Factorizations of the Fibonacci Infinite Word
Gabriele Fici
本文的目的是调查利用斐波那契词和其他相关词的斐波那契无限词的因式分解，并表明所有这些因式分解可以很容易地从斐波那契数的基本性质开始按顺序导出。
The aim of this note is to survey the factorizations of the Fibonacci infinite word that make use of the Fibonacci words and other related words, and to show that all these factorizations can be easily derived in sequence starting from elementary properties of the Fibonacci numbers.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The number of valid factorizations of Fibonacci prefixes
我们建立了几个递归关系和一个明确的公式V（n），因子分解的长度为n的前缀的Fibonacci字到一个（不一定严格）标准的Fibonacci字递减序列的数量。特别地，我们证明了序列V（n）是n的两个线性函数的天花板的洗牌。
Fibonacci words in hyperbolic Pascal triangles
双曲杨辉三角形${\cal HPT}_{4,q}$ $(q\ge5)$是一种新的数学构造，它是Pascal算术三角形的几何推广.在本研究中，我们表明，一个自然的模式行的${\cal HPT}_{4,5}$是几乎相同的序列组成的每一个第二任期的著名的斐波那契字。此外，我们还利用双曲杨辉三角形给出了Fibonacci字的一个推广。${\cal HPT}_{4,q}$的几何性质意味着有限Fibonacci字之间的图形结构。
Prefixes of the Fibonacci word
Mackisi，Restivo，and Salemi（1998）证明了对于所有的$ε> 0$，存在一个整数$N$，使得长度为$\geq N$的斐波那契字的所有前缀都包含一个指数为$α^2-ε$的后缀，其中$α= (1+\sqrt{5})/2$是黄金比例。在这篇文章中，我们展示了如何用自动机理论和逻辑的工具来证明这个定理的一个显式版本。一路上，我们获得了一个更好的理解斐波那契字的重复结构。
Decision Algorithms for Fibonacci-Automatic Words, with Applications to Pattern Avoidance
我们实现了一个决策过程，回答一类无限的话，可能被称为（缺乏一个更好的名字）“斐波那契自动”的问题。例如，这个类包括著名的斐波那契数列f = 01001010...，态射0 -> 01和1 -> 0的不动点。然后，我们从文献中恢复了许多关于斐波那契词的结果（并改进了其中一些结果），例如关于正方形、立方体、回文等在f中出现的断言。作为该方法的一个应用，我们证明了一个新的结果：存在一个非周期的无限二进制字，它避开了模式x x x^R。这是第一个关于非一致态射的可避免性结果，它被纯机械地证明了。
Prefixes of the Fibonacci word that end with a cube
我们研究了以立方体结尾的斐波那契数列的前缀。使用核桃，我们得到一个确切的描述的位置斐波那契字在立方体结束。
Balanced Fibonacci word rectangles, and beyond
本文基于Anselmo等人近期的研究，探讨了由斐波那契词构成的m×n矩形矩阵的平衡性质，并通过有限自动机解决，进一步推广到所有二次无理数对应的Sturmian特征词，还研究了 tribonacci 词和Thue-Morse 词的类似问题。
On gapped repeats in a cyclic Fibonacci word
研究循环Fibonacci词中长度为s的相等子串的索引对(ι,κ)的特征，并给出其计数。
Generating Fibonacci Words via the Prefix--Suffix Duplication Operation
研究通过前缀-后缀复制操作生成斐波那契单词，解决并强化杜米特兰猜想，证明仅用界限为3的前缀复制可从特定斐波那契单词生成其他单词，且界限3最优，还给出线性时间算法。
The Smallest String Attractors of Fibonacci, Period-Doubling, and Thue--Morse Words
研究斐波那契和周期倍增词的最小字符串吸引子的结构和数量，揭示其在相同大小下的差异。
The analogue of overlap-freeness for the Fibonacci morphism
