Picard-Lefschetz theory and alien calculus: a case study
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（清华大学丘成桐数学科学中心）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京应用数学与交叉科学研究院）
本文比较Picard-Lefschetz理论与 resurgence 在三个基本一维指数积分模型中的应用，通过Airy、Bessel和Gamma模型展示两者在 Stokes 系数计算中的等价性。
2026-06-26 hep-th math-ph math.CV
Quantum tunnelling, real-time dynamics and Picard-Lefschetz thimbles
我们跟进的工作，其中根据皮卡-莱夫谢茨顶针的方法，我们分裂成两个部分的实时路径积分：初始密度矩阵的一部分，可以表示通过一个合奏的初始条件，和动态部分的路径积分，对应于在所有以后的时间在字段变量的集成。这就把路径积分转化为一个两阶段的问题，其中，对于每个初始条件，存在一个且只有一个临界点，因此在复空间中存在一个顶针，其存在性和唯一性由初始值问题的特征保证。在本文中，我们测试的方法，一个完全量子力学现象，量子隧穿在量子力学。我们比较的方法来解决的薛定谔方程数值，和经典的统计近似，自然出现在一个明确的限制。我们发现Picard-Lefschetz结果符合量子力学的预期，而对于这个应用，经典统计近似不符合。
2019-12-10 hep-lat hep-ph hep-th
Resurgence in Lorentzian quantum cosmology: No-boundary saddles and resummation of quantum gravity corrections around tunneling saddle points
该研究利用Lefschetz thimble分析和复兴理论重新审视宇宙波函数的路径积分方法，解决洛伦兹量子宇宙学中参数空间位于Stokes线导致的结构模糊问题，证明复兴在量子宇宙学中有效。
2025-04-15 gr-qc hep-th math-ph
Resurgence and Lefschetz thimble in 3d N=2 supersymmetric Chern-Simons matter theories
研究了三维$\mathcal{N}=2$ SUSY Chern-Simons（CS）物质理论中的一类超对称（SUSY）观测量，并研究了它们的精确结果与CS反能级给出的关于耦合常数的微扰级数的关系.我们表明，观测值有非平凡的复苏结构表示的确切结果作为一个完整的transseries微扰和非微扰部分组成。由于真实的质量参数是变化的，我们遇到斯托克斯现象在无穷多个点，在那里的微扰系列成为非波莱尔求和由于奇异性的正实轴上的波莱尔平面。我们还研究了当耦合常数的相位变化时的斯托克斯现象。对于这些情况下，我们发现在微扰部门的Borel模糊性被取消的那些在非微扰部门，并最终与确切的结果，即使在斯托克斯线同意一个明确的结果。我们还分解的库仑分支本地化公式，这是一个完整的表示的确切结果，到Lefschetz顶针的贡献，并研究它们是如何相关的复苏transseries。我们解释的非微扰效应出现在transseries的贡献复杂的超对称性解决方案，正式满足超对称性条件，但不是在原来的路径积分轮廓。
2018-10-19 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Lorentzian path integral for quantum tunneling and WKB approximation for wave-function
近年来，基于Picard-Lefschetz理论的洛伦兹路径积分公式在量子宇宙学中引起了广泛的关注。本文利用Lorentzian Picard-Lefschetz公式分析了量子力学中的隧穿振幅，并与传统的薛定谔方程的WKB分析进行了比较。我们证明了Picard-Lefschetz Lorentzian公式与波函数的WKB近似和利用欧几里德约束方程的解的欧几里德路径积分公式是一致的。我们还考虑了这种洛伦兹Picard-Lefschetz公式的一些问题，并讨论了洛伦兹路径积分的一个更简单的半经典近似，而不集成的失效函数。
2021-10-15 gr-qc hep-th quant-ph
Real-time Feynman path integral with Picard--Lefschetz theory and its applications to quantum tunneling
将Picard-Lefschetz理论应用于量子力学的路径积分，以直接计算实时动力学。在讨论了Lefschetz环上实时路径积分的基本性质后，通过求解三个简单的量子力学例子，具体说明了其计算方法。将其应用于双势阱的量子力学，讨论了量子隧穿。我们确定了经典作用量的所有复鞍点，并详细讨论了它们的性质。然而，将原来的路径积分改写为Lefschetz顶针上的路径积分之和，在理论上存在很大的困难。我们讨论了这个问题的一般性，并提到了它的重要性。实时隧穿过程被证明是由这些复杂的鞍点描述的，因此，如果我们能解决这个问题，实时量子隧穿的半经典描述在坚实的地面上成为可能。
2014-09-18 hep-lat hep-th math-ph
Lorentzian quantum cosmology in novel Gauss-Bonnet gravity from Picard-Lefschetz methods
