未知流形上未知密度的独立同分布样本，提出可同时捕捉流形几何与底层密度的距离学习方法，证明其样本量趋于无穷时收敛到最小化路径泛函的Fermat距离，证明归结为非齐次Poisson点过程的欧氏首次通过渗流测地线研究。
2019-12-26 math.PR
Chemical subdiffusivity of critical 2D percolation
我们证明了二维临界渗流初始无限簇（IIC）上的随机游动在化学距离上是亚扩散的（即，在本征图度量中）。Kesten（1986）著名地证明了这对于欧几里得距离是正确的，但众所周知，化学距离通常是渐近更大的。更一般地说，我们表明，subdiffusivity在化学距离的多项式体积增长的固定随机图，只要有一个多尺度的方式覆盖的图形，使“深补丁”有“薄骨干”。我们的估计是定量的，并给出了明确的界限，在一个和两个臂指数$η_2 > η_1 > 0$：对于$d$维模型，平均化学位移后的$T$步骤的随机游动规模渐近慢于$T^{1/β}$，每当\[ β< 2 + \frac{η_2-η_1}{d-η_1}\,. \]使用的$η_2 = η_1 + 1/4$和$η_1 = 5/48$的数值为二维晶格，后者的数量是$2+12/91$。
2021-07-22 math-ph math.MP math.PR
Subdiffusive concentration for the chemical distance in Bernoulli percolation
针对超临界伯努利渗流中图距离的扩散集中性，本文建立次扩散集中不等式改进结果，受首达渗流工作启发并结合有效半径等新工具，以一步重正化处理边重采样影响，方差次线性界为其推论。
2025-08-26 math-ph math.MP math.PR
Scale-Free Percolation in Continuum Space
近年来，对真实网络建模的研究已经成为一个热点。一个有吸引力的模型是格子$\mathbb{Z}^d$上的无标度渗流模型，$d\ge1$，因为它满足在大型现实网络中观察到的几个程式化事实。我们把这个模型推广到连续空间，得到了$\mathbb{R}^d$上的一个非均匀随机连接模型：粒子是由$\mathbb{R}^d$上的一个均匀标记Poisson点过程产生的，两个粒子之间的边的概率由它们的标记和它们的距离决定.在这个模型中，我们研究了一些性质，如度分布，渗流性质和图距离。
2016-09-28 math.PR
The number of geodesics in planar first-passage percolation grows sublinearly
研究了欧氏平面的随机扰动，证明了两点之间的距离最小化路径不可能扩展为无限距离最小化路径，更确切地说，我们研究了一大类平面首次通过渗流模型，证明了从原点开始的无限测地线访问给定站点的概率随距离一致趋于零.特别是，这表明从原点开始的无限测地线的集合覆盖了平面的一小部分。这是在1960年代Hammersley和Welsh提出的“公路和小路”问题上取得的第一个进展。
2022-08-24 math.PR
Percolation in an ultrametric space
研究了$N$阶等级格上的渗流问题，其中距离为$k$的两点之间的连通概率为$c_k/N^{k(1+δ)},\; δ>-1$ .由于距离是超度量，因此与欧氏格上的渗流有显著的不同。有两种非临界状态：$δ<1$（发生渗滤）和$δ>1$（不发生渗滤）。在关键的情况下，$δ=1$，我们使用的方法在统计物理学的重整化群方法的精神和连接结果的Erdens-Renyi随机图发挥了关键作用。我们发现充分条件$c_k$，使渗流发生，或不发生。也被认为是一个中间的情况称为预渗流。在渗流的情况下，我们证明了所构造的渗流簇的唯一性。在以前的论文\cite{DG1}，我们研究了渗流的$N\to\infty$限制（平均场渗流），它提供了一个简化，允许找到一个充要条件渗流。对于固定的$N$有开放的问题，特别是关于存在的一个参数的临界值的定义中的$c_k$，如果它存在，将是什么样的行为在临界点。
2012-05-23 math.PR
Continuum percolation for Gibbsian point processes with attractive interactions
我们研究了具有吸引力的粒子对势的无限体积吉布斯测度中的连续渗流问题，重点是低温（大$β$）。主要结果是在密度方面的逾渗阈值$ρ_\pm(β)$的界限，而不是化学势或活动。此外，我们证明了一个变分公式的大偏差率函数的集群大小分布。这个公式建立了一个链接与吉布斯变分原理和一种形式的等价的合奏，并允许我们结合知识有限体积，规范的吉布斯措施与无限体积，grand-canonical吉布斯措施。