本文定义了不含$4^-$-幂和因子11的faux-bonacci词，证明其与Fibonacci态射的关系等同于overlap-free词与Thue-Morse态射的关系，并给出了Fife定理的类似物及字典序极值无穷词的刻画。
Abelian Repetitions in Sturmian Words
我们研究了Sturmian词中的阿贝尔重复。我们利用的Sturmian词和子区间的酉段的因素之间的双射，使我们能够研究的阿贝尔重复使用经典的结果，初等数论的时期。证明了在任意Sturmian字中，周期为$m$的阿贝尔重复的最大指数与$m$之比的上极限是一个数$\geq\sqrt{5}$，并且对于Fibonacci无穷字，等式成立.我们进一步证明了斐波那契无限字的最长前缀是周期$F_j$的阿贝尔重复，$j>1$，如果$j$是偶数，则长度为$F_j(F_{j+1}+F_{j-1} +1)-2$，如果$j$是奇数，则长度为$F_j(F_{j+1}+F_{j-1})-2$。这使我们能够给出一个确切的公式的最小阿贝尔周期的斐波那契有限字。更准确地说，我们证明了，对于$j\geq 3$，斐波那契字$f_j$有阿贝尔周期等于$F_n$，其中$n = \lfloor{j/2}\rfloor$如果$j = 0, 1, 2\mod{4}$，或$n = 1 + \lfloor{j/2}\rfloor$如果$ j = 3\mod{4}$。
Palindromic Ziv-Lempel and Crochemore Factorizations of $m$-Bonacci Infinite Words
我们引入了一个变化的Ziv Lempel和Crochemore分解的话，要求每个因素是一个回文。我们计算这些因子分解的斐波纳契字，更一般地说，所有的$m$ -波纳契字。
Monochromatic arithmetic progressions in the Fibonacci, Thue-Morse, and Rudin-Shapiro words
本文研究 Fibonacci 词中固定公差最长单色等差数列的长度与位置，结合圆周旋转动力学与 Walnut 自动定理证明给出长度公式，并推广到 Thue-Morse 和 Rudin-Shapiro 词。
State Complexity of Shifts of the Fibonacci Word
研究Fibonacci词移位序列的状态复杂度，证明其与c的对数成正比，接近信息论下限。
Hypercubes and Isometric Words based on Swap and Mismatch Distance
维数为n的超立方体是这样的图，其顶点是长度为n的2^n个二进制字，如果它们之间的汉明距离为1，则它们之间存在一条边。我们考虑基于交换和不匹配的编辑距离，我们称之为波浪线距离，并定义波浪线超立方体，其边以波浪线距离1连接单词。然后，我们引入并研究了波浪线超立方体的一些等距子图，这些子图是由波浪线等距字得到的。子图只保留避免给定波浪线等距字的顶点作为因子。在字11的情况下，子图被称为波浪线-斐波那契立方体，作为经典斐波那契立方体的推广。波浪线超立方体和波浪线斐波那契立方体可以递归地定义;这同样适用于它们的边数。这允许渐进估计波浪线-斐波那契立方体中的边的数量，与波浪线-超立方体中的总数相比。
Circular words and applications
我们定义的概念，循环的话，然后考虑这样的话来自斐波那契条件的约束。我们给出了几个结果的结构，这些循环的话，然后提到可能的应用程序的各种情况下：周期性膨胀的编号系统中的数字，“GCD属性”的整数序列，分区的前缀的不动点的斐波那契替代，生成树的车轮。最后，我们提出一些开放的问题。
Repetition factorization of automatic sequences
本文研究自动序列的重复分解问题，将词定义为指数至少为2的分数幂，并考察了Fibonacci词、Thue-Morse词、纸折叠词和Rudin-Shapiro序列等若干广义自动序列的重复分解性质。
Closed Ziv-Lempel factorization of the $m$-bonacci words
如果一个词$w$有一个真因子$x$，它在$w$中正好出现两次，作为$w$的前缀和后缀，则称该词是封闭的。基于Ziv-Lempel分解的概念，定义了有限字和无限字的闭$z$ -分解.然后，我们对所有的$m \geq 2$求出了无限$m$ -bonacci字的闭$z$ -因子分解.我们还对无限$m$ -bonacci词的封闭前缀进行了分类。
Enumeration and Structure of Trapezoidal Words