在本文中，我们研究了经典和量子宇宙学的一些方面，在新的高斯-邦纳（nGB）引力在四维时空。从广义Friedmann-Lemaitre-Robertson Walker（FLRW）度规出发，考虑任意时空维$D$中的均匀性和各向同性性，我们发现理论在四维时空中的作用，其中极限$D\to4$是通过部分积分后光滑地得到的。通过因子$D-4$对Gauss-Bonnet耦合的特殊重新标度导致对作用的非平凡贡献。研究了一阶nGB耦合的运动方程系统。然后，我们继续计算从一个$3$ -几何直接在洛伦兹签名到另一个的转移概率。我们利用WKB近似和Picard-Lefschetz（PL）理论的结合来实现我们的目标。PL理论允许直接在洛伦兹签名中分析路径积分，而无需进行芯旋转。由于作用量的非线性性质所引起的复杂性，我们计算了nGB耦合到一阶的跃迁振幅。我们发现非平凡的校正来自nGB耦合的过渡振幅，即使分析是微扰。我们使用这个结果来研究经典边界条件的情况。
2020-06-03 gr-qc hep-th
Quantum phase transition and Resurgence: Lessons from 3d $\mathcal{N}=4$ SQED
研究了具有相变的量子场论的复苏结构，揭示了复苏和相变之间的关系。特别是，我们专注于三维$\mathcal{N}=4$超对称量子电动力学（SQED）与多个超多重态，其中二阶量子相变最近已被提出的大味极限。我们提供的解释的相变从莱夫谢茨顶针和复苏的观点。为此，我们研究了由超对称局部化得到的配分函数的Lefschetz顶针结构和大味展开的性质。我们表明，二阶相变被理解为一种现象，其中斯托克斯和反斯托克斯现象同时发生。相变的顺序取决于鞍在临界点的碰撞方式。此外，由于超对称性，相变伴随着无限多的Stokes现象。这些特征被适当地映射到Borel平面结构中，正如复苏理论所期望的那样。鉴于SQED的教训，我们提供了一个更一般的讨论之间的关系复苏和相变。特别是，我们展示了如何从Borel重混技术的相变的信息解码。
2021-03-25 cond-mat.str-el hep-th math-ph
Heat Kernel and Resurgence
Yau Mathematical Sciences Center, Tsinghua University（丘成桐数学科学中心，清华大学）；Beijing Institute of Mathematical Sciences and Applications（北京国际数学研究中心）
利用Picard-Lefschetz理论研究短时热核渐近的复兴结构，提出无限维Morse-Floer型问题并建立热核的Picard-Lefschetz/Alien对应，在双曲平面上验证了该框架。
2026-10-14 hep-th math-ph math.CV
Hironaka Geometry and Resurgence in Finite-$N$ Matrix Models
School of Science, Huzhou Normal University（湖州师范学院理学院）；Mandelstam Institute for Theoretical Physics, School of Physics, University of the Witwatersrand（威特沃特斯兰德大学物理学院曼德尔斯坦理论物理研究所）
该研究通过广中分解揭示有限N矩阵模型的非微扰结构，找到产生额外鞍点的分歧点，证明特定鞍点主导微扰论奇点与增长，建立了有限N不变量几何与复兴理论的联系。
2026-09-07 hep-th
All-order Resurgence from Complexified Path Integral in a Quantum Mechanical System with Integrability
本文研究了可积 U(1) 对称单自由度量子力学系统，基于 Lefschetz thimble method 计算路径积分，推导出 Noether 荷生成泛函的全阶 transseries，并证明微扰与非微扰 Borel 不确定性相消，验证了其非微扰完备性。
2022-05-16 hep-th
Hierarchies in relative Picard-Lefschetz theory
本文证明相对 Picard-Lefschetz 定理，推导迭代变化的层级约束，应用于 Aomoto 多重对数与单圈费曼积分，并引入简单类型处理退化情形，细化经典层级。
2022-12-12 hep-th math-ph math.AT
Real-Time Feynman Path Integral Realization of Instantons
在欧几里德路径积分中，量子力学隧穿振幅与瞬子组态相关联。我们解释如何隧道振幅编码在实时费曼路径积分。其基本步骤借鉴了Picard-Lefschetz理论和复苏理论。
2014-08-19 hep-th
Resurgence theory, ghost-instantons, and analytic continuation of path integrals
在路径积分公式中，一般的量子力学或量子场论系统具有实鞍和复鞍（瞬子和虚瞬子）。复苏渐近分析意味着这两种类型的鞍有助于物理观测，即使复杂的鞍不在积分路径上，即，相关的斯托克斯乘数为零。我们明确地表明，瞬子-反瞬子和鬼-反鬼鞍都影响周围的微扰真空膨胀。我们研究了一个自对偶模型，其中配分函数的解析延拓为耦合常数的负值，给出了一个病态的指数增长，但同伦独立的组合的集成周期（Lefschetz顶针）的结果在一个合理的理论。积分周期的这两种选择与量子相变有关。在我们的建设中的一般想法可能会提供新的见解非微扰QFT，弦论，量子引力和量子相变理论。
2013-08-23 hep-th
Resurgence in $η$-deformed Principal Chiral Models
