A Note on Graphs of Linear Rank-Width 1
本文证明了一个连通图的线性秩宽为1当且仅当它是一个距离遗传图且它的分裂分解树是一条路.一个直接的结果是，我们可以在线性时间内判定一个图的线性秩宽是否至多为1，如果不是，则给出一个障碍.其他直接的结果是线性秩宽为1的图的几个特征。特别地，一个连通图具有线性秩宽1当且仅当它局部等价于一个毛毛虫当且仅当它是一条路的顶点子图[O-juanKwon and Sang-il Oum，Graphs of small rank-width are approximates-minor of graphs of small tree-width，arxiv：1203.3606]当且仅当它不包含co-K_2图、Net图和5-圈图作为顶点子图[Isolde Adler，Arthur M. Farley和Andrzej Proskurowski，线性秩宽度至多为1的障碍，arxiv：1106.2533]。
2014-07-08 cs.DM cs.DS math.CO
Fast FPT algorithms for vertex subset and vertex partitioning problems using neighborhood unions
我们引入了图形参数布尔宽度，涉及到一个图的切割的不同工会的邻居的数量。布尔宽度类似于秩宽度，秩宽度与邻域的$GF[2]$ -和（1+1=0）的数量有关，而不是用于布尔宽度的布尔和（1+1=1）。我们给出了算法的NP-硬顶点子集和顶点划分问题，FPT参数化时，无论是布尔宽度，秩宽度或宽度，与运行时单指数在任一参数，如果给定相关的最佳分解。为了比较布尔宽度与秩宽度或ck-width，我们首先证明对于任何图，其布尔宽度的平方根永远不会大于其秩宽度。接下来，我们展示了一类图，Hsu-网格，我们可以解决NP-难问题在多项式时间，如果我们使用正确的参数。${1/10}n^2$顶点上的$n \times \frac{n}{10}$ Hsu网格具有布尔宽度$Θ(\log n)$和秩宽度$Θ(n)$。此外，这样的图的任何最优秩分解将具有布尔宽度$Θ(n)$，即在最优布尔宽度中呈指数。一个主要的开放问题是近似布尔宽度比由秩宽度算法给出的更好[Hlinaonnovich和Oum，2008]
2011-03-09 cs.DM cs.DS
Solving Hamiltonian Cycle by an EPT Algorithm for a Non-sparse Parameter
许多硬图问题，如哈密尔顿圈，成为FPT参数时，树宽，一个参数，是有界的稀疏图。当用更一般的参数cn-width参数化时，Hamilton Cycle变成W[1]-hard，如Fomin等人所示。Sæther和Telle在他们的论文[13]中通过引入一个新的参数split-matching-width来解决这个问题，split-matching-width在通用性方面介于treewide和cample-width之间。他们表明，即使限制分裂匹配宽度的图可能是密集的，解决问题，如汉密尔顿圈可以在FPT时间。最近，它表明，由树宽参数化的哈密尔顿循环是在EPT [1，6]，这意味着它可以在$n^{O(1)} 2^{O(k)}$时间求解。本文利用文献[6]中的工具，证明了EPT也是由分裂匹配宽度Hamilton圈参数化的。据我们所知，这是第一个EPT算法的任何“全局约束”的图形问题参数化的非平凡和非稀疏的结构参数。为了实现这一点，我们也给出了一个算法构造一个分支分解近似的最小分裂匹配宽度内一个常数因子。综合这些结果，可以看出文献[13]中的边支配集、色数和最大割算法都是可以改进的。我们还表明，对于Hamilton圈和最大割的算法是渐近最优的指数时间假设下。
2014-11-21 cs.DS
Canonisation and Definability for Graphs of Bounded Rank Width
本文证明维度为(3k+4)的Weisfeiler-Leman算法可完全判定秩宽至多为k的图同构，将运行时间从非初等改进为n^{O(k)}，并首次给出有界秩宽图的多项式时间规范化算法，同时证明带计数的定点逻辑在有界秩宽图类上刻画多项式时间。
2022-07-16 cs.DS cs.LO math.CO
Linear rank-width of distance-hereditary graphs I. A polynomial-time algorithm
