Linear time algorithm for computing the rank of divisors on cactus graphs
Phan Thi Ha Duong
图上因子的秩是2007年提出的，很快引起了人们的关注。最近，在2015年，计算这个数量的问题被证明是NP难的。在本文中，我们描述了一个线性时间算法的仙人掌图限制这个问题。
Rank of divisor on graph was introduced in 2007 and it quickly attracts many attentions. Recently, in 2015 the problem for computing this quantity was proved to be NP-hard. In this paper, we describe a linear time algorithm for this problem limited on cactus graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The arithmetical rank of the edge ideals of cactus graphs
我们证明了，对于仙人掌图的边理想，算术秩是有界的圈数和最大高度的总和，其相关的素数。边界是尖锐的，但在许多情况下，它可以改善。此外，我们还证明了一个Cohen-Macaulay图的边理想，它只包含一个圈，或者是弦的，或者没有长度为4和5的圈，是一个集论完全交。
On approximating the rank of graph divisors
该研究建立芯片射击游戏与最小目标集选择问题的关联，强化了图除子秩计算的NP难结论，证明其在不同假设下的近似难度下界。
Intersection cohomology of a rank one local system on the complement of a hyperplane-like divisor
在一定条件A下，给出了一个计算秩为1的局部系在类超平面因子的补上的交上同调的构造
Chip-firing games on Eulerian digraphs and NP-hardness of computing the rank of a divisor on a graph
Baker和Norine介绍了Riemann-Roch理论的图论模拟。这个理论的一个中心概念是除数的秩。在本文中，我们证明了计算图上的因子的秩是NP-困难的。除数的秩的确定可以转化为关于在相同的底层图上的筹码射击游戏的问题。我们证明了NP-困难的这个问题有关芯片发射有向和无向图。
Algebraic and combinatorial rank of divisors on finite graphs
我们研究了一个图上的因子的代数秩，一个不变量定义使用因子的代数曲线对偶的图。我们证明了它满足Riemann-Roch公式、特殊化性质和Clifford不等式。我们证明，它是最多等于（通常）的组合排名，并在许多情况下，平等举行，但不是一般的。
Rank of divisors on graphs: an algebro-geometric analysis
通过曲线与其对偶图之间的对应关系，将图的因子理论与曲线上的线性级数理论进行了比较。代数几何解释的组合秩的建议，并证明在某些情况下。
Rank of divisors on tropical curves
我们调查，使用纯组合的方法，结构和算法性质的线性等价类因子的热带曲线。特别地，给出了热带曲线的Riemann-Roch定理的初等证明，类似于Baker和Norine最近对图的Riemann-Roch定理的证明。此外，还证实了Baker关于（非度量）图上的因子D的秩等于其对应的度量图上的因子D的秩的猜想，并构造了热带曲线上因子的秩的计算算法.
The rank of a divisor on a finite graph: geometry and computation
我们研究有限图上除数的秩的计算问题，这是Baker和Norine在有限图上的Riemann-Roch理论中提出的一个量（Advances of Mathematics，215（2）：766-788，2007）。我们的工作包括两个部分：第一部分是一个算法，其运行时间是多项式的一个固定的顶点数的多重图。更准确地说，我们的算法的运行时间为O（2^{n \log n}）poly（size（G）），其中n+1是图G的顶点数。第二部分包括一个新的证明的事实，即测试，如果一个除数的秩是非负的或不是在复杂性类NP交集co-NP和这个证明及其推广的动机，我们构造了一个新的图不变量，我们称之为临界自同构群的图形。
Divisorial and geometric gonality of higher-rank tropical curves
我们考虑度量图的一个变种，其中的边长取值于交换幺半群，作为热带曲线概念的高阶概括。将Baker和Norine在组合图上定义的筹码射击游戏的除法性推广到幺半群度量图上。定义了么半群度量化图的几何角度为么半群度量化树上的水平共形、非退化态射的最小度，并证明了在么半群度量化情形下，几何角度是除子角度的一个上界.我们还证明了存在一个细分的基本图的角不大于么半群度角。我们把它与对数曲线间映射的最小度联系起来。