研究了存在可积$η$ -形变的$SU(2)$主手征模型（PCM）.我们把理论放在具有扭曲边界条件的$\mathbb{R}\times S^1$上，然后缩小圆，得到一个有效的与Whittaker-Hill方程相关联的量子力学.利用复苏分析，我们研究了微扰理论的大阶行为，并恢复了负责IR重整化子的分形事件。由于这种$η$变形的存在，分形子从标准PCM中修改出来，但它们仍然是变形量子场论中类幺正子解的组成部分。我们还发现了新的$SL(2,\mathbb{C})$鞍，从而加强了猜想，半经典的扩展的路径积分产生了一个复苏transseries一旦写为一个总和莱夫谢茨顶针生活在一个复杂化的字段空间。最后，我们将量子力学与具有规范群$SU(2)$和$N_f=2$的$\mathcal{N}=2~$ $4$ -d规范理论的大规模变形联系起来。
2016-05-18 hep-th
Instantons in the Hofstadter butterfly: difference equation, resurgence and quantum mirror curves
我们研究了Harper-Hofstadter哈密顿量及其相应的非微扰蝴蝶谱。只要磁通量是$2π$的有理数倍，这个问题就可以代数地求解。对于这样的磁通量值，理论允许具有两个布洛赫角或$θ$角的公式。我们对待这个问题的路径积分制定，并表明，频谱接收瞬子修正。瞬子以及他们的一个回路波动的决定因素被明确发现，并发现与蝴蝶谱的数值带宽相匹配。我们的分析扩展到所有2瞬子部门与不同的$θ$角依赖于领先的顺序，并显示与数值的一致性。我们进一步认为，瞬子-反瞬子的贡献是模糊的，并取消了扰动系列的模糊性，因为他们应该。我们暗示的可能性，准确的2-瞬子解决方案负责通过皮卡德-莱夫谢茨理论的贡献。我们还提出了一个强大的方法来计算周围的1-瞬子鞍以及瞬子-反瞬子模糊性的微扰波动，通过使用拓扑弦制定。
2018-09-24 hep-th
Beyond the Dilute Instanton Gas: Resurgence with Exact Saddles in the Double Well
Harvard University（哈佛大学）
本文通过使用精确极值克服稀疏瞬子气体限制，系统计算了双井的分区函数和能级，揭示了有限温度下非微扰能级分裂的系统性产生。
2026-04-15 hep-ph hep-th
New Methods in QFT and QCD: From Large-N Orbifold Equivalence to Bions and Resurgence
我们提出了一个广泛的概念介绍非微扰QFT的一些新的想法。大- $N$ orbifold-orientifold等价将QCD的自然大- $N$极限与带有伴随费米子的QCD联系起来。具有周期边界条件和Yang-Mills双迹形变的QCD（adj）满足大- $N$体积无关性，这是一种轨道等价.在$N=\infty$处满足体积独立性的某些QFT在有限$N$处表现出绝热连续性，并且还变得在小$\mathbb R^3 \times S^1$上半经典可计算。我们讨论的作用，自旋瞬子，磁和中性bion鞍连接到质量间隙，中心和手征对称性实现。中性的bions也提供了一个弱耦合的红外重正马龙的半经典实现。这些考虑有助于激发半经典分析中路径积分（Picard-Lefschetz理论）的复化的必要性，并突出了隐藏拓扑角的重要性。最后，我们简要回顾了复活计划，这可能提供了一个新的非微扰连续定义QFT。所有这些想法都是不断连接的。
2016-01-13 hep-lat hep-th
The curious incident of multi-instantons and the necessity of Lefschetz thimbles
我们表明，超对称性与精确半经典的兼容性要求在计算多瞬子振幅时，“分离”准零模必须复杂化，积分环必须使用复梯度流（或Picard-Lefschetz方程）。作为一个非平凡的应用，我们研究了$\mathcal N=2$推广的超对称量子力学。即使在这种情况下，超对称性是未破缺的，瞬子-反瞬子振幅（简单计算）似乎对基态能量有贡献。然而，我们表明，瞬子-反瞬子事件由两部分组成：费米子相关事件和标量相关事件。虽然这两个贡献是天真的相同的符号，后者是表面上更高阶的微扰耦合，我们表明，这两个贡献完全取消时，他们被评估Lefschetz顶针由于其相对隐藏的拓扑角（HTAs）。这有力地证明了用Lefschetz顶针进行的半经典展开不仅是高阶半经典的一个有意义的规定，而且是一个必要的规定。这个推论似乎是普遍的，适用于超对称和非超对称理论。总之，我们推测，类似的阴谋是负责不形成某些分子的贡献，在理论中的瞬子有两个以上的费米零模，并没有贡献的超势。
2015-10-27 hep-th
What is QFT? Resurgent trans-series, Lefschetz thimbles, and new exact saddles
这是一个介绍性的水平审查最近的应用复苏的反系列和皮卡德-莱夫谢茨理论的量子力学和量子场论。复苏将局部扰动数据与全局拓扑结构联系起来。在量子力学系统中，这个程序提供了不同鞍点之间的构造关系。例如，在某些情况下，已经证明了瞬子鞍周围的所有信息都是在微扰理论中围绕微扰鞍编码的。在量子场论中，例如在圆上紧致化的西格玛模型，中性双介子提供了难以捉摸的IR重正马龙的半经典解释，而分数扭结瞬子导致了强标度量级的非微扰诱导能隙。在量子力学的路径积分公式中，鞍点必须通过在反（全态化）势中求解全纯牛顿方程来找到。有些鞍是复杂的，多值的，甚至奇异的，但有限的行动，他们的列入是严格必要的，以防止不一致。多值鞍点要么通过复活相消进入，要么它们的相位与隐藏的拓扑角联系在一起。我们强调的重要性，同样占主导地位的鞍点之间的莱夫谢茨顶针分解的破坏性/建设性的干涉效应。这在符号问题中尤其重要。
2015-11-18 hep-lat hep-th
Critical Points at Infinity, Non-Gaussian Saddles, and Bions