线性秩宽是秩宽的线性化变化，它与拟阵的路宽密切相关。本文证明了每一个$n$ -顶点距离遗传图的线性秩宽度（等价于秩宽度至多为$1$的图）可以在时间$\mathcal{O}(n^2\cdot \log_2 n)$上计算，并且证明了线性秩宽度的线性布局可以在相同的时间复杂度下计算.作为推论，我们证明了每个$n$ -元拟阵的路径宽度的分支宽度最多$2$可以计算在时间$\mathcal{O}(n^2\cdot \log_2 n)$，只要拟阵是由一个独立集预言。为了建立这一结果，我们提出了一个表征的线性秩宽度的距离遗传图的典型分裂分解。这个特征类似于Ellis，Sudborough和Turner给出的森林路径宽度的已知特征[图的顶点分离和搜索数。信息计算，113（1）：50- 79，1994]。然而，与森林不同的是，将图的典型分裂分解的子结构与给定图的某些子结构联系起来是不平凡的。我们引入了一个概念的“四肢”的规范分裂分解，这对应于某些顶点未成年人的原始图，正确的表征。
2015-08-21 cs.DM cs.DS math.CO
On Triangle Counting Parameterized by Twin-Width
本文提出了一个求解时间三角形计数的算法$O(d^2n+m)$，其中n和m分别表示图G的顶点数和边数，d表示图G的孪生宽度，这是最近引入的一个图参数。我们假设G的d-压缩序列的一个紧表示被给出。
2022-02-14 cs.DS
More applications of the d-neighbor equivalence: acyclicity and connectivity constraints
本研究基于d-邻域等价与基于秩的方法构建通用算法框架，统一求解带无环/连通约束的NP难问题，匹配已知最优渐近复杂度，还可用于部分W[1]难问题。
2023-10-09 cs.DS
Canonizing Graphs of Bounded Rank-Width in Parallel via Weisfeiler--Leman
本文证明了计算有界秩宽图的规范标号属于 $\textsf{TC}^{2}$，通过扩展 Weisfeiler--Leman 算法并利用对数高度的秩分解，首次将有界秩宽图的同构测试纳入 $\textsf{NC}$ 复杂度类。
2024-04-24 cs.CC cs.DS cs.LO
Node Multiway Cut and Subset Feedback Vertex Set on Graphs of Bounded Mim-width
节点多路割（NMC）和子集反馈点集（SFVS）两个赋权图问题都要求一个总权最小的点集，对于NMC，它不连通给定的端点集，而对于SFVS，它相交于包含给定顶点集的所有圈.我们设计了一个元算法，允许解决这两个问题的时间$2^{O(rw^3)}\cdot n^{4}$，$2^{O(q^2\log(q))}\cdot n^{4}$，和$n^{O(k^2)}$其中$rw$是秩宽度，$q$的$\mathbb{Q}$秩宽度，和$k$的最小宽度的一个给定的分解。这肯定地回答了Jaffke等人提出的一个悬而未决的问题。（Jummica，2019）关于通过最小宽度参数化的SFVS的XP算法。通过一个统一的算法，在多项式时间内解决了以下图类的两个问题：区间图、置换图和双区间图，圆弧图和圆置换图，凸图，固定$k$的$k$ -多边形，Dilworth- $k$和Co- $k$ -退化图;并且如果叶根被给定为输入，则也在叶功率图上，如果$H$表示被给定为输入，则在固定$H$的$H$ -图上，和任意权力的图在所有上述类别。在此之前，我们的结果，只有SFVS被称为是易于处理的限制只在区间和排列图，而所有其他的结果是新的。
2022-01-17 cs.DS
Comparing Linear Width Parameters for Directed Graphs
本文引入了有向图的线性圈宽、线性NLC宽、邻域宽和线性秩宽。我们将这些参数相互比较，以及与先前定义的参数定向路径宽度和定向切割宽度。结果表明，参数有向线性秩宽度、有向线性NLC宽度、有向邻域宽度和有向线性秩宽度在这个意义上是等价的，所有这些参数都可以由其他参数的每一个上界。对于顶点度有界的有向图的限制，有向路宽与有向割宽是等价的。此外，对于顶点度有界的半完全有向图的限制，所有六个宽度参数都是等价的。我们还显示了密切的关系的措施，他们的无向版本的底层无向图，这使我们能够显示计算所考虑的线性宽度参数的有向图的硬度。进一步，我们给出了由小宽度参数定义的有向图的第一个特征。
