A characterization of involutes and evolutes of a given curve in $\mathbb{E}^{n}$
曲线的第一切线的正交轨迹称为$x$的渐开线。与曲线$x$具有高阶接触的超球是已知的$x$的密切超球。在$n$维欧几里得空间$\mathbb{E}^{n}$中，密切超球面的球心形成一条曲线，称为给定曲线$x$的广义渐屈线。本文给出了$k$阶渐开线曲线的一个特征。渐屈线）的给定曲线$x$在$n$维欧几里得空间$\mathbb{E}^{n}$中的映射。进一步，我们分别在$\mathbb{E}^{3}$和$\mathbb{E}^{4}$中得到了关于这些类型曲线的一些结果。
2016-04-21 math.DG
Generic bifurcations of framed curves in a space form and their envelopes
利用射影几何的方法对空间型、欧几里得空间、椭圆空间和双曲空间中的单参数标架曲线族的通有奇点和分支进行了分类.利用旗流形上的某些微分系统，研究了适应框架和密切框架。
2010-02-02 math.DG
Space Kinematics and Projective Differential Geometry Over the Ring of Dual Numbers
在对偶数上的射影空间中，从微分几何的观点研究了刚体位移群与对偶四元数群模对偶数乘法群之间的同构.这个空间中一些看似怪异的现象有着清晰的运动学解释。一个例子是存在的非直曲线与连续的密切切线对应的运动在一个圆柱组密切垂直达布运动。我们还提出了几何上有意义的方法来选择密切二次曲线在这个射影空间，并说明其相应的运动。此外，我们调查这些特殊的运动的因式分解，并使用所获得的结果的建设过约束连杆。
2021-02-04 math.DG math.MG
Space of subspheres and conformal invariants of curves
空间曲线由共形弧长、共形曲率和共形挠率直到莫比乌斯变换确定。利用密切圆和密切球空间给出Minkowski空间中曲线的一个共形定义的活动标架，它能自然地产生曲线的共形不变量和标准形.我们还给出了表征运河表面的曲线在一组圆。
2011-02-02 math.DG
On Vertices and Focal Curvatures of Space Curves
在欧氏空间$\R^{m+1}$中，浸入光滑曲线$γ:s\mapsto γ(s)$的{ \em焦点曲线}由其密切超球面的中心组成。聚焦曲线可以根据$γ$（${\bf t},{\bf n}_1, ...,{\bf n}_m$）的Frenet坐标系参数化为$C_γ(s)=(γ+c_1{\bf n}_1+c_2{\bf n}_2+...+c_m{\bf n}_m)(s)$，其中系数$c_1,...,c_{m-1}$是我们称为$γ$的{ \em聚焦曲率}的平滑函数。我们发现了一个将$γ$的欧几里德曲率$κ_i$、$i=1,...,m$与其焦曲率联系起来的公式。我们发现，焦点曲率满足一个系统的弗伦方程（不是矢量，但标量！）。我们使用的焦点曲率的属性，以便给，为$k=1,...,m$，密切$k$维球的半径是关键的必要和充分条件。给出了$γ$中的点是顶点的充分必要条件。最后，明确地给出了$γ$的Frenet标架和欧氏曲率与其焦线$C_γ$的Frenet标架和欧氏曲率的关系.