量子力学（QM）和量子场论（QFT）中的许多非微扰现象都是由复场组态决定的，这些贡献应该用Picard-Lefschetz理论来理解。在这项工作中，我们计算的贡献，从非BPS多瞬子配置，如瞬子反瞬子$[{I}\bar{I}]$对，并认为这些贡献应被解释为精确的临界点在无穷大。与此类临界点相关的莱夫谢茨顶针具有因非高斯准零模（QZM）方向的存在而产生的特定结构。当存在费米子自由度时，如在超对称理论中，有效玻色子势可以写成经典势和量子势之和。我们表明，在这种情况下，在无穷远的临界点的半经典的贡献消失，但有一个非平凡的贡献，从其相关的非高斯QZM套管。这种方法解决了文献中关于相关$[{I}\bar{I}]$对的半经典贡献的几个难题。它有一个令人惊讶的结果，支配观测量的扩展的配置，和定义莱夫谢茨顶针分解的临界点不需要是相同的，一个功能不存在于传统的皮卡德-莱夫谢茨方法。
2018-04-26 hep-ph hep-th
Structure of Lefschetz thimbles in simple fermionic systems
Picard-Lefschetz理论为解决QCD和其他具有复路径积分权的场论中的符号问题提供了一个很有前途的工具。本文在与QCD具有某些共同特征的简单费米子模型中考察了Lefschetz-thimble方法。在零维Gross-Neveu模型和Nambu-Jona-Lasinio模型下，我们研究了Lefschetz顶针的结构及其在手征相变中的变化.我们利用路径积分的顶针分解绘制了复四费米子耦合平面的相图，并证明了反斯托克斯线和李杨零点之间的有趣联系。在非零质量的情况下，它示出的手征极限的方法是奇异的，因为复杂的竞争顶针之间的取消，这意味着有必要总结多个顶针相关的对称性。我们还考虑了费米子在$0+1$维的陈-西蒙斯理论，并展示了如何莱夫谢茨顶针解决复杂的相位问题所造成的拓扑项。这些典型的例子将有助于未来的应用程序，这个框架真正的QCD。
2015-02-18 hep-lat hep-th
Lefschetz-thimble techniques for path integral of zero-dimensional $O(n)$ sigma models
利用Picard-Lefschetz积分方法研究了零维$O(n)$对称西格玛模型在小扰动下的解.由于近似对称性，向下流动显示出重要的结构：它们沿着伪经典点的集合缓慢行进，并分支到其他方向，以跨越中维积分循环。我们提出了一个有效的方法来找到这样的慢动作计算莱夫谢茨顶针。在对称性恢复的极限下，我们发现只有特殊的Lefschetz顶针组合才能作为收敛的积分环存在：其他的积分由于复杂对称群的非紧性而发散。我们还计算了向下流动的$O(2)$对称费米子系统，并确认所有这些属性也是真实的费米子。
2015-02-11 cond-mat.str-el hep-lat hep-th
More on Homological Supersymmetric Quantum Mechanics
在这项工作中，我们首先解决复杂的Morse流方程的最简单的情况下，玻色子谐振子，讨论本地化的皮卡德-莱夫谢茨理论。本文简要地讨论了玻色化超对称量子力学在代数几何基础上的精确非BPS解，并指出它们的复相位可以通过对非零亏格进行必要的上同调修正后的WKB 1-形式的奇异谱曲线的上同调得到.受Picard-Lefschetz理论的启发，我们给出了具有规范场背景$R$对称性的$\mathcal{N} = 4$量子力学指数的一般公式.我们推测，某些对称性的细化Witten指数和奇异性的模空间可以用来确定正确的交叉系数。有几个例子，这个猜想成立，显示在线性和封闭的箭图与秩1的规范群。沿“Morsified”相对同调环（也称为“Lefschetz顶针”）的$R$ -异常去除导致斯托克斯线的出现。我们证明了Fayet-Iliopoulos（FI）参数出现在$2d$ $\mathcal{N}=(2,2)$规范理论在圆上降维所产生的量子力学的相对同调的交叉系数中，并明确地计算了$\mathcal{N}=4$ $\mathbb{CP}^{k-1}$模型中沿Lefschetz环的积分.简要讨论了系数的Stokes跳跃及其与跨壁现象的关系。我们还发现，“在墙上”指数的概念是有关的不变莱夫谢茨顶针下斯托克斯现象。指出了莱夫谢茨顶针在构造量子量子力学中的一个意义。
2018-02-09 hep-th math-ph math.MP
Resurgence and the Nekrasov-Shatashvili Limit: Connecting Weak and Strong Coupling in the Mathieu and Lam'e Systems
N=2和N=2* 超对称SU（2）规范理论的低能行为的Nekrasov-Shatashvili极限分别编码在Mathieu和Lam 'e方程的谱中。这种对应关系通常通过全阶玻尔-索末菲关系表示，但这忽略了非微扰效应，其性质在电，磁和双电子区域非常不同。在规范理论的双子区，谱展开是发散的，而且确实不是Borel可和的，所以它们更适合用复苏的trans-series来描述，在trans-series中，微扰和非微扰效应被深深地纠缠在一起。在规范理论电区域中，谱展开是收敛的，但由于展开系数中的极点，存在非微扰效应，我们将其与世界线瞬子联系起来。这为Drukker、Marino和Putrov最近在ABJM矩阵模型的大N展开式中发现的一种现象提供了具体的类比，在这种展开式中，非微扰效应与复杂的时空瞬子有关。在本文中，我们研究这些非常不同的制度如何产生一个确切的WKB分析，并顺利通过磁区加入。这种方法也导致了一个简单的证明复苏关系最近发现的邓恩和Unsal，表明这些光谱系统的所有非微扰效应都巧妙地编码在微扰理论，并确定这与皮卡德-富克斯方程的量化椭圆曲线。
2015-01-22 hep-th math-ph math.MP
On Gauss-bonnet gravity and boundary conditions in Lorentzian path-integral quantization