2018-12-17 cs.DM cs.DS math.CO
A General Algorithm for Solving Rank-one Matrix Sensing
UCSB（加州大学圣巴巴拉分校）；Adobe Research（奥多比研究院）；The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
矩阵传感在科学和工程中有许多实际应用，如系统控制，距离嵌入和计算机视觉。矩阵感测的目标是基于测量序列$(u_i,b_i) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}$来恢复矩阵$A_\star \in \mathbb{R}^{n \times n}$，使得$u_i^\top A_\star u_i = b_i$。以前的工作[ZJD 15]集中在矩阵$A_{\star}$具有小秩的情况下，例如秩- $k$。他们的分析严重依赖于RIP假设，使得不清楚如何推广到高秩矩阵。在本文中，我们放松了秩- $k$的假设，并解决了一个更一般的矩阵传感问题。给定精度参数$δ\in (0,1)$，我们可以在$\widetilde{O}(m^{3/2} n^2 δ^{-1} )$中计算$A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，使得对于所有$i \in [m]$，都有$ |u_i^\top A u_i - b_i| \leq δ$。我们设计了一个有效的算法，可证明收敛保证使用随机梯度下降这个问题。
2023-03-22 cs.DS cs.LG
Solving Linear Programs with Sqrt(rank) Linear System Solves
我们提出了一个算法，给定一个线性规划的$n$变量，$m$约束，和约束矩阵$A$，计算一个$ε$ -近似解的$\tilde{O}(\sqrt{rank(A)}\log(1/ε))$迭代具有高概率。我们的方法的每次迭代包括求解$\tilde{O}(1)$线性系统和额外的近似线性时间计算，由于Renegar（1988）的迭代成本，与以前最快的方法相比，提高了$\tildeΩ((m/rank(A))^{1/2})$的因子。此外，我们提供了一个确定性的多项式时间可计算的$\tilde{O}(rank(A))$ -自协调的障碍函数的多面体，解决了一个悬而未决的问题Nesterov和Nemirovski（1994）的理论“通用障碍”的内点方法。应用我们的技术的线性规划制定的最大流产生一个$\tilde{O}(|E|\sqrt{|V|}\log(U))$时间算法解决最大流问题的有向图与$|E|$边，$|V|$顶点，和整数容量的大小最$U$。这改进了Goldberg和Rao（1998）以前实现的$O(|E|\min\{|E|^{1/2},|V|^{2/3}\}\log(|V|^{2}/|E|)\log(U))$的最快多项式运行时间。在求解稠密有向单位容量图的特殊情况下，我们的算法改进了Even和Tarjan（1975）和Karzanov（1973）之前实现的$O(|E|\min\{|E|^{1/2}…
2020-08-31 cs.DS math.OC
Quadratic Sums-of-Powers for Fixed-Parameter Tractable Quantum-Circuit Simulation
Leiden University（莱顿大学）；University of Antwerp（安特卫普大学）；TU Delft（代尔夫特理工大学）
提出一种基于路径变量图秩宽的算法，将量子电路模拟的复杂度从指数级降低到仅与秩宽相关，并在Clifford+T等电路上超越现有方法。
2026-08-21 cs.DS cs.LO quant-ph
Quantum Algorithms of Solving the Backtracking of One-dimensional Cellular Automata
在[Wolfram 1982; Wolfram 1983; Wolfram 2002]，一维元胞自动机的回溯是找出宽度为n的2n个可能的初始配置中的哪一个演化为特定配置。本文在一维元胞自动机中，对于一个宽度为n的特定构形，利用所提出的具有多项式量子门和多项式量子比特的量子算法，可以找到它的唯一初始构形，其成功概率与Shor在[Shor 1994]中的量子找序算法相同.
