A formalization of Borel determinacy in Lean
University of Bonn（波恩大学）
本文在Lean 4中形式化了博雷尔决定性，定义了加莱-斯图尔特游戏并证明了马丁定理，表明所有博雷尔游戏都是决定性的。
2026-03-09 math.LO
Determinacy of adversarial Gowers games
我们证明了向量空间中块序列的$G_{δσ}$集的一个博弈论二分法，一方面，它推广了W. T. Gowers证明了块序列的解析集，另一方面，M。Davis关于$G_{δσ}$确定性的证明。
2012-08-11 math.FA math.LO
Determinacy and Δ^1_3-degrees
设D = { d_n }是Delta^1_3度的可数集合。假设所有整数上的协分析对策都是确定的（或者等价地说所有实数都有“sharps”），我们证明了D有一个Delta^1_3-极小上界，或者对任意n，以及对d_n中递归的每个实数r，点类Delta^1_2（r）中的对策都是确定的。这是使用核心模型论证明的。
1996-08-06 math.LO
Higher Type ITTM-recursion and Determinacy of Infinite Games
University of Bristol（布里斯托大学）
本文发展了无限时间图灵机的高阶类型递归理论，证明了其停机问题的复杂度等价于完全的 $\Game \Sigma^0_3$ 集，并刻画了不可递归的最小序数。
2026-06-24 math.LO
The determinacy of infinite games with eventual perfect monitoring
n个无限两人零和对策，博雷尔获胜集，其中对手的行动最终被监视，但不一定立即后，他们发挥，是确定的。证明依赖于一个表示的游戏作为一个随机对策与完美的信息，其中的机会作为一个代表的球员和执行随机化，为他们，和马丁定理的确定性，这样的游戏。
2011-07-05 math.LO math.PR
On Determinacy for Cut and Choose Games of Uncountable Length
研究关于完备布尔代数的切选博弈，在适当类超紧基数一致性假设下，证明极限版本博弈对所有完备布尔代数和后继基数λ一致可决定，还表明博弈不可决定实例与其他性质的关系。
2026-07-07 math.LO
The Fan Theorem, its strong negation, and the determinacy of games
在基本直觉主义数学中，证明扇形定理等价于可数选择公理逆否命题及直觉主义决定性定理等，而克莱尼替代等价于其强否定。
2023-11-12 math.LO
Infinite Matroids and Determinacy of Games
解决了Diestel和Pott的一个问题，构造了一大类无限拟阵。这些结果可以用来提供反例反对良拟序猜想到无限拟阵的自然扩张，并证明平面无限拟阵类不具有泛拟阵.这些拟阵的存在与集合论有联系，因为它对应于某些博弈的确定性。为了表明我们的建设给拟阵，我们引入了一个新的非常简单的公理化类可数驯服拟阵。
2013-01-25 math.CO math.LO
Blackwell Games
布莱克威尔博弈是不完全信息的无限对策。两个玩家同时采取行动，然后被告知对方的行动。收益由Borel可测函数$f$在可能的移动序列上确定。对策论中的一个标准结果是这种类型的有限对策是确定的。布莱克威尔证明了无限对策是确定的，但仅限于支付函数是开放或$G_δ$集的指示函数的情况。对于完全信息的博弈，任意波莱尔复杂性的博弈的确定性已经被证明。在本文中，我证明了一个$G_{δσ}$集上的Blackwell游戏的确定性，以类似于戴维斯的方式证明了游戏的$G_{δσ}$复杂性的完美信息的确定性。也有大量的文献关于假设AD的后果，这是一个公理，即所有这样的完全信息博弈都是确定的。在本文的最后一节，我制定了一个类似的公理的游戏不完美的信息，并探讨了一些后果，这条公理。