最近，人们对使用Picard-Lefschetz方法研究洛伦兹量子宇宙学产生了浓厚的兴趣。本文以度规为场变量，研究四维时空中Gauss-Bonnet引力的洛伦兹路径积分。我们采用迷你超空间近似和研究探索不同的边界条件的变分问题。可以看出，对于混合边界条件，非平凡的影响，从高斯-邦纳部门的重力导致额外的鞍点失效在某些情况下。作为这一点的应用，我们考虑了两种不同的边界条件设置的宇宙的无边界建议，并使用Picard-Lefschetz形式主义计算过渡振幅。在第一种情况下的过渡振幅是一个叠加的洛伦兹和欧几里德的几何配置，导致干扰，包括非微扰效应来自高斯-邦纳部门的重力。在第二种复初动量情况下，我们注意到跃迁振幅是Hartle-Hawking波函数的一个类似物，它具有来自Gauss-Bonnet引力扇形的非微扰修正。
2021-05-25 gr-qc hep-th
Complex Saddles of Charged-AdS Gravitational partition function
Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文研究了带电AdS引力分区函数的复鞍点，发现不同参数范围下的鞍点对应于不同类型的黑洞或裸奇点，并通过Picard-Lefschetz方法分析其贡献，揭示了热力学和AdS/CFT的关联。
2026-02-11 hep-th
A new picture of quantum tunneling in the real-time path integral from Lefschetz thimble calculations
本文利用Picard-Lefschetz理论和广义Lefschetz thimble方法，通过Monte Carlo模拟在实时间路径积分中用复鞍点贡献表征量子隧穿，揭示了其体现为可测的复“弱值”，并探讨了向经典动力学的转变。
2023-08-02 cond-mat.stat-mech gr-qc hep-lat
Monte Carlo studies of quantum cosmology by the generalized Lefschetz thimble method
本文采用广义Lefschetz thimble方法的蒙特卡洛计算克服符号问题，超越极小超空间与鞍点近似研究量子宇宙学，证实Robin边界条件可使Vilenkin或Hartle-Hawking鞍点变得相关，并澄清了lapse函数积分域及复几何中读取实几何等基本问题。
2025-04-07 gr-qc hep-lat hep-th
Backpropagating Hybrid Monte Carlo algorithm for fast Lefschetz thimble calculations
Picard-Lefschetz理论作为一种求解复权多元积分的工具，在理论物理中的许多重要问题中都有应用，因而引起了人们的广泛关注。这个想法是变形的基础上柯西定理使用所谓的梯度流方程的积分轮廓。在本文中，我们提出了一种快速的混合蒙特卡罗算法的积分，在那里我们“反向传播”的变形轮廓上的虚构的Hamilton动力学的力的原始轮廓，从而减少所需的计算成本的一个因素的系统大小。我们的算法可以很容易地扩展到的情况下，其中一个集成的流动时间，以解决不仅是符号的问题，但也遍历性问题时发生的有一个以上的顶针贡献的积分。这尤其使得能够有效地识别所有主导鞍点和相关联的套管。我们测试我们的算法通过计算的实时演变的波函数使用的路径积分形式主义。
2022-04-01 cond-mat.stat-mech hep-lat hep-th
Scattering Amplitudes from Intersection Theory
我们利用Picard-Lefschetz理论证明了一个新的公式的交叉数的扭曲的上圈与一个给定的安排超平面。在一个特殊的情况下，当这种安排产生的模空间的穿孔黎曼球，交叉数成为树级散射振幅的量子场论在卡查佐-何-袁公式。
2018-04-06 hep-th math-ph math.AG
The Power of Perturbation Theory
我们研究具有离散谱的量子力学系统。我们表明，与某些路径的最速下降（Lefschetz顶针）的渐近级数是Borel可逼近的全部结果。使用几何方法的基础上的Picard-Lefschetz理论，我们表征的条件下，微扰膨胀导致准确的结果。即使这些条件不满足，我们解释如何定义一个不同的微扰展开，再现完整的答案，而不需要transseries，即非微扰效应，如实（或复）瞬子。几个量子力学系统的应用。
2018-01-31 cond-mat.stat-mech hep-ph hep-th
Coherent states versus Glauber-Sudarshan States: Bootstrapping, Schwinger-Keldysh Contours and Lefschetz Thimbles
University of Lethbridge（莱斯布里奇大学）；McGill University（麦吉尔大学）
研究在四维微分同胚不变理论中构建格劳伯-苏达山态，通过正则形式体系和路径积分分析其与相干态差异，检验构建一致性，表明其动力学受自举关系支配，还研究相关方程及态的结构解释。
2026-08-04 gr-qc hep-th
A new look at the Helmholtz equation: Lefschetz thimbles and the einbein action