2005-04-07 math.DG
The investigation of some special curves in the pseudo-Galilean 4-space $G_{1}^{4} $
本文依据曲率函数刻画伪伽利略4-空间 $G_{1}^{4}$ 中的任意容许曲线，并给出位置曲线、从切曲线、斜螺旋线和球面曲线等特殊曲线的分类及充要条件。
2025-09-28 math.AG math.DG
Variations on the Tait-Kneser theorem
Tait-Kneser定理首先由Peter G. Tait在1896年指出，沿着具有单调非零曲率的平面曲线的密切圆是两两不相交且嵌套的。这篇笔记包含了一个证明这个定理使用洛伦兹几何的空间的圆。我们展示了如何一个类似的证明适用于两个变化的定理，关于密切胡克和开普勒二次曲线沿平面曲线。我们还证明了一个版本的开普勒二次曲线的四顶点定理。
2021-06-02 math.CA math.DG
Evolutes and involutes of framed curves in Euclidean 3-space
本文研究了带奇点空间曲线的包络线，基于框架曲线理论定义了非退化曲线和框架曲线的包络线与involute，并探讨了其逆运算条件及非逆运算情况。
2026-04-28 math.DG
Locus of the centers of Meusnier spheres in Euclidean 3-space
在这项研究中，我们调查的Meusnier球的中心的轨迹。正如焦线是密切球球心的轨迹一样，本文研究了Meusnier球心轨迹的几何解释。证明了当曲线是一条主线时，曲线的Meusnier球面的球心轨迹是一条渐屈线。然后，我们给出了这条渐屈线与聚焦曲线之间的关系。还给出了螺旋线、斜螺旋线与曲线的穆斯尼尔球面中心轨迹之间的关系。
2015-03-11 math.DG
Centro-affine invariants and the canonical Lorentz metric on the space of centered ellipses
我们考虑光滑的平面曲线，它们相对于原点是凸的。本文利用密切椭圆的零曲线，根据所有以零为中心的椭圆的三维空间上的正则Lorentz结构，描述了中心仿射不变量（即GL+（2，R）-不变量），如中心仿射曲率和弧长.这是中心仿射模拟的办法共形不变量的曲线在领域介绍的朗之万和奥哈拉，使用规范的伪黎曼度量空间的圆。
2016-11-08 math.DG
Parallel Transport Frame in 4-dimensional Euclidean Space
本文在四维欧几里得空间中给出了曲线的平行输运标架，并介绍了曲线的平行输运标架与Frenet标架之间的关系。首次将三维欧氏空间中的关系推广到四维欧几里得空间中。利用球面曲线的平行输运标架，得到了球面曲线的条件。用κ和τ表示的条件很复杂，但用k_{1}和k_{2}表示的条件很简单。因此，并行传输标架对于简化一些复杂的刻画具有重要意义。此外，我们还刻画了四维欧几里得空间E^{4}中位置向量位于其法平面、整平面和密切平面内的曲线。
2012-07-12 math.DG
Focal Representation of k-slant Helices in E^{m+1}
E^{m+1}中一般正则曲线γ的焦点表示由密切超平面的中心组成。E^{m+1}中的k-斜螺旋线γ是一条（通用的）正则曲线，其单位法向量V_{k}与E^{m+1}中的固定方向U成一个恒定的角度。本文证明了：若γ是E^{m+1}中的k-斜螺旋，则γ在E^{m+1}中的焦表示C_{γ}是E^{m +1}中的（m-k+2）-斜螺旋.
2013-05-10 math.DG
Topics in Lorentz Geometry
从迷你课程“洛伦兹几何主题”在圣保罗大学任教的讲义，在三月/2019。案文有三个部分：（i）在伪欧几里得空间$\mathbb{R}^n_ν$中的线性代数的整体观点，重点是洛伦兹-闵可夫斯基空间及其在物理学中的作用;（ii）在三维洛伦兹-闵可夫斯基空间中的曲线基本定理的一个版本，适应于具有退化密切平面的曲线;（iii）类时曲面的Weingarten映射的对角化问题，常高斯曲率曲面的局部分类$K$和Lorentz-Minkowski空间中的Weierstrass表示公式（使用分裂复代数）。V2：添加了参考文献。
2019-09-02 math.DG
Isometric deformations of cuspidal edges
在三维欧氏空间中，给定曲面上的尖点边奇点可以用正则空间曲线表示，单位法向量场$ν$被定义为曲面的光滑向量场.如果尖边（作为一条正则空间曲线）的密切平面不与$ν$正交，则尖边奇点称为一般尖边奇点。这种通用性等价于其极限法曲率$κ_ν$取非零值的条件。在本文中，我们表明，一个给定的通用（实解析）尖形边缘可以等距变形保持$κ_ν$到尖形边缘的奇异集位于一个平面。这种极限尖状边是由尖状边的初始芽唯一确定的。
2014-08-19 math.DG
Discrete mKdV and Discrete Sine-Gordon Flows on Discrete Space Curves
