Functional perimeter and the dimensional Brunn-Minkowski inequality for log-concave measures
通过扩散算子和梯度估计的解析方法，证明了偶数对数凹概率测度的维数Brunn-Minkowski不等式，并建立了各向同性对数凹测度的最大周长与维数n的线性关系。
2026-06-03 math.FA math.MG
On a multi-integral norm defined by weighted sums of log-concave random vectors
设$C$和$K$是${\mathbb R}^n$中的中心对称凸体.我们证明了如果$C$是各向同性的，那么对于每个$s\geq 1$和${\bf t}=(t_1,\ldots ,t_s)\in {\mathbb R}^s$，都有\begin{equation*}\|{\bf t}\|_{C^s,K}=\int_{C}\cdots\int_{C}\Big\|\sum_{j=1}^st_jx_j\Big\|_K\,dx_1\cdots dx_s \leq c_1L_C(\log n)^5\,\sqrt{n}M(K)\|{\bf t}\|_2\end{equation*}，其中$L_C$是$C$和$M(K):=\int_{S^{n-1}}\|ξ\|_Kdσ(ξ)$的各向同性常数。这就减少了一个关于V的问题。Milman的方法应用于从上面估计各向同性凸体的参数$M(K)$的问题。证明是基于一个观察，结合结果Eldan，Lehec和Klartag的切片问题：如果$μ$是一个各向同性的日志凹概率测度${\mathbb R}^n$然后，对于任何中心对称凸体$K$在${\mathbb R}^n$我们有，$$I_1(μ,K):=\int_{{\mathbb R}^n}\|x\|_K\,dμ(x)\leq c_2\sqrt{n}(\log n)^5\,M(K).$$我们说明使用这个不等式与进一步的应用。
2022-08-12 math.FA math.MG
Dimension-free cotype for isotropic log-concave random polytope spaces
研究各向同性对数凹随机多面体空间，通过替换高斯估计的方法证明其具有与 \(n\) 和 \(\mu\) 无关的余型，且余型常数仅依赖于 \(\gamma\)，还得到一个有限余型可分巴拿赫空间，其 \(k\) 维子空间巴拿赫 - 马祖尔直径为 \(k\) 阶。
2026-07-14 math.FA math.MG math.PR
A note on volume thresholds for random polytopes
研究了由给定分布的独立同分布点的凸包生成的随机多面体的期望体积。我们证明了对于支持在凸体上的对数凹分布，我们至少需要指数级的多个（维数）样本才能使期望体积显著，并且当凹测度的参数为正时，超指数级的多个样本就足以满足凹测度.
2020-12-02 math.MG math.PR
Tail estimates for norms of sums of log-concave random vectors
我们建立了顺序统计量和各向同性对数凹随机向量投影的欧氏范数的新的尾估计。更一般地说，我们证明了尾部估计的独立的对数凹随机向量的总和的投影的规范，和统一的版本，这些形式的尾部估计的运营商规范的矩阵及其子矩阵的设置的对数凹合奏。这是用来研究一个数量$A_{k,m}$，控制均匀的子矩阵的运营商范数与$k$行和$m$列的矩阵$A$与独立的各向同性对数凹随机行。我们应用我们的尾部估计的$A_{k,m}$的限制等距性质的研究中起着重要作用的压缩感知理论。
2011-07-20 math.FA math.MG math.PR
Chevet type inequality and norms of submatrices
证明了一个Chevet型不等式，它给出了各向同性对数凹无条件随机矩阵的范数的一个上界.这是用来给尖锐的上限估计的数量$Γ_{k,m}$，控制均匀的欧几里德算子范数的子矩阵与$k$行和$m$列的各向同性对数凹无条件随机矩阵。我们应用这些估计，给出了一个尖锐的限制等距常数的限制等距常数的随机矩阵与独立的对数凹无条件行。我们还表明，我们的Chevet型不等式不扩展到一般的各向同性对数凹随机矩阵。
2011-07-20 math.FA math.MG math.PR
Extreme eigenvalues of Log-concave Ensemble
本文研究了随机矩阵的对数凹系综，即一类具有迷向对数凹$X$列的协方差型矩阵$XX^*$.一个主要例子是各向同性凸体上一致测度的协方差估计。文献中已经得到了极值特征值的非渐近估计和一阶渐近极限。本文利用对数凹测度\cite{chen, KL22}的最新进展，进一步以接近最优的精度定位特征值，即导出了该系综的谱刚性.基于谱刚性和附加的"无条件”假设，我们进一步导出了$XX^*$的极值特征值的Tracy-Widom律和强尖峰情况下的极值特征值的Gauss律.