Picard-Lefschetz理论适用于亥姆霍兹方程的解，该方程用一个适当时间或“einbein”波函数$Ψ(Λ) = \exp(i\mathbb S(Λ))$沿由$Ψ$的基本奇点所限定的复杂轮廓的积分之和来表示。在连接本质奇点和实或复本征射线的最陡下降路径之间存在一对一的映射。证明了$\mathbb S(Λ)$的有限$Λ$极点的残数在对应于源的空间点处为零，只要极点仅限定一条最陡下降路径，如果和包括两条这样的路径，其中一条起始于同一极点，另一条终止于同一极点，则残数为零的点不是源，而是焦散曲线可能具有奇点（如尖点）的轨迹.讨论了Thom-Arnold灾变分类中的生成函数与$\mathbb S$之间的映射。关于复化参数定义的折射率，或格林函数的空间端点的解决方案集的Monodromies，平凡地确定从$\mathbb S(Λ)$的奇点。我们构造了$\mathbb S$在有限$Λ$上关于极点的罗朗级数展开的一个变体.在这种展开式中，每一阶系数的表达式往往可以精确地给出。基于Laurent级数展开，我们提出了一个变化的Padé近似的$\mathbb S$，与意图捕获额外的极点和相关的尖焦散，这是不可见的Laurent级数展开。
2019-07-26 hep-th math-ph math.MP
From multi-gravitons to Black holes: The role of complex saddles
将Atiyah-Bott-Berline-Vergne等变积分公式应用于二维积分，得到了计算$4d$ $\mathcal{N}=1$超共形指数的矩阵积分表示的方法.最后的公式使我们能够很容易地提取某些理论的大秩展开的解析结果。作为一个例子，我们计算了这些理论中已知复鞍有效作用量的领先单圈修正。对于$SU(N)$ $\mathcal{N}=4$ SYM的超共形指数，我们利用等变积分公式和Picard-Lefschetz方法证明了在$N$足够大的情况下，在已知的复鞍点中，只有两个鞍点支配着大算子的计数，即带$N^2$阶电荷的算子的计数.其他已知的复杂的鞍的贡献是存在的，但我们表明，他们是指数抑制在该范围内的费用，越小的费用越少抑制他们，并最终，计数小运营商，即运营商的费用小于$N^{2/3}$，像多重引力子，他们不能被忽略。
2020-12-09 hep-th
Complex Saddles and Euclidean Wormholes in the Lorentzian Path Integral
本文研究了四维轴子引力的洛伦兹路径积分的复鞍点及其在3形式通量下的对偶描述，其中包括Giddings-Strominger欧氏虫洞。跃迁振幅的计算使用洛伦兹路径积分和Picard-Lefschetz理论的帮助下。鞍的数量和性质示出定性的变化中存在的一个bilocal运营商，可能会出现，例如，作为一个结果，考虑更高的拓扑结构转换。我们还分析了Giddings-Strominger虫洞在3-form图中的稳定性，发现它代表了引力路径积分的微扰稳定的欧氏鞍。这让人质疑在紫外线完备的量子引力理论中，这些解的最终命运。
2022-03-22 gr-qc hep-th
Lorentzian Quantum Cosmology
我们认为，洛伦兹路径积分是一个更好的起点量子宇宙学比欧几里德版本。特别地，我们重新审视了具有正宇宙学常数的量子引力的费曼路径积分的小超空间计算。我们利用Picard-Lefschetz理论将度量积分的轮廓变形到复平面上，而不是旋转到欧氏时间，从而将路径积分从条件收敛的积分转化为绝对收敛的积分.我们表明，这一过程明确地确定哪些半经典鞍点解是相关的量子力学振幅。施加“无边界”初始条件，即，将注意力限制在没有初始边界的正则复度量上，我们发现支配鞍贡献了一个半经典指数因子，它正好是著名的Hartle-Hawking结果的{ \it逆}。
2017-03-06 gr-qc hep-th
Complex classical paths in quantum reflections and tunneling
本文用 Picard-Lefschetz 路径积分和实、复经典路径研究对称 Rosen-Morse 势垒的实时传播子，揭示奇点交叉在量子隧穿实时描述中的核心作用。
2023-09-21 hep-th quant-ph
Vacuum decay in the Lorentzian path integral
该研究将洛伦兹路径积分用于伪真空衰变研究，借助Picard-Lefschetz理论形变积分围道实现收敛，验证了临界泡成核率指数与欧几里得方法一致，并拓展了非临界泡成核的计算适用范围。
2022-01-14 astro-ph.CO gr-qc hep-ph
No smooth beginning for spacetime
我们确定了一个基本的障碍，任何理论的宇宙开始，制定为一个半经典的路径积分。哈特尔和霍金的无边界提议和维伦金的隧道提议是这种理论的例子。每个都可以被公式化为量子振幅，用于通过对4个几何形状进行积分来获得最终的3个几何形状。本文介绍了一种新的数学工具- Picard-Lefschetz理论-用来定义引力的半经典路径积分。在这种方法中，具有正宇宙学常数的量子宇宙学的洛伦兹路径积分是有意义的，但欧几里德版本不是。以这种方式构建，由此产生的框架和预测是独一无二的。不幸的是，结果是原始张量（引力波）波动未被抑制。我们证明了一个一般定理，这种效果，在广泛的一类理论。
2017-08-16 gr-qc hep-th
The Double Well Done Doubly-Well
Harvard University（哈佛大学）
本文通过精确WKB和欧几里得路径积分两种互补方法，以统一符号和显式计算至四瞬子级和三圈阶，给出了对称双阱势能级瞬子展开的完整自洽描述，揭示了微扰与非微扰物理的深层纠缠。
2026-06-03 hep-ph hep-th quant-ph
Functional methods for false vacuum decay in real time