本文研究了离散mKdV或离散sine-Gordon方程所描述的具有常挠率的离散空间曲线的离散变形，证明了它是满足等周条件的密切平面上的保挠等距变形.利用Sym-Tafel公式从变形数据中重建出曲线。空间曲线的等周等距变形一般不保持挠率。然而，它是可能的，通过调整变形参数来构造保扭变形。此外，还可以在每个步骤中任意选择由离散mKdV方程或离散sine-Gordon方程描述的变形。最后，我们证明了离散空间曲线的离散变形产生离散K-曲面。
2014-05-16 math.DG nlin.SI
Linkage Mechanisms Governed by Integrable Deformations of Discrete Space Curves
连杆机构由连接点组成的刚体组成，这些连接点可用于将运动从一个位置的一种形式转换和传递到另一个位置。在本文中，我们特别感兴趣的是一族空间连杆机构，它包括$n$ -一个刚体的副本通过铰链连接在一起，形成一个环。每个铰链关节都有自己的旋转轴，连接到它的刚体可以绕着轴自由旋转。该系列包括著名的三重对称Bricard 6 R连杆，也被称为Kaleidocycle，它表现出一种特有的“翻转”运动。我们可以在$\mathbb{R}^3$中将这样的连杆建模为具有恒定扭转的离散闭合曲线。然后将其运动描述为曲线的保挠和保弧长变形。我们描述了这个对象的某些运动是由半离散的mKdV方程，其中无限小的每个顶点的运动被限制在密切平面。
2019-09-23 math.DG nlin.SI
Iterating evolutes of spatial polygons and of spatial curves
m维欧几里得空间中平滑曲线的渐屈线是其密切球面中心的轨迹，空间多边形的渐屈线是其相邻顶点通过原多边形的相邻（m+1）个顶点元组成为球面中心的多边形。我们研究这些渐屈线变换的迭代。这项工作延续了最近对二维空间中类似问题的研究，见arXiv：1510.07742。这是我们的结果的一个样本。在平行移动的情况下，具有固定方向的n维向量集是一个（n-m）维向量空间，第二渐屈线变换是这个空间的线性映射。如果n=m+2，则第二个渐屈线与原始多边形相似，如果n=m+3，则第一个和第三个渐屈线相似。一般来说，第二渐屈线映射的每个特征值都有双重重数。我们还研究了三维欧几里得空间中的尖点曲线及其渐屈线。我们提供了连续的类似物的多边形所获得的结果，并提出了一类曲线，这是他们的第二evolutes位似的，这些曲线是经典的内摆线的空间类似物。
2017-04-16 math.DG math.MG
New Associated Curves k-Principle Direction Curves and N_k Slant Helix
Frenet标架是曲线的标准正交向量标架.但是，它并不总是满足曲线特征化的需要。本文利用空间曲线的相关曲线，得到了一个新的标准正交标架，它具有第二向量与空间曲线的固定方向成常角的性质。然后将该曲线命名为Nk斜螺旋线，并有效地得到了其特殊条件。
2014-06-02 math.DG
Direction curves of tangent indicatrix of a curve
本文定义了三维欧氏空间中曲线的切指标线的Frenet向量所生成的向量场的积分曲线作为一类新的相伴曲线。我们给出了这些曲线的曲率之间的一些关系。利用这些关联曲线，给出了由单位球面上的圆、球面螺旋线、球面斜螺旋线等特殊球面曲线构造螺旋线和斜螺旋线的方法。最后，我们给出了一些相关的例子。
2019-10-15 math.DG
Directional Pliability, Whitney Extension, and Lusin Approximation for Curves in Carnot Groups
该研究证明Carnot群中方向柔韧性可保证对应切向量方向曲线的Whitney型延拓与Lusin逼近存在，并应用该结论证得Engel群内任意水平曲线必与C¹水平曲线交于正测度集。
2025-05-20 math.DG
Notes on W-direction curves in Euclidean 3-space
本文研究了文献[11]中用Frenet曲线的单位Darboux向量场W定义的三维欧几里得空间中W方向曲线的球面指标。给出了这类球面指标曲线的Frenet装置以及它们是一般螺旋线和斜螺旋线的特征。并给出了球面指标曲线与其对应曲线之间的一些性质。然后利用W-方向曲线研究了两种特殊直纹面：法向直纹面和副法向直纹面。我们给出了有关这些直纹曲面的特征的有用结果。从这些应用中，我们利用这样的工作来解释高斯，中曲率的这些表面和测地线，法曲率和测地挠的基曲线相对于这些表面。
2015-06-12 math.DG
Rotation minimizing frames and spherical curves in simply isotropic and pseudo-isotropic 3-spaces