2022-12-22 math.FA math.MG math.PR
A note on the reduction of the slicing problem to centrally symmetric convex bodies
本文给出了绝对常数$C$的最佳可能值，使得对每个各向同性凸体$K \subseteq \mathbb{R}^n$，（由Klartag证明并将超平面猜想简化为中心对称的凸体）满足：$$ L_K\leq CL_{K_{n+2}(g_K)}. $$这里$L_K$表示$K$的各向同性常数，$g_K$表示其协方差函数，其是对数凹的，并且，对于任何对数凹函数$g$，$K_{n+2}(g)$是与对数凹函数$g$相关联的凸体，它属于Ball引入的单参数族。为了得到这个不等式，只要$g$满足比对数型更好的凸型，就可以得到这个族中的凸体之间的尖锐包含结果，因为$g_K$确实是$\frac{1}{n}$ -凹的。
2022-10-17 math.FA math.MG
A Generalized Central Limit Conjecture for Convex Bodies
凸体的中心极限定理指出，在很高的概率下，沿随机方向的各向同性对数凹分布的边缘接近高斯分布，其数量差异由Cheeger/Poincare/KLS常数渐近确定。在这里，我们提出了一个广义CLT的边缘沿随机方向绘制从任何各向同性的对数凹分布，即$x,y$绘制独立于各向同性的对数凹密度$p,q$，随机变量$\langle x,y\rangle$接近高斯。我们的主要结果是，这个广义CLT是定量等价的（一个小的因素）KLS猜想。在$\mathbb{R}^n$中，$n^{1/4}$的当前KLS界的任何多项式改进都意味着广义CLT，反之亦然。这种紧密的联系表明，广义CLT可能会提供洞察基本的开放问题，在渐近凸几何。
2019-09-28 math.FA math.MG math.PR
A dimension-free bound for isoperimetry of unconditional log-concave measures
University of Washington（华盛顿大学）；Yale University（耶鲁大学）
本文证明无条件对数凹测度的无维数Poincaré不等式，从而在无条件情形下解决KLS猜想，方法结合Dunkl算子理论与测度变换及谱分析，核心思想由AI辅助生成。
2026-10-01 math.MG math.PR
Regular functional covering numbers
本文研究了几何对数凹函数的正则函数M-位置，证明了其在所有尺度上的覆盖数控制，展示了各向同性位置对函数M-位置的贡献。
2026-03-02 math.MG
Expected $f$-vector of the Poisson Zero Polytope and Random Convex Hulls in the Half-Sphere
证明了$\mathbb R^d$中齐次各向同性Poisson超平面镶嵌的零多面体的期望面数的一个显式组合公式。期望的$f$-向量通过多项式$$ (1+ (d-1)^2x^2) (1+(d-3)^2 x^2) (1+(d-5)^2 x^2) \ldots. $$的系数来表示。此外，我们显式计算期望的$f$-向量和从$d$维半球均匀且独立地采样的$n$随机点的球形凸包的期望体积。在$n=d+2$的情况下，我们计算的概率，这个球形凸包是一个球形的单纯形，从而解决了一个类似的西尔维斯特四点问题的半球。
2020-08-15 math.CO math.MG math.PR
Modified Paouris inequality
Paouris不等式给出了对数凹向量欧氏范数的大偏差估计。我们提出了一个修改的版本，并展示了如何新的不等式可能被应用到得到的尾估计的lr-模和上界的各向同性对数凹向量的坐标投影。
2013-12-09 math.MG math.PR
Norms of weighted sums of log-concave random vectors
设$C$和$K$是${\mathbb R}^n$中体积$1$的中心对称凸体。在$C$是各向同性的情况下，我们给出了多重整式\begin{equation*}\|{\bf t}\|_{C^s,K}=\int_{C}\cdots\int_{C}\Big\|\sum_{j=1}^st_jx_j\Big\|_K\,dx_1\cdots dx_s\end{equation*}的上界.我们的方法提供了另一种证明，由于Gluskin和V.Milman，这个量的尖锐的下界。我们还提出了一些应用程序的“随机”向量平衡问题。
