On the computation of the difference Galois groups of order three equations
Institut de Recherche Math\'ematique Avanc\'ee, UMR 7501 Universit\'e de Strasbourg et CNRS, 7 rue Ren\'e Descartes 67084 Strasbourg, France
本文研究平移、q-差分、Mahler及椭圆算子等一大类差分算子下三阶方程的差分Galois群计算问题，通过问题归约提出不可约与非本原群的判据及解的微分超越性充分条件，并计算了Zudilin建议方程的群。
2023-07-04 math.AC math.NT
Différentielles non commutatives et théorie de Galois différentielle ou aux différences
我们展示了如何伽罗瓦Picard_Vessiot理论的微分方程和差分方程，和理论的和乐群在微分几何，是不同的方面，一个独特的伽罗瓦论。后者是建立在交换基上非交换联络的张量积的构造和研究的基础上的，没有任何曲率假设。该理论为研究差分方程的增量趋于0时的汇流问题提供了一个代数框架。
2002-03-26 math.AC math.GM math.QA
Analytic $q$-difference equations
本文叙述了解析$q$ -差分方程的分类。计算了差分伽罗瓦群。给出了泛差伽罗瓦群的一种尝试性描述。
2006-12-20 math.AC
Difference algebraic relations among solutions of linear differential equations
我们推广和应用伽罗瓦论的线性微分方程配备了行动的自同态。在这个伽罗瓦论中的伽罗瓦群是差分代数群，我们利用这些群的结构定理来刻画线性微分方程解之间可能的差分代数关系。这就产生了一些工具来表明某些特殊函数是差异超越的。本文的主要结果之一是基于几乎单代数群的Zurski稠密差代数子群的结构定理，刻画了具有几乎单通常伽罗瓦群的线性微分方程的离散可积性，它是Z. Chatzidakis，E. Hrushovski和Y.彼得兹
2013-10-04 math.AC math.AG math.DS
Galois groups for integrable and projectively integrable linear difference equations
我们考虑$\mathbb{C}(x)$上的一阶线性差分系统，对于一个差分算子$σ$，它要么是一个移位$σ:x\mapsto x+1$，要么是一个$q$ -膨胀$σ:x\mapsto qx$，其中$q\in{\mathbb{C}^\times}$不是单位根，要么是一个Mahler算子$σ:x\mapsto x^q$，其中$q\in\mathbb{Z}_{\geq 2}$ .这样一个系统是可积的，如果它的解也满足一个线性微分系统;它是投射可积的，如果它在标量模型化后变得可积。“我们应用Schäfke和Singer最近的结果来描述哪些群可以作为可积或射影可积线性差分系统的伽罗瓦群出现。特别是，这样的群必须是可解的。最后，我们给出了超超越准则。
2016-07-29 math.AC math.CA math.RT
Difference Galois Theory For The "Applied" Mathematician
下面的讲义对应于作者在VIASM学校数论（2018年6月18日至24日，河内）的场合下给出的课程。我们选择省略已经在文献中的许多参考文献中详细介绍过的证明，尽管在讲座中已经解释过，但我们用更多的篇幅来介绍在应用中有用的陈述，特别是微分超越。
2020-11-02 math.AC math.NT math.RA
Galois theory of Artinian simple module algebras
这篇文章的主要目的是统一的伽罗瓦论的代数微分方程由梅村和伽罗瓦论的代数差分方程由森川梅村在一个共同的框架内使用阿廷简单的D-模代数，其中D是一个双代数。构造了Artin单D-模代数的一个扩张的Galois壳，并定义了它的伽罗瓦群，它由满足某些偏微分方程的无穷小坐标变换组成，我们称之为Umemura函子.我们消除了上述理论中对特征0的限制，并消除了Morikawa-Umemura理论中对域扩张的限制，还允许域的直积，这在差分方程理论中是必不可少的。为了将我们的理论与Amano和Masuoka的Artin单D-模代数的Picard-Vessiot理论进行比较，我们首先稍微推广了它们的定义和一些结果，以便也包含非可逆差环。最后，我们给出了光滑Picard-Vessiot扩张的等价刻画，描述了它们的Galois壳，并证明了它们的Umemura函子在有限的Etale基扩张后同构于经典伽罗瓦群的形式概形.