2012-08-30 math.PR
Lipschitz continuity of the time constant for continuum percolation
University of Illinois, Chicago（伊利诺伊大学芝加哥分校）；University of Washington（华盛顿大学）
研究布尔模型连续渗流中时间常数关于强度的Lipschitz连续性，通过改编Can、Nakajima和Nguyen的论证方法证明。
2026-09-03 math.PR
First-passage percolation on random simple triangulations
研究了随机简单三角剖分及其对偶映射上的首达渗流问题。我们的主要结果表明，第一通道渗流距离集中在一个$o_p(n^{1/4})$窗口周围的一个常数倍的图形距离。
2022-03-14 math.CO math.PR
Bounds on the distance exponent for higher-dimensional Liouville first passage percolation
本文研究高维刘维尔首达渗流的距离指数，推导了其上界、下界及关于参数ξ的导数界，并在亚临界区域证明了分形维数关于ξ连续且严格递增，为验证此前工作中的技术假设提供了关键步骤。
2025-04-12 math.PR
The shape of large balls in highly supercritical percolation
我们利用之间的连接在无限渗流集群的距离，当参数接近1，和离散时间TASEP $\mathbb{Z}$。这表明，当参数为1时，簇中的大球在轴附近渐近成形，如抛物线的弧。
2013-05-01 math.PR
A near neighbour continuum percolation model
我们引入了一个定义在d维齐次泊松过程上的连续渗流模型。每个泊松点都连接到其连接范围内的所有点，这取决于到其他泊松点的距离。我们证明了新模型存在相变，并得到了低维和高维下的临界值。
2006-11-10 math.PR
Point-to-point distance in first passage percolation on (tree) x Z
本文研究了T_d × Z上的第一次通过渗流（FPP）问题，其中T_d是d-正则树（d ≥ 3）。它表明，对于树中的固定顶点v，点（v，0）和（v，n）之间的FPP度量的距离的波动是最多log n的顺序。我们推测，真正的波动是1阶，并解释为什么。
2018-06-19 math.MG math.PR
Continuum AB percolation and AB random geometric graphs
考虑$d$ -空间中两个独立的齐次Poisson点过程并上的二部随机几何图，距离参数为$r$，强度参数为$λ,μ$ .我们证明了对于$d \geq 2$，如果$λ$对于带距离参数$2r$的一类随机几何图是超临界的，则存在$μ$使得$(λ,μ)$是超临界的（这是以前对于$d=2$已知的）.对于$d=2$，我们还考虑了该图对单位正方形中的点的限制。对于固定的$τ$，取$μ= τλ$，给出了该图的连通度阈值的强大数定律为$λ\to \infty$.
2014-05-12 math.PR
On the chemical distance exponent for the two-sided level-set of the 2D Gaussian free field
本文引入了二维离散高斯自由场的双边水平集。然后，我们研究了双边水平集渗流的化学距离。我们的结果表明，化学距离的维数应严格大于$1$，这反过来又激发了一些诱人的双边水平集的问题。
2021-05-18 math.PR
The box-crossing property for critical two-dimensional oriented percolation
本文考虑正方形格点$\mathbb{Z}^2$上的临界伯努利渗流。我们证明了一个Russo-Seymour-Welsh型的结果，它使我们能够得出几个新的结果有关的临界行为：-我们建立的概率，原点连接到距离$n$多项式衰减快$n$。- 我们证明了临界集群的起源条件生存距离$n$有一个典型的宽度$w_n$满足$εn^{2/5} < w_n < n^{1-ε}$的一些$ε> 0$。次线性多项式波动与超临界状态形成对比，其中已知$w_n$在$n$中表现为线性。这也是从非定向伯努利渗流，其中的标度极限是非退化的两个方向上获得的临界图片不同。我们的结果推广到一维接触过程的图形表示。