2019-06-09 math.FA math.MG math.PR
A sausage body is a unique solution for a reverse isoperimetric problem
我们考虑一类$λ$ -凹机构在$\mathbb R^{n+1}$，即凸体的财产，他们的每一个边界点支持切线球半径$1/λ$，当地（周围的边界点）内的身体。在这个类中，我们解决了一个反向等周问题：我们表明，两个球的半径$1/λ$（香肠体）的凸包是一个唯一的体积极小所有$λ$凹机构的表面积。这是一个令人惊讶的对比标准的等周问题，因为它是众所周知的，唯一的最大化是一个球。通过证明一个逆quermass积分不等式解决了逆等周问题，这是本文的第二个主要结果。
2019-07-18 math.DG math.MG
Many Facets in Random Polytopes from Product and Log-Concave Measures
University of Crete（克里特大学）；University of Athens（雅典大学）
该研究针对高维随机多面体的期望面数问题，推导了乘积测度下的下界、对数凹测度下的普适标度界，并构造非对数凹反例，揭示了测度性质对随机多面体面数的影响。
2026-08-28 math.MG math.PR
On the isotropic constant of random polytopes with vertices on an $\ell_p$-sphere
研究了$\ell_p$ -单位球面上按锥概率测度分布的独立随机点的对称凸包，其中$\ell_p$ -单位球面上的随机点按$1\leq p < \infty$分布。我们证明了这些随机多面体具有一致绝对有界迷向常数的压倒性概率。这推广了D.阿隆索-古铁雷斯证明需要几种不同的工具，包括由于G锥测度的概率表示。Schechtman和J. Zinn的工作以及具有对数凹尾的独立随机变量和的矩估计。Gluskin和S.夸皮耶
2017-03-13 math.FA math.MG math.PR
On equidistant polytopes in the Euclidean space
等距多面体是空间$\mathbb{R}^n$中的一个特殊等距集，它的所有边界点到两个有限点系的距离相等。由于给定点的有限系统中的一个需要在另一个的凸包的内部，我们可以谈论等距多面体的内焦点和外焦点。它属于$(q, p)$类型，其中$q$是外部焦点的数量，$p$是内部焦点的数量。等距性是凸性的推广，因为凸多面体可以被给定为$(q, 1)$型的等距多面体，其中$q\geq n+1$。本文给出了等距多面体的一些基本性质的一般性结果：凸分支、图表示、连通性、与Voronoi分解的对应性等。特别地，我们对$2$维的等距多面体（等距多边形）感兴趣。$(3,2)$类型的等距多边形的特征在于一个建设性的（标尺和指南针）的过程来识别它们。一般来说，它们是正好有两个凹角的五边形，使得出现凹角的顶点通过与多边形相邻边相关的内对角线以特殊的方式通过共点线的三个反射定理连接起来。最后一节讨论了凹四边形的一些特殊的焦点排列，以得到$(3,2)$型等距多边形。
2021-12-10 math.MG
On the Smallest Singular Value of Log-Concave Random Matrices
本文针对各向同性对数凹随机矩阵，在无条件分布（无独立性假设）、列独立且$N\geq n$、足够高（$N\geq (1+λ)n$）三种情况下，证明了其最小奇异值的严格下界尾估计。
2025-08-25 math.CO math.FA math.MG
A short proof of Paouris' inequality
给出了G. Paouris的尾部行为的欧几里德规范$|X|$的各向同性日志凹随机向量$X\in\R^n$，说明对于每个$t\geq 1$，$P(|X|\geq ct\sqrt n)\leq \exp(-t\sqrt n)$。更精确地说，我们证明了对任何对数凹随机向量$X$和任何$p\geq 1$，$(E|X|^p)^{1/p}\sim E |X|+\sup_{z\in S^{n-1}}(E |< z,X>|^p)^{1/p}$。
2012-05-11 math.MG math.PR
On the hyperplane conjecture for random convex sets
设N > n，K表示n维欧几里得空间中N个独立的标准高斯随机向量的凸包。我们证明了K的各向同性常数以很高的概率有界于一个普适常数。从而证明了高斯随机多面体类的超平面猜想。