本文给出了在量子力学和场论中计算隧道效应的费曼路径积分的实时方法，包括第一量子修正。为此目的，我们使用了众所周知的事实，即实域的欧几里得鞍点可以解析地继续到闵可夫斯基空间中作用的复鞍。我们还使用Picard-Lefschetz理论，以确定中维最陡下降面在复杂的领域空间，从Lefschetz套管，路径积分是要执行。作为从假真空基态能量的虚部中提取衰减率的替代方案，我们使用光学定理，以便从前向散射的实时振幅中导出衰减率。虽然这个振幅原则上可以通过解析延拓其欧几里得对应物来获得，但我们详细研究了如何在路径积分的水平上将其计算到单圈阶，即计算有关复鞍点波动的高斯积分。为此，我们展示了如何顶针的特征值和特征函数可以通过解析延续的欧几里德本征系统，我们确定的路径积分措施顶针。通过这种方式，使用实时方法，我们恢复了Callan和Coleman对衰减率的单循环结果。最后，我们明确地展示了我们的实时方法，包括复杂的鞍的本征系统的建设，在准退化的四次势隧穿的典型例子。
2019-12-15 hep-ph hep-th
Sign problems in path integral formulations of quantum mechanics and quantum statistics
现在，“符号问题”这个术语被用来识别两个不同的问题。克服Feynman路径积分中强振荡复数值积分的第一类“符号问题”的思想来自Picard-Lefschetz理论和Morse理论的复形式。其主要思想是选择莱夫谢茨顶针作为接近路径积分临界点的循环，其中复数作用量的虚部保持不变。由于作用在每个顶针上的虚部是恒定的，符号问题消失了，积分可以更有效地计算。本文基于Metropolis - Hastings算法，提出了一种计算强振荡被积函数积分的新方法。进行了简单的试验计算，并与已有的分析结果进行了比较。第二类“符号问题”是在用路径积分方法研究费米系统时出现的，它是由密度矩阵的实值矩阵元反对称化的要求引起的。在量子力学的Wigner公式中讨论了相空间中有效对赝势的显式解析表达式。得到的赝势允许考虑费米统计效应，因为实现了由于相同费米子之间的排斥而导致的费米子的泡利阻塞，这防止了它们占据相同的相空间单元。为了检验这种方法，计算的动量分布函数的理想系统的费米粒子已经提出了一个广泛的范围内的动量和简并参数。
2020-03-02 cond-mat.stat-mech hep-lat hep-th
Lorentzian worldline path integral approach to Schwinger effect
我们证明了在三种不同的规范下，复标量场在恒定电场中的正频率模（Schwinger模）可以表示为精确的洛伦兹世界线路径积分振幅。虽然模式函数的数学形式在每个规范不同，我们表明，一个简单的处方洛伦兹世界线的边界条件分配的Schwinger模式在所有三个规范（我们认为）在一个统一的方式。在此之后，使用我们的形式主义，我们推导出确切的Bogoliubov系数，因此，粒子数，\textit{without}呼吁众所周知的连接公式抛物柱面函数。考虑到在一般电磁场配置中，人们没有封闭形式解的奢侈品，这个结果特别相关。我们认为，实时世界线路径积分的方法可能是一个很有前途的替代在这种非平凡的情况下。我们还演示了，使用皮卡德-莱夫谢茨理论，如何出现所谓的世界线瞬子自然从相关的鞍点是复杂的。
2021-11-20 gr-qc hep-th
Dimensional (In)dependence of Lorentzian Quantum Cosmology
RIKEN Center for Interdisciplinary Theoretical and Mathematical Sciences (iTHEMS), RIKEN（理化学研究所交叉理论数学科学中心（iTHEMS））；Graduate School of Science and Engineering, Saitama University（埼玉大学理工学研究科）；Osaka Central Advanced Mathematical Institute (OCAMI), Osaka Metropolitan University（大阪公立大学大阪中央高级数学研究所（OCAMI））；Department of Physics, College of Humanities and Sciences, Nihon University（日本大学人文科学部物理学系）；Center for Gravitational Physics and Quantum Information, Yukawa Institute for Theoretical Physics, Kyoto University（京都大学汤川理论物理研究所引力物理与量子信息研究中心）；Kobayashi-Maskawa Institute for the Origin of Particles and the Universe, Nagoya University（名古屋大学小林-益川粒子宇宙起源研究所）
本研究通过洛伦兹路径积分和Picard-Lefschetz理论，在德西特迷你超空间近似下研究D维时空的量子宇宙跃迁振幅，发现隧穿提议在三维、四维、五维及大D极限中普遍成立，表明基于爱因斯坦引力的量子宇宙学具有跨维度普适性。
2026-09-29 gr-qc hep-th
Remote Hawking-Moss instanton and the Lorentzian path integral
该研究通过洛伦兹路径积分和Picard-Lefschetz理论，证明远程霍金-莫斯跃迁的量子隧穿振幅小于传统振幅，且随场距离增大而显著抑制。
2025-02-28 gr-qc hep-th
Lorentzian quantum cosmology with $R^2$ correction