Rank-determining sets of metric graphs
度量图是有限图的一种几何实现，通过用实区间标识每条边。度量图$Γ$上的除数是$Γ$上自由阿尔贝群的元素。度量图上因子的秩（英语：rank of a divisor on a metric graph）是一个出现在度量图（或热带曲线）的黎曼-罗奇定理中的概念，由Gathmann和Kerber，以及Mikhalkin和Zharkov提出。定义度量图$Γ$的一个\emph{rank-determining set}为$Γ$的一个子集$A$，使得因子$D$在$Γ$上的秩总是等于限制在$A$上的$D$的秩.本文建设性地证明了存在有限秩决定集。此外，我们还研究了秩决定集的一般性质，并给出了秩决定集的一个判定准则。我们的分析是基于一个算法，以获得$v_0$ -简化除子从任何有效的因子在同一线性系。
Bounding the multiplicities of eigenvalues of graph matrices in terms of circuit rank using a new approach
设$G$是一个简单无向图，$θ(G)$是$G$的圈秩，$η_M(G)$和$m_M(G,λ)$分别是图矩阵$M(G)$的特征值$λ$的零值和重值.在$M(G)$是邻接矩阵$A(G)$的情况下，（拉普拉斯矩阵$L(G)$，无符号拉普拉斯矩阵$Q(G)$），当$λ$是整数（分别为偶数）时，我们根据$θ(G)$找到$m_M(G,λ)$的界限。我们还表明，当$α$和$λ$是有理数类似的界限可以找到$m_{A_α}(G,λ)$，其中$A_α(G)$是广义邻接矩阵的$G$。我们的边界只包含$θ(G)$，而不是它的倍数。到目前为止，只有$m_A(G,λ)$（以及后来的$m_{A_α}(G,λ)$）的边界已经被发现在电路秩方面，它们都包含$2θ(G)$。只有一个例外，那就是$λ=0$。Wong等人（2022）证明了$η_A(G_c)\leq θ(G_c)+1$，其中$G_c$是一个连通的仙人掌，其块是偶数圈。我们的结果，特别是，推广和扩展这一结果的任何偶连通图$G$的A（G）的任何偶特征值的重数，以及任何连通图$G$的任何偶特征值的$L(G)$和$Q(G)$。他们还表明，$η_A(G_c)\leq 1$时，每一个块的仙人掌是一个奇数周期。这也对应于我们界的一个特例。
The Brill-Noether rank of a tropical curve
我们构造了一个空间分类因子类的一个固定的程度上的所有热带曲线的一个固定的组合类型，并表明，功能采取一个因子类的秩是上连续的。本文将度量图的Brill-Noether秩的定义推广到热带曲线，并利用秩函数关于因子的上连续性证明了热带曲线族的Brill-Noether秩是上连续变化的.此外，我们提出了一个专门化引理的Brill-Noether秩的热带曲线与维数的Brill-Noether轨迹的阿尔及利亚曲线。
Algebraic rank on hyperelliptic graphs and graphs of genus $3$
设$\bar{G} = (G, ω)$是一个顶点赋权图，$δ$是$G$上的一个因子类.令$r_{\bar{G}}(δ)$表示$δ$的组合秩。Caporaso通过使用具有对偶图$\bar{G}$的节点曲线，引入了$δ$的代数秩$r_{\bar{G}}^{\operatorname{alg}}(δ)$。本文证明了当$\bar{G}$是超椭圆或属$3$时，$r_{\bar{G}}^{\operatorname{alg}}(δ) \geq r_{\bar{G}}(δ)$成立，推广了我们以前的结果.我们还证明了，对于亏格$3$的非超椭圆曲线到其约简图的特化映射，图上的任何因子提升为同秩曲线上的因子.
Reduced Divisors and Embeddings of Tropical Curves
给定热带曲线$Γ$上的一个因子$D$，我们证明简化除子定义了从热带曲线到完全线性系$|D|$的一个积分仿射映射。这是通过提供一个明确的描述下的无限小修改的基点的简化除子的行为。我们考虑的情况下，减少因子映射定义的曲线嵌入到线性系，并以这种方式，分类所有的热带曲线与一个非常充分的典范除子。作为约化因子映射的一个应用，我们证明了亏格至少为2的热带曲线上Weierstrass点的存在性，并给出了Luo关于点的秩决定集的一个定理的简单证明.我们还讨论了（热带）约化因子映射的经典类似物：对于一个光滑射影曲线$C$和一个在$C$上秩为非负的因子$D$，等价于$D$的简化除子定义了一个从$C$到完全线性系$|D|$的态射，该系统用朗斯基描述。
A note on algebraic rank, matroids, and metrized complexes
我们证明了某些图上因子的代数秩与拟阵的可实现性问题有关。因此，我们产生了一系列的例子，其中的代数秩取决于基域。本文利用度量化复形理论证明了代数秩与组合秩相等不是因子光滑性的充分条件，从而否定了Caporaso、Melo和作者提出的一个问题.