梯形词是对于每个$n\ge 0$至多具有$n+1$不同的长度因子$n$的词。因此，它们包含有限的Sturmian词。我们给出了梯形字的组合特征，并展示了一个公式，他们的计数。然后，我们将梯形词分为两个不相交的类：开放和封闭。如果一个梯形词有一个只作为前缀和后缀出现的因子，则它是封闭的;否则它是开放的。我们调查开放和封闭梯形词，与他们的特殊因素。我们证明了Sturmian回文是封闭的梯形字，一个封闭的梯形字是一个Sturmian回文当且仅当它的最长重复前缀是一个回文。我们还定义了一类新的话，\emph{semicentral words}，并表明，他们的特点是，他们可以写为$uxyu$，为一个中心词$u$和两个不同的字母$x,y$的属性。最后，我们调查了斐波那契字的前缀是开放的或封闭的梯形字的属性，并表明斐波那契字的开放和封闭的前缀序列遵循斐波那契序列。
Abelian Powers and Repetitions in Sturmian Words
Richomme，Saari and Zamboni（J. Lond. Soc.83：79-95，2011）证明了在Sturmian词的每个位置处，对于每个$k > 0$，开始指数$k$的阿贝尔幂。我们通过研究Sturmian词中的阿贝尔幂和阿贝尔重复（阿贝尔重复是分数幂的模拟）的最大指数来改善这一结果。给出了任意旋转角为$α$的Sturmian字中从给定位置开始的交换周期$m$的交换幂的最大指数的计算公式。v作为临界指数的模拟，我们引入了角为$α$的Sturmian词$s_α$的阿贝尔临界指数$A(s_α)$作为量$A(s_α) = limsup\ k_{m}/m=limsup\ k'_{m}/m$，其中$k_{m}$（分别为$k'_{m}$）表示阿贝尔幂的最大指数（分别为~阿贝尔周期$m$（上极限与Sturmian词一致）。证明了$A(s_α)$等于$α$的拉格朗日常数.这产生了一个根据$α$连分数展开的偏商计算$A(s_α)$的公式。利用这个公式，我们证明了$A(s_α) \geq \sqrt{5}$和等式适用于斐波那契字。我们进一步证明了$A(s_α)$是有限的当且仅当$α$有界的偏导数，即当且仅当$s_α$是$β$ -幂自由的，对于某个实数$β$ .关于无限Fibonacci字，我们证明了：i）最长的前缀是周期为$F_j$的阿贝尔重复，$j>1$，如果$j$是偶数，则其长…
Proofs of some OEIS conjectures on Wythoff sums, Fibonacci and Lucas words
本文用Walnut证明器证明了多个关于Wythoff序列、Fibonacci词和Lucas词的OEIS猜想，包括Kimberling的表示计数猜想与间隙猜想，并提供了完整命令文件。
Reversible Christoffel factorizations
我们定义了一类Sturmian词在Christoffel词中的自然分解，称为 * 可逆Christoffel*（RC）分解。它们来自于观察到两个具有相同语言的Sturmian词有（几乎总是）任意长的阿贝尔等价前缀。利用三间隙定理，我们证明了在每个RC分解中，只有2或3个不同的Christoffel字可能出现。我们开始研究这样的分解，被认为是无限的话超过2或3个字母，并表明，在一般情况下，他们要么Sturmian字，或获得一个三间隔交换变换。
Abelian periods of factors of Sturmian words
我们研究了Sturmian词的阿贝尔周期集，这是一维环面上无理旋转的编码。主要结果表明，具有连分式展开$[0; a_1, a_2, \ldots]$的角为$α$的Sturmian字的因子的最小阿贝尔周期是具有$1 \leq t \leq a_{k+1}$（$α$收敛的分母$q_k$的倍数）或$q_{k,\ell}$（$α$收敛的分母$q_{k,\ell}$）的$tq_k$.这一结果推广了Fici et.所有的斐波那契字的阿贝尔周期集是斐波那契数的集合。斐波那契词的阿贝尔周期集方面的一个表征得到的推论。
Inverse Lyndon words and Inverse Lyndon factorizations of words
受字符串处理应用的启发，我们引入了林登因子分解的变体，称为逆林登因子分解。它们的因子，称为逆林登词，是严格包含反林登词的一类，即林登词的逆词典顺序。非空词w的林登分解是唯一的，但w可以有几个逆林登分解。我们证明了任何非空词w都有一个规范的逆Lyndon分解，称为ICFL（w），它保持了w的Lyndon分解的主要性质：它可以在线性时间内计算，它是唯一确定的，它保持了后缀排序的兼容性。特别地，ICFL（w）的相容性是另一个结果的结果：ICFL（w）中的任何因子都是w的林登因子分解的连续因子关于逆字典顺序的串联。
From the Lyndon factorization to the Canonical Inverse Lyndon factorization: back and forth
本文研究逆序Lyndon分解$\CFL_{in}$与规范逆Lyndon分解$\ICFL$之间的关系，提出通过分组概念实现两种分解的相互转换，为研究$\ICFL$与其他概念（如BWT变体）的关系开辟新视角。
Lyndon words versus inverse Lyndon words: queries on suffixes and bordered words
