Real difference Galois theory
Thomas Dreyfus
本文发展了实域上的差分伽罗瓦论。在证明了实Picard-Vessiot扩张的存在唯一性之后，定义了实差伽罗瓦群，并证明了一个伽罗瓦对应.
In this paper, we develop a difference Galois theory in the setting of real fields. After proving the existence and uniqueness of the real Picard-Vessiot extension, we define the real difference Galois group and prove a Galois correspondence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Analytic $q$-difference equations
本文叙述了解析$q$ -差分方程的分类。计算了差分伽罗瓦群。给出了泛差伽罗瓦群的一种尝试性描述。
We study the inverse problem in the difference Galois theory of linear differential equations over the difference-differential field $\mathbb{C}(x)$ with derivation $\frac{d}{dx}$ and endomorphism $f(x)\mapsto f(x+1)$. Our main result is that every linear algebraic group, considered as a difference algebraic group, occurs as the difference Galois group of some linear differential equation over $\mathbb{C}(x)$.
On the computation of the difference Galois groups of order three equations
本文研究平移、q-差分、Mahler及椭圆算子等一大类差分算子下三阶方程的差分Galois群计算问题，通过问题归约提出不可约与非本原群的判据及解的微分超越性充分条件，并计算了Zudilin建议方程的群。
Computing differential Galois groups of second-order linear $q$-difference equations
本研究利用Hardouin和Singer的差分方程微分Galois理论，求解有理函数系数二阶线性$q$-差分方程的微分Galois群，并将方法应用于含纽结colored Jones多项式方程在内的多个实例计算。
Difference Galois theory of linear differential equations
我们发展了一个线性微分方程的伽罗瓦论，配备了一个自同态的行动。该理论旨在研究线性微分方程解之间的差分代数关系。这里的伽罗瓦群是线性差分代数群，即，由代数差分方程定义的矩阵群。
σ-Galois theory of linear difference equations
本文对具有自同态作用的线性差分方程系统建立了一个伽罗瓦论。这提供了一种技术来测试这样的系统的解决方案是否满足σ-多项式方程，如果是的话，然后表征那些。我们还展示了如何应用我们的工作来研究同构差分方程和亚纯函数的差分代数性质。
Galois theory of difference equations with periodic parameters
本文发展了周期参数线性差分方程系统的伽罗瓦论，并引入了线性差分代数群。然后，我们应用这个构造性地测试的解决方案的线性q-差分方程，与复杂的q，而不是一个单位根，满足任何多项式q '-差分方程与q'是一个单位根。
Différentielles non commutatives et théorie de Galois différentielle ou aux différences
我们展示了如何伽罗瓦Picard_Vessiot理论的微分方程和差分方程，和理论的和乐群在微分几何，是不同的方面，一个独特的伽罗瓦论。后者是建立在交换基上非交换联络的张量积的构造和研究的基础上的，没有任何曲率假设。该理论为研究差分方程的增量趋于0时的汇流问题提供了一个代数框架。
Computation of the difference-differential Galois group and differential relations among solutions for a second-order linear difference equation
本研究应用Hardouin和Singer的差微分Galois理论，针对系数为$\bar{\mathbb{Q}}$上有理函数的二阶齐次线性差分方程，开发了计算其差微分Galois群的算法，并可通过群的定义方程推导解之间的微分代数关系。
Galois groups for integrable and projectively integrable linear difference equations
我们考虑$\mathbb{C}(x)$上的一阶线性差分系统，对于一个差分算子$σ$，它要么是一个移位$σ:x\mapsto x+1$，要么是一个$q$ -膨胀$σ:x\mapsto qx$，其中$q\in{\mathbb{C}^\times}$不是单位根，要么是一个Mahler算子$σ:x\mapsto x^q$，其中$q\in\mathbb{Z}_{\geq 2}$ .这样一个系统是可积的，如果它的解也满足一个线性微分系统;它是投射可积的，如果它在标量模型化后变得可积。“我们应用Schäfke和Singer最近的结果来描述哪些群可以作为可积或射影可积线性差分系统的伽罗瓦群出现。特别是，这样的群必须是可解的。最后，我们给出了超超越准则。
The lecture notes below correspond to the course given by the author in occasion of the VIASM school on Number Theory (18-24 June 2018, Hanoi). We have chosen to omit the proofs that are already presented in details in many references in the literature, although they were explained during the lectures, and we have devoted more space to statements useful in the applications, in particular to differential transcendence.