1996-04-12 math.LO
Infinite Games Specified by 2-Tape Automata
证明了2带Büchi自动机所接受的获胜集为无穷有理关系的Gale-Stewart对策的决定性等价于（有效）解析Gale-Stewart对策的决定性，这是一个大基数假设.然后，我们证明，获胜的策略，当他们存在，可以是非常复杂的，即高度非有效的，在这些游戏。我们证明了相同的结果与Gale-Stewart游戏的实时1-计数器Büchi自动机接受的胜利集，然后扩展了以前的结果，这些游戏。然后我们考虑了这些对策的确定性强度，证明了存在一个由递归序数索引的2带Büchi自动机（分别为实时1计数器Büchi自动机）$A_α$的超限序列，使得这些对策$G(L(A_α))$具有严格递增的确定性强度.此外，存在一个2带Büchi自动机（分别为实时1计数器Büchi自动机）B，使得G（L（B））的决定性等价于（有效）解析决定性，从而具有最大的决定性强度。我们还表明，Wadge游戏的确定性之间的两个球员负责的2-磁带Büchi自动机接受的无穷理性关系是等价的（有效）的分析确定性，因此不能证明ZFC。
2013-12-13 cs.GT cs.LO math.LO
The Determinacy of Context-Free Games
我们证明了其获胜集被实时1-计数器Büchi自动机接受的Gale-Stewart博弈的确定性等价于（有效）解析Gale-Stewart博弈的确定性，这是一个大基数假设.我们还证明了1-计数器Büchi自动机所接受的负责omega语言的两个玩家之间的Wadge游戏的确定性等价于（有效的）解析Wadge确定性。利用集合论的一些结果，证明了可以有效地构造一个1-计数器Büchi自动机A和一个Büchi自动机B，使得：（1）在Wadge对策W（L（A），L（B））中存在一个参与人2具有获胜策略的ZFC模型;（2）存在一个Wadge对策W（L（A），L（B））不确定的ZFC模型.此外，这是仅有的两种可能性，即不存在参与人1在Wadge游戏W（L（A），L（B））中具有获胜策略的ZFC模型。
2011-12-06 cs.GT cs.LO math.LO
The Determinacy of Context-Free Games
我们证明了其获胜集被实时1-计数器Büchi自动机接受的Gale-Stewart博弈的确定性等价于（有效）解析Gale-Stewart博弈的确定性，这是一个大基数假设.我们还证明了1-计数器Büchi自动机所接受的负责omega语言的两个玩家之间的Wadge游戏的确定性等价于（有效的）解析Wadge确定性。利用集合论的一些结果，证明了可以有效地构造一个1-计数器Büchi自动机A和一个Büchi自动机B，使得：（1）在Wadge对策W（L（A），L（B））中存在一个参与人2具有获胜策略的ZFC模型;（2）存在一个Wadge对策W（L（A），L（B））不确定的ZFC模型.此外，这是仅有的两种可能性，即在Wadge博弈W（L（A），L（B））中不存在参与人1具有获胜策略的ZFC模型。
2013-12-12 cs.GT cs.LO math.LO
A game on partial orderings
本文研究了文献[FKSh：549]中引入的对策G_kappa（A）对不可数正则kappa和几类偏序A的决定性.在树或布尔代数中，我们总能找到一个A使得G_kappa（A）是待定的。对于线性序类，这样的A的存在依赖于kappa^{< kappa}的大小。特别地，我们得到了kappa^{< kappa}= kappa的一个特征，它是关于线性序L的博弈G_kappa（L）的决定性的.