2011-11-28 math.AC math.RA
Difference Galois groups under specialization
本文给出了Hrushovski关于特殊化微分伽罗瓦群的一个结果的一个差分模拟.设$k$是特征为零的代数闭域，$\mathbb{X}$是$k$上的不可约仿射代数簇。考虑线性差分方程$$ σ(Y)=AY $$，其中$A\in \mathrm{GL}_n(k(\mathbb{X})(x))$和$σ$是移位算子$σ(x)=x+1$。假设在$\overline{k(\mathbb{X})}(x)$上的上述方程的伽罗瓦群$G$定义在$k(\mathbb{X})$上，即$G$的消失理想由有限集$S\subset k(\mathbb{X})[X,1/\det(X)]$生成。对于${\bf c}\in \mathbb{X}$，用$v_{\bf c}$表示由$v_{\bf c}(f)=f({\bf c})$为任何$f\in k[\mathbb{X}]$给出的从$k[\mathbb{X}]$到$k$的映射。证明了满足$v_{\bf c}(A)$和$v_{\bf c}(S)$是良定义的，且$v_{\bf c}(S)$定义的$\mathrm{GL}_n(k)$中的仿射簇是$k(x)$上的$σ(Y)=v_{\bf c}(A)Y$的Galois群的${\bf c}\in \mathbb{X}$的集合在$\mathbb{X}$中是Zerki稠密的.我们应用我们的结果范德普特-辛格的猜想断言，一个代数子群$G$的$…
2020-03-10 math.AC math.RA
On the definition of the Galois group of linear differential equations
让我们考虑一个微分域K上的线性微分方程。对于由方程的基本系统生成的微分域扩张L/K，我们证明了根据Umemura的广义伽罗瓦论的伽罗瓦群与Picard-Vessiot伽罗瓦群重合.这一结论推广了Umemura和Casale的比较定理。
2012-12-17 math.AC math.AG
A Difference Version of Nori's Theorem
我们考虑（F_q（s，t），phi）上的（Frobenius）差分方程，其中phi固定t并作用于F_q（s）作为Frobenius自同态。本文证明了定义在F_q上的每个半单单连通线性代数群G都可以实现为F_{q^i}（s，t）上的一个差伽罗瓦群，其中i是N中的任意i.证明使用上界和下界的伽罗瓦群计划的Frobenius差分方程，本文开发的。这个结果可以看作是Nori定理的一个差分模拟，Nori定理指出G（F_q）是F_q（s）上的（有限）伽罗瓦群.
2012-03-06 math.AC math.RA
Linear Algebraic Groups as Parameterized Picard-Vessiot Galois Groups
本文证明了对于一定的微分域k，线性代数群是k（x）的参数化Picard-Vessiot扩张的伽罗瓦群，x' = 1，当且仅当它的单位连通区没有一维商作为线性代数群.
2011-08-01 math.AC math.CA math.GR
A New Bound on Hrushovski's Algorithm for Computing the Galois Group of a Linear Differential Equation
计算线性微分方程的伽罗瓦群的复杂性是人们普遍感兴趣的问题。在最近的一项工作中，冯给了一个度界Hrushovski算法计算伽罗瓦群的线性微分方程。这个界是在寻找原伽罗瓦群的算法的第一步中使用的多项式的次数界，并且在微分方程的阶中是六倍指数的。本文利用Szanto的代数集三角表示算法，分析了计算线性微分方程的伽罗瓦群的复杂性，并给出了一个新的界，该界在给定的微分方程的阶上是三指数的.