Hyperelliptic graphs and metrized complexes
我们证明了度量复形的Clifford定理的一个版本。也就是说，携带次数因子$2r$和秩因子$r$（对于$0<r<g-1$）的度量化复数还携带次数因子$2$和秩因子$1$。本文给出了超椭圆度量化复形的一个结构定理，并利用它对亏格为界的度因子进行了分类。我们讨论度量图的Martens定理的一个热带版本。
Clifford representatives via the uniform algebraic rank
本文在有限图上引入一致代数秩，证明其介于Caporaso代数秩与Baker-Norine组合秩之间，建立相应Riemann-Roch定理，并借此证明克利福德代表总存在且对一大类图给出显式构造。
Refined Brill-Noether Theory for Complete Graphs
本文计算完全图 $K_n$ 上所有除子的分裂类型，证明其与 $n$ 次光滑平面曲线上线丛的分裂类型完全对应，从而推广并精细化了相关 Brill-Noether 理论结果。
Effective divisor classes on metric graphs
本文在度量图（热带曲线）上引入了半断因子的概念，证明了每一个有效因子类（度至多为亏格）都有一个半断因子代表。这适当地推广了断裂因子的概念（在度上等于亏格）。我们的证明方法是新的，即使是特殊情况下的休息因子。我们提供了一个算法来有效地计算这样的semibreak代表。半折因子提供了工具，建立一些基本性质的有效轨迹内皮卡德群的度量图。我们证明了有效轨迹是纯维多面体集。我们还证明了一个“通用”的除数类（在度最多属）的秩为零，阿贝尔-雅可比映射是“双有理”到它的图像。这些是黎曼曲面的经典结果的类似物。
Block Structure and Spectrum of Zero-Divisor Graphs of Lipschitz Quaternion Rings Modulo $n$
本文研究Lipschitz四元数环模n的零除子图的邻接矩阵结构，通过同构关系将奇素数p的邻接矩阵分解为块结构，并推导出谱半径的闭式表达式及零空间的下界。
Idempotent Analysis, Tropical Convexity and Reduced Divisors
我们研究了一个典型的扩展传统的组合概念的简化除子的概念的热带投影，它可以被定义为唯一的极小的所谓的$B$ -范数紧热带凸集。本文利用热带投影建立了幂等分析理论的基础，并得到了一系列后续结果，如热带收缩、紧热带凸集的构造和热带弱独立性的集合论刻画。特别是，我们证明了一个热带版本的Mazur定理封闭的热带凸包和发现一个不动点定理的热带投影。作为热带凸性分析机制的主要应用，我们研究了基于热带投影的度量图上的因子理论。我们将线性系统的概念扩展到所有的线性系统，而不仅仅是完全线性系，并重新定义简化除子的概念。此外，我们探讨了简化除子映射到优势热带树和调和态射到度量树之间的对应关系。此外，我们还提出了度量图上线性系的几何秩的概念，它解决了度量图的一致性用传统的Baker-Norine秩函数和度量树的调和态射的解释之间的矛盾。
Riemann-Roch Theory for Graph Orientations
我们开发了一个新的框架，调查线性等价的因子图使用推广的Gioan的循环-上循环反转系统的部分方向。介绍了Dhar燃烧算法的一个定向版本，并将其应用于部分定向的无环性研究。然后，我们表明，贝克-Norine秩的部分定向因子是一个小于的最小数量的有向路径需要被逆转的广义循环-上循环逆转系统，以产生一个无环的部分定向。这些结果被应用于图的Riemann-Roch定理以及Luo的秩决定集的拓扑刻画中。证明了最大流最小割定理等价于可定向因子的欧拉示性数刻画，并将其推广到部分定向的情形.此外，我们证明了$Pic^{g-1}(G)$是典型同构的$Pic^{0}(G)$ -torsor的循环-上循环反转系统的有向路径反转的作用下的全方位的等价类。提出了计算断裂因子和构造部分方向的有效算法。
Computing higher graph gonality is hard
在重图的因子理论中，图的$r^{th}$因子性是图的秩$r$因子的最小度。Gijswijt等人证明了有限图的第一整除性是NP-难计算的。我们推广了他们的观点，证明了对于所有的$r$，计算有限图的$r^{th}$的可除性是NP-困难的.利用这个结果证明了计算有限图的$r^{th}$稳定可除性和计算度量图的$r^{th}$可除性是NP-难的。我们还证明了这些问题是APX-困难的，并研究了这些问题的NP-完全性。