2011-09-14 cs.DS nlin.CG
Branch-width of connectivity functions is fixed-parameter tractable
University of Copenhagen（哥本哈根大学）；Discrete Mathematics Group, Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院离散数学组）；Department of Mathematical Sciences, KAIST（韩国科学技术院数理科学系）
本文证明了连接函数的分支宽度问题在固定参数可处理范围内，并改进了相关算法的运行时间。
2026-02-09 cs.DM cs.DS math.CO
Solving Partial Dominating Set and Related Problems Using Twin-Width
本文证明了部分顶点覆盖和部分支配集等优化问题关于图的twin-width是固定参数可解的，并提出了一般性逻辑公式求解框架，涵盖连通和独立部分支配集。
2025-06-29 cs.DM cs.DS cs.LO
Twin-width VI: the lens of contraction sequences
一个图的收缩序列包括迭代合并它的两个顶点，直到只剩下一个顶点。最近引入的孪生宽度图不变量是基于收缩序列。更准确地说，如果在表示非齐次子集的两个顶点之间放置红色边，则双宽度是最小整数$d$，使得收缩序列保持红色度至多$d$。通过改变施加在三图上的条件（即，图与一些边缘是红色的），并可能稍微调整收缩的概念，我们展示了如何通过收缩序列来表征良好建立的有界秩宽度，树宽度，线性秩宽度，路径宽度和适当的小闭类。作为应用，我们给出了著名的Courcelle定理（实际上是Courcelle，Makowsky和Rotics的推广）的一个透明的替代证明，即MSO $_2$（resp. MSO $_1$）树宽有界图的模型检验（分别为有界秩宽度）在输入句子的大小方面是固定参数易处理的。然后，我们沿着收缩序列的一般主题探索新的途径，以改善有界树宽度和有界双宽度之间的景观（通过跨越双宽度），并捕获比有界双宽度更一般的类。为此，我们定义了一个定向版本的twin-width，其中出现的红色边缘的方向远离新收缩的顶点，而仅仅红色出度应该保持有界。令人惊讶的是，有界定向孪晶宽度的类别与有界孪晶宽度的类别一致。最后，我们研究，从算法的角度来看，部分收缩序列的概念，而不是终止于一个单顶点图，序列结束时，达到一个特定的目标类。
2022-05-31 cs.DM cs.DS cs.LO
Faster Algorithms For Vertex Partitioning Problems Parameterized by Clique-width
许多NP难问题，如支配集问题，都是以宽度为参数的FPT问题。对于给定了$k$ -表达式的图，其控制集可以在$4^k n^{O(1)}$时间内求出.然而，没有已知的FPT算法用于计算最优的$k$表达式。对于秩宽$k$的图，如果我们依靠已知的算法通过秩宽计算$(2^{3k}-1)$ -表达式，然后使用$(2^{3k}-1)$ -表达式求解支配集，则上述算法只会给出$4^{2^{3k}} n^{O(1)}$的运行时间。已经有克服这种指数跳跃的结果;最著名的算法可以通过避免构建$k$表达式来及时求解支配集$2^{O(k^2)} n^{O(1)}$ [Bui-Xuan，Telle和Vatshelle.快速动态规划求解局部可检查顶点子集和顶点划分问题。理论计算。科学，2013. doi：10.1016/j.tcs.2013.01.009]。我们将其改进为$2^{O(k\log k)}n^{O(1)}$。事实上，我们表明，对于一个图的candle-width $k$，一大类的支配和分区问题（LC-VSP），包括支配集，可以解决$2^{O(k\log{k})} n^{O(1)}$。我们的主要工具是一个变体的秩宽度使用的秩的$0$ - $1$矩阵的有理域，而不是二进制字段。
2014-03-12 cs.DM cs.DS math.CO
Quantum-inspired sublinear classical algorithms for solving low-rank linear systems
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）
