Balanced truncation for parametric linear systems using interpolation of Gramians: a comparison of algebraic and geometric approaches
当平衡截断用于模型降阶时，必须求解两个Gramian的一对李雅普诺夫方程，并使用它们来构造降阶模型。虽然在求解此类方程方面已经取得了进展，但它仍然是这种简化方法中最昂贵的步骤。参数模型降阶的目的是确定参数依赖系统的降阶模型。参数化模型降阶的常用技术依赖于插值。然而，Gramian的插值很少被提及，很可能是因为Gramian是对称的正半定矩阵，这是插值方法应该保留的属性。在这篇文章中，我们提出并比较了两种Gramian插值方法。在第一种方法中，内插Gramian被计算为具有正系数的数据Gramian的线性组合。即使在这种方法中，正半定性是有保证的，插值Gramian的秩可以显着大于数据Gramian的秩。第二种方法的目的是解决这个问题，通过执行固定秩正半定矩阵流形上的插值。插值步骤的结果，然后用于构建参数化的降阶模型，这是比较数值上的两个基准问题。
2020-03-10 cs.NA math.DS math.NA
On the Lyapunov function for complex-balanced mass-action systems
利用对数和不等式，给出了复平衡质量作用系统的伪亥姆霍兹自由能函数是李雅普诺夫函数的一个新证明。这个证明比以前的证明更短更简单。
2014-04-30 math.DS q-bio.MN
Symmetric Hermite quadrature-based balanced truncation for learning linear dynamical systems from derivative data
New York University（纽约大学）；Virginia Tech（弗吉尼亚理工学院）
提出一种对称Hermite求积平衡截断算法，通过传递函数及其导数数据构建线性降阶模型，保持状态空间Hermite性和渐近稳定性。
2026-05-29 cs.LG cs.NA cs.SY
Empirical balanced truncation of nonlinear systems
提出了非线性系统的经验能控性和能观性Gramian的新构造，用于平衡截断模型降阶。新的Gramian是基于线性时变系统的基本解的推广。建立了非线性系统的给定Gramian与线性时不变系统和线性时变系统的标准Gramian之间的关系以及与经验Gramian的先前构造的关系。通过一个测试系统实例说明了新gramian的应用。
2006-06-18 math.DS math.OC
Balanced Truncation of Linear Time-Invariant Systems over Finite-frequency Ranges
Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马普复杂技术系统动力学研究所）；School of Mechatronic Engineering and Automation, Shanghai University（上海大学机电工程与自动化学院）
本文提出两种频率依赖平衡截断方法，分别处理已知单个主导频率和已知频率区间边界的情况，并推导了新的误差界以估计预设频率区间内的近似误差。
2016-02-13 cs.SY eess.SY math.DS
Nonlinear balanced truncation model reduction through scalable Taylor series
University of California San Diego（加州大学圣迭戈分校）
本文提出基于非线性平衡理论的可扩展算法，通过多项式近似和克罗内克积表示，实现降阶模型计算，展示非线性平衡的优势与局限。
2026-04-24 math.DS math.OC
Finite-Frequency Model Order Reduction of Linear Systems via Parameterized Frequency-dependent Balanced Truncation
Shanghai University（上海大学）；Max Planck Institute for Dynamics of Complex Technical Systems（马克斯·普朗克复杂技术系统动力学研究所）
本文提出一种基于参数化频率依赖平衡截断的方法，用于线性连续时间系统的有限频率模型降阶，通过构造参数化频率依赖映射，建立系统最大奇异值与降阶系统的关系，并提供误差界。
2017-03-20 cs.SY eess.SY math.DS
Model Reduction of Parametric Differential-Algebraic Systems by Balanced Truncation
本文提出一种结合平衡截断与 reduced basis method 的参数化微分代数系统模型降阶方法，通过求解投影 Lyapunov 方程并利用残差误差估计器验证近似质量，在流体力学和力学模型上展示了高效性。
2024-01-05 math.DS
Balanced truncation for bilinear time-delay systems with approximate Gramians
Northwestern Polytechnical University（西北工业大学）
本文提出一种基于Volterra级数和截断Laguerre展开的平衡截断方法，为双线性时滞系统定义近似Gramian，实现保结构模型降阶，并通过数值示例验证其效率。
2026-09-09 math.DS
On the balanced truncation error bound and sign parameters from arrowhead realizations
本文证明单输入单输出系统在截断Hankel奇异值对应符号参数全相等时平衡截断误差界取等号，并给出由箭头形实现非对角元素直接确定符号的方法，以电力系统模型验证。