量子力学跃迁振幅直接告诉每个跃迁的概率以及哪个跃迁更有利。路径积分提供了一个系统的方法来计算这个量子力学过程中的一致的方式。虽然在简单的量子力学系统中并不复杂，但在量子引力的背景下，合理地定义路径积分变得非常重要，除了通常的可重正化性，正则化，测量，规范固定，边界条件等问题外，人们仍然必须定义收敛的合理积分轮廓。Picard-Lefschetz（PL）理论提供了一种独特的方法来找到一个基于鞍点和最陡的下降/上升流线在复平面上的分析积分的轮廓。本文利用PL-理论研究了引力在紫外光下经过$R^2$修正后的洛伦兹量子宇宙学。我们处理的问题微扰和计算过渡振幅鞍点近似的一阶高导数耦合。这种微扰近似在某些情况下是有效的，但这种近似不能用来解决非常早期的宇宙或无边界的问题。
2019-12-16 gr-qc hep-th
Complex actions and causality violations: Applications to Lorentzian quantum cosmology
对于引力的洛伦兹路径积分的构造，人们面临两个主要问题：第一，包括什么配置，特别是是否允许违反因果关系条件的洛伦兹度量。第二，如何计算无界区域上的高振荡路径积分。依靠Picard-Lefschetz理论解决离散Regge引力的第二个问题，我们将说明它也可以回答第一个问题。为此，我们将定义Regge作用的复杂化变量和研究其分析延续。虽然以前有两个不同的版本定义的洛伦兹Regge作用，我们将证明复杂的作用是唯一的。更确切地说，从行动的不同定义出发，我们可以得到等价的分析扩展。两个洛伦兹版本之间的差异只体现在分支切割上，这是由于某类违反因果关系的配置而产生的。作为应用，我们讨论了离散deSitter宇宙有限演化步长的路径积分.我们将特别考虑从消失到有限尺度因子的演化，其中路径积分定义了无边界波函数。
2022-03-02 gr-qc hep-th
Lorentzian Robin Universe of Gauss-Bonnet Gravity
研究了高斯-邦纳引力场的引力路径积分，分析了类空边界位形到另一类边界位形的跃迁。特别令人感兴趣的是诺依曼和罗宾边界条件的情况下，这是已知的，导致一个稳定的宇宙在爱因斯坦-希尔伯特引力在四维时空。在建立变分问题和计算必要的边界项后，在最小超空间近似下用\emph{exactly}计算了跃迁振幅。$\hbar\to0$极限给出了路径积分中的主要部分，并将其追踪到对应于Hartle-Hawking无边界宇宙的初始组态。更深入的研究，涉及皮卡德-莱夫谢茨方法，不仅使我们能够找到的积分轮廓沿路径积分变得收敛，但也有助于理解的交叉从欧几里德洛伦兹签名。鞍形分析进一步突出了对路径积分起主导作用的边界构型，这被认为是对应于Hartle-Hawking无边界方案的边界构型，并与精确计算相一致。为了保证完整性，与Wheeler-DeWitt方程的结果进行了比较。
2025-02-03 gr-qc hep-th
Surprises in Lorentzian path-integral of Gauss-Bonnet gravity
本文研究了四维时空中小超空间近似下Gauss-Bonnet引力的Lorentz路径积分，并研究了从一种组态到另一种组态的跃迁振幅。过去的研究激励我们施加诺依曼边界条件的初始边界，因为它们导致稳定的行为的波动。在考虑高斯-邦纳重力场的非平凡贡献的同时，精确计算了跃迁振幅。一个鞍点分析涉及使用Picard-Lefschetz方法，使我们能够进一步了解过渡振幅的性质。小尺度宇宙本质上是欧几里得的，表现为波函数呈指数上升。它达到一个峰值，之后波函数变得振荡，表明时间的出现和宇宙的洛伦兹相位。当宇宙学常数与Gauss-Bonnet耦合有某种特殊关系时，我们还注意到一个有趣的假设情况，即宇宙的波函数变得与初始条件完全无关。然而，这并不意味着初始动量是任意的，因为它需要固定在一个特定的值，这个值是通过要求宇宙在初始时刻的规律性和波动的稳定性来选择的。
2022-04-04 gr-qc hep-th
Real-time quantum dynamics, path integrals and the method of thimbles
实时路径积分的直接数值计算有一个众所周知的符号问题，使收敛指数缓慢。一个有希望的补救措施是使用Picard-Lefschetz理论将场变量的域流到复平面中，在复平面中积分表现得更好。根据柯西定理，路径积分的终值不变。以前的分析已经考虑的情况下，真正的标量场的热平衡，采用封闭的Schwinger-Keldysh时间轮廓，允许评估的全量子关联函数。在这里，我们通过不需要封闭的时间路径来扩展分析，而是允许初始密度矩阵用于平衡初值问题。我们能够显式地实现高斯初始条件，并通过将初始时间和后续时间分离为两步Monte-Carlo采样，我们能够避免多个顶针的现象。实际上，对于初始密度矩阵的每个样本成员，存在且仅存在一个顶针。我们证明了这种方法，通过明确计算的实时传播的相互作用标量在0+1维，并找到很好的收敛性，允许与微扰理论和经典统计近似实时动态比较。
2019-06-18 hep-lat hep-ph hep-th
Which Saddles Contribute? The South-East Rule for Multidimensional Integrals
University of Southampton（南安普顿大学）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）
提出一种基于复Borel平面中临界点值、邻接关系和几何“东南”规则的简单算法，用于确定多维指数积分中起贡献的临界点，无需计算Picard-Lefschetz流，适用于有界和无界函数。
2026-07-29 gr-qc hep-th math-ph
Lorentzian quantum cosmology with torsion
本研究利用Picard-Lefschetz理论计算带非零挠率的洛伦兹引力路径积分，验证半经典波函数与Wheeler-DeWitt方程解的一致性，分析挠率对宇宙相对概率及暴胀、反弹模型功率谱的影响，为宇宙学观测提供理论参考。
2024-04-12 astro-ph.CO gr-qc hep-th