1995-05-15 math.LO
A determinacy approach to Borel combinatorics
我们介绍了一种新的方法，涉及无限对策和博雷尔确定性，我们用它来回答几个著名的问题，博雷尔组合。
2015-06-02 math.CO math.LO
From winning strategy to Nash equilibrium
对策论通常被认为是应用数学，但一些博弈论的结果，如波莱尔决定性，是由数学家为广义数学发展的。这些结果通常表明了确定性，即在涉及两个参与者和两个结果的游戏中存在获胜策略。在多结果环境中，获胜策略的概念是无关紧要的，但通常被（纯）纳什均衡的概念忠实地取代。本文证明了任意博弈结构（如树）上的每个确定性结果都可以转化为同一博弈结构上多结果（纯）纳什均衡的存在性。均衡转移定理要求策略集和偏好分别满足基数或序理论条件，而反例表明，每个要求都是相关的，尽管可能是可以改进的。当结果是多个时，证明提供了一个计算纳什均衡的算法，与两个结果的情况相比，没有显着的复杂性损失。作为应用的例子，本文推广了Borel决定性、奇偶对策的位置决定性和Muller对策的有限记忆决定性。
2014-05-08 cs.FL cs.GT math.LO
Binary Choice Games and Arithmetical Comprehension
Institute of Discrete Mathematics and Geometry, Vienna University of Technology（维也纳工业大学离散数学与几何研究所）
本文证明算术可理解性等价于所有 clopen 整数博弈的可判定性，且每名玩家每轮至多有两个选择。
2025-10-14 math.LO
Hierarchies of Beliefs and Measurable Uniformizations
The Cooper Union for the Advancement of Science and Art（科珀联盟科学与艺术促进会）
本文扩展了元博弈理论的基本定理，探讨了在不同支付和策略空间条件下，理性化策略与理性和共同信念的一致性，并揭示了其与可测量均匀化原理的关系。
2025-12-01 math.LO
$F_σ$ Games and Reflection in $L(\mathbb{R})$
证明了长度为$ω^2$的$F_σ$对策的确定性等价于KP + AD的传递模型的存在性，该模型包含实数并反映了关于下一个容许集的$Π_1$事实.
2019-06-27 math.LO
A game for Baire's grand theorem
本文通过构造一个博弈来刻画贝尔第一类函数，并证明其确定性与贝尔大定理的推广等价，且在AD和Solovay模型中成立。
2024-01-28 math.LO
Intersection Games and Bernstein Sets
University of North Texas（北德克萨斯大学）
本文针对Banach-Mazur、Schmidt、McMullen绝对必胜三类典型相交博弈，探究目标集为依赖选择公理构造的勒贝格不可测伯恩斯坦集时，博弈在实数轴上的决定性。
2023-10-14 math.LO
How unprovable is Rabin's decidability theorem?
我们研究的强度集理论公理需要证明拉宾定理的MSO理论的无限二叉树的可判定性。我们首先表明，树自动机的互补定理，它形成的技术核心的典型证明拉宾定理，相当于中等强度的二阶算术理论$\mathsf{ACA}_0$的确定性原则所隐含的位置确定性的所有奇偶游戏和隐含的确定性的所有盖尔-斯图尔特游戏的布尔组合的${\bf Σ^0_2}$集。因此，树自动机的互补可从$Π^1_3$ -而不是$Δ^1_3$ -理解证明。然后，我们使用MedSalem-Tanaka，Möllerfeld和Heinatsch-Möllerfeld的结果证明，在$Π^1_2$ -理解上，树自动机的互补定理，无限二叉树的MSO理论的可判定性，奇偶博弈的位置确定性和$\mathrm{Bool}({\bf Σ^0_2})$ Gale-Stewart博弈的确定性都是等价的。此外，这些语句等价于$Π^1_2$ -理解的$Π^1_3$ -反射原理。特别是，拉宾的可判定性定理在$Δ^1_3$ -理解中是不可证明的。
2015-08-27 cs.FL cs.LO math.LO