我们提出了经典的次线性时间算法求解低秩线性方程组。我们的算法的灵感来自HHL量子算法解决线性系统和最近的突破唐的量子算法的推荐系统。令$A \in \mathbb{C}^{m \times n}$是秩- $k$矩阵，并且$b \in \mathbb{C}^m$是向量。我们提出了两种算法：提供来自$A^{-1}b$的样本的“采样”算法和输出$A^{-1}b$的条目的估计的“查询”算法，其中$A^{-1}$表示Moore-Penrose伪逆。我们的两个算法都有查询和时间复杂度$O(\mathrm{poly}(k, κ, \|A\|_F, 1/ε)\,\mathrm{polylog}(m, n))$，其中$κ$是$A$的条件数，$ε$是精度参数。注意，我们考虑的算法是次线性时间，所以它们不能写入和读取整个矩阵或向量。在本文中，我们假设$A$和$b$具有众所周知的低开销数据结构，使得$A$和$b$的条目可以根据某些自然概率分布进行采样。或者，当$A$是半正定的，我们的算法可以适应，使采样假设$b$是不需要的。
2018-11-12 cs.DS cs.IR cs.LG
Model Counting for Formulas of Bounded Clique-Width
我们表明，#SAT是多项式时间听话的类CNF公式的关联图有界对称的ck-width（或有界ck-width，或有界秩宽度）。这一结果严格推广了多项式时间易处理性的结果与符号关联图的有界树宽的公式类和公式类的关联图的有界模树宽，这是迄今为止已知的这类最一般的结果。
2014-09-30 cs.CC cs.DS
Path Finding I :Solving Linear Programs with Õ(sqrt(rank)) Linear System Solves
MIT（麻省理工学院）
本文提出了一种新的线性规划求解算法，通过 Õ(sqrt(rank)) 线性系统求解次数，在 m 个约束、n 个变量和约束矩阵 A 的条件下，以 bit 复杂度 L 解决线性规划问题。该方法在迭代次数上优于现有方法，并且可并行化，适用于加速线性系统求解的线性代数技术。
2015-03-05 cs.DS cs.NA math.NA
A logic-based algorithmic meta-theorem for mim-width
我们引入了一个逻辑称为距离邻域逻辑与无环性和连通性的限制（$\mathsf{A\&C~DN}$为短），扩展了存在$\mathsf{MSO_1}$与谓词查询的顶点集的邻域和验证的连通性和无环性的顶点集在各种权力的图。在[Bergougnoux and Kanté，ESA 2019; SIDMA 2021]的基础上，我们证明了当输入图与最小宽度$w$的分支分解一起给出时，每个固定$\mathsf{A\&C~DN}$公式的模型检验问题在$n^{O(w)}$时间内是可解的。几乎所有已知在多项式时间内可解的问题都可以用这个框架来表示。我们在这个列表中添加了几个自然问题，包括要求不同解决方案的问题。只要输入图的给定分支分解在$d$ -邻域等价方面具有小索引，我们的模型检验算法就有效[Bui-Xuan，Telle和Vatshelle，TCS 2013]。因此，我们统一和扩展已知的算法树的宽度，宽度和排名宽度。我们的算法有一个单指数依赖于这三个宽度的措施和渐近匹配的运行时间的最快的已知算法的几个问题。这导致了在指数时间假设（$\mathsf{ETH}$）下对于树宽度、队列宽度和秩宽度具有紧运行时间的算法;在$\mathsf{ETH}$下对于若干问题，上述对于最小宽度的运行时间也几乎是紧的。我们的结果也是紧的表达能力的逻辑：我们表明，已经轻微的扩展我们的逻辑模型检验问题的para- $\mathsf…
2022-12-08 cs.DS cs.LO
Solving Tensor Low Cycle Rank Approximation
The University of Washington（华盛顿大学）；Adobe Research（Adobe研究院）
本文针对概率上下文无关文法中计算概率所涉及的张量循环秩问题，推广了“旋转与草图”技术，提出了一个输入稀疏时间算法，用于求解三阶张量的低循环秩逼近。
2023-04-13 cs.DS cs.LG
An FPT algorithm for cycle rank on semi-complete digraphs
KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）；Hanyang University（汉阳大学）
针对半完全有向图和有限有向团宽的有向图，提出了参数化算法，在O(9^{(w+1)4^{w+2}}·n^2)时间内判定循环秩是否至多为w，并给出了半完全有向图最小反馈弧集问题的n^{O(w)}时间算法。
2026-09-24 cs.DS math.CO