本文主要研究简单迷向和伪迷向三维空间中曲线的微分几何，这些空间是绝对图形由无穷远无穷远平面和退化二次曲面给出的Cayley-Klein几何的例子。受欧氏几何和洛伦兹几何中旋转最小化（RM）框架的成功启发，本文介绍了如何在各向同性几何中构建RM框架，并将其应用于各向同性球面曲线的研究。事实上，通过一个方便的操作密切领域描述的RM帧，我们表明，它是可能的，通过一个线性方程，涉及的曲率，决定RM帧运动的球形曲线的特征。对于伪迷向空间，我们还讨论了Cayley-Klein几何框架下绝对图形的不同选择，并通过Lorentz数（虚数单位的平方为$+1$的类复系统）证明了它们是等价的.最后，我们还表明，通过使用伽利略三角函数和对偶数（一个复杂的系统，其中的平方的虚数单位消失）的Frenet框架的旋转，获得各向同性RM框架的可能性。
2019-06-24 math.DG math.MG
Capturing information on curves and surfaces from their projected images
一般来说，从一个方向观察一个物体，就不可能获得关于它形状的全部信息。本文从理论上研究了从多个方向的正交投影中获取物体的微分几何信息。本文用微分几何和奇点理论讨论了空间曲线与多个不同方向上的投影曲线，曲面与多个不同方向上投影的视轮廓线之间的关系。特别地，给出了从投影图像中恢复原始曲线或曲面某些信息的公式。
2020-10-07 math.DG
Circular evolutes and involutes of framed curves in the Euclidean space
在欧几里得空间中引入了框架曲线的圆渐屈线和圆渐屈线。框架曲线的圆渐屈线来源于Bishop方向的曲率圆和Bishop方向法曲面的奇异值集。另一方面，框架曲线的渐开线是正则空间曲线的渐开线和欧氏平面中的锋的直接推广。我们研究了框架曲线的法向曲面、圆渐屈线和渐屈线的性质。我们可以观察到，在适当的假设下，取框架曲线的圆渐屈线和渐屈线是相反的操作，类似于欧几里德平面中的前沿的渐屈线和渐屈线。此外，我们还研究了框架曲线的法向曲面、圆渐屈线和渐开线的奇点之间的关系。
2021-03-12 math.DG
Curves and surfaces making a constant angle with a parallel transported direction in Riemannian spaces
本文提出统一框架研究黎曼空间中与平行移动方向成恒定角的曲线和曲面，证明欧几里得螺旋线刻画在任意黎曼流形成立，并揭示恒定角曲面为外在平坦直纹面及其与斜螺旋线的关系。
2024-03-15 math.DG
Construction of curve pairs and their applications
在这项研究中，我们介绍了一种新的方法，曲线对使用积分曲线。我们考虑了方向曲线和施主曲线，研究了渐开线-渐屈线、Mannheim伴侣曲线和Bertrand伴侣曲线等曲线对。给出了构造单位速度曲线伴侣曲线的新方法，并给出了螺旋线、斜螺旋线和平面曲线的一些应用。
2017-01-09 math.DG
Focal set of curves in the Minkowski space near lightlike points
我们研究的几何曲线在闵可夫斯基空间和德西特空间，特别是在点的切线方向是lightlike（即长度为零）称为lightlike点的曲线。我们定义了这些曲线的焦点集，并研究了它们的度量结构。在类光点处，没有定义焦集。我们利用奇异性理论的方法来进行我们的研究，并探讨类光点附近的焦集。
2015-08-27 math.DG
Existence of planar curves minimizing length and curvature
在本文中，我们考虑的问题是部分隐藏或损坏的曲线最小化的功能$\int \sqrt{1+K_γ^2} ds$，取决于长度和曲率$K$的重建。我们确定起点和终点以及初始和最终方向。对于这个泛函，我们讨论了各种泛函空间上极小解的存在性问题。我们发现不存在极小的情况下，在初始和最终方向被认为是与方向。在这种情况下，最小化轨迹序列可以收敛到具有角度的曲线。相反，我们证明存在的“时间重新参数化”的功能$$\int \| \dotγ(t) \|\sqrt{1+K_\ga^2} dt$$的所有边界条件下，如果初始和最终的方向被认为是无关的方向极小。在这种情况下，极小化器可以呈现尖点（最多两个），但不能呈现角度。
2010-02-23 math.DG math.OC
A short open space curve of unit width
The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
本研究找到三维欧氏空间中单位宽度可求长连续曲线的局部极小值曲线，推测其为全局极小，附带相关程序与Lean形式化证明。
2026-10-15 math.DG math.MG
A Geometric Gaussian Mixture Representation of Plane Curves
Fraunhofer IOSB（弗劳恩霍夫研究所）；KIT, IES（卡尔斯鲁厄理工学院，信息工程系）
提出一种用户定义的平面曲线概率多边形表示，通过为每个线段赋予法向不确定性参数，构造高斯混合模型，保留局部几何与法向不确定性，适用于多种曲线类型。
2026-05-24 cs.AI cs.CG cs.CV