Open class determinacy is preserved by forcing
开放类确定性原则通过驯服前的类强制来保留，并且在这样的强制之后，每个新的类良序都与基模型类良序同构。类似地，对于固定类良序$Γ$，初等超限递归$\text{ETR}_Γ$的原理通过预驯服类强制来保持。完整的原则ETR本身是由可数策略封闭的预驯服类强迫保持的，并且在这样的强迫之后，每个新的类良序同构于一个基模型类良序。与此同时，ETR是否被所有的强迫所保持，包括仅仅增加一个科恩雷亚尔的强迫，仍然是一个未知数。
2018-06-28 math.LO
The Stationary Set Splitting Game
\emph{stationary set splitting game}是两个参与者\unspls和\spl之间的长度为$ω_{1}$的完全信息博弈，其中\unspls选择固定的许多可数序数，而\spls试图不断地将它们分成两个固定的部分。我们表明，在ZFC中，有可能迫使任何一个玩家采取获胜策略，或者两者都不采取。这给出了一个新的反例，$Σ^{2}_{2}$极大性与谓词的非平稳理想$ω_{1}$，和一个例子，一个一贯未定的游戏长度$ω_{1}$与支付定义在二阶一元逻辑的顺序。我们还表明，游戏的确定性是符合马丁的公理，但不是马丁的最大值。
2010-03-11 math.LO
Variations on $Δ^1_1$ Determinacy and $\aleph_{ω_1}$
我们考虑了$Δ^1_1$图灵决定性的一种看似较弱的形式。设$2 \leq ρ< ω_1^{\textrm{CK}}$，$\textrm{Weak-Turing-Det}_ρ(Δ^1_1)$是这样的陈述：每一个$Δ^1_1$在图灵度中共尾的实数集合包含两个图灵不同的，$Δ^0_ρ$等价的实数。我们在$\textrm{ZF}^-$中证明：$\textrm{Weak-Turing-Det}_ρ(Δ^1_1)$意味着：对于每个$ν< ω_1^{\textrm{CK}}$，都有一个传递模型：$M \models \textrm{ZF}^- + \aleph_ν\textrm{ exists}$。作为推论：如果每一个图灵度的共尾$Δ^1_1$集合都包含一个度和它的跳跃，那么对于每一个$ν< ω_1^{\textrm{CK}}$，都有一个传递模型：$M \models \textrm{ZF}^- + \aleph_ν\textrm{ exists}$。--通过一个简单的证明，这改进了哈维·弗里德曼在博雷尔确定性的基础上的一个著名结果（尽管没有逐层评估）。--引用Tony Martin对Borel确定性的证明，$\textrm{Weak-Turing-Det}_ρ(Δ^1_1)$蕴含$Δ^1_1$确定性。我们进一步表明，$Δ^1_1$确定性赋予弱确定性性质的类$Σ^1_1$。
2022-06-17 math.LO
An exact Ramsey principle for block sequences
我们证明了一个精确的，即，在没有$Δ$ -展开式的情况下，给出了可数域上向量空间中无限块序列的Ramsey原理，其中二分原理的两边分别用Gowers块序列博弈中的获胜策略和无限渐近博弈中的获胜策略来表示.这使我们能够恢复Gowers'二分定理块序列在赋范向量空间的一个简单的应用程序的基本决定性定理的无限渐近游戏。
2008-07-14 math.FA math.LO
$AD_{\mathbb{R}}$ implies that all sets of reals are $Θ$ universally Baire
$AD_{\mathbb{R}}$是实数上博弈的确定性公理（即，玩家玩真的。我们表明，它意味着所有的实数集是θ-普遍Baire。作为推论，我们得到了一个模型，其中$AD$成立，所有实数集都是完全泛Baire的.这一模型最早由Larson、Sargsyan和Wilson提出。我们的结果补充它的技术是纯粹的描述集理论。
2021-10-12 math.LO
Categorical concepts and their generalization by means of game theory (german: Kategorien-Konzepte und ihre spieltheoretische Verallgemeinerung)