2024-01-17 cs.SY eess.SY math.DS
Balanced Truncation Model Order Reduction For Quadratic-Bilinear Control Systems
讨论了二次双线性大系统的平衡截断模型降阶问题。线性系的平衡截断主要涉及系统的Gramian，即系统的可达性Gramian和可观测性Gramian的计算。Scherpen（1993）将这些Gramian推广到一般的非线性情形，证明了非线性系统的Gramian是状态依赖的非线性Hamilton-Jacobi方程的解。因此，它们不仅难以计算大规模系统，而且难以在模型降阶框架中使用。本文基于QB系统及其Hilbert伴随系统的Volterra级数表示，提出了QB系统的代数Gramian。然后，我们展示了它们与某类广义二次李雅普诺夫方程的关系。此外，我们提出了这些代数Gramian和能量泛函是如何相互关联的。此外，我们刻画了QB系统的可达性和可观测性的基础上提出的代数Gramian。这使得我们能够通过基于Gramian的适当变换来找到那些难以控制和难以观察的状态。截断这样的状态产生降阶系统。此外，我们提出了一个截断版本的Gramian QB系统，并讨论了它们的优势，在模型降阶框架。我们还研究了降阶系统的李雅普诺夫稳定性。最后，我们通过各种半离散的非线性偏微分方程来说明所提出的QB系统的平衡型模型降阶的效率，并显示其与现有的QB系统的矩匹配方法的竞争力。
2017-04-29 math.DS math.OC
Scalable Computation of Energy Functions for Nonlinear Balanced Truncation
针对非线性平衡截断中高维Hamilton-Jacobi-Bellman方程难以求解的问题，提出基于泰勒级数的可扩展方法，通过线性张量系统高效求解能量函数，并在Burgers和Kuramoto-Sivashinsky方程上验证了可扩展性。
2024-04-20 math.DS math.OC
Asymptotic stability of delayed complex balanced reaction networks with non-mass action kinetics
该研究针对具有乘积形式广义动力学的时滞化学反应网络，证明复平衡下每个正化学计量相容类内存在唯一局部渐近稳定的正平衡点，采用对数Lyapunov函数及时延Lyapunov-Krasovskii泛函作为证明工具，并通过示例验证结果。
2024-07-12 math.DS
Model Reduction for Nonlinear Systems by Balanced Truncation of State and Gradient Covariance
Princeton University（普林斯顿大学）
本文提出CoBRAS方法，通过平衡状态方差与伴随梯度协方差来提取低维坐标，用于高维非线性系统的模型降阶，并支持核函数扩展和回归学习降阶模型。
2023-04-12 cs.LG cs.SY eess.SY
Balanced Truncation of Descriptor Systems with a Quadratic Output
本文针对具有二次输出的微分代数系统，提出基于Weierstraß标准形解耦和Gramian矩阵的平衡截断降阶方法，并给出误差量化与数值验证。
2024-02-22 math.DS
Optimizing Oblique Projections for Nonlinear Systems using Trajectories
降阶建模技术，包括平衡截断和$\mathcal{H}_2$ -最优模型降阶，利用线性动力系统的结构来产生精确捕获动态的模型。另一方面，对于远离平衡点运行的非线性系统，当前的方法寻求状态的低维表示，这通常忽略具有高动力学意义的低能量特征。例如，已知低能量特征在流体动力学中发挥重要作用，其中它们可以是剪切层不稳定性的驱动机制。忽略这些特征会导致模型的预测准确性较差，尽管能够准确地编码和解码状态。为了提高预测精度，我们建议优化降阶模型，以适应从原始系统的粗采样轨迹的集合。特别是，我们优化的产品的两个格拉斯曼流形定义的彼得罗夫-伽辽金投影的全阶控制方程。我们比较我们的方法与现有的方法，包括适当的正交分解，平衡截断的Petrov-Galerkin投影，二次双线性平衡截断，和二次双线性迭代有理Krylov算法。我们的方法表明显着提高精度的非线性玩具模型和不可压缩（非线性）轴对称射流与$10^5$状态。
2022-01-14 math.DS math.OC physics.flu-dyn
Balanced Reduction of Nonlinear Control Systems in Reproducing Kernel Hilbert Space
基于机器学习和统计降维的最新进展，提出了一种新的非线性控制系统数据驱动降阶方法。该方法依赖于假设的非线性系统线性行为时，提升到一个高（或无限）维的特征空间，平衡截断可以进行隐式。这导致了一个非线性的减少映射，它可以与属于再生核希尔伯特空间的系统的表示相结合，以给出一个封闭的，减少了顺序的动力系统，它捕获了原始模型的基本输入-输出特性。还提供了说明该方法的实证模拟。
2010-11-12 math.DS math.OC math.ST
Lower bounds on the Lyapunov exponents of stochastic differential equations
在这篇文章中，我们回顾了我们最近介绍的方法，获得严格的正下界的高维，随机微分方程，如弱阻尼Lorenz-96（L96）模型或Galerkin截断的二维Navier-斯托克斯方程的最高李雅普诺夫指数。这种混沌的特征在这些模型中已经观察到很久了，然而，无论是确定性强迫还是随机性强迫，都没有数学证明。我们提出的方法结合了（A）一个新的身份连接的李雅普诺夫指数的马尔可夫过程跟踪切线方向（所谓的“投影过程”）的平稳测量的Fisher信息;和（B）一个基于$L^1$的亚椭圆正则性估计，以表明这个（退化）Fisher信息是一个上界的一些分数正则性。对于L96和GNSE，我们进一步降低了上李雅普诺夫指数的下限，证明了投影过程满足Hörmander条件。我们回顾了最近的贡献的第一和第三作者的验证这一条件的二维Galerkin-Navier-斯托克斯方程在一个矩形，周期性的盒子的任何纵横比。最后，我们简要地对比这项工作与我们以前的工作拉格朗日混沌随机Navier-斯托克斯方程。最后，我们讨论了一些悬而未决的问题。