Galois theory of Artinian simple module algebras
这篇文章的主要目的是统一的伽罗瓦论的代数微分方程由梅村和伽罗瓦论的代数差分方程由森川梅村在一个共同的框架内使用阿廷简单的D-模代数，其中D是一个双代数。构造了Artin单D-模代数的一个扩张的Galois壳，并定义了它的伽罗瓦群，它由满足某些偏微分方程的无穷小坐标变换组成，我们称之为Umemura函子.我们消除了上述理论中对特征0的限制，并消除了Morikawa-Umemura理论中对域扩张的限制，还允许域的直积，这在差分方程理论中是必不可少的。为了将我们的理论与Amano和Masuoka的Artin单D-模代数的Picard-Vessiot理论进行比较，我们首先稍微推广了它们的定义和一些结果，以便也包含非可逆差环。最后，我们给出了光滑Picard-Vessiot扩张的等价刻画，描述了它们的Galois壳，并证明了它们的Umemura函子在有限的Etale基扩张后同构于经典伽罗瓦群的形式概形.
We present a difference analogue of a result given by Hrushovski on differential Galois groups under specialization. Let $k$ be an algebraically closed field of characteristic zero and $\mathbb{X}$ an irreducible affine algebraic variety over $k$. Consider the linear difference equation $$ σ(Y)=AY $$ where $A\in \mathrm{GL}_n(k(\mathbb{X})(x))$ and $σ$ is the shift operator $σ(x)=x+1$. Assume that the Galois group $G$ of the above equation over $\overline{k(\mathbb{X})}(x)$ is defined over $k(\mathbb{X})$ i.e. the vanishing ideal of $G$ is generated by a finite set $S\subset k(\mathbb{X})[X,1/…
A Difference Version of Nori's Theorem
我们考虑（F_q（s，t），phi）上的（Frobenius）差分方程，其中phi固定t并作用于F_q（s）作为Frobenius自同态。本文证明了定义在F_q上的每个半单单连通线性代数群G都可以实现为F_{q^i}（s，t）上的一个差伽罗瓦群，其中i是N中的任意i.证明使用上界和下界的伽罗瓦群计划的Frobenius差分方程，本文开发的。这个结果可以看作是Nori定理的一个差分模拟，Nori定理指出G（F_q）是F_q（s）上的（有限）伽罗瓦群.
Difference algebraic relations among solutions of linear differential equations
我们推广和应用伽罗瓦论的线性微分方程配备了行动的自同态。在这个伽罗瓦论中的伽罗瓦群是差分代数群，我们利用这些群的结构定理来刻画线性微分方程解之间可能的差分代数关系。这就产生了一些工具来表明某些特殊函数是差异超越的。本文的主要结果之一是基于几乎单代数群的Zurski稠密差代数子群的结构定理，刻画了具有几乎单通常伽罗瓦群的线性微分方程的离散可积性，它是Z. Chatzidakis，E. Hrushovski和Y.彼得兹
Galois correspondence theorem for Picard-Vessiot extensions
本文将微分伽罗瓦群的定义和以前建立的具有实封闭的常数域的实微分域的Picard-Vessiot扩张的伽罗瓦对应定理推广到任意Picard-Vessiot扩张.
On sigma-delta-Picard-Vessiot extensions
在自同构常数域上较弱的假设下，研究了差分方程的微分伽罗瓦论。这个框架产生了一种新的方法来处理C.Hardouin和M.Singer的结果，它肯定地回答了M.Singer的一个问题：在经典假设下，已知的结果仍然有效。特别地，我们的伽罗瓦群在适当的域上同构于他们的群。我们还明确地计算了伽罗瓦群的连通分支数。
On the numerical range of square matrices with coefficients in a degree 2 Galois field extension
令$L$是域$K$的度$2$伽罗瓦扩张，$M$是系数在$L$中的$n\times n$矩阵。设$\langle \ ,\ \rangle : L^n\times L^n\to L$是与固定$K$的对合$L\to L$相关联的半双线性形式。我们使用$\langle \ ,\ \rangle$定义的数值域$\mathrm{Num} (M)$的$M$（一个子集的$L$），扩展了经典的情况下$K=\mathbb {R}$，$L=\mathbb {C}$和有限域的情况下介绍的Coons，詹金斯，诺尔斯，卢克和Rault。对于数域和范数映射$L\to K$的图像不通过加法闭合的所有域，这两种情况存在很大的差异，例如，$c\in L$可能是$M$的特征值，但不是$c\notin \mathrm{Num} (M)$的特征值。我们在某些情况下计算$\mathrm{Num} (M)$，主要是用$n=2$。
We develop general criteria that ensure that any non-zero solution of a given second-order difference equation is differentially transcendental, which apply uniformly in particular cases of interest, such as shift difference equations, q-dilation difference equations, Mahler difference equations, and elliptic difference equations. These criteria are obtained as an application of differential Galois theory for difference equations. We apply our criteria to prove a new result to the effect that most elliptic hypergeometric functions are differentially transcendental.
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