2016-10-31 math.PR
Upper bounds on Liouville first passage percolation and Watabiki's prediction
给定具有Dirichlet边界条件和任意$δ>0$的区域$\mathcal U$中的平面连续高斯自由场$h^{\mathcal U}$，设$\{h_δ^{\mathcal U}(v): v\in \mathcal U\}$是实值光滑高斯过程，其中$h_δ^{\mathcal U}(v)$是$h^{\mathcal U}$沿以$v$为中心的半径为$δ$的圆的平均.对于$γ> 0$，我们研究了Liouville第一通道渗流（规模$δ$），即，$\mathcal U$中的最短路径距离，其中每条路径$P$的权重由$\int_P \mathrm{e}^{γh_δ^{\mathcal U}(z)} |dz|$给出。我们证明了两个典型点之间的距离是$O(δ^{c^* γ^{4/3}/\log γ^{-1}})$所有足够小，但固定的$γ>0$和一些常数$c^* > 0$。此外，我们还得到了离散高斯自由场的Liouville首通渗流的类似上界，以及Liouville图距离，该距离大致上是具有可比Liouville量子引力测度且其并集包含两个端点之间的连续路径的欧氏球的最小数目.我们的结果与Watabiki（1993）关于高温下Liouville量子引力随机距离的预言的合理解释相矛盾。
2018-08-01 math.PR
A sharp leading order asymptotic of the diameter of a long range percolation graph
许多真实世界的网络都表现出所谓的小世界现象：它们的典型距离比它们的大小小小于。这种现象的一个数学模型是$d$ -维盒$\{0, 1, \cdots, N\}^d$上的长程渗流图，其中边独立地添加在远离的站点之间，概率随着欧几里得距离的幂而下降。一个自然的问题是，以图论距离测量的大小为$N$的盒子的直径如何与$N$成比例。这个问题在过去已经被深入研究，答案取决于连接概率中的指数$s$。在这项工作中，我们专注于关键政权$s = d$研究早期的工作，由Coppermith，Gamarnik和Sviridenko，并提高了边界得到一个尖锐的领先阶渐近，利用高度的浓度，由于大量的独立性模型。
2022-11-29 math.PR
Behavior of the distance exponent for $\frac{1}{|x-y|^{2d}}$ long-range percolation
本文研究长程渗流中距离指数随参数β的变化，证明其连续性、严格递减性，并给出d=1时的小β渐近式。
2025-10-12 math.PR
Bounded-hop percolation
基于无线通信网络中的一个应用，我们考虑了一个两类连续渗流问题，包括用户的齐次Poisson点过程和基站的平稳遍历点过程.从泊松点过程的一个随机选择的点开始，我们研究了到达第二个点过程的某个点所需的最小跳数的分布。在连续渗流的超临界状态下，我们利用欧氏距离和化学距离之间的密切关系来确定重新缩放的最小跳数的分布极限，这些跳数是连接一个典型的泊松点到第二个点过程的一个点所需的，因为它的强度趋于无穷大。特别是，我们得到了一个明确的表达式的渐近概率，一个典型的泊松点连接到一个点的第二个点过程在一个给定的跳数。
2015-02-18 math.PR
Limiting distribution of the chemical distance in high dimensional critical percolation
The City College of New York（纽约市立学院）；CUNY Graduate Center（纽约市立大学研究生院）；Universität Hamburg（汉堡大学）；Cornell University（康奈尔大学）
该研究确定了高维临界及近临界渗流中化学距离等度量的极限分布，为理解高维簇的度量空间结构奠定基础，其证明依赖于开簇的混合结果。
2026-09-01 math-ph math.MP math.PR
Projections of fractal percolations
本文研究了随机Cantor集$E\subset \mathbb{R}^2 $的径向投影、正交投影和距离集，称之为Mandelbrot逾渗或逾渗分形。证明了如下命题几乎必然成立：若$E$的豪斯多夫维数大于1，则到\textbf{every}直线的正交投影、以\textbf{every}为中心的径向投影以及到\textbf{every}点的距离集都包含区间.