Divisors and harmonic morphisms on metric graphs of pseudocompact type
本文证明伪紧型度量图中因子d-多边形性等价于存在到树的度为d的调和态射，并给出构造性证明及正秩因子提升结果，最后研究路径情形的Brill-Noether理论。
Equality of tropical rank and dimension for semimodules of tropical rational functions, and computational aspects
本文证明了热带有理函数semimodule的热带秩等于其拓扑维数，并探讨了计算热带秩的复杂性。
A note on Brill--Noether existence for graphs of low genus
在2008年的一篇有影响力的论文中，贝克提出了一些将代数曲线的除数理论与有限图的类似组合理论联系起来的理论。本文研究了特殊因子的Baker's Brill-Noether存在性猜想.对于$g\leq 5$和$ρ(g,r,d)$非负的，每个亏格$g$的图被证明允许秩$r$和度至多为$d$的因子。此外，该猜想被证明持有的秩$1$的一些家庭的高度连通的组合类型的图的任意高的属。在相关的属，我们的论点给出了第一个组合证明的Brill-Noether存在定理的度量图，给出了一个相关的问题Baker的部分答案。
Dimension, depth and zero-divisors of the algebra of basic $k$-covers of a graph
我们研究基本的$k$ -覆盖的二部图$G$ ;代数$\AG$，他们的跨度，首先研究了赫尔佐格，是纤维锥的亚历山大对偶的边缘理想。当$\AG$是一个域的$G$的组合学方面，我们的特点，如果从Hochster的结果，当$\AG$是一个域，它也是科恩-麦考利。通过引入二部图的一个几何不变量--“图维数”，研究了$\AG$的维数.我们发现，$G$的图形尺寸不大于$\dim(\AG)$，并在许多情况下（例如，当$G$是一棵树，或循环）的平等持有。最后，我们讨论了这一理论在算术秩中的应用。
Ideals generated by diagonal 2-minors
用一个单图$G$上的$[n]$，我们关联一个二项式理想$P_G$生成的对角未成年人的$n \times n$矩阵$X=(x_{ij})$的变量。证明了对任意图$G$，$P_G$是素完全交理想，并确定了$K[X]/ P_G$的除子类群.利用这些理想，可以找到一个正规整环，它具有任意给定秩的自由除子类群。
Poincaré Series of Divisors on Graphs and Chains of Loops
研究了与i上有限因子集相关联的Poincaré级数。一个有限的图形和ii.一种叫做环链的度量图。我们的主要结果是证明的合理性的庞加莱系列和算法计算它在这两种情况下。在合理性证明中使用的主要工具如下。对于图，我们研究了有限秩的自由阿尔贝群到图的雅可比矩阵与整数的直和的同态。对于链的循环，我们的主要工具是一个类似的朗猜想的布里-诺特轨迹链的循环和适应证明的合理性的庞加莱系列的因子的代数曲线（在一个代数闭域的特征零）。我们的算法是基于一个更仔细的研究所涉及的对象的合理性证明，例如，计算纤维的某些同态和格点枚举在有理多面体。
Mock modular forms from the k-rank moments
该研究利用k秩生成函数定义一族mock艾森斯坦级数，推导其模性质、递推公式与整系数性质，证明其属于有限阶导数生成的微分封闭代数，并解决了相关类除数和的拟完备化问题。
Multiplicity-Free Gonality on Graphs
一个图的除度是该图上正秩除子的最小度。我们引入了一个图的多重性，这限制了我们的考虑因子，在每个顶点上最多放置\(1\)芯片。我们给出了一个充分条件，这两个版本的角度是相等的顶点连通性;我们表明，没有函数的角度可以绑定多重免费的角度，即使是单图。我们还证明了多重性的角度是NP-难计算，同时仍然确定它的图族的角度是目前未知的。我们还提出了新的角度，如车轮图。
Sheaves and Duality in the Two-Vertex Graph Riemann-Roch Theorem
对于两个顶点上的每个图，以及在Baker-Norine意义下的图上的每个因子，我们描述了有限范畴上的向量空间层，其第零个贝蒂数是因子的Baker-Norine“图Riemann-Roch”秩加1。我们证明了对偶定理，推广了贝克-诺林“图黎曼-罗克”定理。
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