各向同性对数凹随机多面体空间的无维余型
Dimension-free cotype for isotropic log-concave random polytope spaces
AI总结：
研究各向同性对数凹随机多面体空间，通过替换高斯估计的方法证明其具有与 \(n\) 和 \(\mu\) 无关的余型，且余型常数仅依赖于 \(\gamma\)，还得到一个有限余型可分巴拿赫空间，其 \(k\) 维子空间巴拿赫 - 马祖尔直径为 \(k\) 阶。
摘要：
设 \(X_1,\ldots,X_N\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中具有共同各向同性对数凹分布 \(\mu\) 的独立随机向量，记 \(P_{N,n}^{\mu}:=\operatorname{conv}\{\pm X_i:1\leqslant i\leqslant N\}\)。假设 \(N/n=\gamma\geqslant \gamma_0\)，其中 \(\gamma_0>1\) 是一个绝对常数。我们证明，以至少 \(1 - C\gamma\exp(-c n^{1/4})\) 的概率，\((\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_{P_{N,n}^{\mu}})\) 的每个 \(k\) 维子空间 \(E\) 满足 \(d_{\mathrm{BM}} (E,\ell_\infty^k) \geqslant c\gamma^{-C}k^\alpha\) 对于 \(1\leqslant k\leqslant n\)，其中 \(c,C,\alpha>0\) 是绝对常数。因此，以相同概率，\((\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_{P_{N,n}^{\mu}})\) 具有余型 \(q(\gamma)<\infty\) 且余型常数仅依赖于 \(\gamma\)。证明通过将 Huang - Tikhomirov 的确定性系数方案中的高斯估计替换为各向同性对数凹随机矩阵的估计。作为应用，利用 Gluskin 定理的对数凹扩展，我们得到一个有限余型的可分巴拿赫空间，其 \(k\) 维子空间的巴拿赫 - 马祖尔直径为 \(k\) 阶，且其有限维构建块由各向同性对数凹随机多面体生成。
英文摘要：
Let $X_1,\ldots,X_N$ be independent random vectors in $\mathbb{R}^n$ with common isotropic log-concave distribution $μ$ and set $P_{N,n}^μ:=\operatorname{conv}\{\pm X_i:1\leqslant i\leqslant N\}$. Assume that $N/n=γ\geqslant γ_0$ where $γ_0>1$ is an absolute constant. We prove that with probability at least $1-Cγ\exp(-c n^{1/4})$ every $k$-dimensional subspace $E$ of $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_{P_{N,n}^μ})$ satisfies $d_{\mathrm{BM}} (E,\ell_\infty^k) \geqslant cγ^{-C}k^α$ for every $1\leqslant k\leqslant n$ where $c,C,α>0$ are absolute constants. Consequently, with the same probability, $(\mathbb{R}^n,\|\cdot\|_{P_{N,n}^μ})$ has cotype $q(γ)<\infty$ with cotype constant depending only on $γ$, in particular the cotype exponent and the cotype constant are independent of $n$ and of $μ$. The proof adapts the deterministic coefficient scheme of Huang-Tikhomirov replacing the Gaussian estimates in their argument by estimates for isotropic log-concave random matrices. As an application, using the log-concave extension of Gluskin's theorem, we obtain a separable Banach space of finite cotype for which the Banach-Mazur diameter of its $k$-dimensional subspaces is of order $k$ and whose finite-dimensional building blocks are generated by isotropic log-concave random polytopes.
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