2013-06-17 math.DS math.PR
Explosion and distances in scale-free percolation
研究了$\mathbb Z^d$上的加权无标度渗流模型。在SFPW模型中，$\mathbb Z^d$的顶点被指定为i.i.d.。加权$(W_x)_{x\in \mathbb Z^d}$，遵循具有尾部指数$τ>1$的幂律分布。以权重集合为条件，边$(x,y)_{x, y \in \mathbb Z^d}$独立地存在，对于某些$α, λ>0$，具有参数$λW_x W_y/(\|x-y\|)^α$的泊松随机变量至少为1的概率，并且其中$\|\cdot \|$表示欧几里得距离。在以这种方式构造图之后，我们分配独立同分布（i.i.d.）从分布$L$到图中所有现有边的随机边长度。本文的重点是确定什么时候得到的模型是\emph{explosive}，即什么时候有可能从一个顶点在有限时间内到达无穷多个顶点。我们表明，爆炸恰好发生在那些边长分布，产生爆炸性的分支过程与无限平均幂律后代分布。对于非爆炸边长分布，当$γ\in (1,2)$时，我们证明了到达距离$n$的第一个顶点所需时间的渐近行为。对于$γ>2$，我们证明了$t$从原点到时间的可达顶点数至多呈指数增长，因此爆炸是永远不可能的。对于非爆炸边长分布，当$γ\in (1,2)$时，我们进一步确定了距离的一阶渐近性，当$γ\in (1,2)$。作为一个推论，我们得到了一个尖锐的上限和下限的图距离，关闭之间的差距在Deijfen霍夫斯塔德'13时，…
2018-02-26 math.PR
Sharp asymptotic for the chemical distance in long-range percolation
我们考虑$\mathbb Z^d$和$\mathbb R^d$上的长程渗流的实例，其中距离$r$的点通过概率与$r^{-s}$成比例的边缘连接，对于$s\in (d,2d)$，并研究图论（a.k.a. $x$和$y$之间的化学）距离$D(x,y)$在极限为$|x-y|\to\infty$。对于$\mathbb Z^d$上的模型，我们证明，在概率为$|x|\to\infty$的情况下，距离$D(0,x)$在$(\log r)^Δ$的两个正倍数之间被挤压，其中$Δ:=1/\log_2(1/γ)$代表$γ:=s/(2d)$。对于$\mathbb R^d$的模型，我们表明，$D(0,xr)$是，在概率$r\to\infty$为任何非零$x\in\mathbb R^d$，渐近$ϕ(r)(\log r)^Δ$为$ϕ$一个积极的，连续的（确定性的）函数服从$ϕ(r^γ)=ϕ(r)$的所有$r>1$。渐近标度的证明是基于一个次加性的论点沿连续的双指数序列的尺度。这些结果大大加强了第一作者早先得出的结论。然而，重大的未决问题仍然存在。
2017-07-04 math-ph math.CO math.MP
First-passage percolation and local modifications of distances in random triangulations
我们研究了大型随机三角剖分中图距离的局部修改。我们的主要结果表明，在大尺度上，修改后的距离表现得像一个确定性常数$\mathbf{c}~\in~(0,\infty)$倍通常的图形距离。这特别适用于通过将独立的随机权重分配给图的边而获得的第一通道渗透距离。我们还考虑了对偶映射上的图距离，以及具有指数边权的对偶映射上的首次通过渗流，这与所谓的Eden模型密切相关。在后两种情况下，我们能够明确地计算常数$\mathbf{c}$通过使用早期的结果渐近剥离过程。然而，在一般情况下，常数$\mathbf{c}$是从描述一个大球的边界附近的三角形的渐近形状的无限半平面模型中的次可加性参数。我们的结果特别适用于无限随机三角剖分称为UIPT，并表明，球的UIPT的修改后的距离是渐近接近球的图形距离。
2015-11-13 math-ph math.MP math.PR
First Passage Percolation Has Sublinear Distance Variance
令$0<a<b<\infty$，对于$Z^d$的每个边$e$，令$ω_e=a$或$ω_e=b$，每个独立地具有概率1/2。这在$Z^d$的顶点上引起随机度量$\dist_ω$，称为第一次通过渗流。证明了对于$d>1$，从原点到顶点$v$，$|v|>2$的距离$dist_ω(0,v)$的方差以$C |v|/\log|v|$为界，其中$C=C(a,b,d)$是一个只依赖于$a$，$b$和$d$的常数.还讨论了一些相关的变体
2007-05-25 math-ph math.MP math.PR
The distance exponent for Liouville first passage percolation is positive