林登词已经被大量研究，并被证明是一个有用的工具，以证明有趣的组合性质的话。在本文中，我们陈述的新性质的林登和反林登分解的一个字$w$，探索他们的使用在一些经典的查询$w$的目的。我们证明的主要属性是一个经典的查询词。本文证明了词$w$的两个不同后缀$x,y$的最长公共扩展（或最长公共前缀）$lcp(x,y)$的长度与$w$的逆Lyndon分解的两个连续因子的最大长度$\mathcal{M}$之间存在关系。更准确地说，$\mathcal{M}$是$lcp(x,y)$长度的上限。这个结果在某种意义上比Mantaci、Restivo、Rosone和Sciortino证明的Lyndon分解和这里的逆Lyndon分解的相容性更强。粗略地说，兼容性属性允许我们将（逆）林登因子的局部后缀之间的相互顺序扩展到整个词的后缀。一个主要的工具，用于证明上述结果是一个属性，我们国家的因素$m_i$与非空边界的反林登分解：一个非空边界的$m_i$不能是一个前缀的下一个因素$m_{i+1}$。我们证明的最后一个属性表明，如果两个单词共享一个共同的重叠，那么它们的林登因子分解可以用来捕获这两个单词的共同重叠。上述结果为研究Lyndon字和反Lyndon字在串比较中的新应用开辟了道路。
On arch factorization and subword universality for words and compressed words
本文研究单词及 SLP 压缩单词的子词通用性，借助 arch-jumping 函数与 arch 分解提出循环通用性指数新算法，并通过子词通用性签名得到压缩情形下的简单算法。
Initial non-repetitive complexity of infinite words
无限词x的初始非重复复杂度函数（最初由Moothathu定义）是n的函数，它计算在长度为n的因子的第一次重复之前出现在x开头的长度为n的不同因子的数量。我们研究的初始非重复复杂性函数的一般性质，以及获得公式的初始非重复复杂性的Thue-Morse字，Fibonacci字和Tribonacci字。
Factorization in Formal Languages
我们考虑了形式语言中唯一因子分解的几个新的方面。我们重新证明了熟悉的事实，即集uf（L）的字有唯一的分解成L的元素是正规的，如果L是正规的，并从这个推出的最短的字的长度的二次上限和下限不在uf（L）。我们观察到，如果L是上下文无关的，则uf（L）不必是上下文无关的。接下来，我们考虑唯一因子分解的变化。我们定义了一个概念的“半唯一”的因式分解，其中每一个因式分解有相同数量的条款，并表明，如果L是经常的，甚至有限的，一组字有这样的因式分解不需要上下文无关。最后，我们考虑额外的变化，如唯一的因式分解“置换”和“子集”。
Recursive Prime Factorizations: Dyck Words as Numbers
本文提出了一种基于Dyck词的非位置数制系统，通过递归扩展素因数分解来唯一表示自然数和有理数，并探讨了Dyck完备语言的可能研究方向。
Exact Net-Occurrence Counts in Purely Morphic Regular Epistandard Words
本文证明纯态射正则外标准词的有限逼近词中净出现次数呈尖锐二分类：当末指数为1时恰为三次，否则为两次，将斐波那契现象推广至更广框架。
Infinite ternary square-free words concatenated from permutations of a single word
我们回答了Harju的一个问题：一个无限的无平方三进制字与$n$ -干分解存在任何$n\ge 13$。我们证明了对于每个$k\ge 23$，存在长度为$k$的一致三元态射.这几乎完全解决了作者和Rampersad的一个问题。
Unveiling the connection between the Lyndon factorization and the Canonical Inverse Lyndon factorization via a border property
本文研究逆字典序下 Lyndon 分解与 inverse Lyndon 分解的关系，借助 border 性质证明唯一具有该性质的分解即 ICFL，并给出由 CFLin 线性时间计算 ICFL 的算法。
Transfinite Lyndon words
本文将Lyndon词推广至超限词，证明其存在唯一稠密非递增Lyndon词分解，并给出有理词分解的特殊形式及计算方法。
A note on groups of a family of hyperbolic tessellations
本文研究了双曲平面上镶嵌群的字问题。特别是使用斐波那契技术开发的第二作者，我们表明，集团对应的五网格或七网格不是自动的。
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