2019-02-16 cs.SC math.AC math.AG
Calculating Galois groups of third order linear differential equations with parameters
受发展决定贝塞尔微分方程的扩张的解的超超越性的算法的启发，最近已经发展了计算参数化微分伽罗瓦群的幂幺根的算法。贝塞尔方程的扩展，如Lommel方程，可以看作是三阶齐次参数化线性微分方程。本文给出了已知的第一个计算三阶参数化线性微分方程的微分伽罗瓦群的算法。
2016-11-06 math.AC math.CA math.RT
Unipotent differential algebraic groups as parameterized differential Galois groups
我们处理的参数化Picard-Vessiot（PPV）理论的正问题和逆问题的方面。已知对于某些域，线性微分代数群G是这些域上的PPV伽罗瓦群当且仅当G包含Kolchin-dense有限生成群.我们证明了，对于一类LDAG G，包括幂幺群幂幺群，G是这样的群当且仅当它有微分型0。我们给出了一个程序，以确定是否参数化的线性微分方程有PPV伽罗瓦群在这个类中，并显示如何可以计算PPV伽罗瓦群的参数化的线性微分方程，如果它的伽罗瓦群具有微分类型0。
2013-07-04 math.AC math.CA math.DS
New classes of parameterized differential Galois groups
本文研究参数化微分Galois反问题。我们发现，令人惊讶的是，许多群体不发生参数化微分伽罗瓦群在K（x），即使当K是代数封闭的。然后，我们结合的方法修补域的一个合适的版本的伽罗瓦下降，以证明某些群体确实出现的参数化微分伽罗瓦群在k（（t））（x）。这类群包括由多个幂幺元生成的线性微分代数群，也包括半单连通线性代数群。
2016-03-22 math.AC
Reductive linear differential algebraic groups and the Galois groups of parameterized linear differential equations
发展了约化线性微分代数群的表示论。特别是，我们展示了一个明确的清晰的上界阶导数的微分表示约化LDAG，扩展现有的结果，这是SL（2）的情况下，只有一个导子。作为上述界限的应用，我们开发了一个算法，测试是否参数化的微分伽罗瓦组的线性微分方程组线性微分方程组是约化的，如果是，计算它。
2013-12-23 math.AC math.CA math.RT
On the Dynamics of Linear Finite Dynamical Systems Over Galois Rings
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）；Universidad de la República（乌拉圭共和国大学）；Carleton University（卡尔顿大学）
本文研究了在Galois环上线性有限动态系统动力学的分析方法，提出计算其功能图中循环长度和树高度的算法。
2026-04-02 cs.DS math.AC math.DS
Computing the differential Galois group of a parameterized second-order linear differential equation
我们开发的算法来计算微分伽罗瓦群$G$与参数化的二阶齐次线性微分方程的形式\[ \tfrac{\partial^2}{\partial x^2} Y + r_1 \tfrac{\partial}{\partial x} Y + r_0 Y = 0, \]的系数$r_1, r_0 \in F(x)$是有理函数在$x$与系数在偏微分领域$F$的特征零。我们的工作依赖于德雷福斯开发的程序来计算$G$的假设下，$r_1 = 0$。我们将展示如何完成这一过程，以涵盖的情况下，$r_1 \neq 0$，通过重新解释一个经典的变量变换过程中伽罗瓦理论的条款。
2014-01-20 math.AC math.CA
Computing the Lie algebra of the differential Galois group: the reducible case
本文针对可约线性微分系统，提出通过 Kolchin-Kovacic 约化变换并结合其他约化结果，直接计算微分伽罗瓦群李代数的通用算法，避免了预先计算伽罗瓦群。
2022-01-28 math.AC math.AG
Non-linear Group Actions with Polynomial Invariant Rings and a Structure Theorem for Modular Galois Extensions
设$G$是有限的$p$ -群，$k$是特征$p>0$的域.证明了$G$对维数为$n=\mathrm{log}_p(|G|)$的多项式环$U$具有\emph{non-linear}忠实作用，使得不变环$U^G$也是多项式的.这与\emph{linear and graded}群作用的不变量多项式环的情况形成对比，其中Chevalley-Shephard-Todd和Serre的经典定理要求$G$由伪反射生成。我们的结果是“迹满射$G$ -代数”的一般理论的一部分，其中，在$p$ -群的情况下，与\cite{chr}意义上的伽罗瓦环扩张相吻合。我们考虑\emph{dehomogenized symmetric algebra} $D_k$，一个多项式环的非线性$G$ -作用，包含$U$作为收缩，我们证明了$D_k^G$是一个多项式环.这样，$U$就成为\emph{universal}，因为每个迹满射$G$ -代数都可以由$U$通过“形成逆元和扩充不变量”构造出来.作为结果，我们得到了以给定的$p$ -群为伽罗瓦群，以任意给定的交换$k$ -代数$R$为不变环的伽罗瓦扩张的一般结构定理。这是一个推广的阿廷-施赖尔-维特理论的模块伽罗瓦领域的扩展程度$p^s$。