本文讨论了表征数学对象大小的不同概念。博弈论的调查和推广的两个大小的概念，这都可以制定在拓扑方面，提供了：所谓的"Baire类别"和"$σ$-类别"。这主要是通过使用确定性公理的（广义）巴拿赫-马祖尔博弈来完成的（AC和AD的不一致性在开始时就反映出来了，并且选择了AC的较弱形式进行证明）。证明了Cantor-Bendixson和Heine-Borel的相应形式以及一些可定义性结果。这样的尺寸概念是由f.i.在测度论和积分论中，集合论和拓扑学经常导致"future"数学精确公式。在测度与积分理论中，对于"测度空间" $(Ω, \underline{A}, μ)$-即$Ω$是非空集，$\underline{A}$是$σ$-$Ω$上的代数，$μ$是$(Ω,\underline{A})$上的测度-以及$Ω$的元素的性质$E \subset Ω$，性质$E$在集合$A\in\underline{A}$ "$μ$-几乎处处"中有效，如果$E$在$A$中为真，则直到"$μ$-空集合"-即$\exists N\in\underline{A}{ } (μ(N)=0 \wedge A\cap N^\complement \subset E)$。这是至关重要的制定唯一性声明的措施和积分理论，因为它的定理通常只适用于"小"（$μ$-空）集。关键词：选择公理AC，确定性公理AD，Baire范畴定理，Bai…
2014-06-08 math.GN math.LO
Robust No-Arbitrage under Projective Determinacy
本文在射影确定性公理扩展的ZFC集合论下，提出统一处理价格、先验和交易策略可测性的射影框架，在更优雅一致的假设下刻画了稳健无套利条件，并证明了稳健效用最大化问题解的存在性。
2025-06-28 math.LO q-fin.MF
Analytic equivalence relations satisfying hyperarithmetic-is-recursive
在ZF+ $\bfΣ^1_2$ -决定性中，我们证明了对于任何解析等价关系$E$，以下三个陈述是等价的：（1）$E$不具有完全多的类，（2）$E$满足锥上的超算术递归，以及（3）相对于某个预言，对于每个等价类$[Y]_E$，我们有一个真正的$X$计算等价类的成员当且仅当$\om_1^X\geq\om_1^{[Y]}$。我们还证明了从（1）到（2）的蕴涵等价于$ZF$上尖的存在性。
2013-06-11 math.LO
A game characterizing Baire class 1 functions
杜帕克介绍了一个两人游戏的功能$f$之间的零维波兰空间，其中玩家II有一个获胜的战略，当且仅当$f$是贝尔类1。我们推广这一结果，通过定义一个游戏的任意函数$f : X \to Y$之间的任意波兰空间，使玩家II有一个获胜的策略在这个游戏中当$f$是Baire类1。利用参与人II的策略，重新证明了关于第一返回可恢复函数的一个结果。
2019-02-14 math.LO
Transfinite game values in infinite games
本研究的对象是可数无限对策与完美的信息，允许玩家选择任意多个动作中的一个回合，特别是，我们专注于有限棋盘游戏的十六进制和跳棋的概括。在第一章中，我们遵循Evans和Hamkins（arXiv：1302.4377）的观点，发展了开放无限对策的超限序对策值理论，并重点研究了开放对策类的欧米伽一（omega 1）的性质，即可能对策值的上确界;我们还设计了爬过T对策类作为研究给定对策类的欧米伽一的工具。本研究的原创性贡献主要体现在以下两章。在第二章中，我们证明了关于有限Hex的经典结果，并给出了无限Hex，一个定义良好的无限Hex的推广。然后，我们介绍了一类放置石头的游戏，它抓住了无限十六进制的关键特征，并进一步概括了类的位置游戏已经在文献中研究的有限设置的组合对策论。主要结果是利用本质局部性对开放式放石游戏进行了刻画，得到了任何一类开放式放石游戏的Ω 1至多为$ω$的结论.特别地，我们得到了无穷Hex的开对策类具有最小的无穷Ω 1，即$ω_1^{\rm Hex}=ω$ .第三章给出了一个对偶结果：定义了无限跳棋对策类，并利用第一章的工具显式地构造了任意高对策值的开对策，得到了无限跳棋对策类的Ω 1是尽可能高的，即$ω_1^{\rm Draughts}=ω_1$。
2021-11-02 math.CO math.LO