2021-09-02 math.AP math.DS math.PR
Stability Analysis of Biochemical Reaction Networks Linearly Conjugated to complex balanced Systems with Time Delays Added
本文针对带时滞的线性共轭复平衡质量作用系统，通过构造Lyapunov泛函和划分相空间不变集，证明了其局部渐近稳定性，并给出示例验证方法的有效性。
2024-05-24 math.DS
Error bounds for model reduction of feedback-controlled linear stochastic dynamics on Hilbert spaces
研究了基于平衡截断的Ornstein-Uhlenbeck过程和带乘性噪声的线性S（P）DE的保结构模型降阶方法。在这项研究中，我们第一次包括非零初始条件的分析。此外，我们允许反馈控制动态解决随机最优控制问题的降阶模型和证明新的误差界一类线性二次调节器问题。我们提供了数值证据的界限，并讨论了我们的方法，以增强非平衡统计力学的抽样方法的应用。
2022-03-17 cs.NA math.DS math.NA
Almost everywhere balanced sequences of complexity $2n+1$
本文研究了第一作者提出的多维连分数算法下的三元序列。该算法是由两个矩阵定义的，我们证明了它是可测同构的方向序列集$\{1,2\}^\mathbb{N}$上的移位。对于一个给定的集合$\mathcal{C}$的两个替换，我们表明，存在一个$\mathcal{C}$ -进序列的每一个向量的字母频率，或等价地，每一个方向序列。我们证明了它们的因子复杂度至多是$2n+1$，并且是$2n+1$当且仅当字母频率是理性独立的当且仅当$\mathcal{C}$ -adic表示是本原的。在这种情况下，序列是树状的。我们还证明了$μ$ -几乎每个$\mathcal{C}$ -进序列是平衡的，其中$μ$是$\{1,2\}^\mathbb{N}$上的任何移位不变遍历Borel概率测度，给出了圆柱$[12121212]$的正测度。我们还证明了与测度$μ$相关的矩阵上循环的第二李雅普诺夫指数为负。
2022-05-11 math.CO math.DS
Disguised complex balance via positive algebraic geometry
Faculty of Mathematics, University of Vienna（维也纳大学数学学院）；Research Institute for Symbolic Computation (RISC), Johannes Kepler University Linz（林茨约翰内斯开普勒大学符号计算研究所）
研究质量作用动力学下反应网络产生的动力系统，借助正代数几何框架，将伪装复平衡条件转化为多项式不等式系统并 reformulate 为二项式方程，以消除浓度变量解决量化消除问题。
2026-07-07 math.AG math.DS q-bio.MN
Chaos in stochastic 2d Galerkin-Navier-Stokes
本文证明了在任意矩形环面上的涡度形式的二维随机斯托克斯方程的Galerkin截断在充分小的粘性下都是混沌的，只要截断频率满足$N\geq 392$ .“混沌”是指具有严格正的李雅普诺夫指数，即导数相对于一般初始条件的几乎必然渐近指数增长性。一个充分条件，这样的结果是来自以前的联合工作与亚历克斯布卢门撒尔减少问题的非退化矩阵李代数，这意味着Hörmander的条件，为马尔可夫过程解除到球面丛（投影hypoellipticity）。这项工作的目的是重新制定这一条件更适合于Galerkin截断的偏微分方程，然后验证这一条件使用a）减少到一般属性的对角子代数的启发根空间分解的半简单李代数和b）计算代数几何执行的Maple在精确的有理运算。请注意，即使我们使用计算机辅助证明，结果对所有长宽比和所有足够高维的截断都有效;事实上，某些步骤简化了形式上的无穷维极限。
2022-08-02 math.AP math.DS math.PR
A Perron-Frobenius strong threshold theorem for (A, B, P, ϕ) balanced bilinear models, and the role of left and right Perron eigenvectors in mathematical epidemiology
University of Bucharest（布加勒斯特大学）；University of Turin（都灵大学）；National Sun Yat-sen University（国立中山大学）
本文扩展了秩一 NGM 双线性模型的阈值定理，证明了非平凡正平衡存在的充要条件，并利用左、右 Perron 特征向量构建 Lyapunov 函数，探讨了非秩一情况下的推广。
2026-05-23 math.DS
A Unified Software Framework for Empirical Gramians
Institute for Computational and Applied Mathematics at the University of Münster（明斯特大学计算与应用数学研究所）
本文介绍了一个统一软件框架，提供六种经验格拉姆矩阵的计算例程，并将其应用于多输入多输出系统的模型降阶。
2013-07-15 cs.MS cs.SY eess.SY