2010-11-23 math.AC math.RT
Galois theory of differential schemes
Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
提出适用于微分概形态射的Galois理论，推广了线性Picard-Vessiot理论与Kolchin强正规理论。
2025-10-14 math.AC math.AG math.CT
Linear Algebra and Galois Theory
本文基于伽罗瓦扩张模型，利用张量代数语言重新阐述并简化了线性代数中自同态结构、迹及线性无关判据等结果的证明。
2024-05-28 math.AC math.RA math.RT
Computing the differential Galois group of a one-parameter family of second order linear differential equations
我们开发的算法来计算对应于一个单参数的家庭的二阶齐次常线性微分方程与有理函数系数的微分伽罗瓦群。更精确地说，我们考虑形式为\frac{\partial^2Y}{\partial x^2} + r_1 \frac{\partial Y}{\partial x} + r_2 Y =0的方程，其中$r_1,r_2\in C(x,t)$和$C$是特征为零的代数闭域。我们的工作在参数化Picard-Vessiot理论的设置，其中附加了一个线性微分代数群这样的方程，也就是说，一组可逆矩阵的条目满足系统的多项式微分方程，相对于参数空间中的推导。我们将计算$\frac{\partial}{\partial t}$ -微分-多项式方程，该方程将相应的参数化Picard-Vessiot群定义为$\mathrm{GL}_2$的微分代数子群。
2012-08-10 math.AC math.AG math.CA
Computation of the unipotent radical of the differential Galois group for a parameterized second-order linear differential equation
本文提出了一种计算微分伽罗瓦群$H$的幂幺根$R_u(H)$的新方法，该群对应于形式为\[\tfrac{\partial^2}{\partial x^2}Y-qY=0,\]的参数化二阶齐次线性微分方程，其中$q \in F(x)$是$x$中的有理函数，其系数在特征为零的$Π$域$F$中，$Π$是参数导子的交换集.德雷福斯开发的程序减少了计算$R_u(H)$解决一个创造性的伸缩问题，其有效的解决方案需要假设最大约简商$H / R_u(H)$是一个PDMATHAMR-常数线性微分代数群。当这个条件不满足时，我们计算一组新的参数导子$Π'$，使得相关的微分伽罗瓦群$H'$具有$H'/ R_u(H')$是$Π'$ -常数的性质，并且使得$R_u(H)$由与$R_u(H')$相同的微分方程定义。因此，$R_u(H)$的计算减少到$R_u(H')$的有效计算。我们预计，这种方法的阐述将是成功的，在扩展的适用性最近开发的一些算法Minchenko，Ovchinnikov和辛格计算幂单根高阶方程。
2014-01-23 math.AC math.CA
Calculating differential Galois groups of parametrized differential equations, with applications to hypertranscendence
我们工作的主要动机是通过参数化微分理论和伽罗瓦论，建立一个判定线性微分方程解的超超越性的有效算法。为了实现这一点，我们扩展了线性微分代数群的表示论，并开发了新的算法，计算幂幺根的参数化微分伽罗瓦群的微分方程的系数是有理函数。P. Berman和M.F. Singer给出了一种计算无参微分方程的微分伽罗瓦群的算法，该方程的微分算子是两个完全可约的微分算子的合成.我们使用他们的算法作为我们算法的一部分。结果，我们找到了参数化微分方程的解及其所有导数关于参数的代数独立性的有效判据。
2016-06-17 math.AC math.CA math.RT
On sigma-delta-Picard-Vessiot extensions
在自同构常数域上较弱的假设下，研究了差分方程的微分伽罗瓦论。这个框架产生了一种新的方法来处理C.Hardouin和M.Singer的结果，它肯定地回答了M.Singer的一个问题：在经典假设下，已知的结果仍然有效。特别地，我们的伽罗瓦群在适当的域上同构于他们的群。我们还明确地计算了伽罗瓦群的连通分支数。
2009-04-21 math.AC math.CA
Torsors for Difference Algebraic Groups
我们引入了代数差分方程定义的群的一个上同调集，并证明了它在群作用下对扭子进行了分类。这使我们能够计算大类群的所有torsors。我们还开发了一些工具，差分代数几何，并提出了一个应用程序的伽罗瓦论的微分方程取决于一个离散参数。
2016-07-24 math.AC math.AG math.RA