2006-12-18 math.MG math.PR
Revisiting the Bobkov-Chistyakov-Götze theorem on approximately Gaussian marginals
该研究针对ℝⁿ中各向同性对数凹概率测度的一维边际，将其与标准高斯分布的Kolmogorov距离界改进为C/n，比原定理的界提升了对数因子，且该界在一般情形下最优。
2026-10-14 math.MG math.PR
Digesting the proof of the sharp thin-shell inequality
研究高维对数凹分布薄壳定理中通用常数最优值，通过分析加权黎曼流形和蒙日 - 安培方程给出证明，确定\({\rm Var}( |X|^2 ) \leq 8 n\)且常数\(8\)最优，还给出相关张量范数界。
2026-07-28 math.FA math.MG math.PR
Geometry of random sections of isotropic convex bodies
设$K$是${\mathbb R}^n$中的各向同性对称凸体。我们证明了余维$k=γn$的子空间$F\in G_{n,n-k}$，其中$γ\in (1/\sqrt{n},1)$满足$$K\cap F\subseteq \frac{c}{γ}\sqrt{n}L_K (B_2^n\cap F)$$的概率大于$1-\exp (-\sqrt{n})$。使用不同的方法，我们研究了同样的问题的$L_q$ -质心机构$Z_q(μ)$的各向同性对数凹概率测度$μ$ ${\mathbb R}^n$。对于每个$1\leq q\leq n$和$γ\in (0,1)$，我们证明了随机子空间$F\in G_{n,(1-γ)n}$满足$Z_q(μ)\cap F\subseteq c_2(γ)\sqrt{q}\,B_2^n\cap F$。我们还给出了$Z_q(μ)$的随机投影直径的界，并利用它们推导出，如果$K$是${\mathbb R}^n$中的各向同性凸体，则对于$(\log n)^4$维的随机子空间$F$，$F$中的所有方向都是次高斯，且$O(\log^2n)$为常数。
2016-09-28 math.FA math.MG
Negative moments of the support function and applications to isotropic convex bodies
本文通过支撑函数的负矩估计和球冠论证，研究各向同性凸体的随机投影内半径等几何量，得到多项式偏差估计并证明立方体在无条件类中的极值性，同时给出混合旋转-投影定理和体积剖面的尖锐结果。
2026-09-24 math.FA math.MG math.PR
Beta polytopes and Poisson polyhedra: $f$-vectors and angles
我们研究随机多面体的形式$[X_1,\ldots,X_n]$定义为凸包的独立和同分布的随机点$X_1,\ldots,X_n$在$\mathbb{R}^d$以下密度之一：$$ f_{d,β} (x) = c_{d,β} (1-\|x\|^2)^β, \qquad \|x\| < 1, \quad \text{(beta distribution, $β>-1$)} $$或$$ \tilde f_{d,β} (x) = \tilde{c}_{d,β} (1+\|x\|^2)^{-β}, \qquad x\in\mathbb{R}^d, \quad \text{(beta' distribution, $β>d/2$)}. $$这种设置还包括均匀分布的单位球和标准正态分布的极限情况。对于任意$k\in\{0,1,\ldots,d-1\}$，我们导出了$[X_1,\ldots,X_n]$的$k$ -面的期望个数的精确和渐近公式.我们证明，对于任何这样的$k$，这个预期的数字是严格单调递增的$n$。此外，我们计算预期的内部和外部的角度，这些多面体在每一个维度的面，更一般地说，预期的圆锥曲线的切线锥的内在体积。通过传递到beta'情形下的大$n$极限，我们计算了具有幂律强度函数的Poisson点过程凸包的期望$f$ -向量。利用凸对偶，我们得到了$\mathbb R^d$中一类各向同性Pois…
2020-02-02 math.MG math.PR
Entropy, slicing problem and functional Mahler's conjecture