具有参数$ξ> 0$的离散刘维尔第一通道渗流（LFPP）是通过为每个顶点$z$分配$e^{ξh(z)}$的权重而获得的$\mathbb Z^2$的子图上的随机度量，其中$h$是离散高斯自由场。我们证明了离散LFPP的距离指数对所有$ξ> 0$都是严格正的。更精确地，对于取决于$ξ$的指数$α> 0$，大小为$2^n$的离散环的内边界和外边界之间的离散LFPP距离通常至少为$2^{αn}$。这是一个关键的输入，在证明LFPP承认非平凡的连续标度极限的所有$ξ> 0$，也有理论上的影响，在刘维量子引力的距离的研究。
2021-10-16 math-ph math.MP math.PR
Nontrivial upper bound for chemical distance on the planar random cluster model
本文将二维 Bernoulli 渗流的化学距离上界扩展至簇权重 $1 \le q \le 4$ 的平面随机簇模型，并为该模型的强臂分离引理提供了完整证明。
2023-09-09 math.PR
The $L^2$ boundedness condition in nonamenable percolation
设$G=(V,E)$是连通的、局部有限的、可迁图，考虑$G=(V,E)$上的Bernoulli键渗流.在最近的工作中，我们证明了如果$G$是不服从的，那么临界连接概率矩阵$T_{p_c}(u,v)=\mathbb{P}_{p_c}(u\leftrightarrow v)$作为算子$T_{p_c}:L^2(V)\to L^2(V)$是有界的，并证明了这个猜想对几类图都成立.我们还注意到，在这项工作中，该猜想意味着两个旧的apturtures，即渗流传递noncompliant图总是有一个非平凡的非唯一性阶段，并在同一类图的临界渗流平均场临界行为。在本文中，我们进一步研究的$L^2$有界性猜想的后果。特别地，我们证明了：i）对于所有的$p<p_{2\to 2}$，两点函数在距离上指数衰减，ii）如果$p_c<p_{2\to 2}$，则控制临界团簇外直径的临界指数是$1$ ; iii）低于$p_{2\to 2}$，在两点之间的内在距离不可能指数地远大于它们的外在距离的意义上，渗流是“弹道式的”; iv）如果是$p_c<p_{2\to 2}$，则$\|T_{p_c}\|_{q\to q} \asymp (q-1)^{-1}$和$p_{q\to q}-p_c \asymp q-1$为$q\downarrow 1$。v）如果是$p_c<p_{2\to 2}$，则各种“多臂”事件的概率与BK不等…
2020-09-23 math.PR
On the critical threshold for continuum AB percolation
考虑$d$ -空间中两个独立的齐次Poisson点过程并上的二部随机几何图，距离参数为$r$，强度参数为$λ,μ$ .对于任何$λ>0$，我们考虑与参数$μ$相关的逾渗阈值$μ_c(λ)$。用$λ_c:= λ_c(2r)$表示半径为$r$的标准Poisson布尔模型的逾渗阈值，证明了当$c>0$为固定常数时，任意$λ>λ_c$的逾渗阈值的下界$μ_c(λ)\ge c\log(c/(λ-λ_c))$.特别地，当$λ$从上方趋于$λ_c$时，$μ_c(λ)$趋于无穷大。
2017-12-13 math.PR
Local stationarity of exponential last passage percolation
我们考虑点到点的最后通过时间的大小为$δN^{\frac{2}{3}}$，距离$N$远离起点的邻域中的每个顶点。这些最后通过时间在这个附近的增量被证明是共同等于他们的固定版本与高概率，仅取决于$δ$。利用这一结果，我们证明了：1）$\text{Airy}_2$过程局部地接近于全变差分布朗运动; 2）从边长为$δN^{\frac{2}{3}}$的盒子中的每个顶点到距离为$N$的点的点到点测地线树在盒子内与同向的无限测地线树一致; 3）从$N^{\frac{2}{3}}$开始彼此远离到距离$N$的点的两条测地线在宏观尺度上不会太靠近任一端点合并。我们的主要结果只依赖于概率方法。
2020-01-30 math.PR
Superconcentration and chaos in Bernoulli percolation
Institute of Mathematics, Vietnam Academy of Science and Technology（越南科学技术院数学研究所）
本文研究了伯努利渗流中化学距离的超浓度现象，通过动态有效半径和晶格动物理论量化了测地线的混沌行为。
2026-02-01 math-ph math.MP math.PR
Spread-out percolation in R^d
令$X$为$Z^d$或强度为1的$R^d$中的泊松过程的点。给定参数$r$和$p$，以概率$p$独立地连接距离$r$内的$X$的每对点。这是Penrose研究的“扩展”渗流模型的最简单情况，他表明，作为$r\to\infty$，相应随机图在渗流阈值处的平均度趋于1，即，渗滤阈值和自然缔合的分支过程的临界性阈值彼此接近。在这里，我们表明，这一结果如下立即从一般结果的作者对非齐次随机图。
2006-10-16 math.PR