Rapid mixing of subset Glauber dynamics on graphs of bounded tree-width
受铁磁伊辛模型的“子图世界”观点的启发，我们开发了一种基于一类图多项式的子集展开表达式来研究Glauber动力学的混合时间的一般方法。一个典型的路径参数，我们证明了在这个框架内定义的链混合后，图的有界树宽度迅速。这扩展了Tutte多项式、邻接秩（$R_2$ -）多项式和交错多项式的快速混合的已知结果。
2011-02-17 cs.DS math.CO
Solving MaxSAT and #SAT on structured CNF formulas
University of Bergen（卑尔根大学）
在本文中，我们提出了CNF公式的一个结构参数，并使用它来识别加权MaxSAT和#SAT，可以在多项式时间内解决的情况。给定一个CNF公式，我们说一个子句集是精确可满足的，如果有一些完全赋值只满足这些子句。设公式的ps值是子句的精确可满足集的个数。将分支分解的概念应用于CNF公式，并以ps值为截函数，定义了公式的ps宽度。对于一个多项式PS-宽度的分解给出的公式，我们显示动态规划算法解决加权MaxSAT和#SAT在多项式时间。结合Belmonte和Vatshelle的结果，具有结构邻域的图类和算法应用，Theor。Comput. Sci. 511：54-65（2013）'我们得到了针对某些类别的结构化CNF公式求解加权MaxSAT和#SAT的多项式时间算法。例如，我们得到了$m$子句和$n$变量的公式$F$的$O(m^2(m + n)s)$算法以及$O(m^2(m + n)s)$的大小ABMQ，如果$F$具有变量和子句的线性排序，使得对于子句$C$中出现的任何变量$x$，如果$x$出现在$C$之前，则它们之间的任何变量也出现在$C$，并且如果$C$出现在$x$之前，则$x$也出现在它们之间的任何子句中。注意，这类公式的关联图类不具有有界的宽度。
2014-02-26 cs.AI cs.CC cs.DS
Quantum-inspired sublinear algorithm for solving low-rank semidefinite programming
University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校）；University of Maryland（马里兰大学）
半定规划问题是数学优化领域的一个重要课题，其有效求解方法的研究也越来越多。在本文中，我们提出了一个证明的原则的次线性时间算法求解SDP与低秩约束，具体地说，给定一个SDP与$m$约束矩阵，每个维度$n$和秩$r$，我们的算法可以计算任何条目和有效的描述的谱分解的解决方案矩阵。该算法运行在时间$O(m\cdot\mathrm{poly}(\log n,r,1/\varepsilon))$给定访问基于采样的低开销数据结构的约束矩阵，其中$\varepsilon$是解决方案的精度。此外，我们将我们的算法应用于量子态学习任务作为应用。从技术上讲，我们的方法与1）基于Arora和Kale [TOC '12]的矩阵乘性权重（MMW）框架的SDP求解器一致; 2）Tang [STOC '19]开创的基于采样的反量化框架。为了计算矩阵指数所需的毫米波框架中，我们引入了两种新的技术，可能是独立的兴趣：$\bullet$加权采样：假设采样访问每个单独的约束矩阵$A_{1},\ldots,A_τ$，我们提出了一个程序，给出了一个很好的近似$A=A_{1}+\cdots+A_τ$。$\bullet$对称近似：我们提出了一个采样过程，给出了一个低秩厄米矩阵$A$的\emph{spectral decomposition}。据我们所知，这是第一个基于采样的谱分解算法，因为以前的作品只给出奇异值和向量。
2020-08-05 cs.DS cs.LG math.OC
Solving Problems on Generalized Convex Graphs via Mim-Width
该研究通过mim-width界定广义凸图（基于环或有界树）的宽度，证明相关NP完全问题可多项式求解，并给出复杂性二分法。
2022-09-30 cs.CC cs.DM cs.DS
Approaching Optimality for Solving Dense Linear Systems with Low-Rank Structure
本文提出高精度随机算法，用于求解除 $k$ 个大奇异值外良态的线性系统和回归问题，运行时间接近稠密输入下的自然复杂度极限，并给出首个计算任意稠密矩阵核范数乘法近似的近线性时间算法。
2025-07-15 cs.DS cs.NA math.NA