本文将 Klartag 关于最小体积乘积凸体的几何结果推广到对数凹函数，利用对数拉普拉斯扰动和含熵的各向同性常数建立函数型马勒猜想与切片猜想强形式之间的联系。
2024-06-11 math.FA math.MG
Cramér transform, half-space depth and threshold phenomena for convex bodies
该研究探讨高维凸几何中克拉默变换与半空间深度的关系，证明相关尖锐比较式，推导矩、尾估计及随机凸包阈值准则，建立大偏差代价等的定量联系。
2026-09-01 math.MG math.PR
Restricted isometry property of matrices with independent columns and neighborly polytopes by random sampling
研究了压缩感知矩阵和由向量$\pm X_1,...,\pm X_N\in\R^n$，（$N\ge n$）生成的中心对称凸多面体的邻域性.引入了一类随机抽样矩阵，证明了它们以压倒性的概率满足限制等距性。特别是，我们证明了矩阵与独立同分布。一致地满足次指数尾部不等式的居中和方差为1的条目以压倒性的概率具有该性质RIP。我们表明，这样的“感测”矩阵是有效的$m$稀疏向量通过$\ell_1$最小化与$m\le Cn/\log^2 (cN/n)$的精确重建过程。我们研究的抽样矩阵类包括列是具有对数凹密度的独立各向同性向量的矩阵的情况。我们推出，如果$K\subset \R^n$是凸体，$X_1,..., X_N\in K$是独立同分布的.随机向量均匀分布在$K$上，那么，以压倒性的概率，这些点的对称凸包是具有$m\sim n/\log^2 (cN/n)$的$m$ -中心相邻多面体。
2009-04-30 math.MG math.PR
Optimal MM* bounds for convex bodies
本文证明各向同性位置凸体的最优平均宽度界，结合热流几何不等式与现有比较方法，推广 Pisier 的 MM* 估计至非对称情形。
2026-09-18 math.FA math.MG math.PR
Universal Scaling Limits for Generalized Gamma Polytopes
固定一个空间维数$d\ge 2$，参数$α> -1$和$β\ge 1$，设$γ_{d,α, β}$为$\mathbb{R}^d$中密度与\begin{align*} ||x||^α\, \exp\left(-\frac{\|x\|^β}β\right), \qquad x\in \mathbb{R}^d. \end{align*}成正比的各向同性随机向量的概率测度。通过$K_λ$，我们将产生于$\mathbb{R}^d$中强度测度为$λγ_{d,α,β}$，$λ>0$的Poisson点过程的随机凸包的广义Gamma多面体表示为。我们建立的缩放限制的边界的$K_λ$，作为$λ\rightarrow \infty$，是由一个普遍的“花彩”分段抛物面，独立的$α$和$β$。此外，我们还列举了其他一些大规模渐近结果，包括期望和方差渐近性，中心极限定理，浓度不等式，Marcinkiewicz-Zygmund型强大数定律，以及$K_λ$的内禀体积和面数的中偏差原理.
2018-08-29 math.MG math.PR
On the geometry of random convex sets between polytopes and zonotopes
在这项工作中，我们研究了一类随机凸集，“插值”之间的多面体和zonotopes。这些集合产生于考虑$\mathbb R^n$中$N\geq n$独立随机向量序列的$1$维边缘的顺序统计量的平均值的$q^{th}$矩（$q\geq 1$）。本文考虑了各向同性对数凹分布的随机模型以及关于锥概率测度的$\ell_p^n$球（$1\leq p < \infty$）上的均匀分布，并根据支撑函数和平均宽度研究了这些集合的几何性质.我们提供了渐近公式的期望，这些几何泛函是尖锐的绝对常数。我们的模型包括和推广的标准随机多面体。
2017-01-05 math.FA math.MG math.PR
Distances between non-symmetric convex bodies: optimal bounds up to polylog
本文确定了无对称假设的n维凸体Banach-Mazur紧集直径的多对数因子最优上界，并研究了部分包含距离，证明其具有对数上界，核心依赖于各向同性对数凹测度与高斯测度的规范序双向比较。
2026-07-03 math.FA math.MG math.PR
